Đ s 24ề ố
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Ầ Ấ Ả ể
Câu I: (2 đi m) ểCho hàm s : ố
3 2
(1 2 ) (2 ) 2= + − + − + +y x m x m x m
(1) ( m là tham s ).ố
1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi m = 2.ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2) Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s (1) có đi m c c đ i, đi m c c ti u, đ ng th iị ủ ể ồ ị ố ể ự ạ ể ự ể ồ ờ
hoành đ c a đi m c c ti u nh h n 1.ộ ủ ể ự ể ỏ ơ
Câu II: (2 đi m)ể
1) Gi i ph ng trình: ả ươ
1
cos3 cos 2 cos 2
− + =x x x
2) Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
3log 3 2log 2 3
log 3 log 2
+
+
x x
x x
Câu III: (1 đi m)ể Tính tích phân:
6
2
2 1 4 1
=+ + +
dx
Ix x
Câu IV: (1 đi m)ể Cho hình chóp l c giác đ u S.ABCDEF v i SA = a, AB = b. Tính th tích c aụ ề ớ ể ủ
hình chóp đó và kho ng cách gi a các đ ng th ng SA, BE.ả ữ ườ ẳ
Câu V: (1 đi m)ể Cho x, y là các s th c tho mãn đi u ki n: ố ự ả ề ệ
2 2
3.+ + x xy y
Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2
(4 3 3) 3 4 3 3.− + − − −x xy y
II. PH N RIÊNG (3 đi m)Ầ ể
A. Theo ch ng trình chu nươ ẩ
Câu VI.a: (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC bi t ph ng trình các đ ngặ ẳ ớ ệ ọ ộ ế ươ ườ
th ng ch a các c nh AB, BC l n l t là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong c aẳ ứ ạ ầ ượ ủ
góc A n m trên đ ng th ng x + 2y – 6 = 0. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC.ằ ườ ẳ ọ ộ ỉ ủ
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 3x + 2y – z + 4 = 0 và haiớ ệ ọ ộ ặ ẳ
đi m A(4;0;0), B(0; 4; 0). G i I là trung đi m c a đo n th ng AB. Xác đ nh t a đ đi m Kể ọ ể ủ ạ ẳ ị ọ ộ ể
sao cho KI vuông góc v i m t ph ng (P) đ ng th i K cách đ u g c t a đ O và m t ph ngớ ặ ẳ ồ ờ ề ố ọ ộ ặ ẳ
(P).
Câu VII.a: (1 đi m)ể Ch ng minh ứ
2010 2008 2006
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 )+ = + − +i i i i
B. Theo ch ng trình nâng caoươ
Câu VI.b: (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng th ng d: x – 5y – 2 = 0 và đ ng trònặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ ẳ ườ
(C):
. Xác đ nh ịt a đ các giao đi m A, B c a đ ng tròn (C) vàọ ộ ể ủ ườ
đ ng th ng d (cho bi t đi m A có hoành đ d ng). Tìm t a đ C thu c đ ng tròn (C)ườ ẳ ế ể ộ ươ ọ ộ ộ ườ
sao cho tam giác ABC vuông B.ở
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đ ng th ng: ớ ệ ọ ộ ườ ẳ
1
1
( ) : 1
2
= +
∆ = − −
=
x t
y t
z
,
( )
2
3 1
:1 2 1
− −
∆ = =
−
x y z
Xác đ nh đi m A trên ị ể ∆1 và đi m B trên ể∆2 sao cho đo n AB có đ dài nh nh t.ạ ộ ỏ ấ
Câu VII.b: (2 đi m) ểCho t p A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khácậ ố ự ữ ố
nhau ch n trong A sao cho s đó chia h t cho 15.ọ ố ế
H ng d n Đ s 24ướ ẫ ề ố
www.VNMATH.com
Câu I: 2)
( )
2
( ) 3 2 1 2 2
= = + − + −y g x x m x m
.
YCBT ⇔ ph ng trình y' = 0 có hai nghi m phân bi t xươ ệ ệ 1, x2 tho xả1 < x2 < 1
⇔
2
4 5 0 5
(1) 5 7 0 1 5
4
2 1 1
2 3
∆ = − − >
� �
= − + > < − < <� �
� �
� �
−
= <
m m
g m m m
S m
Câu II: 1) • N uế
cos 0 2 ,
2
π π
= = +� �
xx k k Z
, ph ng trình vô nghi m.ươ ệ
• N u ế
cos 0 2 ,
2
π π
+�۹ �
xx k k Z
, nhân hai v ph ng trình cho ế ươ
22
x
cos
ta đ c:ượ
2cos cos3 2cos cos 2 2cos cos cos
2 2 2 2
− + =
x x x x
x x x
tích thành tông
70
2=
x
cos
2,
7 7
π π
= +� �
ﾢ
x k k
, đ i chi u đi u ki n: k ≠ 3 + 7m, mố ế ề ệ ∈Z .
2) Đi u ki n: 0< x ≠ 1. Đ t: ề ệ ặ
2
log 3 log 3 0
log 2
= = >�
x
x
y y
.
BPT ⇔
log 3
3 2
log 2 3 2 1
3 3 3 3
log 3 1 1
1
log 2
++
−�۳� �+ +
+
x
x
x
x
y
y y
(*) luôn sai v i m i y > 0.ớ ọ
K t lu n: BPT vô nghi m.ế ậ ệ
Câu III: Đ t : ặ
2 2
1
4 1 4 1 ( 1)
4
= + = + = −� �t x t x x t
Do đó:
6 5
2
2 3
( 1)
2 1 4 1
= = +
+ + +
� �
dx tdt
It
x x
5
2
3
1 1 3 1
ln
1 ( 1) 2 12
� �
− = −
� �
+ +
� �
dt
t t
Câu IV: Nh n xét: Tâm O c a l c giác đ u ABCDEF là trung đi m c a các đ ng chéo AD, BE, CF. SOậ ủ ụ ề ể ủ ườ
⊥(ABCDEF). Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE,OEF, OFA là các tam giac đ u b ng nhau c nhề ằ ạ
b.
Di n tích đáy: Sệđáy = 6S∆OAB =
2
2
3 3 3
64 2
=b
b
(đvdt)
Chi u cao h =ề SO =
2 2 2 2
− = −SA OA a b
⇒ Th tích V = ể
2 2 2
3( )
1
3 2
−
=
dáy
b a b
S h
* Xác đ nh đ c d(SA, BE) = d(O, (SAF)) = OJ. Ch ng minh OJ ị ượ ứ ⊥(SAF)
Trong ∆SOJ vuông t i O ta có OJ = ạ
2 2
2 2
2 2
. 3( )
4
−
=−
+
OI SO a b
ba b
OI SO
Câu V: Đ t A = ặ
2 2
+ +x xy y
, B =
2 2
3− −x xy y
• N u y = 0 thì A = B = xế2 ⇒ 0 ≤ B ≤ 3.
• N u y ≠ 0, ta đ t ế ặ
=x
zy
khi đó:
2 2 2
2 2 2
3 3
. . 1
− − − −
= =
+ + + +
x xy y z z
B A A
x xy y z z
.
Xét ph ng trình: ươ
( ) ( )
2
2
2
31 1 3 0
1
− − = − + + + + =�
+ +
z z m m z m z m
z z
(a).
(a) có nghi m ệ⇔
( ) ( ) ( )
2
1
1
3 48 3 48
01 4 1 3 0 3 3
=
=
− − − +
∆ + −−+ � �
m
m
m m m m
Vì 0 ≤ A ≤ 3 ⇒
3 4 3 3 4 3− − − +B
. Đây là đi u ph i ch ng minh.ề ả ứ
Câu VI.a: 1) T a đ c a A nghi m đúng h ph ng trình: ọ ộ ủ ệ ệ ươ
( )
4 3 4 0 2 2;4
2 6 0 4
+ − = = −
� � −� �
� �
+ − = =
� �
x y x A
x y y
T a đ c a B nghi m đúng h ph ng trình ọ ộ ủ ệ ệ ươ
( )
4 3 4 0 1 1;0
1 0 0
+ − = =
� �
� �
� �
− − = =
� �
x y x B
x y y
Đ ng th ng AC đi qua đi m A(–2;4) nên ph ng trình có d ng:ườ ẳ ể ươ ạ
( ) ( )
2 4 0 2 4 0+ + − = + + − =�a x b y ax by a b
G i ọ
1 2 3
: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0
∆ ∆ ∆
+ − = + − = + + − =x y x y ax by a b
T gi thi t suy ra ừ ả ế
( )
ﾢ
( )
ﾢ
2 3 1 2
; ;
∆ ∆ ∆ ∆
=
. Do đó
( )
ﾢ
( )
ﾢ
( )
2 3 1 2 2 2
2 2
|1. 2. | | 4.1 2.3 |
cos ; cos ; 25. 5
5.
0
| 2 | 2 3 4 0 3 4 0
∆ ∆ ∆ ∆
+ +
= =�+
=
+ = + − =� � � − =
a b
a b
a
a b a b a a b a b
• a = 0
0b
. Do đó
3
: 4 0
∆
− =y
• 3a – 4b = 0: Ch n a = 4 thì b = 3. Suy ra ọ
3
: 4 3 4 0
∆
+ − =x y
(trùng v i ớ
1
∆
).
Do v y, ph ng trình c a đ ng th ng AC là y – 4 = 0.ậ ươ ủ ườ ẳ
T a đ c a C nghi m đúng h ph ng trình:ọ ộ ủ ệ ệ ươ
( )
4 0 5 5;4
1 0 4
− = =
� �
� �
� �
− − = =
� �
y x C
x y y
2) T a đ c a trung đi m I c a AB là: I(2; 2; 0) ọ ộ ủ ể ủ
⇒ Ph ng trình đ ng th ng KI: ươ ườ ẳ
2 2
3 2 1
− −
= = −
x y z
.
G i H là hình chi u c a I lên (ọ ế ủ α) ⇒ H(–1; 0; 1).
Gi s K(xả ử k; yk; zk), khi đó:
( ) ( )
2 2
2
1 1= + + + −
k k k
KH x y z
và
2 2 2
= + +
k k k
KO x y z
T yêu c u bài toán ta có h :ừ ầ ệ
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1
4
1 1 1
2 2 2
3 2 1 3
4
= −
+ + + − = + +
=�
� �
− −
� �
= = −
=
k
k k k k k k
k
k k k
k
x
x y z x y z
y
x y z
z
. K t lu n: ế ậ
1 1 3
; ;
4 2 4
� �
−
� �
� �
K
.
Câu VII.a: Ta có:
2010 2008 2006 4 2 4
3(1 ) 4 (1 ) 4(1 ) 3(1 ) 4 (1 ) 4 (1 ) 4+ = + − + + = + − + = −� �i i i i i i i i
⇔
2
4 4= −i
( đúng) ⇒ (đpcm).
Câu VI.b: 1) T a đ giao đi m A, B là nghi m c a h ph ng trìnhọ ộ ể ệ ủ ệ ươ
2 2
0; 2
2 4 8 0
1; 3
5 2 0
= =
+ + − − =
� � = − = −
− − =
y x
x y x y
y x
x y
Vì A có hoành đ d ng nên ta đ c A(2;0), B(–3;–1).ộ ươ ượ
Vì
ﾢ
0
90=ABC
nên AC là đ ng kính đ ng tròn, t c đi m C đ i x ng v i đi m A qua tâm I c aườ ườ ứ ể ố ứ ớ ể ủ
đ ng tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).ườ
2) Vì A∈ ∆1 ⇒ A(t+1; –t –1; 2); B∈ ∆2 ⇒ B( t'+3; 2t' +1; t')
⇒
AB t t t t t( ' 2;2 ' 2; ' 2)= − − + + + −
uuur
Vì đo n AB có đ dài nh nh t ạ ộ ỏ ấ ⇔ AB là đo n vuông góc chung c a (ạ ủ ∆1) và (∆2)
⇒
1 1
2 2
. 0 2 3 ' 0 ' 0
3 6 ' 0
. 0
AB u AB u t t t t
t t
AB u AB u
� �
⊥ = + =
� � = =� � �
� � � + =
⊥ =
� �
� �
uuur r uuur r
uuur r uuur r
⇒ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0).
Câu VII.b: Nh n xét: S chia h t cho 15 thì chia h t 3 và chia h t 5.ậ ố ế ế ế
• Các b s g m 5 s có t ng chia h t cho 3 là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3;ộ ố ồ ố ổ ế
4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6).
• M i s chia h t cho 5 khi và ch khi s t n cùng là 0 ho c 5. ỗ ố ế ỉ ố ậ ặ
+ Trong các b s trên có 4 b s có đúng m t trong hai s 0 ho c 5 ộ ố ộ ố ộ ố ặ ⇒ 4.P4 = 96 s chia h t cho 5.ố ế
+ Trong các b s trên có 3 b s có c 0 và 5. ộ ố ộ ố ả
N u t n cùng là 0 thì có Pế ậ 4= 24 s chia h t cho 5.ố ế
N u t n cùng là 5 vì do s hàng ch c nghìn không th là s 0, nên có 3.Pế ậ ố ụ ể ố 3=18 s chia h t cho 5.ố ế
Trong tr ng h p này có: 3(Pườ ợ 4+3P3) = 126 s . ố
V y s các s theo yêu c u bài toán là: 96 + 126 = 222 s .ậ ố ố ầ ố