PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ VĨNH CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
Năm học 2023-2024
Môn: Toán 8
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề)
(Đề thi này có 01 trang)
Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức:
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức P được xác định?
b) Rút gọn biểu thức P.
Câu 2. (4 điểm)
a) Tìm số nguyên n để là số chính phương.
b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của .
Câu 3. (4 điểm)
a) Biết rằng đa thức chia cho x – 2 dư 11, chia cho x + 2 dư (-1), chia cho được thương
là 3x và có dư. Tính ?
b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức .
Câu 4. (4 điểm)
a) Giải phương trình
b) Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao tỉ lệ với 1:2:4.
Biết tổng diện tích sáu mặt của bể là 112 m2. Tính thể tích của bể nước?
Câu 5. (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d không cắt các cạnh AB,
BC, CD, DA của hình bình hành. Gọi lần lượt là hình chiếu của vuông góc của A, B, C, D
lên đường thẳng d. Tính tỉ số ?
Câu 6. (4 điểm) Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG, vẽ
hình bình hành EAGK. Chứng minh rằng:
a) AK = BC
b) KA BC
c) Các đường thẳng AK, BF, CD đồng quy.
---Hết---
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ VĨNH CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
Năm học 2023-2024
MÔN TOÁN 8
HƯỚNG DẪN CHẤM
Dưới đây là biểu điểm chi tiết của đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8. Các Giám khảo
thảo luận thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày
(nếu có).
Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc
chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác.
Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác thì bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho
điểm ý đó.
Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và
Đào tạo.
Câ
u
Đáp án Điểm
1.
Cho biểu thức:
a) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức P được xác định?
b) Rút gọn biểu thức P
2,0
1a) Ta có 0,2
Giá trị của biểu thức P được xác định khi:
(mỗi đáp số đúng +0,1đ) (mỗi đáp số đúng +0,1đ) 0,8
1b) Rút gọn biểu thức P 0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
2a) Tìm số nguyên n để là số chính phương. 2,0
Xét với 0,1
0,1
0,1
0,1
Vì nên , 0,1
và 0,1
TH1: (nhận) 0,6
TH2: (nhận) 0,6
Vậy khi n = -1 hoặc n = -5 thì là số chính phương 0,2
2b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của 2,0
Áp dụng Bất đẳng thức Cô si. Tổng quát với n số không âm
ta có:
Theo đề bài
Suy ra: 0,25
Hay 0,25
0,25
0,25
hay 0,25
Vậy Giá trị lớn nhất của là 27648. 0,25
Giá trị này đạt được khi 0,25
0,25
3a) Biết rằng đa thức chia cho x – 2 dư 11, chia cho x + 2 dư (-1), chia cho
được thương là 3x và có dư. Tính ? 2,0
Ta có 0,2
Câ
u
Đáp án Điểm
0,2
0,3
Do đó 0,4
Khi đó đa thức 0,4
Vậy 0,3
0,2
3b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức . 2,0
Ta có
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
TH1: Nếu thì 0,2
Khi đó
0,1
0,1
0,1
0,2
TH2: Nếu 0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
Khi đó 0,2
4a) Giải phương trình 2,0
Đặt 0,25
Phương trình đã cho trở thành 0,25
0,25
0,25
Hay 0,25
0,25
0,25
0,25
Vậy x = -135
4b)
Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao
tỉ lệ với 1:2:4. Biết tổng diện tích sáu mặt của bể là 112 m2. Tính thể tích
của bể nước?
2,0
Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể nước lần lượt là x, y, z 0,2
Điều kiện: x > 0, y > 0, z > 0. 0,2
Theo đề bài ta có: (1) 0,2
và hay (2) 0,2
Câ
u
Đáp án Điểm
Từ (1) suy ra 0,4
Khi đó: 0,2
0,2
(vì x, y, z > 0) 0,2
Vậy thể tích của bể nước là V = 2.4.8 = 64 (m3) 0,2
5
Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d không cắt các cạnh AB,
BC, CD, DA của hình bình hành. Gọi lần lượt là hình chiếu của vuông
góc của A, B, C, D lên đường thẳng d. Tính tỉ số ?
2,0
d
O'
O
B'
C'
D'
A'
B
A
D
C
Hình vẽ không đúng không chấm điểm câu sau
0,5
Gọi O là giao điểm hai đường AC và BD; 0,25
O’ là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d 0,25
Ta có: OO’ là đường trung bình của hình thang ACC’A’ nên
AA’ + CC’ = 2OO’ (1) 0,25
Tương tự: OO’ là đường trung bình của hình thang BB’D’D nên
BB’ + DD’ = 2OO’ (2) 0,25
Từ (1) và (2) suy ra: 0,5
6.
Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG, vẽ
hình bình hành EAGK. Chứng minh rằng:
a) AK = BC b) AK BC c) Các đường thẳng AK, BF, CD đồng quy.
4,0
K
F
G
E
D
A
B
C
Hình vẽ không đúng, không chấm câu a)
0,5
6a) Chứng minh KA = BC
Dễ thấy
và (hai góc kề cạnh bên của hình bình hành)
(cùng phụ với góc EAG) 0,25
Xét tam giác ABC và EAK 0,5
Câ
u
Đáp án Điểm
Ta có:
(đpcm) 0,25
6b) Chứng minh KA BC
K
F
G
E
D
A
B
C
Hình vẽ không đúng, không chấm câu b)
+0,25
Gọi H là giao điểm của đường thẳng KA với BC. 0,1
Ta có:
Mặt khác: 0,2
Suy ra (do cùng bằng góc EKA) 0,1
Mà (do góc GAC vuông: gt) 0,2
Nên 0,2
Suy ra hay KA BC tại H (đpcm) (1) 0,2
6c) Chứng minh các đường thẳng AK, BF, CD đồng quy.
I
H
K
F
G
E
D
A
B
C
Hình vẽ không đúng, không chấm câu c)
+0,25
Gọi I là giao điểm của CK và BF 0,1
Xét tam giác KAC và BCF
Ta có: 0,2
Suy ra 0,1
Mà (do KA BC tại H) 0,1
Nên 0,1
Suy ra hay BF KC tại I (2) 0,1
Chứng minh tương tự ta được CD KB (3) 0,1
Xét tam giác KBC
Từ (1), (2) và (3) ta có KA, BF, CD là 3 đường cao trong tam giác KBC nên
đồng quy (đpcm) 0,2
HS chứng minh cách khác đúng vẫn cho đủ điểm