Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hà Nam

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT HÀ NAM<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC 2013-2014<br /> MÔN: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1007 <br /> 8sin 2 x.cos x  3 s inx  cos x<br />  0.<br /> 7 <br /> 3 <br /> <br /> <br /> sin  x <br />  3cos  x <br /> <br /> <br /> 2 <br /> 2 <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 2 ( 6,0 điểm).<br /> 1. Tìm hệ số của x 4 trong khai triển (1  x  3x 2 )2n biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn<br /> 1<br /> 2<br /> n<br /> C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  2 2014  1 .<br /> <br /> 2. Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần,<br /> các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một<br /> số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?<br /> Câu 3 (3,0 điểm). Cho dãy số  un  xác định như sau:<br /> u1  2014<br /> <br /> un1  1  u1u 2 ...u n<br /> <br /> (n <br /> <br /> *<br /> <br /> )<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> . Tìm l imSn .<br /> n<br /> k 1 uk<br /> <br /> Đặt Sn  <br /> <br /> Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các hình bình hành<br /> ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DMN.<br /> Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là tâm của hình vuông<br /> CD D’C’, K là trung điểm của cạnh CB.<br /> a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI). Tính diện tích<br /> của thiết diện theo a .<br /> b. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và CC’.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM<br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1007 <br /> 8sin 2 x.cos x  3 s inx  cos x<br />  0.<br /> 7 <br /> 3 <br /> <br /> <br /> sin  x <br />   3cos  x <br /> <br /> 2 <br /> 2 <br /> <br /> <br /> 7<br /> Điều kiện xác định sin  x <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br />   3cos  x <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   0  x   k , k  .<br /> 6<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> pt  4sin 2 x.s inx  3 sinx  cos x  0  2(cos x  cos3x )  3 sinx  cos x  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> <br />  cos3x  cos x <br /> s inx  cos3x  cos  x  <br /> 2<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3x  x  3  m2<br />  x  6  m<br /> <br /> <br /> ,m .<br /> <br /> <br /> 3x    x     m 2<br /> x <br /> m<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 12<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là<br /> x<br /> <br /> <br /> 12<br /> <br /> m<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (m  ).<br /> <br /> Vì x  0;1007   0  <br /> <br /> <br /> 12<br /> <br /> m<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  1007  1  m  2014, m  .<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 0;1007  gồm 2014 nghiệm<br /> lập thành một cấp số cộng có công sai d <br /> Tổng các nghiệm là S <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> , x1 <br /> <br /> 5<br /> .<br /> 12<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2014  5<br />   3043154<br />  (2014  1).  <br /> .<br />  2.<br /> 2  12<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> Câu 2 (6,0 điểm).<br /> 1 (3,0 điểm). Tìm hệ số của x 4 trong khai triển (1  x  3x 2 )2n biết rằng n là số tự<br /> 1<br /> nhiên thỏa mãn C2 n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  2 2014  1<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 0<br /> 2 n 1<br /> C2 n 1  C2 n 1<br /> 1<br /> 2n<br /> C2 n 1  C2 n 1<br /> <br /> ...<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> n<br /> n 1<br /> C2 n 1  C2 n 1<br /> <br /> 1 0<br /> 0<br /> 1<br /> n<br /> n 1<br />  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1  (C2 n 1  ....  C22n 1 )  2 2 n<br /> 2<br /> <br /> Từ giả thiết suy ra n=1007<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Xét khai triển<br /> 2 2014<br /> <br /> 1  x  3x <br /> <br /> 2014<br /> <br /> <br /> <br /> C<br /> <br /> k<br /> 2014<br /> <br /> (1  x )k ( 3x 2 )2014k<br /> <br /> k 0<br /> <br /> k<br /> <br /> 2014<br /> <br /> k<br />   C2014  Cki (  x )i ( 3x 2 )2014 k<br /> k 0<br /> <br /> 2014<br /> <br /> <br /> <br /> i 0<br /> <br /> k<br /> <br />  C<br /> k 0<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> k<br /> 2014<br /> <br /> Cki ( 1)i ( 3)2014k x 40282 k i<br /> <br /> i 0<br /> <br /> Ta tìm i, k là các số tự nhiên thỏa mãn<br />  k  2014<br />  i  4<br /> <br /> 4028  2k  i  4<br />  k  2013<br /> <br /> 0  k  2014<br />  <br /> <br /> i  2<br /> 0  i  k<br /> <br />  k  2012<br /> <br /> <br />  i  0<br /> <br /> 4<br /> 2<br /> 2013<br /> 2012<br /> Vậy hệ số của x4 trong khai triển là C2014  3C2013C2014  9C2014<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2.(3,0 điểm). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó<br /> chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số<br /> được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn<br /> chia hết cho 4?<br /> Gọi số cần tìm là abcdef với a , b, c, d , e, f  1,3, 4,8<br /> Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có C63 cách. Sắp xếp 3 chữ số 1;4;8 vào 3 vị trí<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> còn lại có 3! Cách. Vậy có tất cả C63 .3!  120 số.<br /> Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành 1số chia hết cho<br /> 4.<br /> Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84. Trong mỗi trường hợp<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br /> có C4  4 cách sắp xếp chữ số 3và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 số chia hết cho<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 4.<br /> Gọi A là biến cố: “ Số lấy ra chia hết cho 4”<br /> Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là A  8<br /> Số phần tử của không gian mẫu là   120<br /> Xác suất của biến cố A là PA <br /> <br /> A<br /> 8<br /> 1<br /> <br /> <br />  120 15<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số  un  xác định như sau:<br /> u1  2014<br /> <br /> un1  1  u1u 2 ...u n (n  1)<br /> n<br /> <br /> 1<br /> . Tìm l imSn .<br /> n<br /> k 1 uk<br /> <br /> Đặt Sn  <br /> <br /> ui 1  1  u1u2 ...ui i  1<br />  ui 1  1  ui (ui  1)<br /> <br /> 1,0<br /> <br />  ui  1 i  1, ui 1  1  u1 i  1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />   <br /> <br /> ui 1  1 ui  1 ui<br /> ui ui  1 ui 1  1<br /> <br /> Sn <br /> <br /> 1<br /> 1<br />  ... <br /> u1<br /> un<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> 1<br />  <br /> <br />  ... <br /> <br />  <br /> u1 u2  1 u3  1<br /> un  1 un 1  1 u1 un 1  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> un 1  1  u1u2 ...un  u1 (1  u1 )n 1  2014.2015n 1<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> un 1  1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 2014.2015n 1<br /> <br /> 1<br /> 1<br />  0  lim<br /> n 1<br /> n 2014.2015<br /> n u<br /> n 1  1<br /> lim<br /> <br /> lim sn <br /> <br /> n<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> <br /> .<br /> u1 1007<br /> <br /> Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các<br /> hình bình hành ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam<br /> giác DMN.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> B<br /> A<br /> <br /> O<br /> M<br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> I<br /> <br /> N<br /> <br /> Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ABMD, ACND là hình bình hành suy ra AD  BM , BM  CN .<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> <br /> <br /> Xét phép tịnh tiến theo vectơ AD<br /> T : A  D<br /> AD<br /> BM<br /> CN<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Suy ra T : O  I , suy ra OI = AD = R. Vậy quĩ tích của điểm I là đường tròn tâm<br /> AD<br /> (O,R).<br /> Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là tâm<br /> của hình vuông CDC’D’, K là trung điểm của CB.<br /> a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI).<br /> Tính diện tích của thiết diện theo a .<br /> b.Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và<br /> CC’.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />