SÔÛ GD & ÑT TRAØ VINH
TRÖÔØNG TRUNG HOÏC CHUYEÂN.
ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ KÌ THI HOÏC SINH GIOÛI
ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG
MOÂN : TOAÙN
Baøi 1 (ñaïi soá)
Cho 0 <
i
a
R thoûa :
7n3,Nn,
2
n
a
1
n
1i i
(1).
Chöùng minh raèng :
8
)19n(n
a
aa
1
a
1n
1i
i
1n
k
n
1ki ik
n
1i i
(2).
Baøi 2 (soá hoïc)
Cho 2005 soá c
i
Z
. Chöùng minh baát ñaúng thöùc :
4010
c
2006c
c
2005c
c
1)2006c(2
c
)2005c(2 2005
1i i
i
2005
1i i
i
2005
1i i
i
2005
1i i
i
(1).
Baøi 3 (giaûi tích)
Xeùt daõy soá (u
n
) ñònh bôûi :
Nn,)1(2u535u
au
n
uu
1n
1
nn
.
Tuyø theo a
;
2
1
xeùt tính hoäi tuï cuûa (u
n
) vaø tìm lim u
(neáu coù).
Baøi 4 (hình hoïc phaúng)
Cho tam giaùc ABC, coù ñoä daøi hai ñöôøng cao laø nhöõng soá töï nhieân vaø coù baùn
kính voøng troøn noäi tieáp baèng 1. Tính ñoä daøi caùc ñöôøng cao cuûa tam giaùc ñoù
Baøi 5 (hình hoïc khoâng gian)
Trong khoâng gian cho nöûa maët phaúng vaø maët phaúng coá ñònh caét nhau theo
giao tuyeán u; SA, SB laø 2 tia coá ñònh trong maët phaúng (A , B thuoäc u) sao cho soá
ño cuûa nhò dieän (S,AB, ) baèng 60
0
. (w) laø moät maët caàu taâm I luoân tieáp xuùc vôùi ,
veà phía khoâng chöùa ñieåm S (ñoái vôùi ). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm C trong sao cho
(w) ôû phía trong tam dieän SABC vaø tieáp xuùc vôùi maët (SAC) , (SBC). Bieát raèng
hình chieáu cuûa ñieåm K treân IP laø trung ñieåm cuûa noù .Trong ñoù K , P laø tieáp ñieåm
cuûa (w) vôùi caùc maët (SAC) vaø .
Baøi 5’(giaûi tích haøm)
Tìm caùc haøm f(x) lieân tuïc treân R vaø thoûa : f(x) + f
2006
x2005
2005
x2004
, xR.
Đáp án
Baøi 1 (ñaïi soá)
Cho 0 <
i
a
R thoûa :
7n3,Nn,
2
n
a
1
n
1i i
(1).
Ñieåm
Chöùng minh raèng :
8
)19n(n
a
aa
1
a
1n
1i
i
1n
k
n
1ki ik
n
1i i
(2).
Ñaùp aùn
Aùp duïng bñt Coâsi cho n soá ta coù :
2
1
a
1
0
a
n
a
1
2
n
n
n
1i
i
n
n
1i
i
n
1i i
.
0,5ñ
Ñaët t =
n
n
1i
i
a
1
(0 < t
2
1
).
Laïi theo baát ñaúng thöùc Coâsi cho n soá ta coù :
n
1i
n
n
1i
ii
n
n
1i
i
n
1i i
ana;
a
n
a
1
.
0,5ñ
Vaø theo baát ñaúng thöùc Coâsi cho
2
)1n(n
soá ta coù :
1n
k
n
1ki ik aa
1
2
)1n(n 1n
n
1i
i
a
1
2
)1n(n
2
nn
1i
i
a
1
2
)1n(n
. 0,5ñ
Vaäy ñeå chöùng minh (2) ta caàn chöùng minh :
8
19n
t
2
1n
t
1
t2
.
0,5ñ
Xeùt haøm f(t) =
t
1
t
2
1n
t2
, (0 < t
2
1
).
Ta coù f ’(t) = (n -1)t + 1 –
2
23
2t
1tt)1n(
t
1
0,5ñ
Ñeå xeùt daáu f’(t) , ta xeùt haøm g(t) =
1tt)1n( 23
, coù g’(t) =
t2t)1n(3 2
,
)
2
1
;0(t
.
0,5ñ
Ta coù g
7n3,01
4
1
8
1n
2
1
0,5ñ
Bbt
Vaäy f(t) f(
2
1
) =
8
19n
(ñpcm).
0,5ñ
t 0
2
1
g’(t) +
g(t)
f ’(t)
f(t)
Baøi 2 (soá hoïc)
Cho 2005 soá c
i
Z
. Chöùng minh baát ñaúng thöùc :
4010
c
2006c
c
2005c
c
1)2006c(2
c
)2005c(2 2005
1i i
i
2005
1i i
i
2005
1i i
i
2005
1i i
i
(1).
Ñaùp aùn
1) Tröôùc heát ta chöùng minh meänh ñeà sau:
Cho a, b, c Z vaø c > 0 thì
c
1ba
c
b
c
a
c
1b2
c
a2
(2).
0,5ñ
Chöùng minh :
Theo ñònh lyù cô baûn thì luoân toàn taïi (m,r) ; (n,s) Z
2
sao cho :
sncb
rmca
, trong ñoù 0 r, s < c.
0,5ñ
Ta xeùt hai tröôøng hôïp
˙Neáu s r 2s + 1 r + s + 1
c
1sr
c
1s2
c
1sr
c
1s2
(3).
0,5ñ
˙Neáu s < r 2r > r + s + 1
0
c
1sr
c
r2
c
1sr
c
r2
(4). 0,5ñ
Töø (3) vaø (4) ta coù
c
1sr
c
s
c
r
c
1s2
c
r2
. 0,5ñ
Khi ñoù Vt(1) =
c
1ba
c
b
c
a
c
1sr
nm
c
s
n
c
r
m
(meänh ñeà ñöôïc chöùng minh)
0,5ñ
2) Aùp duïng meänh ñeà (2) cho laàn löôït 2005 boä soá : a = c
i
+ 2005 , b = c
i
- 2006 vaø
c = c
i
, roài coäng veá theo veá cho ta ñieàu caàn chöùng minh .
1,0ñ
Baøi 3 (giaûi tích daõy)
Xeùt daõy soá (u
) ñònh bôûi :
Nn,)1(2u535u
au
n
uu
1n
1
nn
.
Tuyø theo a
;
2
1
xeùt tính hoäi tuï cuûa (u
n
) vaø tìm lim u
(neáu coù).
Ñaùp aùn
1) Tìm ñieåm baát ñoäng :
Xeùt phöông trình x =
2x535 xx
(2).
Ta thaáy x = 0 , x = 1 laø hai nghieäm cuûa (2) treân R .
0,5ñ
Maët khaùc xeùt haøm g(x) =
2x635 xx
.
Ta coù g’(x) =
63ln35ln5xx
03ln35ln5)x(''g 2x2x
, x R (3).
Vaäy x = 1 laø nghieäm duy nhaát cuûa (2) treân
;
2
1
.
0,5ñ
2) Xeùt tính ñôn ñieäu :
˙ Xeùt haøm : f(x) =
535)x('f2x535 xxxx
.
Ta coù thì f ’’(x) = g’’(x) > 0 xR neân f’(x) ñoàng bieán
vì vaäy f’(x) coù nghieäm duy nhaát x = b .
0,5ñ
˙ Maø ta coù
053ln35ln5
2
1
'f
f(
2
1
) > f(b)
2
1
> b.
0,5ñ
Ñaët f(
2
1
) = k , ta thaáy f(1) = 1