TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI CUỐI KỲ HK I NĂM HỌC 25-26
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: TOÁN 1 (ĐỢT 1)
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH132401
BỘ MÔN TOÁN Đề thi có 2 trang.
***** Ngày thi 28/10/2025. Thời gian 90 phút.
Được sử dụng tài liệu là 1 tờ A4 viết tay
Câu 1 (1.0 điểm).Cho hai hàm số f(x) = sin−1x, g(x)=3x2−3x−2. Giải
phương trình
(g0f)(x) = −2.
Câu 2 (2.0 điểm).Cho f(x) =
√4x+ 1 −1
x,nếu x > 0
b(x2+ sin x)+3x+m, nếu x≤0.
(a) Xác định các giá trị của bvà mđể hàm số f(x)liên tục tại x= 0.
(b) Với b= 0 và m= 2, hãy xét tính khả vi của hàm số tại x= 0
Câu 3 (1.0 điểm).Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C)có phương
trình :
x5+xy3+yln(x) + y4= 1,tại P(1; −1).
Câu 4 (1.0 điểm).Áp suất khí (tính bằng Pa) trong buồng nén biến thiên theo
thể tích V(m3) theo công thức P(V) = 500
V2+ 1. Biết thể tích khí đang tăng
với tốc độ dV
dt = 0.04 m3/s tại thời điểm V= 2 m3. Tìm tốc độ thay đổi của
áp suất Ptại thời điểm đó.
Câu 5 (1.5 điểm).Một công ty sản xuất dự định chế tạo một bồn chứa dầu
hình trụ có đáy kín nhưng không nắp, với thể tích yêu cầu là V= 100πm3.
Chi phí vật liệu làm đáy bồn có giá 2triệu đồng/m2, còn chi phí vật liệu làm
thành bên là 3triệu đồng/m2. Hãy xác định kích thước của bồn (bán kính đáy
và chiều cao) sao cho tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất, và tính chi phí tối thiểu
đó. (Cho biết thể tích và diện tích thành bên của hình trụ có chiều cao hvà
bán kính đáy rlần lượt là V=πr2hvà Sbên = 2πrh. )
Câu 6 (1.5 điểm).Tìm cực trị tương đối của hàm số U(x)=(x−2)2ex.
Số hiệu:BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 1/2
Câu 7 (2.0 điểm).Một tách cà phê ban đầu có nhiệt độ 900Cđược đặt trong
một căn phòng có nhiệt độ không đổi là 200C. Sau 5 phút, nhiệt độ của tách
cà phê là 600C. Ký hiệu T(t)là nhiệt độ tách cà phê sau tphút. Theo định
luật làm nguội của Newton, sự thay đổi nhiệt độ tách cà phê được mô ta theo
phương trình vi phân
dT
dt =k(T−Ta),
trong đó klà một hằng số và Talà nhiệt độ căn phòng.
(a) Xác định hàm nhiệt độ T(t).
(b) Tính nhiệt độ trung bình của tách cà phê trong 10 phút đầu tiên.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (Về kiến thức) Nội dung KT
CLO1: Giải thích được các khái niệm về hàm số, hàm ngược, hàm siêu
việt, về giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân và tích phân Câu 1,2,3,4,5,6,7
CLO2: Tính được các giới hạn, đạo hàm, vi phân của một hàm số, tính
tích phân cơ bản Câu 2,3,4,5,6,7,8
CLO3: Xây dựng được mô hình toán học sử dụng đạo hàm để giải quyết
các yêu cầu về tốc độ thay đổi và tối ưu trong đời sống, vật lý và kỹ
thuật
Câu 4,5,7
CLO4: Giải được phương trình vi phân tách biến Câu 7
TP.HCM, ngày 21 tháng 10 năm 2025
Trưởng bộ môn toán
Phạm Văn Hiển
Số hiệu:BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 2/2
Đáp Án Toán 1 (MATH132401
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ HỌC KỲ I- NĂM HỌC 2025-2026
Câu Nội dung Điểm
1
(1 điểm) Giải
2
1 1
( ( )) 2 3 sin ( ) 3sin ( ) 0
g f x x x
. Đặt 1
sin ( )
,
trong đó
[ / 2, / 2]
t
. Giải phương trình trên, ta được: 1
0
t
(nhận) và 2
1
t
(nhận).
0.5
+ Nếu 1
0
t
, tức là 1
sin ( ) 0,
x
ta suy ra
sin 0 0
x
.
+ Nếu 2
1
t
, tức là 1
sin ( ) 1,
x
ta suy ra
sin1
x
.
0.25
0.25
2
(2.0 điểm)
L H
0 0 0
4 1 1 4
lim ( ) lim lim 2
2 4 1
x x x
x
f x xx
0.5
0
lim ( ) (0)
x
f x f m
Do đó, để
f
liên tục tại
0
x
thì ta phải có
2
m
và
b
tùy ý.
0.25
0.25
'(0 ) 3
f
; 2
0
4 1 1 2
'(0 ) lim
x
x x
f
x
L H
0 0
1 4 1 4
lim lim 2
4 1 4 1(1 4 1)
x x
x
x x x x
.
0.5
0.25
( )
f x
không khả vi tại
0
x
0.25
3
(1 điểm)
Đạo hàm 2 vế theo
x
, ta được:
4 3 2 3
5 3 ' / 'ln( ) 4 ' 0
x y xy y y x y x y y
Tại P ta có
(3 4) ' 5 1 1
y
0.5
0.25
Phương trình tiếp tuyến với đường cong tại P là
1 3( 1)
y x
0.25
4
(1 điểm) 2 2
1000
80
( 1)
dP V
dV V
Áp dụng qui tắc:
dP dP dV
dt dV dt
.
0.25
0.25
Theo đề bài
0.04
dV
dt
m
3
/s tại thởi điểm
2
V
m
3
.
Khi đó
80 0.04 3.2
dP dP dV
dt dV dt
(Pa/s)
0.25
0.25
Đáp Án Toán 1 (MATH132401
5
(1.5 điểm)
+ Vì thể tích 2
100
V r h
nên 2
100
.
h
r
+ Tổng chi phí: 2 2
dáy bên
600
( ) 2 6 2C r C C r rh r
r
.
0.25
0.5
3
2
600
'( ) 0 4 0 150
C r r r
r
Vì 3
1200
( ) 4 0
C r
r
với
0
r
nên
( )
C r
đạt cực tiểu tại
3
150
r (m).
0.25
0.25
Ta cũng suy ra: 22
3
100 100
3.542
( 150)
hr
(m). Chi phí tối thiểu là:
2
min
600
( ) 2 532
C r r
r
(triệu đồng)
0.25
6
(1.5 điểm)
2
'( ) 2( 2) ( 2) ,
x
U x x x e x
'( ) 0 0, 2
U x x x
0.5
0.25
2
"( ) 2 4( 2) ( 2)
x
U x x x e
0.25
"(0) 0, "(2) 0
U U
nên hàm số đạt cực đại tại x=0 và cực tiểu tại
x=2
0.5
7
(2.0 điểm)
+ Tích phân phương trình:
)
ln( ) , (
a
akt C TT T
T
+ Theo đề bài
0
20
a
TC,
9
(0)
0
T
nên
ln(70)
C
(5) 6
0
T
nên
1 4
ln
5 7
k
Ta suy ra:
ln(4/7)
5
( ) 20 70
t
T t e
0.5
0.75
0.25
Tính nhiệt độ trung bình trong 10 phút đầu tiên:
10
trung bình
0
10 10
0
120 70
10
1 70 7( 1)
20 20
10
kt
k
kt
T e dt
e
t e
k k
0.25
0.25