Giáo trình Giải tích 3 - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI <br /> BÀI 2 <br /> § 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì <br /> Chuỗi hàm số <br /> <br /> § 5 Chuỗi luỹ thừa<br /> Giáo trình GIẢI TÍCH 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> PGS. TS. Nguy n Xuân Th o<br /> <br /> Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn<br /> <br /> PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUY T CHU I § 1. i cương v chu i s<br /> chu i h i t 1 1 1 1 t v n : 1+ + + + + n + = 2 2 4 8 2 • Có ph i là c c ng mãi các s h ng c a v trái thì thành v ph i? • 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chu i s : nh nghĩa: V i m i s t nhiên n, cho tương ng v i m t s th c an, ta có dãy s kí hi u là {an } . nh nghĩa:<br /> Cho dãy s {an}, ta g i t ng vô h n a1 + a2 + a3 + là chu i s , ký hi u là<br /> <br /> • •<br /> <br /> nh nghĩa i u ki n c n<br /> <br /> • Các tính ch t cơ b n<br /> <br /> ∑ an ,<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> an là s h ng t ng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là t ng riêng th n. N u lim Sn = S thì ta b o chu i h i t ,<br /> n →∞<br /> <br /> có t ng S và vi t:<br /> <br /> ∑ an = S .<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta b o chu i<br /> <br /> ∑ an phân kỳ.<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> Ví d 1. Xét s h i t và tính<br /> Sn = 1 + q + q 2 + + qn =<br /> <br /> ∑ qn<br /> n =0 n +1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> 1− q , 1− q<br /> <br /> q 1 + + + + m +1 =  1 +  +  +  +  + +  + 2 3 2 3 4 5 8 2  1 1 1 1 1 > + 2. + 4. + + 2m. m +1 = ( m + 1) 2 4 8 2 2 Do ó Sn có th l n bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn = ∞<br /> n →∞<br /> <br />  1 + m + 2 +1<br /> <br /> +<br /> <br /> Chu i ã cho phân kỳ<br /> <br /> Ví d 4. Chu i ngh ch<br /> Sn = 1 + 1 22 + 1 32 + + 1 n2<br /> <br /> o bình phương: = 1+ 1 1 + + 2.2 3.3<br /> <br /> ∑ n2<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> 1<br /> <br /> +<br /> <br /> 1 1 1 < 1+ + + n.n 1.2 2.3<br /> <br /> +<br /> <br /> 1 ( n − 1) n<br /> <br /> 1 1  1 1   1 1  = 1+  −  +  −  +  −  + 1 2   2 3   3 4  Sn tăng và dương ∃ lim Sn = S<br /> n →∞<br /> <br /> 1 1  1 + −  =2− 0<br /> <br /> Nh n xét.<br /> <br /> ∑ an h<br /> n =1<br /> <br /> i t khi và ch khi Sn b ch n.<br /> <br /> Trong bài này ta gi thi t ch xét các chu i s d

ng 2. Các nh lí so sánh. nh lí 1. Cho hai chu i s dương, an ≤ bn , n tuỳ ý ho c t m t lúc nào ó tr<br /> <br /> i<br /> <br /> ∑ bn<br /> n =1 ∞ n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> h it ⇒<br /> <br /> ∑ an<br /> n =1 ∞ n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> h it<br /> <br /> ∑ an phân kỳ ⇒ ∑ bn phân kỳ<br /> <br /> PGS. TS. Nguy n Xuân Th o<br /> <br /> Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn<br /> <br /> Ch ng minh. a1 + a2 + + an < b1 + b2 +<br /> 0 < Sn ≤ Tn Rút ra các kh ng nh.<br /> <br /> + bn<br /> <br /> Ví d 1.<br /> <br /> ∑ 3n + 1<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> 1<br /> <br /> Ví d 2.<br /> <br /> n =2<br /> <br /> ∑ ln n<br /> <br /> ∞<br /> <br /> 1<br /> <br /> Chu i dương 3 n + 1 > 3n 1 3n + 1 ∞ 1 < 1 3n 1<br /> <br /> 1 3 ⇒ Chu i ã cho h i t<br /> n =1<br /> <br /> ∑ 3n =<br /> <br /> h it<br /> <br /> 1−<br /> <br /> Chu i dương ln n < n 1 1 0< < n ln n ∞ 1 phân kỳ n n =2<br /> <br /> ∑<br /> ∞<br /> <br /> n =2<br /> <br /> ∑ ln n ∑<br /> n =1 ∞<br /> <br /> 1<br /> <br /> phân kỳ , β ∈ » ; (HTT )<br /> <br /> Ví d 3. a)<br /> <br /> ∑ 2n ( 3 n + 2 )<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> 3n 2 + 2n + 1<br /> <br /> ,<br /> <br /> (HT)<br /> <br /> b)<br /> <br /> ( n + 1) sin ( 2n β )<br /> n + 2n + 3<br /> 7 3<br /> <br /> a nh lí 2. Cho hai chu i s dương, lim n = k ≠ 0 ⇒ n →∞ bn<br /> <br /> ∑ an<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> và<br /> <br /> ∑ bn cùng h<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> i t<br /> <br /> ho c cùng phân kì.<br /> <br /> Nh n xét.<br /> 1°/ N u lim<br /> <br /> i v i các chu i s dương<br /> <br /> ∑ an và ∑ bn : ∑ an h<br /> n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> ∞<br /> <br /> an = 0 và n →∞ bn<br /> <br /> ∑ bn<br /> n =1 ∞<br /> <br /> ∞<br /> <br /> h it ⇒<br /> <br /> it<br /> <br /> a 2/° N u lim n = ∞ và n →∞ bn<br /> <br /> ∑ bn<br /> n =1<br /> <br /> phân kì ⇒<br /> <br /> ∑ an phân kì<br /> <br /> Ví d 4.<br /> <br /> ∑ 2n3 − 3<br /> n =1<br /> <br /> ∞<br /> <br /> n+2<br /> <br /> Chu i dương<br /> 2 2 1+ n+2 n n = 1 . n = 3. 3 2 2n − 3 2n 1 − 3 2n 1 − 3 3 2n 2n 3 n +2 1  lim  : 2  =1 n →∞  2n 3 2n  1+<br /> <br />