UBND HUY N PHÚC THỆ Ọ
PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỤ Ạ
(Đ thi có 01 trang)ề
Đ THI CH N H C SINH GI I L P 9Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ
Năm h c: 2020 – 2021 ọ
Môn: Toán
Th i gian làm bài: ờ150 phút
(Không k th i gian phát để ờ ề)
Bài I: (5 đi m)ể
Câu 1:
a) Ch ng minh r ng: ứ ằ
8 55 8 55 22− + + =
b) Tính giá tr c a bi u th c: ị ủ ể ứ
1 1 1
5 5 7 7 13 13
1 1 1
7 13 13 5 7 5
+ +
+ + + + + +
Câu 2: Tìm x bi t,ế
2 3 2 3
2020 2 4 2 3 2 4 2 3
x+ −
= +
+ + − −
Bài II: (4 đi m)ể
Câu 1: Gi i ph ng trình:ả ươ
2 1 2 1 1x x
− − − = −
Câu 2: Gi i ph ng trình:ả ươ
3 1 2 5 4x x− − + =
Bài III: (3,5 đi m)ể
Câu 1: Cho
x Z
, ch ng minh r ng s sau là s chính ph ng:ứ ằ ố ố ươ
M ( 1)( 3)( 4)( 6) 9x x x x
= + + + + +
Câu 2: Cho
a, b, c > 0
và
.
Tính giá tr nh nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ
1 1 1
P= ab c
+ +
.
Bài IV: (6 đi m)ể
Cho hình vuông ABCD, l y đi m E trên c nh BC. Trên tia đi c a tiaấ ể ạ ố ủ
CD l y đi m Fấ ể sao cho CF = CE. G i K là giao đi m c a EF và BD, O là giaoọ ể ủ
đi m c a AC và BD; DE c t BF t i H, M là trung đi m c a EF. Ch ng minhể ủ ắ ạ ể ủ ứ
r ng:ằ
a)
DH BF;
⊥
b) T giác OKMC là hình ch nh t;ứ ữ ậ
c) A, H, K th ng hàng.ẳ
Bài V: (1,5 đi m)ể
Cho hình ch nh t ABCD v i AB = 2.AD. L y đi m K trên c nh BC.ữ ậ ớ ấ ể ạ
Đng th ng AK c t đng th ng CD t i H. ườ ẳ ắ ườ ẳ ạ
Ch ng minh r ng ứ ằ
222
1 1 4
= +
AD AH AK
.
H tế
(Giám th không gi i thích gì thêm)ị ả
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
- H và tên thí sinhọ:............................................................. - S báo ố
danh:........................
UBND HUY N PHÚC THỆ Ọ
PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỤ Ạ H NG D N CH MƯỚ Ẫ Ấ
Đ THI CH N H C SINH GI I L P 9Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ
Năm h c: 2020 – 2021 ọ
Môn: Toán
Bài N i dungộĐi mể
Bài 1 5 đi mể
Câu 1
a
8 55 8 55 22− + + =
2 2
55 55
8 55 8 55 8 2. 8 2
4 4
11 11 5 5 11 11 5 5
2. . 2. .
2 2 2 2 2 2 2 2
11 5 11 5
2 2 2 2
11 5 11 5 11
2. 22
2 2 2 2 2
VT
VP
= − + + = − + +
= − + + + +
= − + +
= − + + = = =
0,5đ
0.5đ
0,5đ
b
1 1 1
5 5 7 7 13 13
1 1 1
7 13 13 5 7 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 7 13
7 13 5 13 5 7 7 5 13
7. 13 5. 13 7. 5 7. 13 5. 13 7. 5
1 1 1 7. 13 5. 13 7. 5
5. 7. 13. 5. 7. 13.
7 13 5 5. 7. 13
7. 13 5. 13 7. 5 1
7. 13 5. 13 7. 5
+ +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ + + +
= =
+ +
+ +
+ +
= =
+ +
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 2
2 2
2 2
2 3 2 3
2020 2 4 2 3 2 4 2 3
2 3 2 3
2020 2 ( 3 1) 2 ( 3 1)
2 3 2 3
2020 2 ( 3 1) 2 ( 3 1)
x
x
x
+ −
= +
+ + − −
+ −
= +
+ + − −
+ −
= +
+ + − −
2 3 2 3 (2 3).(3 3) (2 3).(3 3)
2020 9 3
3 3 3 3
62020
2020 6
x
xx
+ − + − + − +
= + = −
+ −
= =
0,75 đ
0,75 đ
Bài 2 N i dungộ4 đi mể
Câu 1 ĐK:
1x
2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 4 4x x x x x
− + = − − + − + = −
2 1 2x x − = −
ĐK:
2x
2 2
2 1 4 4 6 5 0x x x x x
− = − + − + =
Gi i đc x = 1 (lo i); x = 5 (TMĐK)ả ượ ạ
V y t p nghi m c a ph ng trình là: ậ ậ ệ ủ ươ
{ }
5S=
1đ
1đ
Câu 2
3 1 2 5 4x x− − + =
(1)
Xét
5
2
x< −
thì PT (1) tr thành ở
1 3 2 5 4 2x x x
− + + = =
(lo i)ạ
Xét
5 1
2 3
x−
thì PT (1) tr thành ở
8
1 3 2 5 4 5 8 5
x x x x− − − = − = = −
(TMĐK)
Xét
1
3
x>
thì PT (1) tr thành ở
3 1 2 5 4 10x x x
− − − = =
(TMĐK)
V y t p nghi m c a ph ng trình là: ậ ậ ệ ủ ươ
8;10
5
S
= −
�
1đ
1đ
Bài 3 N i dungộ3,5
đi mể
Câu 1
2 2
M ( 1)( 3)( 4)( 6) 9
( 1)( 6)( 3)( 4) 9
( 7 6)( 7 12) 9
x x x x
x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
Đt ặ
27 6x x a Z+ + =
Khi đó
2 2 2 2
.( 6) 9 6 9 ( 3) ( 7 9)M a a a a a x x= + + = + + = + = + +
là s chính ố
ph ng v i ươ ớ
x Z
.
0,75 đ
0,75đ
Câu 2
1 1 1 3 3 3 a+b+c a+b+c a+b+c
P= 3
a a a
3 1 1 1
3 3 ( ) ( ) ( )
P
b c b c b c
b c a c a b
Pa a b b c c
b a c a c b
Pa b a c b c
+ + = + + = + +
= + + + + + + + +
= + + + + + +
Vì a, b, c >0, áp d ng b t đng th c côsi ta có:ụ ấ ẳ ứ
2 . 2; 2; 2
b a b a c a c b
a b a b a c b c
+ = + +
d u “=” x y ra khi a=b=c=1.ấ ẩ
Do đó
3 9 3P P
V y GTNN c a P = 3 khi a=b=c=1.ậ ủ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4 N i dungộ6 đi mể
a)
N
I
H
K
M
O
F
B
A
D
C
E
Ta có
BC DF⊥
(vì T giác ABCD là hình vuông)ứ
ECF
∆
vuông cân t i C (vì ạ
ﾷ
0
90 ; )ECF CE CF= =
ﾷ
ﾷ
0
EF 45C CFE = =
mà
ﾷ
0
45ACD =
(ABCD là hình vuông)
ﾷ
ﾷ
0
FE ( 45 ) //C ACD AC KF= =
Mà
AC BD⊥
t i O do đó ạ
KF BD⊥
Xét
BDF∆
có hai đng cao BC và FK c t nhau t i Eườ ắ ạ
Suy ra E là tr c tâm c a ự ủ
BDF∆
DH là đng cao c a ườ ủ
BDF∆
V y ậ
DH BF.
⊥
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) Vì
ECF∆
vuông cân t i C, ạ
có CM là đng trung tuy n ườ ế
ﾷ
0
90CM FE CMK
⊥ =
(1)
vì T giác ABCD là hình vuông ứ
ﾷ
0
90AC BD KOC
⊥ =
(2)
Có
ﾷ
0
90OKM
=
(vì
KF BD⊥
) (3)
Xét t giác OKMC cóứ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0
90OKM KOC CMK= = =
(theo (1), (2) và (3))
V y t giác OKMC là hình ch nh t.ậ ứ ữ ậ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
c) G i OM c t CK t i I; OM c t CH tai N.ọ ắ ạ ắ
Vì
ECF
∆
vuông t i C, có CM là đng trung tuy n ạ ườ ế
1
CM= EF.
2
Vì
EHF∆
vuông t i H, có HM là đng trung tuy n ạ ườ ế
1
M= EF.
2
H
Do đó
CM=HM
(4)
Vì
BHD∆
vuông t i H có HO là đng trung tuy n ạ ườ ế
1
2
HO BD
=
Có
1 1
2 2
CO AC BD
= =
(vì ABCD là hình vuông)
Do đó HO = CO (5)
T (4) và (5) suy ra OM là đng trung tr c c a đo n th ng CH ừ ườ ự ủ ạ ẳ
OM CH ⊥
t i N.ạ
Ch ng minh ON là đng trung bình c a ứ ườ ủ
AHC∆
//AH ON
Ch ng minh OI là đng trung bình c a ứ ườ ủ
AKC∆
//AK OI
Khi đó AH, AK cùng thu c m t đng th ngộ ộ ườ ẳ
V y A, K, H th ng hàngậ ẳ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5 N i dungộ1,5
đi mể
3
1
2
H
G
B
A
D
C
K
K ẻ
AG AH⊥
, G n m trên đng th ng CD.ằ ườ ẳ
Xét
ADG∆
và
ABK∆
có
ﾷ
ﾷ
0
90D B
= =
(vì ABCD là hình ch nh t)ữ ậ
ﾷ
ﾷ
1 2
A A
=
(cùng ph v i ụ ớ
ﾷ
3
A
)
( )ADG ABK g g ∆ ∆ −:
1
2 2
AG AD AK
AG
AK AB
= = =
Xét
AGH∆
vuông t i A có đng cao AD, áp d ng h th c l ng ạ ườ ụ ệ ứ ượ
trong tam giác vuông ta có:
2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 4
( )
2
AK
AD AH AG AH AD AH AK
= + = + = +
0,5đ
0,5đ
0,5đ
(H c sinh làm theo cách khác đúng v n cho đi m t ng ng)ọ ẫ ể ươ ứ