Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 24-25
Môn: Toán 2
Mã môn học: MATH132501
Đề thi có 02 trang. Được phép sử dụng tài liệu.
Thời gian: 90 phút. Ngày thi 23/05/2025 (a)
Câu I (2.0 điểm). Trong hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦, gọi 𝐷 là miền phẳng giới hạn bởi đường thẳng
𝑦 = 𝑘𝑥 (𝑘 < 0) và parabol 𝑦 = 𝑥.
1. Hãy tìm tham số 𝑘 để diện tích của miền 𝐷 bằng 36.
2. Với k = - 1, hãy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho miền 𝐷 quay quanh Oy.
Câu II (1.0 điểm). Trong hệ tọa độ cực, hãy tính diện tích phần miền phẳng
được tô đậm trong hình bên, đây là miền giới hạn bởi đường tròn
𝑟 = 1 và các đường cardioid 𝑟 = 2−2cos𝜃, 𝑟 = 2+2cos𝜃.
Câu III (2.5 điểm).
1. Cho hàm số
𝑓(𝑥)=𝑥+4
𝑥−𝑥+4𝑥−4.
Biết rằng 𝑓(𝑥)=
+
, hãy tìm 𝑎,𝑏 rồi tính tích phân
𝐼 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
.
2. Giải phương trình vi phân
(𝑥+1)𝑑𝑦
𝑑𝑥 +2𝑥(𝑦 −1) = 0,
với điều kiện 𝑦(0)= 4.
Câu IV (3.5 điểm).
1. Tính giá trị của chuỗi hình học sau:
3+2
3.
2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
(𝑥−2)
(𝑘+3)⋅5
.
3. Cho biết khai triển chuỗi Maclaurin của hàm số sin𝑥 là
sin(𝑥)= (−1)
(2𝑘+1)!𝑥, ∀𝑥
.
Hãy tìm khai triển Maclaurin hàm số 𝑔(𝑥) = sin(𝑥) và tính xấp xỉ 𝑔(0.9) bởi ba số hạng
khác không đầu tiên trong khai triển này. Hãy so sánh giá trị vừa tính được với giá trị đúng
(sử dụng máy tính bỏ túi, lấy đến 5 chữ số ở phần thập phân).
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 2/2
Câu V (1.0 điểm). Trong không gian ℝ cho các vectơ 𝐮 = 5𝐢+4𝐣−3𝐤,𝐯 = 2𝐢+𝑚𝐣+
2𝐤,với 𝑚 là tham số. Hãy tìm m để véctơ hình chiếu của 𝐯 lên 𝐮 (tức là proj𝐮𝐯) có độ dài
bằng 2√2.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung
kiểm tra
CLO1
Thiết lập được công thức, tính được diện tích miền phẳng, diện
tích mặt tròn xoay, thể tích vật thể, độ dài cung và giải được các
bài toán áp dụng tích phân trong vật lý.
Câu I, II
CLO2
Tính được tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy
rộng, và khảo sát được sự hội tụ của tích phân suy rộng.
Câu I, II
Câu III-1
CLO3
Giải được nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và
áp d
ụng v
ào các bài toán trong v
ật lý, kỹ
thu
ật, đời sống.
Câu III-2
CLO4
Khảo sát được sự hội tụ của chuỗi số, tính tổng chuỗi số. Câu IV-
1,2
CLO5
Tìm được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, và tìm được khai triển
Taylor/Maclaurin của một hàm số. Câu IV-3
CLO6
Tính được tích vô hướng và tích có hướng của 2 vectơ trong
3
,
viết được phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng
trong không gian.
Câu V
Ngày 13 tháng 5 năm 2025
Trưởng bộ môn
TS. Phạm Văn Hiển
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
ĐÁP SỐ ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2024-2025
Câu Nội dung Điểm
I-1
(1.0)
𝐴
=
(
𝑘𝑥
−
𝑥
)
𝑑𝑥
𝟎
𝒌
=
−
=
36
⟺
𝑘
=
−
6
.
0,5
0,5
I-2
(1.0)
𝑽
=
𝟐𝝅
(
−
𝒙
)
(
−
𝒙
−
𝒙
𝟐
)
𝒅𝒙
𝟎
𝟏
=
𝟐𝝅
𝒙
𝟑
𝟑
+
𝒙
𝟒
𝟒
𝟏
𝟎
=
𝟏
𝟔
𝝅
0,5
0,5
II
(1.0)
𝐴
=
4
×
1
2
×
(
1
−
(
2
−
2
cos
𝜃
)
)
𝑑𝜃
𝟎
=2×(8cos𝜃−4cos𝜃−3)𝑑𝜃
𝟎
=
2
×
(
−
5
𝜃
+
8
sin
𝜃
−
sin
(
2
𝜃
)
)
|
0,5
0,5
III-1
(1.5)
𝑓
(
𝑥
)
=
1
𝑥
−
1
−
𝑥
𝑥
+
4
,
𝑓(𝑥)𝑑𝑥=ln𝑥−1
√𝑥+4+𝐶,
∫
𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥
=
lim
→
ln
√
−
𝑙𝑛
√
=
ln
2
.
0,5
0,5
0,5
III-2
(1.0)
Thừa số tích phân
𝐼
(
𝑥
)
=
𝑒
∫
=
𝑒
(
)
=
𝑥
+
1
.
Nghiệm tổng quát 𝑦=(𝑥+1)[𝑥+𝐶].
y(0) = 4 suy ra C = 4
0,25
0,5
0,25
IV-1
(1.0)
Ta có S=
∑
+
=1/3
1−1/3+4/9
1−2/3=1
2+4
3
0,5
0,5
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 2/2
VI-2
(1.5)
Đặt
𝐴
=
(
)
(
𝑥
−
2
)
,
∀
𝑘
≥
1
𝐿= lim
→
𝐴
𝐴=
|
𝑥
−
2
|
5
Chuỗi lũy thừa hội tụ nếu 𝐿<1⇔−3<𝑥<7 (hoặc trình bày bán
kính hội tụ R=5)
Tại 𝑥=−3: chuỗi số ∑()
∞
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz
Tại 𝑥=7: chuỗi số ∑
∞
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn
Vậy miền hội tụ là [-3;7)
0,5
0,5
0,25
0.25
IV.3
1.0đ
sin
(
𝑥
)
=
(
−
1
)
(
𝑥
)
(
2
𝑘
+
1
)
!
=
(
−
1
)
𝑥
(
2
𝑘
+
1
)
!
hay ở dạng khai triển sin(𝑥)=𝑥−
+
−⋯
Vậy với ba số hạng khác không đầu tiên,
sin
(
0
.
9
)
≈
0
.
9
−
0.9
6
+
0.9
120
≈
0
.
72433
.
0.5
0.5
V
(1.0)
pr
oj
𝐮
𝐯
=
𝐯
⋅
𝐮
𝐮
⋅
𝐮
𝐮
=
4
𝑚
+
4
50
𝐮
=
2
𝑚
+
2
25
𝐮
.
Vậy, ‖proj𝐮𝐯‖=2√2⟺
25 ‖𝐮‖=2√2.
Do ‖𝐮‖=√50=5√2 nên ta cần có |𝑚+1|=5 hay 𝑚=4 hoặc
𝑚
=
−
6
.
0,5
0,5
