TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 24 - 25
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: TOÁN KỸ SƯ 1
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH133101
BỘ MÔN TOÁN Đề thi có 2 trang. Thời gian 90 phút.
***** Được phép sử dụng tài liệu gồm 1 tờ A4 viết tay.
Câu 1 (2.0 điểm).Cho các ma trận
A=
m m 2
1 3 4
4 2 −1
,D=
2 3
t2
5 2t
,
trong đó m,tlà các hằng số thực.
a. Xác định mđể ma trận Akhả nghịch.
b. Thực hiện phép tính AD.
c. Tìm mđể hệ phương trình AX = [0]có vô số nghiệm
Câu 2 (3.0 điểm).Giải các phương trình vi phân sau
a. y′′(x) + 2y′(x)−3y=sin(x).(yêu cầu dùng phương pháp hệ số bất định)
b. (x2+y2)dx = (ey−2xy)dy
Câu 3 (2.0 điểm).Cho biết biến đổi Laplace L{t f (t)}=−d
ds (L{f(t)})(nếu tồn tại).
Áp dụng phép biến đổi Lapalace giải bài toán sau:
td2y
dt2−tdy
dt +y=2,y(0) = 2,y′(0) = −4
theo các bước:
1. Chứng minh rằng, sau khi lấy Laplace hai vế phương trình vi phân, ta có
Y′(s) + 2
sY(s) = 2
s2
trong đó Y(s) = L{y(t)}
2. Giải phương trình ở bước trên
3. Lấy Laplace ngược
Câu 4 (2.0 điểm).Một bể có thể tích 1500 lít ban đầu chứa 600 lít nước với 5 kg muối hòa tan
trong đó. Cho chảy vào bể dung dịch nước muối với tốc độ 6 (lít/giờ). Đồng thời, dung dịch trong
bể được trộn đều và cho chảy ra khỏi bể với tốc độ 3 lít/giờ. Ở thời điểm sau tgiờ từ lúc cho dung
dịch chảy vào, gọi y(t)(kg) là lượng muối trong bể và f(t)(kg/lít) là nồng độ muối của dung dịch
chảy vào. Khi đó y(t)thỏa mãn phương trình vi phân tuyến tính sau:
y′(t) = 6f(t)−3y(t)
600 +3t.
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 1/2
Cho biết f(t) = 1
t+1. Sinh viên hãy:
1. giải phương trình tìm y(t).
2. tính nồng độ muối trong bể sau 1 giờ từ lúc dung dịch chảy vào.
3. tính lượng muối trong bể ở thời điểm bề đầy.
Câu 5 (1.0 điểm).Cho bài toán giá trị ban đầu
y′=x2y−ln(y),y(0) = 4.
Tính gần đúng giá trị của nghiệm y(0.5)với độ chính xác đến 4chữ số thập phân bằng phương
pháp Euler với bước chia h=0.1.
Anh/Chị hãy trình bày kết quả như sau:
Công thức vòng lặp y(xn+1)≈yn+1=...
Bảng giá trị của từng bước lặp
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (kiến thức) Nội dung
kiểm tra
[LO 1. 1]: Áp dụng được các tính chất cơ bản của ma trận và định
thức, giải được hệ phương trình tuyến tính Câu 1
[LO 1.2]: Giải được phương trình vi phân Câu 2, 4, 5
[LO 1.3, 2.3]: Áp dụng được phép biến đổi Laplace Câu 3
Ngày 4 tháng 5 năm 2025
Thông qua Trưởng bộ môn
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 2/2
ĐÁP ÁN TOÁN KS1 – HK2 – 24-25
Câu Nội dung Điểm
1
(2.0đ )
Định thức |A| = 6m – 20 nên A khả
nghịch khi và chỉ khi m ≠ 20/6
𝐴𝐷
=
𝑚
(
2
+
)
+
10
5
𝑚
+
4
𝑡
3
𝑡
+
22
8
𝑡
+
9
2
+
3
16
−
2
𝑡
Hệ thuần nhất vô số nghiệm khi |A|=0
hay m=20/6
0.75
0.75
0.5
2 - a
(1.5đ)
Nghiệm phương trình đặc trưng k = -3 và k = 1
Đặt nghiệm riêng KTN là y=Acos(x)+Bsin(x) suy ra A = -1/10; B = -2/10
Nghiệm TQ
𝑦
(
𝑥
)
=
𝐶
𝑒
+
𝐶
𝑒
+

(
)

(
)

0,5
0.5
0.5
2 - b
(1.5 đ)
𝑄
=
𝑃
=
2
𝑦
nên phương trình dạng vptp
𝐹(𝑥,𝑦)=𝑥
3+𝑥𝑦−𝑒
NTQ F(x,y)= C
0.5
0.75
0.25
3
(2.0đ)
1)
𝐿
(
𝑡
𝑦
󰆒
)
=
−
𝑠
𝑌
󰆒
(
𝑠
)
−
𝑌
𝑣
à
𝐿
(
𝑡
𝑦
󰆒󰆒
)
=
−
𝑠
𝑌
󰆒
(
𝑠
)
−
2
𝑠𝑌
+
2
Laplace hai vế suy ra
𝑠
(
1
−
𝑠
)
𝑌
󰆒
+
2
(
1
−
𝑠
)
𝑌
=
−
2
suy ra đpcm
2) Phương trình dạng tuyến tính cấp 1, I(t) = s2 nên có NTQ
𝑌(𝑠)=1
𝑠
2𝑑𝑠=2
𝑠
+𝐶
𝑠
3) Lấy Laplace ngược y(t) = 2 + Ct. Vì y’(0)=-4 nên C=-4
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
4
(2.0đ)
𝑦
(
0
)
=
5
,
𝐼
(
𝑡
)
=200+𝑡
𝑦(𝑡)(200+𝑡)=[6𝑡 + 1194ln (𝑡+ 1)] + 𝐶 với C =1000
Sau 1 giờ thì nồng độ muối là ()
 =0.0151… 󰇡
󰇢
Khi t = 40 thì bề đầy và lượng muối trong thùng là 23.64… kg
0.25
0.25
1.0
0.25
0.25
5
(1.0đ)
𝑦
=
4
,
𝑥
=
0
𝑦

=
𝑦
+
0
.
1
(
𝑥
𝑦
−
ln
(
𝑦
)
)
,
𝑥

=
𝑥
+
0
.
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
4
3.861371
3.73013
3.613406
3.517462
3.447967
0.5
0.5
Hết