Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế được biên soạn với mục tiêu hướng dẫn các em học sinh phương pháp giải toán hiệu quả và tối ưu nhất. Mời các em cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2018 - 2019. (Lời giải gồm 05 trang) C©u 1: (4,0 ®iÓm) 2x 1 Cho hµm sè y  cã ®å thÞ  C  . Gäi I lµ giao ®iÓm hai ®êng tiÖm cËn cña ®å x 1 thÞ  C  . TiÕp tuyÕn t¹i M cña ®å thÞ  C  c¾t hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ  C  lÇn lît t¹i hai ®iÓm A vµ B. a) Chøng minh M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB. b) X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt. Gi¶i: 1  2a  1  a) Ta cã y   2 . Gäi M  a ;   a  1 lµ tiÕp ®iÓm.  x  1  a 1  1 2a  1 Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn d cña ®å thÞ  C  t¹i ®iÓm M lµ: y   2  x  a  .  a  1 a 1 Gi¶ sö A, B lÇn lît lµ giao ®iÓm cña d víi ®êng tiÖm cËn ®øng vµ tiÖm cËn ngang.  2a  Suy ra: A 1;  , B  2a  1; 2   a 1   x A  xB  1   2a  1  2a  2 xM  Khi ®ã:  2a 4a  2  M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB.  y A  yB  2  2 yM  a 1 a 1 2 b) Ta cã IA  ; IB  2 a  1  IA.IB  4 a 1 Tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I nªn: IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB 2  2 IA.IB  2 IA.IB  4  2 2 VËy chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt b»ng 4  2 2 khi vµ chØ khi: 2  a  0  M  0;1 IA  IB   2 a 1   a 1  a  2  M  2;3 C©u 2: (4,0 ®iÓm)  3    a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 cos 2 x  sin 2 x cos  x    4 sin  x    0  x   .  4   4 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 x  3   x  1 x 2  6   x  2  x 2  2 x  9  0  x   . Gi¶i: a) Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi:  1 1   1 1  2 2  cos x  sin x  cos x  sin x   sin 2 x   cos x  sin x   4  sin x  cos x   0  2 2   2 2   4  cos x  sin x  cos x  sin x   sin 2 x  cos x  sin x   4  sin x  cos x   0  cos x  sin x  0 1   4  cos x  sin x   sin 2 x  4  0  2 1
 *Ta cã 1  tan x  1  x    k  k   . 4   *Gi¶i (2): §Æt t  cos x  sin x  2 cos  x      2; 2   sin 2 x  1  t 2  4 t  1 Ph¬ng tr×nh trë thµnh: 4t  1  t 2  4  0  t 2  4t  3  0   t  3 (loai )  x  k 2   Víi t  1 ta cã 2 cos  x    1   k    4  x     k 2  2   VËy ph¬ng tr×nh ban ®Çu cã 3 hä nghiÖm lµ x    k ; x  k 2 ; x    k 2 k    4 2 u  x 2  2 x  9  0 u 2  v2  3 b) §Æt   u2  v2  2x  3  x  v  x 2  6  0 2 2  u 2  v2  1  2  u 2  v2  1  Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: u  v  v.    u.  0  2   2       2 u 2  v2  u  v  u 2  v2  u  v   0 u  v  0 u  v  2   2  u  v    u  v   1  0 u  v  1 (vn) 3 Víi u  v ta cã x 2  6  x 2  2 x  9  x   . 2 3 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm lµ x   . 2 C©u 3: (4,0 ®iÓm)  x3  y 3  3 x 2  4 x  y  2  0 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  3 2  x, y    .  2 x  y  5  3  x  y  x  3 x  10 y  10 b) Cho tËp A  0;1; 2;3; 4;5;6. Gäi S lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau ®îc chän tõ c¸c phÇn tö cña tËp A. Chän ngÉu nhiªn 1 sè tõ tËp S . TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè ®îc chän chia hÕt cho 15. Gi¶i: 2 x  y  5  0 a) §iÒu kiÖn  3  x  y  0 3 Ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ t¬ng ®¬ng:  x  1   x  1  y 3  y 2   x  y  1  x  1  y  x  1  y 2  1  0    y  x 1 Thay y  x  1 vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®îc ph¬ng tr×nh: 3 x  4  4  2 x  x3  3 x 2  10 x 5x   x  x  5  x  2  3x  4  4  2 x x  0    x  5  x  2  3 x  4  4  2 x  5  (*) 2
4 Do   x  2 nªn VT *  0 nªn ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm. 3 b) Gäi n  a1a2 a3a4 a5 lµ sè tù nhiªn cÇn t×m, trong ®ã c¸c ch÷ sè lÊy tõ tËp A. *Sè phÇn tö cña tËp S lµ sè c¸c sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè víi c¸c ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ tËp A. Ta cã n  S   6 A64  2160 *Do n chia hÕt cho 15 nªn n chia hÕt cho 3 vµ 5. Suy ra: a5  0 hoÆc a5  5. TH1: a5  0  n  a1a2 a3a4 0 trong ®ã 4 sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5; 6 Khi ®ã ®Ó n chia hÕt cho 3 th×  a1  a2  a3  a4  3 Do 4 sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 1; 2;3; 4;5; 6 nªn x¶y ra 2TH sau: i) Trong 4 sè ®ã gåm: hai sè chia hÕt cho 3, mét sè chia 3 d 1, mét sè chia 3 d 2 Cã tÊt c¶: A42 .2.2.2  96 sè. ii) Trong 4 sè ®ã gåm: hai sè chia 3 d 1, hai sè chia 3 d 2 Cã tÊt c¶: A42 .2.2  48 sè. TH2: a5  5  n  a1a2 a3a4 5 trong ®ã 4 sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 0;1; 2;3; 4;6 Khi ®ã ®Ó n chia hÕt cho 3 th×  a1  a2  a3  a4  chia 3 d 1. Do 4 sè a1 , a2 , a3 , a4 lÊy tõ tËp 0;1; 2;3; 4;6 nªn x¶y ra 2TH sau: iii) Trong 4 sè ®ã gåm: ba sè chia hÕt cho 3, mét sè chia 3 d 1 *NÕu a1  3 th× a2 , a3 , a4 lµ c¸c sè trong bé ba sè 0; 6;1 , 0;6; 4 nªn cã 3! 3!  12 sè *NÕu a1  6 th× a2 , a3 , a4 lµ c¸c sè trong bé ba sè 0;3;1 , 0;3; 4 nªn cã 3! 3!  12 sè *NÕu a1  1 hoÆc a1  4 th× a2 , a3 , a4 lµ c¸c sè trong bé ba sè 0;3;6 nªn cã 3! 3!  12 sè Cã tÊt c¶: 36 sè. iv) Trong 4 sè ®ã gåm: mét sè chia hÕt cho 3, hai sè chia 3 d 1, mét sè chia 3 d 2 *NÕu a1  3 hoÆc a1  6 th× a2 , a3 , a4 lµ c¸c sè trong bé ba sè 1; 2; 4 nªn cã 3! 3!  12 sè *NÕu a1  1 th× a2 , a3 , a4 lµ c¸c sè trong bé ba sè 2; 4; 6 , 2; 4;3 , 2; 4;0 nªn cã 3.3!  18 sè *NÕu a1  2 hoÆc a1  4 th× t¬ng tù ®Òu cã 18 sè tháa m·n. Cã tÊt c¶: 12  18.3  66 sè. 96  48  36  66 41 VËy x¸c suÊt cÇn tÝnh lµ:  . 2160 360 Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, cho ®êng th¼ng  : 5 x  2 y  19  0 vµ ®êng trßn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  0. Tõ mét ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng  kÎ hai tiÕp tuyÕn MA, MB ®Õn ®êng trßn  C  víi A, B lµ hai tiÕp ®iÓm. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB biÕt AB  10. Gi¶i: *C¸c tam gi¸c IAM , IBM lµ c¸c tam gi¸c vu«ng nªn ®êng trßn ®êng kÝnh IM ®i qua hai ®iÓm A, B nªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB lµ ®êng trßn ®êng kÝnh IM . *§êng trßn  C  cã t©m I  2;1 b¸n kÝnh R  5 3
2 2  10  10 IA2 2 Ta cã IH  IA  AH  2  5      IM  IH  10  2  2 A I M H B 2  5a  19  2 2  5a  19  Gäi M  a;    . Ta cã IM  10   a  2     1  10  2   2  a  3  M  3; 2   Gi¶i ra ®îc  139    139 72  a  M ;  29   29 29  5 1 *Víi M  3; 2  th× trung ®iÓm IM lµ  ;   , ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®êng kÝnh IM lµ: 2 2 2 2  5  1 5 x   y    2  2 2  139 72   197 37  *Víi M  ;  th× trung ®iÓm IM lµ  ;  , ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®êng kÝnh  29 29   58 26  2 2  197   37  5 IM lµ:  x    y    .  58   26  2 Bµi 5: (3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu OAB cã AB  a. Trªn ®êng th¼ng  d  ®i qua O vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng  OAB  lÊy mét ®iÓm M sao cho OM  x. Gäi E , F lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn MB vµ OB. §êng th¼ng EF c¾t ®êng th¼ng  d  t¹i N . a) Chøng minh r»ng AN  BM . b) X¸c ®Þnh x theo a ®Ó thÓ tÝch khèi tø diÖn ABMN nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Gi¶i:  AF  OB M a) Ta cã   AF  MB  AF  OM Mµ AE  MB nªn BM   AEF  Do AN   AEF  nªn AN  BM . E b) Theo c©u a) ta cã:        AN .BM  0  ON  OA OM  OB  0   O F B  OM .ON  OA.OB.cos 60  0 OA.OB.cos 60 a 2  ON   OM 2x N A 4
1 1 a2 3  a2  a2 3  a2  Do MN   OAB  nªn VABMN  .MN .SOAB  .  x     x   3 3 4  2x  12  2x  a2 a2 Theo bÊt ®¼ng thøc C«-si th×: x   2 x.  2a 2x 2x a3 6 Suy ra: VABMN  . 12 a3 6 a2 a 2 VËy thÓ tÝch lín nhÊt cña khèi tø diÖn ABMN lµ khi x   x . 12 2x 2 Bµi 6: (2,0 ®iÓm) 1 1 1 Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n    2018. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña x y z 1 1 1 3029 biÓu thøc P     . 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 2 Gi¶i: 1 11 1 *XÐt bÊt ®¼ng thøc phô:     víi mäi a, b  0. ab 4 a b *Dïng bÊt ®¼ng thøc ë trªn ta cã: 1 1 1 1 1  1 2 1 1          2 x  y  z  x  y    x  z  4  x  y x  z  16  x y z  1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 T¬ng tù ta cã:     ;      x  2 y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z  1  1 1 1  3029 2018 3029 Suy ra: P          2019 4 x y z 2 4 2 3 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng 2019 ®¹t ®îc khi vµ chØ khi x  y  z  . 2018 ------------------------------------------ HẾT --------------------------------------------- 5