Bài I(2,5đ). Cho
x 10 x 5
Ax 25
x 5 x 5
Với
x 0,x 25
.
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A khi x = 9.
3) Tìm x để
1
A
3
.
Bài II (2,5đ)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó
chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở
thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bài III (1,0đ). Cho Parabol (P):
y x
và đường thẳng (d): 2
y 2x m 9
.
1) Tìm toạ độ các giaođ của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại haiđ nằm về hai phía của trục tung.
Bài IV (3,5đ). Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của
đường tròn (O) tại haiđ A và B.Gọi I là trungđ của OA và E làđ thuộc đường tròn (O) (E không
trùng với A và B). Đường thẳng d đi quađ E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2
lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh
ENI EBI
và
0
MIN 90
.
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI .
4) Gọi F làđ chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của
tam giác MIN theo R khi bađ E, I, F thẳng hàng.
Bài V (0,5đ) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 21
M 4x 3x 2011
4x
.
Baøi 1:
3x y = 7 5x 15 x 3
Ta coù
2x + y = 8 2x y 8 y 2
a)
* Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát
x ; y 3 ; 2
.
b) Goïi (d) vaø (d/) laàn löôït laø ñoà thò cuûa haøm soá y = ax + b vaø y =
2x + 3
/
a 2
d // d
b 3
. Vôùi a =
2 haøm soá ñaõ cho trôû thaønh y =
2x + b (d)
M M
d ñi qua M 2 ; 5 y 2.x b 5 = 2.2 + b b = 9 (
b 3)
thoõa ñieàu kieän
*
Vaäy a = 2 vaø b = 9.
∙Baøi 2: a) * Khi m =
5, phöông trình ñaõ cho trôû
thaønh:
2
x 8x 9 0 (vôùi a = 1 ; b = 8 ; c = 9) (*)
* Ta thaáy phöông trình (*) coù caùc heä soá thoõa maõn a
b + c = 0 ; neân nghieäm cuûa phöông trình
(*) laø:
1 2
c
x 1 vaø x 9 ( ).
a
nhaåm nghieäm theo Viet
* 1 2
Vaäy khi m = 5, phöông trình ñaõ cho coù
hai nghieäm phaân bieät x 1 vaø x 9.
b) Phöông trình ñaõ cho (baäc hai ñoái vôùi aån x) coù caùc heä soá: a = 1 ; b/ = m + 1 vaø c = m
4 ;
neân:
/
2
221 19 19
m 1 m 4 m m 5 m 0
2 4 4
/1 2
0 ; vaäy phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät x , x vôùi moïi g
iaù trò cuûa tham soá m.
c) Theo caâu b, phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá
m.
Theo heä thöùc Viet, ta
coù:
1 2
1 2
x x 2 m 1
I
x x m 4
.
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
m 0
x x 3x x 0 x x x .x 0 4m 9m 0
9
m
4
.
*
1 2
9
Vaäy m 0 ; thì phöông trình ñaõ cho coù n
ghieäm x , x thoõa heä thöùc
4
2 2
1 2 1 2
x x 3x x 0
.
∙Baøi 3: * Goïi x(m) laø ñoä daøi cuûa chieàu roäng maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho. (Ñieàu kieän x > 0)
Khi ñoù: Chieàu daøi cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho laø: x + 6 (m)
Chu vi cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät naøy laø: 4x + 12 (m)
Theo Pytago, bình phöông ñoä daøi cuûa ñöôøng cheùo hình chöõ nhaät laø: x2 + (x + 6)2.
Do bình phöông cuûa soá ño ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn soá ño cuûa chu vi neân ta coù phöông
trình:
K
E
D
AP
N
MC
B
O
2
2 2
x x 6 5 4x 12 x 4x 12 0 (*)
* Giaûi phöông trình (*) baèng coâng thöùc nghieäm ñaõ bieát ta ñöôïc:
1 2
x 2 vaø x 6 > 0
loaïi thoõa ñieàu kieän x
∙ Vaäy chieàu roäng cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho laø 6m ; chieàu daøi cuûa maûnh ñaát naøy laø 12
m; do ñoù dieän tích cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho laø 72 m2.
∙Baøi 4:
a) Chöùng minh töù giaùc BDEC noäi tieáp.
Theo tính chaát cuûa goùc coù ñænh ôû beân trong ñöôøng troøn (O),
ta coù:
·
»
»
sñAN sñPC
AEN 2
»
»
»
»
sñAP sñPC
= vì AN AP (gt)
2
¼
· ·
¼
sñAPC
= = ABC vì ABC cuûa (O) chaén APC
2
noäi tieáp
·
·
·
·
·
·
AEN DBC
Maø AEN DEC 180 ø
Neân DBC DEC 180 Töù giaùc BDEC noäi tie
áp ( )
hai goùc keà bu
theo ñònh lyù ñaûo veà töù giaùc noäi tieáp
b) Chöùng toû MB.MC = MN.MP .
·
·
·
Xeùt MBP vaø MNC , coù:
PMC: Goùc chung.
MPB MCN ( )
hai goùc noäi tieáp cuûa O cuøng chaén cung nhoû N
B
Suy ra
MBP ∽
MNC (g – g)
MB MP
MB.MC = MN.MP .
MN MC
c) Chöùng minh MK2> MB.MC .
* Vì A laø ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû NP (gt) suy ra OA NP taïi K (ñöôøng kính ñi qua
ñieåm chính giöõa cuûa moät cung thì vuoâng goùc vôùi daây caêng cung ñoù ).
Suy ra K laø trung ñieåm cuûa daây NP (ñöôøng kính vuoâng goùc moät daây thì ñi qua trung ñieåm cuûa
daây ñoù)
Suy ra NP = 2.NK .
MB.MC = MN.MP (theo caâu b), suy ra:
MB.MC = MN(MN + NP) = MN(MN + 2.NK) = MN2 + 2.MN.NK (1)
MK2 = (MN + NK)2 = MN2 + 2.MN.NK + NK2> MN2 + 2.MN.NK ( do NK2> 0 ) (2)
Töø (1) vaø (2): MK2> MB.MC .
∙Baøi 5:
2
2
x 2x 2011
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A =
x
(vôùi
x 0
)
* Caùch 1: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá lôùp 8)
2
2
22
22
2
x 2x 2011
A = vôùi x 0
x
1 1 1
= 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (vôùi t = 0)
x x x
1 1 1
= 2011 t 2 t 1
2011 2011
2011
1 2010 2010 1
= 2011 t daáu"=" t = x 2011 ; thoõa x
2011 2011 2011 2011
0
*
2010
Vaäy MinA = x = 2011.
2011
* Caùch 2: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá 9)
2
2
2 2 2
x 2x 2011
A = vôùi x 0
x
A.x x 2x 2011 A 1 x 2x 2011 0 *
coi ñaây laø phöông trình aån x
2011
Töø (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1)
2
Neáu A 1 0 thì (*) luoân laø phöông trình
baäc hai ñoái vôùi aån x.
x toàn taïi khi phöông trình (*) coù nghieäm.
/
/
2
0 1 2011 A 1 0
2010 b 1 1
A daáu "=" (*) coù nghieäm keùp x = 2011
; thoõa x 0 (2)
2010
2011 a A 1 1
2011
So saùnh (1) vaø (2) thì 1 khoâng phaûi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A maø:
2010
MinA = x = 2011.
2011
Baøi 1: (2,0 ñieåm)
3x y = 7
a) Giaûi heä phöông trình
2x + y = 8
.
b) Cho haøm soá y = ax + b . Tìm a vaø b bieát raèng ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho song song vôùi
ñöôøng thaúng
y 2x 3 vaø ñi qua ñieåm M 2 ; 5 .
Baøi 2: (2,0 ñieåm) a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi
m 5
.
b) Chöùng toû phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá
m.
c) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x1, x2 thoõa maõn heä thöùc :
2 2
1 2 1 2
x x 3x x 0
.
Baøi 3: (2,0 ñieåm). Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi hôn chieàu roäng 6m vaø bình
phöông cuûa soá ño ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn soá ño cuûa chu vi. Tính dieän tích cuûa maûnh ñaát
hình chöõ nhaät ñaõ cho.
Baøi 4: (3,0 ñieåm). Cho ñöôøng troøn taâm O vaø BC laø daây cung khoâng ñi qua taâm. Treân tia ñoái
cuûa tia BC laáy ñieåm M sao cho M khoâng truøng vôùi B. Ñöôøng thaúng ñi qua M caét ñöôøng troøn
(O) ñaõ cho taïi N vaø P (N naèm giöõa M vaø P) sao cho O naèm beân trong
·
PMC
. Goïi A laø ñieåm
chính giöõa cuûa cung nhoû NP. Caùc daây AB vaø AC laàn löôït caét NP taïi D vaø E .
a) Chöùng minh töù giaùc BDEC noäi tieáp.
b) Chöùng toû MB.MC = MN.MP .
c) OA caét NP taïi K. Chöùng minh MK2> MB.MC .
Baøi 5: (1,0 ñieåm)
2
2
x 2x 2011
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc A =
x
(vôùi
x 0
)