Đề thi học sinh giỏi Chuyên,Trà Vinh

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

204
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi học sinh giỏi chuyên,trà vinh', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi Chuyên,Trà Vinh

SÔÛ GD & ÑT TRAØ VINH TRÖÔØNG TRUNG HOÏC CHUYEÂN. ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ KÌ THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG BAÈNG SOÂNG CÖÛU LONG MOÂN : TOAÙN Baøi 1 (ñaïi soá) n 1 n Cho 0 < a i  R thoûa : a i 1  2 , n  N,3  n  7 (1). i n 1 n 1  n 1  n n (n  19) Chöùng minh raèng :  a    i1 a a  k  k    ai   (2). i 1 i k i  i 1 8 Baøi 2 (soá hoïc) Cho 2005 soá c i Z  . Chöùng minh baát ñaúng thöùc : 2005  2(c i  2005)  2005 2(c i  2006)  1 2005 c i  2005  2005 c i  2006   c i 1             4010 (1). i  i 1  ci  i 1  ci  i 1  ci  Baøi 3 (giaûi tích) u 1  a Xeùt daõy soá (u n ) ñònh bôûi :  . u n 1  5  3  5u n  2 (1) , n  N un un Tuyø theo a   ;  xeùt tính hoäi tuï cuûa (u n ) vaø tìm lim u n (neáu coù). 1   2  Baøi 4 (hình hoïc phaúng) Cho tam giaùc ABC, coù ñoä daøi hai ñöôøng cao laø nhöõng soá töï nhieân vaø coù baùn kính voøng troøn noäi tieáp baèng 1. Tính ñoä daøi caùc ñöôøng cao cuûa tam giaùc ñoù
Baøi 5 (hình hoïc khoâng gian) Trong khoâng gian cho nöûa maët phaúng  vaø maët phaúng  coá ñònh caét nhau theo giao tuyeán u; SA, SB laø 2 tia coá ñònh trong maët phaúng  (A , B thuoäc u) sao cho soá ño cuûa nhò dieän (S,AB, ) baèng 60 0 . (w) laø moät maët caàu taâm I luoân tieáp xuùc vôùi  ,  veà phía khoâng chöùa ñieåm S (ñoái vôùi ). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm C trong  sao cho (w) ôû phía trong tam dieän SABC vaø tieáp xuùc vôùi maët (SAC) , (SBC). Bieát raèng hình chieáu cuûa ñieåm K treân IP laø trung ñieåm cuûa noù .Trong ñoù K , P laø tieáp ñieåm cuûa (w) vôùi caùc maët (SAC) vaø  . Baøi 5’(giaûi tích haøm) Tìm caùc haøm f(x) lieân tuïc treân R vaø thoûa : f(x) + f  2004x  2005x   , xR.  2005  2006 Đáp án Baøi 1 (ñaïi soá) n 1 n Cho 0 < a i  R thoûa : a i 1  2 , n  N,3  n  7 (1). i Ñieåm n 1 n 1  n 1  n n (n  19) Chöùng minh raèng :  a    i1 a a  k  k    ai   (2). i 1 i k i  i 1 8 Ñaùp aùn n n 1 n 1 1 Aùp duïng bñt Coâsi cho n soá ta coù :   0  . 2 i 1 a i n n 2 n ai i 1 n a i 1 i 0,5ñ 1 1 Ñaët t = (0 < t  ). n 2 n a i 1 i
n n n 1 n Laïi theo baát ñaúng thöùc Coâsi cho n soá ta coù : a  n ;  a i  nn a i . a i 1 i i 1 i 1 n i i 1 0,5ñ n (n  1) Vaø theo baát ñaúng thöùc Coâsi cho soá ta coù : 2 2      n 1 n 1  n (n  1) 1 n (n  1)  1    i1 a a    n ( n 1) n 1  2 n n  . 0,5ñ k  k   2  n  k i 2  ai      ai    i 1   i 1  1 n  1 2 n  19 Vaäy ñeå chöùng minh (2) ta caàn chöùng minh : t   t  . t 2 8 0,5ñ n 1 2 1 1 Xeùt haøm f(t) = t  t  , (0 < t  ). 2 t 2 1 (n  1) t 3  t 2  1 Ta coù f ’(t) = (n -1)t + 1 –  t2 t2 0,5ñ Ñeå xeùt daáu f’(t) , ta xeùt haøm g(t) = (n  1)t 3  t 2  1 , coù g’(t) = 3(n  1)t 2  2t , 1 t  (0; ) . 2 0,5ñ n 1 1 Ta coù g    1     1  0 , 3  n  7 2 8 4 0,5ñ Bbt t 0 1 n  19 2 Vaäy f(t)  f( 1 2 ) = (ñpcm). g’(t) + 8 g(t)  0,5ñ f ’(t)  f(t)
Baøi 2 (soá hoïc) Cho 2005 soá c i Z  . Chöùng minh baát ñaúng thöùc : 2005  2(c i  2005)  2005 2(c i  2006)  1 2005 c i  2005  2005 c i  2006   c i 1             4010 (1). i  i 1  ci  i 1  ci  i 1  ci  Ñaùp aùn 1) Tröôùc heát ta chöùng minh meänh ñeà sau: 2b  1   a   b   a  b  1  Cho a, b, c Z vaø c > 0 thì     2a    c     c  c c    (2). c  0,5ñ Chöùng minh : Theo ñònh lyù cô baûn thì luoân toàn taïi (m,r) ; (n,s) Z 2 sao cho : a  mc  r  , trong ñoù 0  r, s < c. b  nc  s 0,5ñ Ta xeùt hai tröôøng hôïp 2s  1 r  s  1  2s  1  r  s  1 ˙Neáu s  r  2s + 1  r + s + 1     (3). c c  c   c     0,5ñ 2 r r  s  1  2r   r  s  1  ˙Neáu s < r  2r > r + s + 1      0 (4). 0,5ñ c c c  c   2s  1  r   s   r  s  1 Töø (3) vaø (4) ta coù     2r  c   c   c  c   c  .           0,5ñ r  s  1  a   b   a  b  1 Khi ñoù Vt(1) = m    n    m  n  r s     c    c     c  c c    c 
(meänh ñeà ñöôïc chöùng minh) 0,5ñ 2) Aùp duïng meänh ñeà (2) cho laàn löôït 2005 boä soá : a = c i + 2005 , b = c i - 2006 vaø c = c i , roài coäng veá theo veá cho ta ñieàu caàn chöùng minh . 1,0ñ Baøi 3 (giaûi tích daõy) u 1  a Xeùt daõy soá (u n ) ñònh bôûi :  . u n 1  5  3  5u n  2 (1) , n  N un un Tuyø theo a   ;  xeùt tính hoäi tuï cuûa (u n ) vaø tìm lim u n (neáu coù). 1   2  Ñaùp aùn 1) Tìm ñieåm baát ñoäng : Xeùt phöông trình x = 5 x  3x  5x  2 (2). Ta thaáy x = 0 , x = 1 laø hai nghieäm cuûa (2) treân R . 0,5ñ Maët khaùc xeùt haøm g(x) = 5 x  3x  6x  2 . Ta coù g’(x) = 5 x ln 5  3x ln 3  6  g' ' (x)  5 x ln 2 5  3x ln 2 3  0 , x R (3). Vaäy x = 1 laø nghieäm duy nhaát cuûa (2) treân  ;  . 1   2  0,5ñ 2) Xeùt tính ñôn ñieäu : ˙ Xeùt haøm : f(x) = 5 x  3x  5x  2  f ' (x)  5 x  3x  5 . Ta coù thì f ’’(x) = g’’(x) > 0 xR neân f’(x) ñoàng bieán vì vaäy f’(x) coù nghieäm duy nhaát x = b . 0,5ñ ˙ Maø ta coù f '    5 ln 5  3 ln 3  5  0  f( 1 2 ) > f(b)  1 2 > b. 1   2 0,5ñ Ñaët f( 1 2 ) = k , ta thaáy f(1) = 1
Vaäy ta coù baûng bieán thieân cuûa haøm f(x) : x b 1 1 + 2 f’(x) + + + k 1 0,5ñ ˙Baûng xeùt daáu cuûa f(x) – x : x 1 1 + 2 f(x) – x - 0 + Vaäy k = f ( 1 2)  1 2 . 0,5ñ 3) Bieän luaän : 1 °Neáu  a < 1 ta coù f(x) ñoàng bieán vaø f(x) – x < 0 neân (u n ) giaûm vaø bò chaën 2 döôùi 1 bôûi k . Vaäy (u n ) khoâng hoäi tuï . Vì Neáu (u n ) hoäi tuï thì lim u n = c vôùi ( < c 1 ta coù f(x) ñoàng bieán vaø f(x) – x > 0 neân (u n ) taêng neân .
Töông töï nhö treân ta coù (u n ) khoâng hoäi tuï . 0,5ñ Baøi 4 (hình hoïc) Cho tam giaùc ABC , coù ñoä daøi hai ñöôøng cao laø soá töï nhieân vaø coù baùn kính voøng troøn noäi tieáp baèng 1. Tính ñoä daøi caùc ñöôøng cao h a , h b vaø h c cuûa tam giaùc ñoù. Ñaùp aùn ˙Khoâng maát toång quaùt giaû söû caùc ñöôøng cao h a , h b  N. Ta coù 2S = c h c = (a + b + c)r = a + b + c > 2c  h c > 2 . Vaäy h a , h b  3. 1,0ñ Khoâng maát toång quaùt giaû söû h a < h b 1 1 1 a b c 1  1 1  1 1 ˙Maø ta coù :       1  h  4h  4     h a h b h c 2S 2S 2S r  a   b  1 1  0 1,0ñ 2 hc h a  3   1 1 1 . 1,0ñ h    3  hb  5  b 4 12 Vì h b  Z neân ta xeùt caùc tröôøng hôïp : ˚ Neáu h b = 3 thì h a = h b = h c = 3 . 12 ˚ Neáu h b = 4 thì h c  ; 5 15 ˚ Neáu h b = 5 thì h c  . 1,0ñ 7 Baøi 5 (Hình khoâng gian) Trong khoâng gian cho nöûa maët phaúng  vaø maët phaúng  coá ñònh caét nhau theo giao tuyeán u . SA, SB laø 2 tia coá ñònh trong maët phaúng  (A , B thuoäc u) sao cho soá ño cuûa nhò dieän (S,AB, ) baèng 60 0 . (w) laø moät maët
caàu taâm I luoân tieáp xuùc vôùi  ,  veà phía khoâng chöùa ñieåm S (ñoái vôùi ). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm C trong  sao cho (w) ôû phía trong tam dieän SABC vaø tieáp xuùc vôùi maët (SAC) , (SBC). Bieát raèng hình chieáu cuûa ñieåm K treân IP laø trung ñieåm cuûa noù .Trong ñoù K , P laø tieáp ñieåm cuûa (w) vôùi caùc maët (SAC) vaø  . Ñaùp aùn S x C B M P N K0 A K H I ˙Phaàn thuaän : Goïi H laø tieáp ñieåm cuûa (w) vôùi maët (SAB) vaø N laø giao ñieåm cuûa maët (IPH) vôùi AB, M laø giao ñieåm cuûa maët (IPK) vôùi AC. Trong töù giaùc IHNP coù goùc PNH = 120 0 ( goùc phaúng cuûa nhò dieän (H,AB,C) ) 1,0ñ Goïi K 0 laø hình chieáu cuûa K treân IP ta coù K 0 laø trung ñieåm cuûa IP neân H thuoäc maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn PI. Vaäy K vaø H cuøng thuoäc maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn PI.
Neân trong töù giaùc IKMP coù goùc KMP = 120 0 ( goùc phaúng cuûa nhò dieän (K,AC,B) ). 1,0ñ Maø  vaø SA coá ñònh vaø maët phaúng  vaø (SAC) luoân taïo vôùi nhau moät goùc 120 0 neân maët phaúng (SAC) coá ñònh suy ra C thuoäc tia Ax (giao cuûa  vaø (SAC) . 1,0ñ ˙Phaàn ñaûo : Laáy C’ Ax deã thaáy luoân toàn taïi duy nhaát moät maët caàu thoûa ñeà baøi. ˙Keát luaän : Vaäy quõy tích caùc ñieåm C laø tia Ax. 1,0ñ Baøi 5’(Giaûi tích haøm) Tìm caùc haøm f(x) lieân tuïc treân R vaø thoûa : f(x) + f  2004x  2005x   , xR.  2005  2006 Ñaùp aùn 2004x ax 1) Ñaët a = 2004 , g(x) =  . 2005 a  1 n 1 x  x , thì x n  x 1  a  Xeùt daõy (x n ) :  1   . x n  g( x n 1 ) n  N, n  2  a 1 (a  1) x Ta coù (1)  f (x)  f g(x)  (2). a2 1,0ñ (a  1) x i 2) Trong (2) laàn löôït thay x bôûi x i , i  1,..., n ta ñöôïc f (x i )  f (x i 1 )   a2 (a  1) x i (1) i 1[f ( x i )  f ( x i 1 )]  (1) i 1 . 0,5ñ a2 n 1 a  1 n 1 Coäng veá theo veá ta coù  (1) i1[f (x i )  f (x i1 )]  i 1  (1) i1 x i  a  2 i 1 a 1 f ( x 1 )  (1) n f ( x n )  ( x 1  x 2  ...  (1) n x n 1 )  a2
a   a   a 2 n a  n 2  x 1 1      ...  (1)    (3) 0,5ñ a  1   a  1  a  1   a 1   2 n 2 Ta thaáy : 1, a  a  n a   ,   ,..., (1)   laäp thaønh caáp soá nhaân vôùi  a  1  a  1  a 1 a u 1  1, q   , vaø coù (n – 1) soá haïng . a 1 0,5ñ   n 1  1  a    a 1   a 1  Neân (3)  f ( x 1 )  (1) n f ( x n )  x1  a2  a  1   a 1    (a  1) 2   n 1  = x1 1    a     0,5ñ (a  2)(2a  1)   a  1    (a  1) 2   n 1  Vaäy f (x1 )  (1) f (x n )  n x1 1    a   .   (a  2)(2a  1)   a  1    lim (1) f  lim x   (a  1) x 2 3) Cho qua giôùi haïn ta ñöôïc : f(x) + n (a  1)(2a  1) n n  n  (Vì f(x) lieân tuïc treân R vaø töø (1) ta coù f(0) = 0). 0,5ñ 2005 2 x Thay a = 2004 , ta coù f(x) = . 2006.(2.2004  1) 2005 2 x 4) Thöû laïi ta thaáy f(x) = thoûa ñeà baøi. 2006.(2.2004  1) 0,5ñ -HEÁT-