TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2024-2025
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: TOÁN 3
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH132601
BỘ MÔN TOÁN Đề số/Mã đề: 01 Đề thi có 2 trang
Thời gian: 90 phút
Được sử dụng 01 tờ A4 chép tay.
Câu 1: (1.5 điểm).
Giả sử một vật chuyển động trong không gian theo một đường cong là đồ thị của hàm véc
tơ R(t)cho bởi
R(t) = (cos 3t)i+ (sin 3t)j+ (3t)k.
a) Biết rằng hướng của chuyển động được xác định bằng véc tơ tiếp tuyến đơn vị T(t). Tìm
T(t)tại thời điểm t=π.
b) Tính quãng đường vật đi được từ điểm (1,0,0) đến (−1,0,3π).
Câu 2: (1.5 điểm).
Tìm các điểm cực trị địa phương (cực trị tương đối) và điểm yên ngựa của hàm số
f(x, y) = x3−24xy + 8y3.
Câu 3: (1.5 điểm).
Cho biết diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức
SABC =1
2AB ×AC ×sin( ˆ
A). Giả sử điểm Acố định, AC tăng với tốc
độ 3 cm/s và AB giảm với tốc độ 2cm/s. Nếu diện tích của tam giác
là không đổi thì tốc độ thay đổi của góc ˆ
Alà bao nhiêu tại thời điểm
AC = 20 cm, AB = 30 cm và góc ˆ
A=π/6?
Câu 4: (2.5 điểm).
a) Tính tích phân bội hai
D
xy2dA, trong đó Dlà miền giới hạn bởi các đường
x= 0 và x=p1−y2
b) Tính thể tích của khối Ωđược giới hạn bởi các mặt cong
z=x2+y2và z=p2−x2−y2.
Câu 5: (1.5 điểm).
Cho trường véc tơ F(x, y)=2xe−yi+ (2y−x2e−y)j.
a) Chứng tỏ rằng Flà một trường thế và tìm hàm thế fthỏa mãn F=∇f.
b) Tính
CF·dR, trong đó Clà đồ thị của hàm véc tơ R(t) = (cos t)i+ (2 sin t)j,0≤t≤π
2.
Số hiệu: BM1/QT-PĐT-RĐTV Trang: 1/2
Câu 6: (1.5 điểm).
Cho trường véc tơ F(x, y, z) = −xi−yj+z2k.
a) Tính độ phân kỳ divFvà véc tơ xoáy CurlF.
b) Tính thông lượng của tường véc tơ Fqua phần mặt nón Scó phương trình z=px2+y2,
nằm dưới mặt phẳng z= 2 với hướng của véc tơ pháp tuyến đơn vị Nlà hướng xuống.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
CLO1: Tính được giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm véc tơ và
của hàm nhiều biến Câu 4,5
CLO2: Sử dụng giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm véc tơ và
của hàm nhiều biến để giải quyết các bài toán ứng dụng Câu 1,2,3
CLO3: Tính được các đại lượng đặc trưng của hàm véc tơ Câu 6
CLO4: Vận dụng ý nghĩa và mối quan hệ của các đại lượng đặc
trưng của trường véc tơ để giải quyết các bài toán ứng dụng Câu 1,6
Ngày 10 tháng 12 năm 2024
Thông qua bộ môn
Phạm Văn Hiển
Số hiệu: BM1/QT-PĐT-RĐTV Trang: 2/2
ĐÁP ÁN Toán 3 CLC, HK I 2024-2025
Câu Nội dung Điểm
1 1.5
a) R′(t) = ⟨−3 sin(3t),3 cos(3t),3⟩⇒∥R′∥= 3√2⇒T(π) = −j+k
√2.
b) t: 0 →π,S=Rπ
0√18dt = 3√2π.
0.75
0.75
2 1.5
fx= 3x2−24y, fy=−24x+ 24y2
fx=fy= 0 ⇒A(0; 0), B(4; 2)
fxx = 6x;fxy =−24, fyy = 48y. Hàm số có cực tiểu ở B và điểm yên ngặc ở A
0.5
0.5
0.5
3 1.5
Đặt x=AB, y =AC, ˆ
A=αsuy ra dx
dt =−2,dy
dt = 3
Từ công thức suy ra dS
dt =1
2ysin αdx
dt +xsin αdy
dt +xy cos αdα
dt
Do S là không đổi nên dS = 0
Khi x= 30, y = 20, α =π
6suy ra dα
dt =−1
12√3
0.5
0.5
0.25
0.25
4 2.5
a) D={(x, y)|0≤x≤p1−y2,−1≤y≤1}
hoặc theo tọa độ cực: 0≤r≤1,−π
2≤θ≤π
2
I=R1
−1R√1−y2
0xy2dxdy =R1
−1
y2(1−y2)
2dy hoặc Rπ/2
π/2R1
0r4cos θsin2θdrdθ
I=2
15
0.5
0.5
0.25
b) Thể tích V=RRD(p2−x2−y2−x2−y2)dA với D:x2+y2≤1
Tọa độ cực I=R2π
0R1
0(√2−r2−r2)rdrdθ
V=8√2−7
6π≈2,2
0.5
0.5
0.25
5 1.5
a) fx= 2xe−y⇒f(x, y) = x2e−y+g(y)hoặc chứng minh bằng uy=vx=−2xe−y
fy= 2y−x2e−y⇒f(x, y) = x2e−y+y2+C
0.5
0.25
b) C từ điểm A(1;0) đến B(0,2)
I=f(B)−f(A) = 3
0.25
0.5
6 1.5
a) Div(F) = −2+2z, curl(F) = ⟨0,0,0⟩0.5
b)Phương trình mặt (S) : z=xey⇒zx=x
√x2+y2, zy=y
√x2+y2
Thông lượng =RR
D⟨−x, −y, z2⟩·⟨zx, zy,−1⟩dA =−RR
D
(px2+y2+x2+y2)dA
=−R2π
0R2
0(r+r2)rdr =−40π
3
0.25
0.5
0.25