KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC: 2024-2025
Đề thi môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
Câu 1: (4,0 điểm)
a. Chứng minh rằng: n(n + 1) (2n + 1) 6 với mọi số tự nhiên n
b. Tìm số nguyên dương n sao cho: n2 – n + 2 là số chính phương
Câu 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
b. Giải phương trình sau:
18
1
4213
1
3011
1
209
1
222
xxxxxx
Câu 3: (5,0 điểm)
a. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng:
b. Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt trung
điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a. Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b. Chứng minh DF CE và MAD cân.
c. Tính diện tích MDC theo a.
Câu 5: (2,0 điểm)
Một người thợ s dụng thước ngắm góc vuông để đo chiều cao một
cây dừa. Biết khoảng cách từ gốc y đến chân người thợ 4,8m từ vị trí
chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người nhắm là 1,6m. Hỏi với các kích
thước như trên, người thợ đo được chiều cao của cây dừa là bao nhiêu?
HẾT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC: 2024-2025
Hướng dẫn chấm môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
________________
Câu 1:
a. Ta có: n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n - 1) + (n + 2)] (0,5
điểm)
= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) (0,5
điểm)
Ta thấy: n(n + 1) (n - 1) 6 (tích 3 số nguyên liên tiếp)
(0,25 điểm)
n(n + 1) (n + 2) 6 (tích 3 số nguyên liên tiếp) (0,25
điểm)
Vậy n(n + 1)(2n + 1) 6 với mọi số tự nhiên n (0,5
điểm)
b. Đặt: n2 – n + 2 = k2 (k là số nguyến dương) (0,25
điểm)
Suy ra: 4n2 – 4n + 8 = 4k2(0,25
điểm)
4k2 – (2n – 1)2 = 7
(2k + 2n - 1)(2k – 2n +1) = 7 (0,25
điểm)
Ta thấy: 2k + 2n – 1 + 2k – 2n + 1 = 4k
Do đó: 2k + 2n – 1 và 2k – 2n + 1 là số lẻ và 2k + 2n – 1 > 2k – 2n + 1 (do k, n
là số nguyên dương)
(0,25 điểm)
Suy ra: (0,25 điểm)
(0,5 điểm)
Thử lại ta thấy n = 2 thì thỏa mãn
Vậy n = 2 là giá trị cần tìm (0,25
điểm)
Câu 2:
a. Ta có: (0,5 điểm)
(0,25 điểm)
Ta có bảng: (1,0
điểm)
x + 5 1 15 -1 -15 3 5 -3 -5
y - 4 15 1 -15 -1 5 3 -5 -3
x 4 10 -6 -20 -2 0 -8 -10
y 19 5 -11 3 9 7 -1 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (0,25 điểm)
b.
ĐKXĐ :
7;6;5;4
xxxx
(0,25
điểm)
Phương trình trở thành :
18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
xxxxxx
(0,25
điểm)
18
1
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
xxxxxx
(0,25
điểm)
18
1
7
1
4
1
xx
(0,25
điểm)
18(x + 7) - 18(x + 4) = (x + 7)(x + 4) (0, 25
điểm)
x2 + 11x – 26 = 0 (0,25
điểm)
x = -13 hoặc x = 2 (0,25
điểm)
Vậy S = {-13;2} (0,25
điểm)
Câu 3:
a. ≥ 2 với mọi x, y > 0 (0,25 điểm)
-2 ≥ 0; - 1 ≥ 1 (0,5 điểm)
(-2)( -1) ≥ 0 (0,5 điểm)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Dấu “=” xảy ra x = y > 0 (0,25
điểm)
b. Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
(vì ab = 1) (0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Cũng theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a + b và
Ta có: (a + b) + (0,5 điểm)
Mặt khác: (0,25 điểm)
(0,5 điểm)
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. (0,25
điểm)
Câu 4: