TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN IV NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán 12. Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang)
3
2
y
x
m x m
2
1 2
1 , với m là tham số thực.
PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7,0 điểm) 2 m x Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 2m 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 đạt cực trị tại
x 1
x 2
,x x sao cho 1
2
1 3
2
sin
x
2sin
x
sin
x
sin
3
x
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
2 x cos 1 cot
x
2 2
4
4
7
6
14
8
x
xy
y
y
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
3
y
x
6
7
y
1
2
I
ln
x
9
x dx
Câu 4 (1,0 điểm).Tính tích phân
4 0
AB a AD
2
a
,
2
2
2
2
2
2
3 2
3
2
a
a
a
a
3
a
a
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , .Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm của đoạn MI . Hình chiếu vuông góc của của điểm S lên mặt ABCD trùng với điểm N . Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng đáy phẳng đáy ABCD bằng 045 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a . . Câu 6 (1,0 điểm). Cho số thực a chứng minh rằng: 1
1
2
2
y
10
C x 1 :
2
2
y
x
y
x
2
C đi qua các giao điểm của
. Viết phương trình đường tròn
, x 0 ,C 1
2
2 :
C và có
:
d x . 6 0
2
3
7
0
x
y
z
3; 2; 4
: 3
1
x
z
d
:
.
đồng thời cắt đường thẳng
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu 7.a (1,0điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C 20 0 4 tâm nằm trên đường thẳng y 6 Câu 8.a (1,0điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A . Viết phương trình đường thẳng 2 3
y 4 2
A
1
z
i .
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thoả mãn
Tính
1
i z
2 4
z
1
và mặt phẳng đi qua điểm A song song với mặt phẳng
, chân đường cao hạ từ đỉnh B là
, trung điểm cạnh AB là
1;0H
0; 2
3;1M 1d và
. 2d lần
B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ,hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm Câu 8.b(1,0 điểm) .Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz , cho hai đường thẳng x
2
3
y
z
d
:
:
lượt có phương trình
và
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
2
d 1
2
1
5 1
z 1
y 2 1 030 .
x 1 2d một góc
1d và tạo với
2013
3
i
z
Câu 9.b (1,0 điểm). Viết số phức sau dưới dạng đại số
2009
i
1
-------------------Hết-------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh:……………….
0
K
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 4 LỚP 12 NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: Toán – Khối D HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản này gồm 06 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi Khảo sát.
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. (sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả)
II) Đáp án và thang điểm:
Đáp án
Điểm
2m
3
Câu Câu 1 (2 điểm)
x
y
4
23 x
2m hàm số (1) có dạng
2
,
' 0
0,
y
x
x
. 2
' 3
6
y
x
x
0.25
0
y
0
0
x
y
2 0
,
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi Khi a) Tập xác định D b) Sự biến thiên +) Chiều biến thiên: x x
;0 và
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng
0; 2 .
x
y
+) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại
4
0
x
2,
y
Hàm số đạt cực tiểu tại
y CT
0.25
3
3
+) Giới hạn:
y
x
1
y
x
1
lim x
lim x
; lim x
lim x
3 x
3 x
4 3 x
0, y CD 2 0 4 3 x
+) Bảng biến thiên:
0 2 0 0
x y'
0.25
y
4
0
3
2
y
x
2,
x
3
x
, suy ra đồ thị hàm số cắt trục
1
1;0
4 0 , cắt trục Oy tại điểm
0.25
x 2; 0 , x
6 0
1
x
0; 4 đồ thị hàm số nhận điểm '' 0
1; 2 làm điểm uốn.
c) Đồ thị: 0 Ox tại các điểm y 6 Đồ thị học sinh tự vẽ
2.Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 đạt cực trị tại
,x x sao cho 1
2
x 1
x 2
1 3
y
23 x
2
Ta có
m
2 1 2
m x
phương trình
y có 0
Để hàm số 1 đạt cực trị tại
,x x sao cho 1
2
x 1
x 2
1 3
0.25
hai nghiệm phân biệt
x 1
x 2
,x x sao cho 1
2
1 3
2; , nghịch biến trên
1
0.25
0 0 1 4 x 1 x 2 2 3 1 3 1 3
1
85
2
8
2
0,25
m
m
16
m
4
m
21 0
1 2
3 2
1 4
1
85
8
m m
1
85
1
85
0.25
m
m
Vậy để thoả mãn ycbt thì
hoặc
8
8
2
sin
x
2sin
x
sin
x
sin
3
x
Giải phương trình
2
2 x cos 1 cot
2 2
4
4
Điều kiện xác định
*
x l l
0.25
2
cos 2
x
x
2 cos
2
x
sin
x
Khi đó phương trình tương đương với
x sin 2 sin
4
x
0
2 cos 2
x
sin
x
x
2 cos 2
x
0.25
1 sin
4
4
4
Câu 2 (1 điểm)
sin x 0 x
0,25
4 2 2
cos 2 3 k 8 2 2
này đều thoả mãn điều kiện *
x
,
x
k
2
k
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
0.25
3 k 2 8
2
7
6
14
8
x
xy
y
y
Giải hệ phương trình
3
y
x
6
7
y
1
0
Xét
y hệ vô nghiệm
7
7
x x 2 k x 0 k cả 2 họ nghiệm 4 k 2 2 x k cos 2 x sin 1 x
0.25
1
0
Xét
y hệ đã cho tương đương với hệ pt :
y y x y x y
2
7
t
với mọi t
Xét hàm số
t
y x 6 7 y 1 3
1 0
t
f
t 67 t
hàm số
Đạo hàm
t đồng biến trên tập
f t
0.25
Câu 3 (1 điểm)
y
x
y
f
Phương trình (1)
f y
2 3
x y
x y
2
2
3
3
y
y
7
y
1
y
y
1
y
6 7 0
4
2
y
y
31
y
6 7
Thế 3 vào 2 ta được Điều kiện
với
1y
6 g y
0.25
1y . Xét hàm số 1
2
y
0
y
1
hàm số
1;
g y
f
3
2
1
1 y
3
y
6
2
2
y
x
g
g y đồng bién trên
3 4
2
1;
0.25
, 2 g . Phương trình 4
g y x y ,
2
2
9
x dx
ln
x
I
Tính tích phân
Câu 4 (1 điểm)
4, 2
2
dx
du
9
ln
u
x
x
1 2
Mà 0 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 4 0
Đặt
0.25
x
9
dv
dx
x
v
2
4
2
I
x
ln
x
9
x
dx
dx
0.25
x 2
x 2
0
4 0
4 0
x
9
x
9
4
x
2
I
x
2
9
dx
0.25
2
0
9 x I 2
AB a AD
2
a
,
ABCD bằng
4 0 Vậy 0.25 .Gọi M là Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm của đoạn MI . Hình chiếu vuông góc của của điểm S lên mặt phẳng đáy ABCD trùng với điểm N . Biết góc tạo bởi đường 045 . Tính thể tích khối chóp .S ABCD và thẳng SB với mặt phẳng đáy khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a .
a
2
2
AM BM MN
BN
2 BM MN
Ta có
, theo bài ra: 045
SBN
2
a 2
0.25
a
2
2
N
SN BN
,
a a .2
2
a
SBN
vuông cân tại
S
ABCD
2
3
a
2
a
2
2
0.25
V
2
a
Do đó
( đvtt)
SN S
S ABCD
.
ABCD
1 3
1 3
3
Câu 5 (1 điểm)
Hạ
2
NH SK
SAD
,
d MN SD
,
hạ
0.25
SNK
NK AD AD SAD
theo giao tuyến SK d MN SAD ,
(do
NH ||MN SAD )
a
2
NK AM
,
NS
Ta có
. Trong tam giác vuông SNK đường cao NH ta có
a 2
1
1
1
4
a
6
NH
0.25
2 4 2
6 2
2
2
2
2
6
a
a
NH
NS
NK
2
a
a
6
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD bằng
6
2
2
2
Câu 6 (1 điểm)
3
a
a
2
a
3
a
2
a
2
a
2
3 2
Cho số thực a chứng minh rằng:
1
1
2
2
2
2
2
2
SNK NH d N SAD
Bổ đề với mọi
dấu bằng khi và
0.25
yz
chỉ khi xt
( chứng minh bởi biến đổi tương đương hoặc dùng véc tơ)
2
2
3
1
1
3
2
a
3
a
2
a
Ta có
1
2
2
2
2
1
3
1
3
2
a
3
a
2
a
áp dụng bổ đề ta được
1
2
2
0.25
2
2
2
2
3
1
1
3
1
3
3
1
2
a
2
a
VT
a
a
2
2
2
2
2
2
2
2
x y z t , , , x y z t x z y t
2
2
2
2
2
0.25
a 1 3 a 1 3 a 2 a 2
2 1
2 3
2 3
3 2 VP
1
3
2 a 4 a 8 a 2 a 2 a 2 2 a
3
1
1
3
1
3
1
3
a
a
2
2
2
2
2
2
2
a
0
2
a
a
4
2
2
Dấu bằng xẩy ra
0.25
a
8 2 .1 2. 1
a a
2
2
y
x
, 0
2
2
y
x
x
2
4
20 0
C x 1 : 10 C đi qua các giao điểm
:
y C và có tâm nằm trên đường thẳng ,C 1
2
2
2
2
y 6 d x
0.25
2
2
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn . Viết phương trình đường tròn C 2 : của . 6 0 2 2C là nghiệm của hệ phương trình 1C và Toạ độ giao điểm của 2 50 y
x
1 ,
x
2
x
y 3
1
A 1
0.25
vậy 2 giao điểm của
1C và
2C là
y
7
x
10
x
2
y
4
2;4
1 ; 3
A 2
Câu 7a. (1 điểm)
A
, ta có
đường thẳng qua A vuông
1;7
A A 1 2
Trung điểm A của 1 2A A có toạ độ
3 1 ; 2 2
: 1.
x
7.
y
0
:
x
7
y
5 0
góc với
0.25
1 2A A có phương trình
3 2
1 2
x
7
y
5 0
x
12
Toạ độ tâm I của hai đường tròn cần tìm là nghiệm của hệ
x
6
y
6 0
y
1
2
2
3 2 0 x x 10 0 x y x 0 10 x 10 0 y y x 7 x 20 0 4 2 x y x y 10 7 x
4 1
12; 1
0.25
2
2
12
C
x
y
125
:
5 5 2 12 I . Đường tròn cần tìm có bán kính R IA 2
2
3
x
y
z
0
7
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 3; 2; 4
: 3
2
1
x
z
d
:
.
với mặt phẳng
đồng thời cắt đường thẳng
đi qua điểm A song song . Viết phương trình đường thẳng y 4 2
2
3
x
t 2 3
d
:
Phương trình tham số của đường thẳng
0.25
Câu 8a. (1 điểm)
1 ;
t 2 ; 2
5
và mặt phẳng
y 4 2 t 1 2 t z AM
3 t
d M M t t
/ /
2 t n AM n AM .
0
0.25
3; 2; 3 ,
Gọi mặt phẳng
AM
2 t
2
2
5
t
0
2
5; 6;9
0.25
có vtpt
t 3 3
1
t 3 2
x
3
x
4
:
:
.
0.25
5
y 2 6
9
vtcp AM
5; 6;9
3; 2; 4
Qua A
A
1
z
i .
Cho số phức z thoả mãn
Tính
1
i z
Câu 9a. (1 điểm)
1
4
z z .
4
z
i z .
2 3 ; 4 2 ;1 2 t n
Đặt
z . Từ giả thiết ta có:
i
0.25
2
2
b
2
b
b 4
a
a
2
2
a
b
4
a
bi
b
a
0.25
i 1
b
1
b
a
1
a 1, a 2,
A
i
1 2 i
i 3
1
a
b 1,
2
Với
ta có
3
0.25
1
4
z a bi , a b ,
