SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 (2,5 điểm)
Cho biểu thức A =
1 1 x 2
.
x 2 x 2 x
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tim tất cả các giá trị của x để A
1
2
.
c) Tim tất cả các giá trị của x để
7
B A
là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm)
Trên quãng đường AB dài 156 km, một người đi xe máy từ A và một người đi xe
đạp từ B. hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ thì gặp nhau. Biết rằng vận tốc xe
máy lớn hơn vận tốc xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x2 – 2(m -1)x + m2 -6 = 0, m là tham số.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2 2
1 2
x x 16
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các
tiếp điểm) và cát tuyến ACD không đi qua O ( C nằm giữa M và D) với đường tròn
(O). Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
b) MC.MD=MA2.
c) OH.OM+MC.MD=MO2.
d) CI là phân giác của
MCH
.
----- Hết ------
Họ và tên thí sinh :…………………………………………Số báo danh…………..
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM (Tự giải)
Câu
N
ội dung
Bi
ểu
điểm
1
a
ĐKXĐ:
x 0, x 4
A =
1 1 x 2 x 2 x 2 x 2
. .
x 2 x 2 x x
x 2 x 2
2 x 2
x 2
x x 2
0,5
0,5
b
1 2 1
A 4 x 2 x 2 x 4
2 2
x 2
Kết hợp với ĐKXĐ ta có
0 x 4
0,5
0,5
c
7 7 2 14
B .A
3 3
x 2 3 x 6
Ta có :
14 14
0
6
3( 6)
x
B
(1;2)
x
(
1
3
;
8
3
)
x
(
1
9
;
64
9
)
Vậy
1 64
x ;
9 9
thì B là một số nguyên.
0,5
2
G
ọi x (km/h) l
à v
ận tốc của ng
ư
ời đi xe đạp ( x>0)
Vận tốc của người đi xe máy là x+28 (km/h)
Quảng đường người đi xe đạp trong 3 giờ là 3x (km)
Quảng đường người đi xe máy trong 3 giờ là 3(x+28) (km)
Do hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình: 3x+
3(x+28)=156
6x+84=156
x=12 (t/m)
Vậy vận tốc của người đi xe đạp là 12 km/h
vận tốc của người đi xe đạp là 40 km/h
0,5
0,5
0,5
3
a
Khi m=3 ta có phương trình 2
x 4x 3 0
Do a+b+c=1+(-4)+3=0, suy ra 1 2
x 1, x 3
Vậy với m=3 phương trình có hai nghiệm 1 2
x 1, x 3
0,5
0,5
b
Để phương trình có hai nghiệm
2
' 2
0 (m 1) (m 6) 0
2 2
7
m 2m 1 m 6 0 2m 7 0 m
2
Theo hệ thứ Vi-ét ta có 2
1 2 1 2
x x 2m 2, x .x m 6
Từ hệ thức
22
2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x 16 x x 2x x 16 2m 2 2(m 6) 16
2 2 2
4m 8m 4 2m 12 16 2m 8m 0 2m(m 4) 0
0,5
m 0
m 4 (ktm)
Vậy m=0 thì phương trình trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2 2
1 2
x x 16
0,5
4
V
ẽ h
ình
đúng, đ
ẹp
K
IHO
D
C
M
B
A
0,5
a
Xét tứ giác MAOB ta có
0
A B 90
( t/c tiếp tuyến)
0 0 0
A B 90 90 180
Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn
0,5
0,5
b
Xét
MAC
và
MDA
có
M
chung,
MAC MDA
( cùng chắn
AC
)
Do đó
MAC
đồng dạng với
MDA
Suy ra 2
MA MC
MA MC.MD
MD MA
0,5
0,5
c
Xét
MAO
vuông tại A, có AH đường cao, ta có
2
OH.OM AO
Suy ra
2 2
OH.OM MC.MD AO MA
(1)
Xét
MAO
theo Pitago ta có
2 2 2
AO MA MO
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2
OH.OM MC.MD MO
0,5
0,5
d
Xét
MAO
vuông tại A, có AH đường cao, ta có
2
MH.MO MA
Suy ra 2
MC MO
MC.MD MH.MO MA
MH MM
Xét
MCH
và
MOD
có
MC MO
MH MM
,
M
chung
Do đó
MCH
MOD
(c.g.c)
MCH MOD
Xét tứ giác CDOH có
MCH MOD
(cmt)
suy ra tứ giác CDOH nội tiếp
DCH DOK
( cùng bù
HOD
) (1)
Mặt khác
1 1
DCK DOK
2 2
sđ
DK
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
1
DCK DCH
2
CK phân giác
DCH
(3)
Mà
0
ICK 90
( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) (4)
Từ (3) và (4) suy ra CI là phân giác của
MCH
.
0,5