Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 1/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2024-2025
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH MÔN: TOÁN 3
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH132601
BỘ MÔN TOÁN Đề thi có 2 trang. Ngày thi: 22/5/2025 (CLC)
……………… Thời gian: 90 phút
Được phép sử dụng 1 tờ giấy A4 viết tay
Câu 1 (1,5 điểm)
Vị trí của một vật di chuyển trong không gian được cho bởi hàm vector:
2
( ) ( ) cos(1 ) ( 1)
t t t t t
R i j k
.
Tìm vận tốc, tốc độ và gia tốc của vật tại thời điểm
1
t
. Tìm độ cong của đồ thị hàm
( )
t
R
tại t = 1.
Câu 2 (2,5 điểm).
a. Tìm cực trị tương đối của hàm số 2 3
z x xy y y
.
b. Cho hàm ẩn
( , )
z z x y
xác định từ phương trình 2
3 1 0
yz
x z xy e
.
Tính
,
z z
x y
tại M(0;1), cho biết
0
z M
.
Câu 3 (2,5 điểm).
a. Cho
D
là hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2
1
y x
và đường thẳng
3
y x
. Tính
tích phân ( 2 )
D
I x y dxdy
theo hai thứ tự lấy tích phân khác nhau trong Oxy.
b. Tính tích phân
2 2
V
K x y dxdydz
 trong đó V là vật thể được giới hạn bởi mặt
phẳng
1
z
và paraboloid
2 2
z x y
.
Câu 4 (3,5 điểm).
a. Tính tích phân đường
2 2
sin 2 1
L
x x y dx y x y dy
, trong đó L là biên của nửa
hình tròn 2 2
9; y 0
x y
đi theo chiều ngược kim đồng hồ.
b. Tìm tham số m để trường vectơ
3 3 3
( , ,z) ( 2 ) z
x y x my y x
F i j k
là trường thế. Khi đó tìm một hàm thế, độ phân kỳ và vector xoáy của
F
.
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 2/2
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
CLO1: Tính được giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm vectơ và
của hàm nhiều biến.
Câu 1, 2, 3, 4
CLO2: Sử dụng giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm vectơ và
của hàm nhiều biến để giải quyết các bài toán ứng dụng.
Câu 1, 4
CLO3: Tính được các đại lượng đặc trưng của hàm véc tơ. Câu 1
CLO4: Vận dụng ý nghĩa và mối quan hệ của các đại lượng đặc
trưng của trường vectơ để giải quyết các bài toán ứng dụng.
Câu 4
TP.HCM, ngày 12 tháng 5 năm 2025
Thông qua bộ môn
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 3/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2023-2024
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH MÔN : TOÁN 3
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học : MATH132601
BỘ MÔN TOÁN Đề thi có 2 trang. Ngày thi:24/10/2023
………………………. Thời gian : 90 phút
Được phép sử dụng tài liệu giấy
Câu 1 (2,0 điểm).
Vị trí của một vật di chuyển trong không gian được cho bởi
2
( ) ( 1) sin(1 ) 3
R t t i t j tk
. Tìm vận tốc của vật, tốc độ, gia tốc và hướng của
chuyển động của vật tại thời điểm
1
t
.
Câu 2 (2,5 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 2
2 4 1
z x x y y
.
Câu 3 (2,5 điểm).
c. Tìm cận của tích phân (2 )
D
I x y dxdy
,
D
là hình phẳng được giới hạn bởi các
đường: 2
, 4x+3y-20=0
y x và
0
y
. Sau đó đổi thứ tự lấy tích phân và tính giá trị của
I
.
d. Tính tích phân
2 2
V
K x y dxdydz
 , V là vật thể được giới hạn các mặt
2
z
và
2 2
z x y
.
Câu 4 (3,0 điểm).
c. Tính tích phân đường
3 3 2 1
x
L
e y dx x y dy
, trong đó L là đường cong kín gồm
nửa trên đường tròn
2
1
y x
đi từ điểm
1;0
A đến điểm
1;0
B
và đường thẳng
0
y
đi từ điểm
1;0
B
đến điểm
1;0
A.
d. Tính thông lượng của trường vectơ
3 3 3
( , ,z) ( 2 ) z
F x y x y i y z j k
qua phía
ngoài mặt cầu 2 2 2
4
x y z
. Tìm độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ
( , , z)
F x y
Hết
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 4/2
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
Nội dung kiểm tra
Tính được đạo hàm, tích phân của hàm vectơ; và của hàm
nhiều biến.
Câu 1,2,3,4
Hiểu và xử lý được các bài toán trong kĩ thuật liên quan đến
đạo hàm, tích phân của hàm vector, hàm nhiều biến
Câu
1,
3
Vận dụng ý nghĩa và mối quan hệ của các đại lượng đặc trưng
của trường vector để giải quyết một số bài toán ứng dụng
Câu 4
TP.HCM, ngày 27 tháng 3 năm 2024
Thông qua bộ môn
ĐÁP ÁN Toán 3, HK 2 (24-25)
Câu Nội dung Điểm
1 1.5
V(t) = (2t+ 1)i+ sin(1 −t)j+k⇒V(1) = 3i+k
Tốc độ ∥V(1)∥=√10, gia tốc A(1) = 2i−j
V(1) ×A(1) = i+ 2j−3k. Độ cong κ=∥V(1) ×A(1)
∥V(1)∥3=√14
10√10.
0.5
0.5
0.5
2 2.5
a)
fx= 2x−2y fy=−2x+ 3y2−1
Điểm dừng A(1; 1), B(−1/3; −1/3)
fxx = 2; fyy = 6y;fxy =−2. Đạt cực tiểu ở A. Không có cực trị tại B.
0.5
0.5
0.5
b) Fx= 2xz −3y, Fy=−3x−zeyz
Fz=x2−yeyz suy ra zx=−Fx/Fz=−3, zy=−Fy/Fz= 0
0.5
0.5
3 2.5
a)
D:−2≤x≤1; x2+ 1 ≤y≤3−x
D: 2 ≤y≤5; √y−1≤x≤3−y
I=R1
−2hxy −y2i3−x
x2+1 =R1
−2(x4−x3+ 8x−8)dx = 108/5
0.5
0.5
0.5
b) Theo tọa độ trụ V: 0 ≤θ≤2π, 0≤r≤1, r2≤z≤1
I=R2π
0dθ R1
0r2(1 −r2)dr = 4π/15
0.5
0.5
4 3.5
a)
Green: I=RRD(x2+y2)dA, D là nửa hình tròn trên, bán kính 3, tâm O
Tọa độ cực I=Rπ
0R3
0r3drdθ
I=π.81
4
0.5
0.75
0.5
b)
Vector xoáy rotF=−(m+ 2)ksuy ra m=−2
Hàm thế f(x, y, z) = x4
4−2xy +y4
4+z4
4
Độ phân kỳ divF= 3(x2+y2+z2), rot(F) = 0
0.5
0.75
0.5