Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 1 | 3
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN
-----------------------
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2024 – 2025
Môn: Toán 2
Mã môn học: MATH132501
Thời gian: 90 phút Ngày thi: 02/6/2025
Đề thi có 02 trang
Sinh viên được sử dụng 01 tờ tài liệu A4 viết tay
Câu 1 (3,0 điểm).
a. Trong hệ Oxy, tính diện tích của miền (H) nằm giữa các đường cong
2
4y x ,3y x và các đường thẳng 0x, 2x như Hình 1.
b. Tính thể tích chiếc ly như Hình 2 (trong hình: ly đang nằm ngang, đường
cong thể hiện mặt xung quanh ly có phương trình 𝑦 = √𝑥 + 1 và chiều cao
của ly là 3).
c. Trong hệ tọa độ cực, đường cong
2cos 2
3
r
có hình 4 cánh hoa
cùng chung điểm gốc tọa độ (Hình 3). Giải phương trình cos(2𝜑)= 0 và
từ đó tính diện tích một cánh hoa.
Câu 2 (2,5 điểm).
a. Tính tích phân suy rộng 2
04
x
xdx
e
Ie
b. Số lượng vi khuẩn trong một mẫu cấy được giả định tăng trưởng theo mô hình tăng trưởng
theo luật mũ (tăng trưởng không bị chặn) và được mô tả bởi phương trình vi phân
dN kN
dt , trong đó
N N t là số lượng vi khuẩn tại thời điểm t (tính bằng giờ), và k
là hằng số tăng trưởng. Thí nghiệm cho biết rằng thời điểm ban đầu
0t có 800 vi
khuẩn, và sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn tăng lên thành 2000. Hãy giải phương trình vi phân
để tìm biểu thức
N t , từ đó dự đoán số lượng vi khuẩn sau 5 giờ (tính từ thời điểm ban
đầu).
Hình 1
Hình
2
Hình
3
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 2 | 3
Câu 3 (3,0 điểm).
a. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
2
3
1
1
2 5
nn
n
Sn
và
2 3 4
3 3 3
3 ...
2! 3! 4!
Q
b. Cho biết
0
1
, 1,1
1
k
k
u u
u
.
Tìm chuỗi Maclaurin của
2
2
1
g x
x
và từ đó xác định hệ số của số hạng chứa
6
x
.
Câu 4 (1,5 điểm). Trong không gian
3
, cho các điểm
1,0,2 , 2,1,1 , , 1,3 .
A B C p
Tìm giá trị của tham số
p
để tam giác
ABC
vuông tại
A
. Tính diện tích tam giác
ABC
với giá trị
p
tìm được.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung
kiểm tra
CLO1
Thiết lập được công thức, tính được diện tích miền phẳng, diện
tích mặt tròn xoay, thể tích vật thể, độ dài cung và giải được các
bài toán áp dụng tích phân trong vật lý.
Câu 1
CLO2
Tính được tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy
rộng, và khảo sát được sự hội tụ của tích phân suy rộng. Câu 1, 2
CLO3
Giải được nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và
áp dụng vào các bài toán trong vật lý, kỹ thuật, đời sống. Câu 2
CLO4
Khảo sát được sự hội tụ của chuỗi số, tính tổng chuỗi số. Câu 3
CLO5
Tìm được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, và tìm được khai triển
Taylor/Maclaurin của một hàm số. Câu 3
CLO6
Tính được tích vô hướng và tích có hướng của 2 vectơ trong
3
,
viết được phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng
trong không gian.
Câu 4
Ngày 23 tháng 5 năm 2025
Trưởng bộ môn
Phạm Văn Hiển
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 3 | 3
ĐÁP ÁN TOÁN 2 CLC - ngày thi: 02/6/2025
Câu
Nội dung Điểm
1a Giao điểm:
2
4 3 1
x x x
Diện tích miền phẳng (H) cần tìm
1 2
2 2
0 1
4 3 3 4
x x dx x x dx
2
1
3 3/2 3/2 3
0
1
1 1
4 2 2 4
3 3
x x x x x x
= 5 11
4 2 4 2 2
3 3
0,5
0,25
0,25
1b Thể tích chiếc ly là
32
0
1
V x dx
3
2
0
1
2
x x
V
15
2
(đvtt)
0,5
0,25
0,25
1c
cos 2 0 ,
4 2
kk.
Chọn ,
4 4
Diện tích một cánh hoa:
2
4
4
1 2 cos 2
2 3
A d
4
4
1 1 sin 4
9 4 18
A (đvdt)
0,25
0,5
0,25
2a
2
0
lim
4
tx
x
t
e dx
Ie
Đặt
x
u e
thì x
du e dx
, 2
1
lim
4
t
t
e
du
Iu
1
1
1
lim tan
2 2
t
e
t
u
I
1 1 1
1 1 1 1 1
lim tan tan tan
2 2 2 2 4 2 2
t
t
e
I
0.25
0.5
0,25
0,25
2b Số lượng vi khuẩn sau t giờ:
0 800
kt kt
N t N e e
Ta có:
3
ln 2,5
3 800
3
k
N e k
Số lượng vi khuẩn sau t giờ:
ln2,5
3
800
t
N t e
Số lượng vi khuẩn sau 5 giờ:
ln2,5 5
3
5 800 3684
N e
0,25+0.25
0,25
0,25
0,25
3a 2
3
1
0, 1
2 5
n
n
a n
n n
, chọn 2
1
0, 1
n
b n
n
2 2
3
1
lim lim 1
2 5 1
n
n n
n
an n
b n n
1
n
n
b
là p-chuỗi hội tụ (
2 1
p
)
Vậy chuỗi
1
n
n
a
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn
0,25
0,25
0,25
0,25
3b
1
3
!
k
k
Q
k
;
1
3 3
lim :
( 1)! !
k k
k
L
k k
3
lim 0
1
k
k
L<1 nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tỷ số.
0,25+0,25
0,25
0,25
3c
2
22
2 1 1
2 2 ,
1 1
1
g x u x
x u
x
2
0 0
2 12k
k k
k k
g x u x
2 4 6 8
2 1g x x x x x
Hệ số của số hạng chứa
6
x
là -2
0,5
0,25
0,25
4
1,1, 1 , 1, 1,1
AB AC p
Tam giác ABC vuông tại A khi
. 0
AB AC
1 1 1 0 3
p p
3: 0, 3, 3
p AB AC
Diện tích tam giác ABC 1
2
A AB AC
3 2
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
