Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN
Đ
Ề THI CUỐI KỲ HỌC KỲ
I
I
NĂM H
ỌC
2
4
-
2
5
Môn: Toán 2
Mã môn học: MATH132501
Đề thi có 02 trang. Được phép sử dụng tài liệu.
Thời gian: 90 phút. Ngày thi 23/05/2025 (b)
Câu 1 (2 điểm) Trong hệ Oxy, cho miền D giới hạn bởi parabol 𝑥 = 𝑦
, đường thẳng ngang
𝑦 = −1 và trục 𝑂𝑦.
a) Vẽ phác họa miền D
b) Tính diện tích của miền D.
c) Tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay miền D quanh trục 𝑂𝑥 .
Câu 2 (1 điểm) Trong hệ cực, tính diện tích miền nằm ngoài đường cong
𝑟 = 3/2 và nằm trong đường cong 𝑟 = 1+sin𝜃 (xem hình, câu
này sinh viên được bấm máy tính gần đúng tích phân)
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân suy rộng loại 2 sau:
3
𝑥
−5𝑥 +6𝑑𝑥
.
Câu 4 (2 điểm) Một thùng có thể tích 65 lít ban đầu chứa 40 g muối được hoà tan vào 50 lít nước.
Giả sử rằng mỗi phút có 3 lít nước muối, mỗi lít chứa 10g muối hòa tan, chảy vào trong thùng và
hỗn hợp này (đã được khuấy đều) chảy ra ngoài thùng với tốc độ 2 lít/phút. Gọi y(t) (g) là lượng
muối trong thùng tại thời điểm t (phút) bất kỳ. Khi đó ta có phương trình vi phân
2 ( )
30 , t [0;15]
50
dy y t
dt t
.
a) Tìm y(0) và y(t)
b) Tính lượng muối trong thùng ở thời điểm thùng đầy.
Câu 5 (3 điểm)
a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
1
2
3 5 1
k
k
k k
b) Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
4
.7
k
k
k
x
k
c) Tìm khai triển Maclaurin cho hàm số 𝑓(𝑥)= 𝑥
𝑒
.
Câu 6 (1 điểm). Cho 𝑢
=〈2,1,−1〉, 𝑣 = 〈𝑚,0,1〉, 𝑤
=〈0,1,1〉. Với giá trị nào của 𝑚 thì hình hộp
tạo thành từ 3 véc tơ trên có thể tích bằng 8.
--------------------
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 2/2
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung
kiểm tra
CLO1
Thiết lập được công thức, tính được diện tích miền phẳng, diện
tích mặt tròn xoay, thể tích vật thể, độ dài cung và giải được các
bài toán áp dụng tích phân trong vật lý.
Câu 1, 2
CLO2
Tính được tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy
rộng, và khảo sát được sự hội tụ của tích phân suy rộng. Câu 3
CLO3
Giải được nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và
áp dụng vào các bài toán trong vật lý, kỹ thuật, đời sống. Câu 4
CLO4
Khảo sát được sự hội tụ của chuỗi số, tính tổng chuỗi số. Câu 5
CLO5
Tìm được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, và tìm được khai triển
Taylor/Maclaurin của một hàm số. Câu 5
CLO6
Tính được tích vô hướng và tích có hướng của 2 vectơ trong
3
,
viết được phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng
trong không gian.
Câu 6
Ngày … tháng … năm …
Trưởng bộ môn
Phạm Văn Hiển
ĐÁP ÁN TOÁN 2 - ngày thi: 23/5/2025
Câu Nội dung Điểm
1a,b
(1.5đ )
Diện tích miền phẳng cần tìm:
∫
(
−
√
𝑥
+
1
)
𝑑𝑥
=
1
/
3
(
đ
𝑣𝑑𝑡
)
Hoặc ∫(𝑦)
𝑑𝑦
Hình +
Tích
phân
+ ng.hàm
và kq
(0.5x3)
1c
(0.5đ)
Thể tích
𝑉
=
𝜋
(
1
)
−
√
𝑥
𝑑𝑥
=
𝜋
𝑥
−
𝑥
2
1
0
=
𝜋
2
0,25
0.25
2
(1.0 đ)
Giao đi
ể
m 2 đư
ờ
ng cong:
3 1 5
1 sin sin ; let ,
2 2 6 6
Diện tích miền cần tìm
5 5
2
6 6
2
6 6
1 1 3
1 sin
2 2 2
A d d
=
(
9
√
3
−
2
𝜋
)
=1.163…
0.25
0.5
0.25
3
(1.0đ)
3
𝑥
−
5
𝑥
+
6
𝑑𝑥
=
lim
→
3
(
𝑥
−
3
)
(
𝑥
−
2
)
𝑑𝑥
=
lim
→
3
(
ln
|
𝑥
−
3
|
−
ln
|
𝑥
−
2
|
)
|
=
3
lim
→
(
ln
|
𝑡
−
3
|
−
ln
|
𝑡
−
2
|
−
ln
2
+
ln
1
)
=
+
∞
0.5
0.5
4
(2.0đ)
𝑦
(
0
)
=
40
,
𝐼
(
𝑡
)
=
(
50+1
)
𝑦(𝑡)=10(50+𝑡)+
() với C = 1’150’000
Khi bể đầy, t=15 nên lượng muối trong thùng là y(15)=377.51…
0.5
0.25
0.75
0.5
5-a
(1.0đ) 1
2
2 2
lim . lim 3
3 5 1
p p
k k
k
L k k
k k
L khác 0, khác vô hạn khi p=1
Chuỗi phân kỳ
0.5
0.25
0.25
5-b
(1.đ)
R=
𝑙𝑖𝑚
→
=
𝑙𝑖𝑚
→
(
)
𝑅
=
7
0.5
0.5
5-c
(1đ)
𝑥
𝑒
=
𝑒
𝑥
𝑥
=
∑
𝑒
!
.
(trình bày khai triển của e^x được 0.5)
0.25
0.75
IV
(1đ)
𝑣
×
𝑤
=
(
−
1
;
−
𝑚
;
𝑚
)
𝑢
∙
(
𝑣
×
𝑤
)
=
−
2
−
2
𝑚
𝑉
=
|
−
2
−
2
𝑚
|
=
8
⟺
𝑚
=
−
5
ℎ
𝑜
ặ
𝑐
𝑚
=
3
.
0.5
0.25
0.25
Hết
