Tài liệu Giải bài tập Hoán vị-Chỉnh hợp-Tổ hợp SGK Đại số và Giải tích 11 trang 54,55 có lời giải chi tiết nhằm giúp các em nắm được nội dung của bài học và phương pháp giải bài tập trong SGK tốt hơn. Mời các em cùng tham khảo!
A. Tóm tắt kiến thức: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi
phần tuwr có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Định lí
Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (n ≥ 1) được kí hiệu là Pn và bằng:
Pn = n(n – 1)(n – 2)…2 . 1 = n!.
2. Chỉnh hợp:
Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi tập con sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau (1 ≤ k ≤
n) của tập hợp n phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Chú ý:
Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử
đó.
Định lí:
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Akn và bằng
(1 ≤ k ≤ n),
Với quy ước 0! = 1.
3. Tổ hợp:
Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử khác nhau (không phân biệt
thứ tự) của tập hợp n phần tử đã cho (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử dã cho (với quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).
Trang | 1
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Định lí:
Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là Ckn và bằng
, (0 ≤ k ≤ n).
Các tính chất
B.Hướng dẫn giải bài tập SGK trang 54,55 Đại số và giải tích 11: Hoán vị – Chỉnh hợp –
Tổ hợp
Bài 1. ( trang 54 SGK đại số và giải tích 11)
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số ?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000 ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:
a) ĐS : P6 = 6! = 720 (số).
Tập hợp A gồm 6 phần tử. Để lập được số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau thì mỗi số như vậy
được coi là một chỉnh hợp chập 6 của 6 phần tử. Vậy các số đó là
b) Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng
, với a, b, c, d, e, f là các phần tử khác nhau của tập {1, 2, 3, 4, 5, 6}, có kể đến thứ tự, f chia hết
cho 2.
Để lập được số tự nhiên này, phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:
Hành động 1: Chọn chữ số f ở hàng đơn vị, với f chia hết cho2. Có 3 cách để thực hiện hành
động này.
Hành động 2: Chọn một hoán vị của 5 chữ số còn lại (khác với chữ số f đã chọn) để đặt vào
các vị trí a, b, c, d, e (theo thứ tự đó). Có 5! cách để thực hieenjj hành động này.
Trang | 2
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Theo quy tắc nhân suy ra số các cách để lập được số tự nhiên kể trên là
3 . 5! = 360 (cách).
Qua trên suy ra trong các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đã lập được từ các chữ số đã
cho, co 360 số tự nhiên chẵn.
Tương tự ta tìm được trong các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đã lập được từ các chữ số
đã cho, có 360 số tự nhiên lẻ.
c) Trong các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số đã cho, những số tự
nhiên bé hơn 432000 hoặc là những số tự nhiên có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4 hoặc
là những số tự nhiên có chữ số hàng trăm nghìn là 4 và chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 3
hoặc là những số tự nhiên có chữ số hàng trăm nghìn là 4 và chữ số hàng chục ngìn là 3 và
chữ số hàng nghìn nhỏ hơn 2. Do đó từ các chữ số đã cho, để lập được số tự nhiên có 6 chữ
số khác nhau, bé hơn 432000 (ta gọi là số tự nhiên cần lập), phải thực hiện một hành động
trong ba hành dộng loại trừ nhau đôi một sau đây:
Hành động 1: Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, với chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4.
Có 3 cách để chọn chữ số hàng trăm nghìn và có 5! cách để chọn một hoán vị của 5 chữ số
(đã cho) còn lại, rồi đặt vào các vị trí từ hàng chục nghìn đến hàng đơn vị.
Theo quy tắc nhân suy ra: Số các cách để thực hiện hành động này là:
3 . 5! = 360 (cách).
Hành động 2: Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, với chữ số hàng trăm nghìn là chữ số 4
và chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 3.
Tương tự như trên ta tìm được số các cách để thực hiện hành động này là:
1 . 2 . 4! = 48 (cách).
Hành động 3: Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, với chữ số hàng trăm nghìn là chữ số 4,
chữ số hàng chục nghìn là chữ số 3, chữ số hàng nghìn nhỏ hơn 2.
Tương tự như trên ta tìm được số các cách để thực hiện hành động này là:
1 . 1 . 1 . 3! = 6 (cách)
Theo quy tắc cộng suy ra số các cách để từ các chữ số khác nhau, lập được từ các chữ số đã
cho, có 414 số bé hơn 432000.
Trang | 3
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Bài 2. ( trang 54 SGK đại số và giải tích 11)
Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một
dãy ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:
Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào một dãy 10 ghế là một cách sắp thứ tự cho
10 người khách (theo thứ tự của 10 ghế). Do đó mỗi cách xếp chỗ ngồi là một hoán vị của 10
người khách.
Suy ra số các cách để xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào một dãy 10 ghế là:
P10 = 10! = 3628800 (cách)
Bài 3. ( trang 54 SGK đại số và giải tích 11)
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba
bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:
Mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một cách để từ baye bông hoa, chọn ra ba bông và
sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của ba lọ). Do đó mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là
một chỉnh hợp chập 3 của 7 bông hoa. Suy ra số cách cắm hoa là:
A37 = 210 (cách).
Bài 4. ( trang 55 SGK đại số và giải tích 11)
Có bao cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:
Mỗi cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đen khác nhau đã cho là một chỉnh
hợp chập 4 của 6 bóng đèn đã cho. Do đó số các cách mắc là:
A46 = 360 (cách).
Bài 5. ( trang 55 SGK đại số và giải tích 11)
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)
nếu:
Trang | 4
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
a) Các bông hoa khác nhau ?
b) Các bông hoa như nhau ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:
a) Đánh số thứ tự cho 3 bông hoa. Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra 3 lọ và sắp thứ tự
cho chúng (theo thứ tự của 3 bông hoa), nên mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập 3 của 5 lọ.
Suy ra số cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ là:
A35 = 60 (cách).
b) Vì 3 bông hoa là như nhau, nên mỗi cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm
không quá một bông) là một cách chọn ra một tập hợp 3 phần tử (không phân biệt thứ tự)
từ 5 lọ. Suy ra số các cách cắm 3 bông hoa như nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không
quá một bông) là:
C35 = 5!/3!2!= 10 (cách).
Bài 6. ( trang 55 SGK đại số và giải tích 11)
Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có
thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:
Mỗi tập con gồm 3 điểm (không phân biệt thứ tự) của tập hợp 6 điểm đã cho xác định duy
nhất một tam giác. Từ đó ta có: số tam giác có thể lập được (từ 6 điểm đã cho) là:
C36 = 6!/3!3!= 20 (tam giác)
Bài 7. ( trang 55 SGK đại số và giải tích 11)
Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song
với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thằng song song đó ?
Đáp án và hướng dẫn giải bài 7:
Để lập được một hình chữ nhât, phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:
Hành động 1: Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 4 đường thẳng song
song đã cho. Số các cách để thực hiện hành động này là C24 = 4!/2!2!= 6 (cách)
Hành động 2: Chọn 2 đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm 5 đường thẳng đã cho,
Trang | 5
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
vuông góc với 4 đường thẳng song song. Số các cách để thực hiện hành động này là
C25 = 5!/2!3!= 10 (cách).
Theo quy tắc nhân suy ra số các cách để lập thành một hình chữ nhật từ các đường thẳng đã
cho là 6 . 10 = 60 (cách).
Trang | 6
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Qua trên suy ra từ các đường thẳng đã cho có thể lập được 60 hình chữ nhật.
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán, Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB, …
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
Trang | 7
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
