Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN
Đ
Ề THI CUỐI KỲ HỌC KỲ
I
I
NĂM H
2024
-
2025
Môn: Toán 1
Mã môn học: MATH132401
Đề thi có 02 trang. Được sử dụng 1 tờ A4 chép tay.
Thời gian: 90 phút. Ngày thi 5/6/25
Câu 1 (1.0 điểm). Cho hàm số
tan
f x x
và
1
cos
g x x
.
Giải phương trình
1
f g x
.
Câu 2 (1.0 điểm). Cho hàm số
1
0
2
2 0
kx
ekhi x
f x x
khi x
.
Tìm giá trị của tham số thực
k
để hàm số
f x
liên tục tại
0
x
.
Câu 3 (1.0 điểm). Cho hàm số
2
3 1
f x x x

. Tính
2
(2)
lim
2
x
f x f
x
.
Câu 4 (1.5 điểm). Cho hàm ẩn
y y x
xác định bởi phương trình
2 2 ln
x y x y xy
(*).
Tính
'
y x
tại
1;
M e
và suy ra phương trình tiếp tuyến đường cong (*) tại M.
Câu 5 (1.5 điểm). Một đồng hồ cát hình hai chiếc nón, mỗi nón có bán kính
đáy là R = 7
cm
và chiều cao H = 20
cm
. Cát chảy từ nón trên xuống
nón dưới với tốc độ đều 10 3
/
cm s
.
Khi mực cát trong nón trên là h = 8
cm
thì h đang giảm độ với tốc độ
bao nhiêu?
(cho biết thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
2
1
3
V r h
).
Câu 6 (1.0 điểm). Tìm tất cả cực trị tương đối của hàm số
3 2
3 24 2
f x x x x
.
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 2/2
Câu 7 (1.5 điểm). Với yêu cầu chỉ được dùng 9
2
m
bìa carton để làm một chiếc hộp có đáy
là hình vuông và không có nắp, thì chiều cao chiếc hộp là bao nhiêu để thể tích chiếc
hộp là lớn nhất?
Câu 8 (1.5 điểm). Giải phương trình vi phân
ln 0
1
xdy x dx
y
với điều kiện
1 0
y
.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (Về kiến thức) Nội dung
kiểm tra
CLO1
Hiểu các khái niệm về hàm số, hàm ngược, hàm siêu việt, giới
hạn, hàm liên tục, đạo hàm và tích phân. Câu 1 8
CLO2
Tính được các giới hạn, đạo hàm, vi phân của một số hàm số;
các tích phân cơ bản; vẽ được đồ thị các hàm số. Câu 1 8
CLO3
Áp dụng đạo hàm, định lý giá trị trung bình để mô hình hóa và
giải quyết các bài toán về tốc độ thay đổi và tối ưu trong đời
sống, vật lý và kỹ thuật.
Câu 5, 7
CLO5
Áp dụng tích phân để giải phương trình vi phân và các mô hình
bài toán có liên quan. Câu 8
Ngày 26 tháng 05 năm 2025
Trưởng bộ môn
Phạm Văn Hiển
ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN 1 CUỐI KỲ II – NĂM HỌC 2024-2025
CA THI: 9h45 – Ngày 05/06/2025
Câu
Nội dung
Điểm
1 (1đ)
( )
( ) ( )
( )
12
1
1
sin cos 1
tan cos cos cos
xx
f g x x x
x
−
−
−
−
= = =

.
( )
22
1
1 1 1 ,0 1
x
f g x x x x
x
−
= = − =

2
2
x=
0,5
0,25
0,25
2 (1đ)
( )
( )
'
0 0 0
02
1
lim lim lim
2 2 2
kx kx
L
x x x
f
e ke k
fx x
→ → →
=
−
= = =
( )
fx
liên tục tại
( ) ( )
0
0 lim 0 2 4
2
x
k
x f x f k
→
= = = =
.
0,5
0,5
3 (1đ)
( )
2 11f=
( ) ( )
2
22
2
23 1 11
lim lim 7
22
( 2)( 5)
lim 7
2
xx
x
f x f xx
xx
xx
x
→→
→
−+ + −
==
−−
−+
==
−
0,25
0,25
0,5
4 (1,5đ)
Đạo hàm 2 vế :
2'
2 ' 2 ' +
+ + − = y xy
xy x y x y xy
( ) ( ) ( )
2
1
22
' ' 1 2 1
1
1
xy x x
y x y e e
xy
− − +
= = +
−−
PTTT:
( )( )
2 1 1y e e x e= + − +
0,5
0,5
0,5
5 (1,5đ)
Gọi
,rh
lần lượt là bán kính và chiều cao mực cát.
Gọi
V
là thể tích đồng hồ cát.
Ta có:
77
20 20
rrh
h= =
.
Thể tích cát còn lại :
23
1 49
3 1200
V r h h

==
.
( ) ( )
2
49
''
400
V t h h t
=
.
Với
( )
' 10, 8V t h= − =
( )
10
'7,84
ht
= −
/cm s
.
0,5
0,5
0,5
6 (1đ)
( )
22
' 0 3 6 24 0 4
x
f x x x x
=−
= − − = =
( )
'' 6 6f x x=−
( )
" 2 18 0f− = −
( )
fx
đạt cực đại tại
( )
2, 2 30xf= − − =
.
( )
" 4 18 0f=
( )
fx
đạt cực tiểu tại
( )
4, 4 78xf= = −
.
0,25
0,25
0,25
0,25
7 (1,5đ)
Gọi
,,x h V
lần lượt là cạnh đáy, chiều cao và thể tích cái hộp.
Diện tích xung quanh hộp không nắp:
2
29
49 4
−
+ = = x
x xh h x
.
Thể tích hộp:
23
91
44
V x h x x= = −
2
93
' 0 0 3
44
V x x= − = =
x
0
3
'V
+ 0 -
V
lớn nhất tại
3x=
0,5
0,5
0,5
8(1,5đ)
Tách biến:
1 ln
1
x
dy dx
yx
=
+
Tích phân 2 vế :
1 ln
1
x
dy dx
yx
=
+

Đặt
1
1
ln
u y du dy
t x dt dx
x
= + =
= =
1du tdt
u
=

( )
2
12
2
ln 2
1
ln 1 ln
2
t
u C C
y x C
+ = +
+ = +
1, 0 0x y C= = =
Vậy
( )
2
1
ln 1 ln
2
yx+=
0,25
0,25
0,5
0,5