CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD&ĐT HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 

 0;1007

2

0.

x

sin

c 3 os

x

.cos x  7 2

8sin   

x   

x 3 s inx cos  3     2  

(1

  x

3 ) n 2 2 x

Câu 2 ( 6,0 điểm).

4x trong khai triển

2014

C

C

  ...

C

2

 . 1

1 2

n

 1

2 n 2

 1

n n 2

 1

1. Tìm hệ số của biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn

2. Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần,

các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một

số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?

nu xác định như sau:

2014

*

(cid:0)

(n

)

  1

 1

n

u u ...u 1 2

n

u  1  u 

S

Câu 3 (3,0 điểm). Cho dãy số 

n

  . Tìm l imS .n

n

k

1n u 1 k

Đặt

Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các hình bình hành

ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DMN.

Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là tâm của hình vuông

CD D’C’, K là trung điểm của cạnh CB.

a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI). Tính diện tích

của thiết diện theo a .

Trang | 1

b. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và CC’.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Nội dung Điểm

Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 

 0;1007

2

0.

x

sin

c 3 os

x

x .cos  7 2

8sin   

x   

x 3 s inx cos  3     2  

sin

x

c 3 os

x

  

0

x

 , k

k

(cid:0) .

 7 2

 3 2

 6

  

  

  

  

pt

x 4sin 2 .s inx

3 sinx cos

x

  0

2(cos

x

c

x os3 )

3 sinx cos

x

0

Điều kiện xác định 0,5

c

os3

x

cos

x

s inx

c os3

x

c

os

3 2

1 2

 3

  x 

  

3

x

  x

m

 2

x

m

 3

,

m

(cid:0) .

0,5

3

x

 

x

m

 2

x

 3

 6     m 2 12

    

  

  

     

0,5

Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là

x

 

(

 (cid:0) ).

 12

 m m 2

x

0;1007

   0

m

1007

  1

m

2014,

m

0,5

 (cid:0) .

 

 12

 2

0;1007 gồm 2014 nghiệm

Vì 0,5

Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 

d

,

.

x 1

 2

 5 12

S

(2014 1).

2.

.

lập thành một cấp số cộng có công sai 0,5

2014 2

 5 12

 2

3043154 3

  

  

Tổng các nghiệm là

(1

  x

3 ) n 2 2 x

Câu 2 (6,0 điểm).

4x trong khai triển

2014

C

C

  ...

C

2

1 (3,0 điểm). Tìm hệ số của biết rằng n là số tự

 1

1 2

n

 1

2 n 2

 1

n n 2

 1

Trang | 2

nhiên thỏa mãn

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

C

C

 1 2 n  1 n 2

0 n 2

 1

C

C

2 n  1 n 2

n

 1

1 2 ...

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

C

C

n n 2

 1

 1 n  1 n 2

2

n

C

  ...

(

C

....

)

2

0 n 2

 1

1 C 2

n

 1

n C 2 n

 1

0 n 2

 1

 1 2 n C  1 2 n

1 2

0,5

Từ giả thiết suy ra n=1007 0,5

2014

2014

2

2 2014

k

  x

3

x

C

(1

x

k  ) ( 3 )

x

k 2014

Xét khai triển

 1

k

0

2014

k

2 2014

k

C

(

x

i  ) ( 3 )

x

k 2014

i k

1,0

  C

k

0

i

0

2014

k

2014

k

4028 2

 k i

i  ( 1) ( 3)

x

k C C 2014

i k

 

k

0

i

0

2014

4

k

  i

4

4028 2

Ta tìm i, k là các số tự nhiên thỏa mãn

2013

2014

k

    k 0     0 i 

2012

k     i   k     i 2    k   i 0

C

C 9

0,5

4 2014

2 C C 3 2013

2013 2014

2012 2014

Vậy hệ số của x4 trong khai triển là 0,5

2.(3,0 điểm). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó

chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số

được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn

a b c d e f  ,

,

,

,

,

chia hết cho 4?

  1,3, 4,8

3

Gọi số cần tìm là abcdef với

6C cách. Sắp xếp 3 chữ số 1;4;8 vào 3 vị trí

3

C

Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có 1,0

 6 .3! 120

còn lại có 3! Cách. Vậy có tất cả số.

Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành 1số chia hết cho

4

4. 0,5 Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84. Trong mỗi trường hợp

C  cách sắp xếp chữ số 3và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 số chia hết cho

3 4

Trang | 3

có

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

4.

8

A 

 

120

Gọi A là biến cố: “ Số lấy ra chia hết cho 4” 0,5 Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là

Số phần tử của không gian mẫu là 0,5

AP

 A 

8 120

1 15

Xác suất của biến cố A là 0,5

nu xác định như sau:

2014

  1

n

1)

 1

u u ...u ( 1 2 n

 u 1  u  n

S

Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số 

n

  . Tìm l imS .n

n

k

1n u 1 k

  1

  i

1

u u 1 2

1

1)

Đặt

1,

i

  1

  i

1

u u ... i i    u u ( 1  i i     1 u i

 1 u i u i

u 1

 1

  

1,0

1 

1

1 

1

u

1 

1

1 

1

u i

i

 1

1 u i

1 u i

u i

 1

u i

S

  ...

n

1 u n

0,5

1

1

  ...

1 

1

1 

1

1 

1

1

1

1 u 1 1 u 1

u 3

u 2

u n

u n

 1

2 u 1

u n

 1

n

 1

 1

  1

(1

)

n 2014.2015

u n

 1

u u 1 2

u ... n

u 1

u 1

1

0

n

 1

1

1 2014.2015

u n

 1

0,5

1

  0

 1

lim  n

lim  n

1 n 2014.2015

1

u n

 1

.

s n

lim  n

1 1007

2 u 1

1,0

Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các

hình bình hành ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam

Trang | 4

giác DMN.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

B

A

O

M

C

D

I

N

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

    AD BM BM CN ,

.

 Xét phép tịnh tiến theo vectơ AD

T

:

 A D

 AD

 B M

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN. 1,0 ABMD, ACND là hình bình hành suy ra

C

N

T

:

O

I

1,0

 AD

Suy ra , suy ra OI = AD = R. Vậy quĩ tích của điểm I là đường tròn tâm

(O,R).

Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là tâm

của hình vuông CDC’D’, K là trung điểm của CB.

a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI).

Tính diện tích của thiết diện theo a .

b.Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và

Trang | 5

CC’.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

C'

B'

A'

N

I

Q

D

C

J

K

B

A

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 D'

a. (4, 0 điểm). Gọi J là giao điểm của AK và CD.

Q là giao điểm của JI và CC’; N là giao điểm của IJ và DD’. 1,0

Thiết diện là tứ giác AKQN.

Chứng minh được AKQN là hình thang có 2 đáy là KQ, AN.

Chứng minh được C là trung điểm của JD, K là trung điểm JA, Q là trung điểm của

S

JKQ

S

S

S

S 3

.

AKQN

JAN

JKQ

JKQ

S

JK JQ . JA JN

1 1 . 2 2

1   4

JAN

CQ

 ND QC

'

  

CQ

a

1 2

CQ CC '

1 3

1 3

JN. 1,0

a

a

5

a

KQ

;

JK

;

JQ

1,0

13 6

10 3

2

2

2

2

c

osKJQ=

 JQ JQ KQ JK JQ .

 2

6 50

sin

KJQ

1

2 c KJQ os

7 5

Tính được

2

S

JK JQ .

.sin

KJQ

JKQ

a 14 12

1 2

2

a

S

S 3

.

AKQN

JKQ

14 4

1,0

Trang | 6

B (2,0 điểm). 0,5 Vì A’D’//AD nên góc tạo bởi A’D’, AQ bằng góc tạo bởi AQ, AD

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

 AC '

   ' AB AD AA  

AC

'

a

3.

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

a

a

AQ

;

AD a QD

;

.

19 3

10 3

2

2

2

AQ

cos

QAD

.

1,0 Tính được

 AD QD  2 AQ AD .

3 19

0,5

……………………Hết…………………….

Lưu ý +) Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương ứng với biểu điểm.

Trang | 7

+) Điểm tổng toàn bài không làm tròn.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU - Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt

giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập. -

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung thời gian tốt nhất để học.

- Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM -

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên toàn quốc.

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá

Trang | 8

trình học.

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807