ĐỀ THI VỊ LỜI GIẢI HSG TOÒN 9 TỈNH GIA
LAI 2024
PHAN MINH ĐỨC* - NGUYỄN KHẮC GIA KIÊN*
ĐOỊN MINH DŨNG* - NGUYỄN HỮU CHIẾN THẮNG∗
Ngày 7 tháng 3 năm 2024
A. ĐỀ THI:
✓Câu 1: (5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: P=√x−2
1 + √x−2+x−3
(1 −√x−2)(1 + √x−2):√x−2−4
x−2−2√x−2−2
√x−2
với x > 2và x= 3; x= 6.
Tính giá trị biểu thức P khi x=q4 + 2√3−(√5 + 1)q4−2√3 + √5(√3−1).
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3(x2−xy +y2) = 7(x+y).
✓Câu 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình: √2x−1 + x2−3x+ 1 = 0.
b) Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8A và 8B có tất cả 62 học sinh tham gia. Các bạn lớp 8B
tính số người quen ở lớp 8A và thấy rằng: bạn thử nhất lớp 8B quen 13 bạn ở lớp 8A, bạn thứ hai lớp 8B
quen 14 bạn ở lớp 8A, bạn thứ ba lớp 8B quen 15 bạn ở lớp 8A và cứ như vậy đến bạn cuối cùng của lớp
8B quen tất cả các bạn của lớp 8A. Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp mặt.
✓Câu 3: (5 điểm).
Cho đường tròn (I; R) nội tiếp tam giác ABC, biết tam giác ABC cân tại A và d
ABC = 1200, AB = 2(2+√3)
Đường tròn (I; R) tiếp xúc các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Một tiếp tuyến của đường tròn tại điểm
bất kì thuộc cung nhỏ DE cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M và N.
a) Chứng minh rằng: MN2=AM2+AN2+AM.AN.
b) Tính bán kính Rcủa đường tròn (I;R).
c) Chứng minh rằng: 2
3< MN < 1.
✓Câu 4: (1 điểm).
Trong hộp có chứa 2024 viên bị màu (mỗi viên bị chỉ có đúng một màu) trong đó có 675 viên bị màu đỏ,
657 viên bị màu xanh, 675 viên bị màu tím và 17 viên bị còn lại là các viên bị màu vàng hoặc màu trắng
(mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp 123 viên bị bất kì. Chứng minh rằng, trong số các
viên bị vừa lấy ra luôn có ít nhất 36 viên bí cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp 122 viên bị bất kì
thì kết luận trên của bải toán còn đúng không?
∗10C3A - TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI
1
cToán học Đề thi và lời giải HSG toán 9 tỉnh Gia Lai 2024
✓Câu 5: (2 điểm).
Cho tam giác ABC có d
ABC = 600. Chứng minh rằng: BC2
AB2+BC2
AC2≥2.
✓Câu 6: (2 điểm).
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A= 25√3x2−3x4+ 2√4x2+ 9x4(với x∈R; 0 ≤x≤1).
2
cToán học Đề thi và lời giải HSG toán 9 tỉnh Gia Lai 2024
B. LỜI GIẢI:
✓Câu 1: (5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức:
P=√x−2
1 + √x−2+x−3
(1 −√x−2)(1 + √x−2):√x−2−4
x−2−2√x−2−2
√x−2
với x > 2và x= 3; x= 6.
Tính giá trị biểu thức P khi x=q4 + 2√3−(√5 + 1)q4−2√3 + √5(√3−1).
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3(x2−xy +y2) = 7(x+y).
LLời giải.a) Với x > 2và x= 3; x= 6, ta có:
P=√x−2
1 + √x−2+x−3
(1 −√x−2)(1 + √x−2):√x−2−4
x−2−2√x−2−2
√x−2
=√x−2.(1 −√x−2) + x−3
(1 + √x−2)(1 −√x−2) :√x−2−4
√x−2.(√x−2−2) −2
√x−2
=√x−2−1
(1 + √x−2)(1 −√x−2):√x−2−4−2(√x−2−2)
√x−2.(√x−2−2)
=−(1 −√x−2)
(1 + √x−2)(1 −√x−2):−√x−2
√x−2.(√x−2−2)
=−1
1 + √x−2):−1
√x−2−2=√x−2−2
1 + √x−2.
Vậy P=√x−2−2
1 + √x−2với x > 2và x= 3; x= 6.
Ta có:
x=q4 + 2√3−(√5 + 1)q4−2√3 + √5(√3−1)
=q(√3 + 1)2−(√5 + 1)q(√3−1)2+√5(√3−1)
=√3 + 1 −(√5 + 1)(√3−1) + √5(√3−1)
=√3 + 1 −√15 + √5−√3 + 1 + √15 −√5 = 2.
oLưu ý: Do theo đề bài điều kiện x > 2mà đề lại yêu cầu tính giá trị tại x= 2 nên có lẽ ở đây
đề bị lỗi.
b) Ta có: 3(x2−xy +y2) = 7(x+y)⇔3x2−(3y+ 7)x+ 3y2−7y= 0.
Ta coi phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn x. Để phương trình có nghiệm thì
∆≥0<=>−27y2+ 126y+ 49 ≥0
⇒ −0,3≤y≤5
Mà y∈Z⇒y∈ 0; 1; 2; 3; 4; 5♢
TH1: y= 0 ⇒3x2−7x= 0 ⇔x= 0.
TH2: y= 1 ⇒3x2−10x−4 = 0 (loại vì phương trình trên không có nghiệm nguyên).
TH3: y= 2 ⇒3x2−13x−2 = 0 (loại vì phương trình trên không có nghiệm nguyên).
TH4: y= 3 ⇒3x2−16x+ 6 = 0 (loại vì phương trình trên không có nghiệm nguyên).
3
cToán học Đề thi và lời giải HSG toán 9 tỉnh Gia Lai 2024
TH5: y= 4 ⇒3x2−19x+ 20 = 0 ⇒x= 5
TH6: y= 5 ⇒3x2−22x+ 40 = 0 ⇒x= 4
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: (x, y) = (0; 0); (4; 5); (5; 4)♢.
Nhận xét:
a) Một bài toán khá đơn giản về rút gọn biểu thức. Tuy nhiên ở phần tính giá trị biểu thức P, mặc
dù điều kiện xác định là x > 2nhưng đề lại yêu cầu tính giá trị của P tại x= 2 ( có lẽ đây là một
chút nhầm lẫn của người ra đề ).
b) Nếu dùng các biến đổi đại số thông thường thì khó mà giải quyết được bài toán này. Do
đó, ta chuyển phương trình trên thành phương trình bậc theo ẩn x, tham số y. Dựa vào giá trị của
∆thì ta có thể chặn được giá trị của y ( hoặc x ).
✓Câu 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình: √2x−1 + x2−3x+ 1 = 0.
b) Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8A và 8B có tất cả 62 học sinh tham gia. Các bạn
lớp 8B tính số người quen ở lớp 8A và thấy rằng: bạn thử nhất lớp 8B quen 13 bạn ở lớp 8A, bạn
thứ hai lớp 8B quen 14 bạn ở lớp 8A, bạn thứ ba lớp 8B quen 15 bạn ở lớp 8A và cứ như vậy đến
bạn cuối cùng của lớp 8B quen tất cả các bạn của lớp 8A. Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp
mặt.
LLời giải.a) ĐKXĐ: x≥1
2.Ta có:
√2x−1 + x2−3x+ 1 = 0 ⇔x−√2x−1 = (x−1)2⇔(x−1)2
x+√2x−1= (x−1)2
TH1: (x−1)2= 0 ⇔x= 1 (thỏa mõn ĐKXĐ).
TH2: x= 1 ⇒1
x+√2x−1= 1 ⇔x+√2x−1 = 1 (x≤1) ⇔2x−1 = x2−2x+ 1
⇔x2−4x+ 2 = 0 ⇔x= 2 + √2
x= 2 −√2→Chỉ thấy x= 2 −√2là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình đõ cho có nghiệm là: x= 1; x= 2 −√2.
b) Gọi số học sinh lớp 8B là n. Ta thấy người thứ nhất quen 13 người, người thứ hai quen 14 người,
người thứ ba quen 15 người và cứ như vậy nên ta rút ra được quy luật: Người thứ i sẽ quen với i + 12
người. Vì lớp 8B có n người nên người thứ n sẽ quen với cả lớp A là n + 12 người. Ta lập được phương
trình: n + n + 12 = 62 ⇔n = 25. Vậy lớp 8B có 25 học sinh.
Nhận xét:
a) - Đây là phương pháp giải phương trình bằng cách liên hợp, mấu chốt để thực hiện phương pháp
này là việc ta nhẩm được nghiệm x=1.
- Ngoài ra, vì cấu trúc của phương trình này khá đơn giản nên việc xử lí phương trình thứ 2 sau
khi liên hợp là tương đối nhẹ nhàng ( Nếu phương trình có các biểu thức phức tạp hơn thì việc xử
lí sẽ khó hơn, đòi hỏi kỹ thuật cao hơn).
b) Một bài toán khá lạ nhưng không quá khó, điều quan trọng ở đây là nhìn ra được quy
luật ( người thứ i sẽ quen với i+12 người khác ), từ đó dễ dàng giải quyết được bài toán.
4