Tài liệu Giải bài tập Dãy số SGK Đại số và giải tích 11 bài trang 92 là tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các em, giúp các em củng cố và luyện tập lại toàn bộ kiến thức đã học một cách hiệu quả. Sau đây mời các em tham khảo.
A.Tóm tắt kiến thức bài Dãy số
1. Định nghĩa
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt
là dãy số). Kí hiệu:
u: N* → R
n → u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2,u3, ….,un,….,
trong đó un = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đàu của dãy
số (un )
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m}, với m ε N* được gọi là một dãy số hữu
hạn
Dạng khai triển của nó là: u1, u2,u3, ….,um, trong đó u1là số hạng đầu, Um là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
Khi đó Un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N* .
Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng chính là
số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được Un.
b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên,
thường thì không tìm ngay được Un với n tuỳ ý.
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)
– Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).
– Với n ≥ 2, cho một công thức tính Un nếu biết Un-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)
Trang | 1
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Chẳng hạn, các công thức có thể là:
3) Dãy số tăng, dãy số giảm
– Dãy số Un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N* ;
– Dãy số Un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ N* .
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (Un):
Phương pháp 1: Xét hiệu H = un+1 – un.
– Nếu H > 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng
– Nếu H < 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm.
Phương pháp 2:
4. Dãy số bị chặn
– Dãy số Un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
Un ≤ M, với mọi n ∈ N*.
– Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
Un ≥ m, với mọi n ∈ N*.
– Dãy số Un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai
số m, M sao cho:
m ≤ Un ≤ M, với mọi n ∈ N*.
B. Đáp án và hướng dẫn giải bài kiến thức bài Dãy số trang 92.
Bài 1 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Trang | 2
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Bài 1. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 1:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là u1 = 1; u2 = 2/3, u3 = 3/7; u4 =4/15; u5 =5/31
b) Năm số hạng đầu của dãy số là
u1 = 1/3; u2 = 3/5, u3 = 7/9; u4 =15/17; u5 =31/33
c) Năm số hạng đầu của dãy số là
u1 = 2; u2 = 9/4, u3 = 64/27; u4 = 625/256; u5 = 7776/3125
d) Năm số hạng đầu của dãy số là
u1 = 1/√2; u2 = 2/√5, u3 = 3/√10; u4 =4/√17; u5 =5/√26
Bài 2 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Cho dãy số Un , biết:
u1 = -1; un+1 = un +3 với n ≥ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n -4.
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 2:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là -1, 2, 5, 8, 11.
b) Chứng minh un = 3n – 4 bằng phương pháp quy nạp:
Với n =1 thì u1 3.1 – 4 = -1, đúng.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n =
k + 1.
Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:
uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.
Trang | 3
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vậy hệ thức đúng với mọi n ∈ N* , tức là công thức đã được chứng minh.
Dãy số un cho bởi: u1 = 3; , n ≥ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh côngt hức đó bằng phương pháp
quy nạp
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 3:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.
b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)
u2 = √10 = √(2 + 8)
u3 = √11 = √(3 + 8)
u4 = √12 = √(4 + 8)
………..
Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ∈ N* (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
– Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.
– Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.
Theo công thức dãy số, ta có:
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Vậy công thức (1) được chứng minh.
Bài 4 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:
Trang | 4
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 4:
a)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu
Vậy un+1 > un với mọi n ε N* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không
giảm.
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số un+1 / un
(vì un > 0 với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.
Ta có với mọi n N*
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.
Bài 5 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 5:
a) Dãy số bị chặn dưới vì un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N* và không bị chặn trên vì với số M
Trang | 5
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
dương lớn bất kì, ta có 2n2-1 > M ⇔
b) Dễ thấy un > 0 với mọi n ε N*
Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n2 ≥ 1 và 2n ≥ 2.
Do đó n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3, suy ra
Vậy dãy số bị chặn 0 < un ≤ 1/3
với mọi n ε N*
c) Vì n ≥ 1 nên 2n2 – 1 > 0, suy ra
Mặt khác n2 ≥ 1 nên 2n2 ≥ 2 hay 2n2 – 1≥ 1, suy ra
Vậy 0 < un ≤ 1, với mọi n ∈ N* , tức dãy số bị chặn.
d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + π/4), với mọi n. Do đó:
-√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ∈ N*
Trang | 6
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vậy -√2 < un < √2, với mọi n ∈ N* .
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB, …
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
Trang | 7
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
