Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Đề Thi Thử Lớp 9 Năm 2011
Trường THPT Chuyên KHTN Môn : Toán (Vòng 2-Đợt 3)
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1.
23x
7x 2 4
3x 1
x 2
4x 2
1) Giải phương trình
xyz y
2 yz
xyz
3 2xz
z
xyz x 1 3xy
2) Giải hệ phương trình
23n . Chứng minh rằng
2n
d
2
Câu 2.
d 3n
2
2
2
a
b
4c
ab 3 5c a b
1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của là số chính phương khi và chỉ khi
2) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P ab bc ca
Câu 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. I là một điểm cố định trên đoạn AB. DE là dây cung thay đổi của (O) luôn qua I . BD, BE cắt d lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh rằng tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng AM.AN không đổi.
3) Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEMN thuộc một đường thẳng cố định.
2810
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Câu 4. Trên đường tròn có 25 vị trí được viết các số gồm 12 số 1 và 13 số -1. Mỗi bước ta thực hiện như sau: Với mỗi hai cặp số ở vị trí kề nhau trên đường tròn, ta tính tổng giá trị của chúng và viết số vừa tính vào giữa hai số kề nhau đó trên đường tròn; sau đó xóa tất cả 25 số ban đầu ta thu được 25 số mới. Chứng minh rằng sau 100 bước, một trong các số trên đường tròn có giá trị nhỏ hơn
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Giải
Câu 1.
23x
7x 2 4
3x 1
x 2
4x 2
1) Giải phương trình
x
1 3
a; x 2
Đk :
b
Đặt 3x 1
2
2
Ta có
a b a 2 b 2
b a b ab 4 2a 2b 0
ab 4 a b
2 a
0
a
b
3x 1
x 2
3x 1 x 2
x
1 2
Với
Với a 2 3x 1 x 1 2
2
x 2
2
x
x
; x 1; x
Với b 2
2
1 2
Vậy nghiệm của phương trình là
xyz y 2 yz z 3 2xz xyz xyz x 1 3xy
y 2
2
2 2 x 1 y 2 z 3 x y z
2) Giải hệ phương trình
1
x 1 xy 3 z
x 1 y 2 0 z 3
z 3 xz 2 y
yz 1 x
2
x 1 y z 3
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
23n . Chứng minh rằng
2n
d
2
Câu 2.
d 3n
2
2
2
1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của là số chính phương khi và chỉ khi
n
d
4n
2
d 3n 2n
d là số chính phương. Ta giả sử
n
d
a
2
thì ta có là số chính phương. 2 Nếu Nếu
thỏa mãn
d 3n
2
2
Nếu d và n không có ước chung ngyên tố thì từ đó ta có n 1;d 3 3 d 1 d
2
2
d
n
a
từ đó n ;d;a đều chia hết cho
0
0
2k , từ đó ta rút 0n không có ước chung nguyên tố từ đó suy
0d và
2
Nếu d và n có ước chung nguyên tố là k thì a k gọn sẽ được phương trình với
d là số chính phương thì
d 3n
0 2n
0
0
2
2
2
a
b
4c
ab 3 5c a b
ra n 1; d . Từ đó nếu 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất
2) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện của biểu thức P ab bc ca
2
2
2
2
2
Ta có
4c a b
2
a b 4c ab 3 5c a b a b 4c 3 ab bc ca
ab bc
a b c 3 ab bc ca
ca 3
c
Dấu bằng xảy ra khi a b
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Câu 3.
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
(cid:0)
EDB EAB
1) Ta có (cid:0) (góc nội tiếp cùng chắn một cung)
(cid:0) (cid:0) , nên tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp. (cid:0) EAB ANE (cùng phụ với (cid:0)NAE ). Từ đó (cid:0) EDB ANE
2) Giả sử đường tròn qua D, E, M, N cắt đoạn AB tại H và cắt tia đối của tia AB tại K.
2AB
, do tứ giác HENK là tứ giác nội
BE.BN 2
BH.BK BA
. Từ đó ta có : Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có tiếp nên BE.BN BH.BK
Tứ giác ADBE là tứ giác nội tiếp nên ID.IE IA.IB
2
BH.BK BA
BH BA.x; BK
x
Tứ giác DHEK là tứ giác nội tiếp nên ID.IE IH.IK . Từ đó ta có IH.IK IA.IB
BH BA BA BK
BA x
Từ
BI BH BK BI
2
IH.IK IA.IB
2 BI AB AB.BI.x
AB x
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
BI AB.x BI AB.BI x
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
2
2
AB.BI x
IA.IB BI AB
1 x
AB.BI x
AB BI AB
1 x
2
x
1
x 1 0
AB BI
x
BH BA
Phương trình này có hai nghiệm dương phân biệt có tích là 1, do nên có duy nhất x thỏa
mãn bài toán. Từ đó ta có H, K cố định
không đổi. Do tứ giác KMHN nội tiếp nên AM.AN AH.AK
3) Tâm đường tròn ngoại tiếp DEMN luôn thuộc trung trực của HK không đổi.
1002
28
28
Câu 4. Sau bước 1 tổng của 25 số gấp đôi tổng của 25 số ban đầu nên tổng của chúng là -2. Cứ , trong 25 số phải có số bé hơn như vậy, sau 100 bước tổng của 25 số trên đường tròn là
10
100 2
25.10
1002 25
100 2 25
9
9
92
10
3
28
. Ta chứng minh
100 2
250. 2
250. 10
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Ta có 256.2 25.10 . Từ đó ta có đpcm
