264
CHÖÔNG 7
)
)
) )
)
)
)
)
( c k ( r k
( e k 2 ( + e k
( e k ( e k
( e k
( e k
( e k
= + + (cid:219) 1 ) = + + + + + + + 4 2 3 2 5 1 3
)
)
Ñaët bieán traïng thaùi: ) =
)
= +
)
= +
) 1 ) 1 ) 1
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3 ( x k 4
( e k ( x k 1 ( x k 2 ( x k 3
)
)
)
= +
( r k
B d
A x d ( ) k
C x d
+ = + k 1 k ) = Ta ñöôïc heä phöông trình: ( ( x ( c k
trong ñoù:
x(k) =
Ad =
) ) ) )
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 =
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3 ( x k 4
- - - - - - - - 0 3 0 5 0 1 1 2 0 a 4 0 a 3 0 a 2 1 a 1
]
[ ] 1 2 0 0
Cd = [
0 0 0 1
7.4.3 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi heä rôøi raïc töø
phöông trình traïng thaùi heä lieân tuïc
= 0 0 Bd = b o b 1
Phöông phaùp naøy chæ aùp duïng ñöôïc cho heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau:
265
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
Trình töï thaønh laäp phöông trình traïng thaùi
Böôùc 1: Thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi lieân tuïc:
( ) t
Ax
R
( ) &x t ( ) c t
( ) t ( ) t
Cx
]
= + e B =
Böôùc 2: Tính ma traän quaù ñoä cuûa heä lieân tuïc: ( ) s
( ) t
1
)
[ FLLLL –1 (
( ) s
Böôùc 3: Rôøi raïc hoùa phöông trình bieán traïng thaùi ôû böôùc 1, ta
= F F F F - = - F F F F vôùi: s I A
ñöôïc:
d R
A x d )
+ kT B e kT T ( ) ( )
) ( x k = 1 ) ( c kT
= ( C x d )
(
= kT
T
( )
= F F F F T A d
∫
= t t F F F F trong ñoù: Bd B d
0 C
Böôùc 4: Heä phöông trình bieán traïng thaùi cuûa heä rôøi raïc caàn
= C d
(
)
(
)
]
) +
tìm vôùi tín hieäu vaøo r(kT) laø:
]
( r kT
[ x ( c kT
[ = A d ( ) kT
Chöùng minh: Böôùc 1 vaø böôùc 2 thaønh laäp phöông trình traïng thaùi vaø tính ma traän quaù ñoä cuûa heä lieân tuïc khoâng coù gì phaûi chöùng minh. Ta chöùng minh töø böôùc 3, ôû böôùc naøy ta suy ra phöông trình traïng thaùi cuûa heä rôøi raïc töø phöông trình traïng thaùi cuûa heä lieân tuïc.
- k T kT B C x d d B d + ) 1 = C x d
Böôùc 3: ÔÛ chöông 2, ta ñaõ bieát nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi heä lieân tuïc cho bôûi coâng thöùc:
266
CHÖÔNG 7
t
(
)
( )
( )
( ) x t
( ) t x
∫
0
t
( )
= + t t t F F F F F F F F d 0 e B R
(
)
(
) +
(
)
( ) t
x
x
∫
= - t - t t F F F F F F F F t d Toång quaùt: t o t o t o e B R
)
t o = ot ( = t
(
)
+
k
T
1
(
)
(
)
(
)
(
( )
[
]
AÙp duïng coâng thöùc treân vôùi: kT + k T 1
) kT e B
R
∫
)
( ) t =
+ = + t - t t F F F F F F F F Ta ñöôïc: T k T kT d 1 x x
( e kT
kT : kT £ t < (k + 1)T
Re
t Ta laïi coù: , "
(
+
k
T
1
(
)
(
)
(
)
(
)
)
[
]
( kT e kT d
∫
kT
(do eR(t ) laø tín hieäu ôû ngoõ ra cuûa khaâu giöõ ZOH) Thay vaøo coâng thöùc treân, ta ñöôïc: ) + = + t - t F F F F F F F F T k T kT 1 x x B
(
)
+
k
T
1
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
[
]
Do e(kT) khoâng phuï thuoäc vaøo bieán laáy tích phaân t neân:
∫
kT
+ = + t - t t F F F F F F F F T k T kT kT d d e kT 1 x x B
T
(
)
(
)
( )
(
)
[
]
Ñoåi bieán pheùp tính laáy tích phaân, ta ñöôïc:
x
x
B
R
0
) ( T { A d
+ = + t t F F F F F F F F T k kT kT 1 (7.31)
∫ d e 1442443 B d
)
(
)
( c kT
Rôøi raïc hoùa phöông trình ngoõ ra cuûa heä lieân tuïc, ta ñöôïc:
kT = C x d
)
(
(
(
)
Böôùc 4: Theo sô ñoà khoái cuûa heä thoáng, ta thaáy:
) =
( e kT
) r kT c kT
( r kT
) - C x
d
= - kT
Ví duï 7.14. Cho heä thoáng rôøi raïc coù sô ñoà nhö hình veõ. Haõy thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng vôùi caùc bieán traïng thaùi ñöôïc xaùc ñònh treân hình veõ.
Thay vaøo (7.31) ta ñöôïc keát quaû caàn chöùng minh.
267
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
Giaûi
Böôùc 1: Thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä lieân tuïc:
Theo hình veõ ta coù:
(cid:2)
( ) X s 1
( ) sX s 1
( ) X s 2
( ) X s 2 s
= = ⇒
( ) & x t 1
( ) x t 2
(
= ⇒ (7.32)
( ) ) s a X s
(cid:2)
( ) E s R
( ) X s 2
2
= + = ⇒ ( ) RE s + s a
( ) ax t 2
+ = ⇒ e R
( ) t ( ) t
( ) & x t 2 ( ) & x t 2
( ) + ax t 2
= - ⇒ (7.33) e R
=
( ) t
( ) x t 2 ( ) + ax t 2
= - Keát hôïp (7.32) vaø (7.33) ta ñöôïc heä phöông trình: ( ) & x t 1 ( ) & x t 2
( ) t
Re
( ) 1 x t 1 ( ) a x t
0 (cid:219) = + - 0 0 1
2 ( ) t
&x
Ax
R
= + (cid:219) e R ( ) & x t 1 ( ) & x t 2 ( ) t ( ) t (7.34) e B
( )
Ñaùp öùng cuûa heä thoáng:
[
]
( ) = c t Kx t
( ) t
Cx
1
( ) x t 1 ( ) x t 2
] K 0
= = K 0
Do ñoù: A = B = C = [ - 1 a 0 0 0 1
1
(
)
1 =
1 =
(cid:2)
( ) s
Böôùc 2: Tính ma traän quaù ñoä: - - - - s 0 = - - F F F F s s I A - 1 a 1 + s a 0 1 0 0 1 0
268
CHÖÔNG 7
)
)
–1
–1
L L L L
L L L L
1 s = 1 ( + s s a 1 s + s a 0 0 = 1 ( + s s a 1 + s a
{ }
)
(
(
)
–1
–1
1 s
1 s
1 + s s a
[
]
(cid:2)
=
=
L L L L
L L L L
( ) t
( ) s
–1
0
LLLL
0
F F F F F F F F =
{
}
1 + s s a 1 + s a
1 + s a
)at
(
( ) t
at
- - e 1 1 = F F F F 1 a ⇒ - e 0
(
)
)
(
)
]
Böôùc 3: Rôøi raïc hoùa caùc phöông trình traïng thaùi cuûa heä lieân tuïc, ta ñöôïc:
B
( )
[ x ( c kT
A d kT
C x d
+ k T kT kT e d R + ) = ( 1 =
trong ñoù:
at
aT
)
(
)
( 1
(cid:2) Ad = F (T) =
at
aT
= t T
- - - - e e 1 1 = 1 a 1 a - - e e 0 0 1
T
)aT
T
T
)aT
e
( 1
e
( 1
1
( )
1 a
d
Bd =
1 a
d
t = d B
∫
∫
∫
aT
aT
0
0
0
e
e
0
0 1
T
- - - - t = F t t - -
aT
aT
2
2
aT +
0
] K 0
(cid:2) Cd = C = [
- - t 1 e - + T e + a a a a 2 = = - - a aT e e - - a a 1 a
Böôùc 4: Heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng rôøi raïc vôùi tín hieäu vaøo r(kT) laø:
269
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
(
)
(
)
]
) +
]
( r kT
B C x d d
B d
[ x ( c kT
[ = A d ( ) kT
C x d
- k T kT + ) 1 =
aT
aT
)
2
( 1
[
]
] =
(cid:2) [
A d
B C d d
aT
aT
aT
(
)
2
aT
trong ñoù: - - - - 1 2 e 1 T e + a a - - 1 a K 0 - - e e 0 a aT + - a 1 a - - - K 0 1 2 - e 1 T e + a - 1 a = - - e e 0 a aT + - 1 K 0 a a 1 a
aT
aT
(
)
2
]
A d
B C d d
aT
aT
- - - - - K e 1 1 2 T e + a 1 a a a = - ⇒ [ - - e - K e 1 a 1 a
] 10 0
Ví duï baèng soá cuï theå: a = 2, T = 0,5sec, K = 10
Böôùc 1: A = B = C = [ 0 1 0 2 0 1
at
t
2
)
(
)
( 1
( ) t
t
2
at
- - - - e 1 e 1 F F = = F F 1 a 1 2 Böôùc 2: - - e 0 e 0 1
aT
2 0 5
,
)
(
)
( 1
2 0 5
,
aT
aT
2 0 5
,
e
+
1 2
2
0 092
,
T e + a
0 5 , 2
a
1 2 2
=
- - · - - e 1 e 1 = 1 a 1 2 Böôùc 3: Ad = 1 0 316 , 0 0 368 , - · - = e 0 e 0 1 - - · - -
0 316
,
=
e
e
a aT +
2 2 2 0 5 , +
a
1 a
2
1 2
] 10 0
Bd = - - · - -
Cd = C = [
270
CHÖÔNG 7
]
] =
[ 10 0
- - Böôùc 4: [ A d B C d d 0 092 0 316 1 0 316 , 0 0 368 , , ,
Keát luaän: heä phöông trình bieán traïng thaùi caàn tìm laø:
- = - 0 920 0 , 3 160 0 , 0 316 0 080 , 3 160 0 368 , , , 1 0 316 , 0 0 368 , =
)
( r k
) )
) )
( x k 1 ( x k 2
( x k 1 ( x k 2
)
0 080 0 316 0 092 , , , = + - + + 3 160 0 368 0 316 , , , 1 1
]
g
( c k
[ 10 0
) )
( x k 1 ( x k 2
7.4.4 Tính haøm truyeàn heä rôøi raïc töø heä phöông trình
traïng thaùi
=
)
(
)
)
Cho heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi heä phöông trình bieán traïng thaùi:
( r k
( x ( c k
+ = + k 1 B d k ) = A x d ( ) k C x d
( ) G z
( ) C z ( ) R z
= Baøi toaùn ñaët ra laø tìm haøm truyeàn:
Bieán ñoåi Z heä phöông trình traïng thaùi, ta ñöôïc:
( ) R z
= + B d
( ) R z
( ) = z ( ) z
( ) ( ) z z z X A X d ( ) ( ) = C z z C X d ( ) z I A X d ( ) = C z C X d
- B d ⇒
1
]
( ) R z
( ) z X ( ) C z
1
[ C X d [
]
( ) C z
( ) R z
C d
B d
- - B d ⇒ = = z I A d ( ) z - = - ⇒ z I A d
Laäp tæ soá, ta ñöôïc:
[
] 1
( ) G z
( ) C z ( ) R z
- = = - (7.35) C d z I A d B d
271
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
Ví duï 7.15. Cho heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi:
(
)
(
)
(
)
]
[ x ( c kT
+ k T kT kT B d + ) = ( 1 = A x d ) kT C x d
]
[ 1 0
= = trong ñoù: ; C Ad = ; Bd = C d - - 0 0 7 , 1 0 1 , 0 2
Giaûi. AÙp duïng coâng thöùc (7.35), haøm truyeàn cuûa heä thoáng laø:
Haõy vieát haøm truyeàn cuûa heä thoáng treân.
[
] 1
( ) G z
( ) C z ( ) R z
- = = - C d z I A d B d
1
1 =
1 =
(cid:2) [
]d
Ta coù: - - - - z z 0 1 1 - - z I A - - 0 z + z 0 0 7 , 0 1 , 0 7 , 0 1 ,
)
( z z
= + + - 0 7 , 1 0 1 , 0 1 1 , z 0 7 ,
,
1
]
(cid:2) [
z I A d
= B d
)
)
+
+
+
+
( z z
( z z
2 z
2
1 0 1 ,
0 7 ,
0 7 ,
1 0 1 ,
0 7 ,
0 1 1 0 = z 2
- - - + z + z
1
]
[
]
(cid:2)
[ 1 0
)
)
( z z
( z z
- - C d z I A d = B d + + + + 2 z 2 1 0 1 , 0 7 , 2 0 1 , 0 7 , =
( )G z
2
2 = Vaäy: + + z z, 0 1 0 7 ,
272
CHÖÔNG 7
Phuï luïc: MOÂ TAÛ HEÄ RÔØI RAÏC DUØNG MATLAB
Caùc leänh moâ taû toaùn hoïc heä rôøi raïc töông töï nhö caùc leänh moâ taû toaùn hoïc heä lieân tuïc, chæ khaùc laø khi taïo ra heä thoáng ta khoâng chæ nhaäp vaøo thoâng soá heä thoáng (töû soá, maãu soá haøm truyeàn hoaëc caùc ma traän traïng thaùi) maø coøn phaûi nhaäp vaøo chu kyø laáy maãu. Haõy so saùnh vôùi phuï luïc ôû chöông 2. • Taïo ra heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn: leänh tf (transfer function).
Cuù phaùp: G = tf(TS,MS,T) taïo ra heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi haøm truyeàn G coù töû soá laø ña thöùc TS, maãu soá laø ña thöùc MS vaø chu kyø laáy maãu laø T. Neáu khoâng xaùc ñònh T thì ñaët T = -1.
Transfer function:
1
- - - -
2z + 1
Sampling time: 0.2
>> TS=1; MS= [2 1];
>> G1=tf (TS, MS, –1)%G1=1/(2z+1), T khoâng xaùc ñònh
Transfer function:
1
- - - -
2z + 1
Sampling time: unspecified
>> G2=tf ([4 1], conv ([2 1], [3 1]), –1)%G2= (4z + 1)/(2z+1) (3z+1)
Transfer function:
4 z + 1
- - - - - - -
6 z^2 + 5 z + 1
Sampling time: unspecified
• Ñôn giaûn haøm truyeàn: leänh minreal.
Ví duï: >> TS=1; MS= [2 1]; G1 = tf (TS, MS, 0.2) G1=1/(2z+1, T = 0.2 sec
Cuù phaùp: G=minreal(G) trieät tieâu caùc thaønh phaàn gioáng nhau ôû töû soá vaø maãu soá ñeå ñöôïc daïng haøm truyeàn toái giaûn.
Transfer function:
2 z + 1
- - - - - - -
6 z^2 + 5 z + 1
Ví duï: >> TS=[2 1]; MS=conv([2 1],[3 1]);G=tf(TS,MS,-1)
273
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
Sampling time: unspecified
>> G=minreal (G)
Transfer function:
0.3333
––––––––––
z + 0.3333
Sampling time: unspecified • Caùc leänh gheùp noái heä rôøi raïc hoaøn toaøn gioáng nhö caùc leänh gheùp noái heä lieân tuïc, cuï theå:
- Tính haøm truyeàn cuûa heä thoáng noái tieáp: leänh series hoaëc toaùn töû “*”
Cuù phaùp: G=series(G1, G2) tính haøm truyeàn G = G1*G2
- Tính haøm truyeàn cuûa heä thoáng song song: leänh parallel hoaëc toaùn töû “+”
Cuù phaùp: G=parallel(G1,G2) tính haøm truyeàn G = G1+G2
- Tính haøm truyeàn cuûa heä thoáng hoài tieáp: leänh feedback
Gk = G1/(1+G1*G2) Gk=feedback(G1,G2,+1) tính haøm truyeàn heä hoài tieáp döông
Gk = G1/(1–G1*G2) Ví duï:
>> G1=tf(1, [2 11,–1); % G1=1/ (2z+1)
>> G2=tf([4 1],conv([1 01],[3 11]),–1); % G2=(4z+1)/z(3z+1)
Transfer function:
4 z + 1
–––––––––––––––
6 z^3 + 5 z^2 + z
Sampling time: unspecified
>> G=G1+G2 % gheùp song song
Transfer function:
11 z^2 + 7 z + 1
––––––––––––––
6 z^3 + 5 z^2 + z
Sampling time: unspecified
>> Gk=feedback(G2, G1) % he hoi tiep am Gk=G2/(1+G2*G1)
Transfer function:
8 z^2 + 6 z + 1
–––––––––––––––––––––––––
6 z^3 + 5 z^2 + 5 z + 1
Cuù phaùp: Gk=feedback(G1,G2,) tính haøm truyeàn heä hoài tieáp aâm
274
CHÖÔNG 7
Sampling time: unspecified
>> Gk=minreal (Gk) % don gian thua so chung
Transfer function:
1
–––––
2 z
Sampling time: unspecified
• Taïo ra heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi: leänh ss (state space). Cuù phaùp: PTTT=ss(A,B,C,D,T) taïo ra heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình traïng thaùi PTTT coù caùc ma traän traïng thaùi laø A, B, C, D vaø chu kyø laáy maãu laø T. Neáu khoâng xaùc ñòn T thì ñaët T=–1. Ví duï: >> A=[0 1; –0.7 –0.11; B=[0;2]; c=[1 0]; D=0;
>> PTTT=ss(A,B,C,D,–1)
a =
x1
x2
x1
0
1
x2
–0.7
–0.1
b =
u1
x1
0
x2
2
c =
x1
x2
y1
1
0
d =
u1
y1
0
Sampling time: unspecified
Discrete-time model.
• Caùc leänh bieán ñoåi giöõa haøm truyeàn vaø phöông trình traïng thaùi cuûa heä rôøi raïc hoaøn toaøn gioáng heä lieân tuïc.
- Bieán ñoåi phöông trình traïng thaùi veà daïng haøm truyeàn: leänh tf
Cuù phaùp: G=tf(PTTT)
- Bieán ñoåi haøm truyeàn veà daïng phöông trình traïng thaùi: leänh ss
Cuù phaùp: PTTT=tf(G)
275
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
>> PTTT=ss(A,B,C,D,–1);
>> G=tf(PTTT)
Transfer function:
2
––––––––––––––
z^2 + 0.1 z + 0.7
Sampling time: unspecified
>> PTTT=ss (G)
a =
x1
x2
x1
–0.1
–0.35
x2
2
0
b =
u1
x1
1
x2
0
c =
x1
x2
y1
0
1
d =
u1
y1
0
Sampling time: unspecified
Discrete-time model.
Ñeå yù raèng sau khi bieán ñoåi ngöôïc töø haøm truyeàn veà daïng phöông trình traïng thaùi ta ñöôïc caùc ma traän traïng thaùi hoaøn toaøn khaùc vôùi caùc ma traän traïng thaùi ñaõ nhaäp vaøo ban ñaàu, ñieàu naøy khoâng coù gì voâ lyù vì ñoái vôùi moät heä thoáng tuøy theo caùch ñaët bieán traïng thaùi khaùc nhau ta seõ coù caùc phöông trình traïng thaùi khaùc nhau.
Ví duï: (xem thí duï 7.15) >> A=[0 1; –0.7 –0.1]; B=[0;2]; C=[1 0]; D=0;
276
CHÖÔNG 7
Chöông 8
PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
A. PHAÂN TÍCH HEÄ THOÁNG
ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
8.1 ÑIEÀU KIEÄN OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ RÔØI RAÏC
Ts
Heä thoáng ñöôïc goïi laø oån ñònh neáu tín hieäu vaøo bò chaën thì tín hieäu ra bò chaën (oån ñònh BIBO – Bounded Input Bounded Output). Ta ñaõ bieát heä thoáng ñieàu khieån lieân tuïc oån ñònh neáu taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính ñeàu naèm beân traùi maët phaúng
z e=
neân s naèm beân phöùc. Do quan heä giöõa bieán z vaø bieán s laø traùi maët phaúng phöùc töông ñöông vôùi z naèm beân trong voøng troøn ñôn vò. Do ñoù heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc oån ñònh neáu taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng ñeàu naèm beân trong voøng troøn ñôn vò. (cid:219) Heä thoáng rôøi raïc oån ñònh < z 1 (8.1)
Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng lieân tuïc Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng rôøi raïc
277
PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
Caàn nhôù - Heä thoáng rôøi raïc cho bôûi sô ñoà khoái
Phöông trình ñaëc tính laø:
+ = 1 GH z( ) 0 (8.2)
- Heä thoáng rôøi raïc cho heä phöông trình bieán traïng thaùi
d
+ = + k x ( k ( ) r k ( ) B d A x 1 ) d = x c k C k ( ) ( )
8.2 TIEÂU CHUAÅN ROUTH - HURWITZ MÔÛ ROÄNG
- 0 det ( = ) Phöông trình ñaëc tính laø (8.3) zI A d
n
n
1
L
1
- - Tieâu chuaån Routh–Hurwitz cho pheùp ñaùnh giaù phöông trình = + + + coù nghieäm naèm beân phaûi 0 ñaïi soá - + x a n a x o a x 1
a n maët phaúng phöùc hay khoâng.
n
n
1
L
1
- - Ta ñaõ söû duïng keát quaû naøy ñeå ñaùnh giaù nghieäm cuûa phöông + + = + trình ñaëc tính cuûa heä lieân tuïc . 0 - a n + s a n a s o a s 1
Neáu phöông trình treân coù nghieäm naèm beân phaûi maët phaúng phöùc thì heä lieân tuïc khoâng oån ñònh.
- Khoâng theå söû duïng tröïc tieáp tieâu chuaån Routh–Hurwitz ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc vì mieàn oån ñònh cuûa heä rôøi raïc naèm beân trong ñöôøng troøn ñôn vò.
+
+
=
=
- Muoán duøng tieâu chuaån Routh-Hurwitz ñeå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä rôøi raïc ta phaûi thöïc hieän pheùp ñoåi bieán
z
w
w w
z z
1 1
1 1
(cid:219) - -
Vôùi caùch ñoåi bieán nhö treân, mieàn naèm trong voøng trong ñôn vò cuûa maët phaúng z töông öùng vôùi nöûa traùi cuûa maët phaúng w.
AÙp duïng tieâu chuaån Routh-Hurwitz ñoái vôùi phöông trình ñaëc tính theo bieán w: neáu khoâng toàn taïi nghieäm w naèm beân phaûi maët
278
CHÖÔNG 7
phaúng phöùc thì khoâng toàn taïi nghieäm z naèm ngoaøi voøng troøn ñôn vò ⇒ heä rôøi raïc oån ñònh.
Ví duï 8.1. Cho heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính
2
Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng rôøi raïc theo bieán z Mieàn oån ñònh cuûa heä thoáng rôøi raïc theo bieán w
3 z
+ + + = z z 5 2 3 1 0
Giaûi. Ñoåi bieán
3
2
+ = z , phöông trình ñaëc tính trôû thaønh - Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng treân. w w 1 1
3
3
+ + + + + + = 5 2 3 1 0 - - - w w w w
(
)(
) 2 +
(
)
3
2
+ + + (cid:219) - - - 1 1 ) w w ) + 1 1 ( w w w + w w 5 1 1 2 1 3 1 1 = 1 0
+ + + + (cid:219) - -
(
3 w
2 w
3
2
w ) w w w w 5 1 3 3 2
3 w
2 + w 3
- - - - ( ( ( 1 1 ) ( 2 ) ( + ) + 1 ) + w w w = w + 1 3 3 1 0
3 w
2 w
+ + + = (cid:219) w 11 11 13 5 0
13
11
5
11
0
8
5
w3 w2 w1 w0
Baûng Routh
Do taát caùc heä soá ôû coät 1 baûng Routh ñeàu döông neân heä oån ñònh.
279
PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
Ma traän Hurwitz
Hoaëc
=
0 11 5 a 1 a o 0 0 11 5 11 13 0 0 0 a 3
> · - ·
(cid:2) D = (cid:2) D = (cid:2) D = D > 25 3
a 3 a 2 a 1 > 1 11 0 2 11 13 5 11 0 0
g
8.3 TIEÂU CHUAÅN JURY
Do caùc ñònh thöùc con ñeàu döông neân heä oån ñònh.
n
n
1
L
1
Xeùt oån ñònh heä rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính: - + + + = 0 - a z o a n + z a n a z 1
Baûng Jury
1- Haøng 1 laø caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tính theo thöù töï chæ soá taêng daàn.
k=
1 ( k ‡ 1 ) goàm coù ( n k-
2- Haøng chaün (baát kyø) goàm caùc heä soá cuûa haøng leû tröôùc ñoù
) phaàn töû, phaàn töû
vieát theo thöù töï ngöôïc laïi. +2 3- Haøng leû thöù i ijc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc
- + n j k
3
2 1 ,
2 ,
- + n j k
3
2 1 ,
1 1 ,
1 ,
Phaùt bieåu tieâu chuaån Jury
- - - 1 = (8.5) c ij - - - - c i c i c i c i c i
Ví duï 8.2. Cho heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính
2
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng oån ñònh laø taát caû caùc heä soá ôû haøng leû, coät 1 cuûa baûng Jury ñeàu döông.
3 z
+ + + = z z 5 2 3 1 0
Xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng treân.
280
CHÖÔNG 7
Giaûi
Haøng 1 Haøng 2 Haøng 3
1 5
4 8
1 4
2 6
,=
,=
,=
5 1 5 1 1 5
3 2 5 2 1 3
2 3 5 3 1 2
1 5
1 5
1 5
Haøng 4 Haøng 5
4,8
=
=
3 39 ,
0 61 ,
2,6 4 8 2 6 , 2 6 4 8 ,
, ,
1.4 4 8 1 4 , 2 6 1 4 ,
, ,
1 4 8 ,
1 4 8 ,
Haøng 6 Haøng 7
3,39
=
3 28 ,
3 39 0 61 0 61 3 39
0,61 , ,
, ,
1 3 39 ,
Baûng Jury
8.4 QUYÕ ÑAÏO NGHIEÄM SOÁ
Do caùc heä soá ôû haøng leû coät 1 baûng Jury ñeàu döông neân heä g thoáng oån ñònh.
Quyõ ñaïo nghieäm soá laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng khi coù moät thoâng soá naøo ñoù trong heä thay ñoåi töø 0 fi . ¥
Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính laø
+ = K (8.6) 1 0 N z ( ) D z ( )
o
= Ñaët G z K ( ) N z ( ) D z ( )
oG z( )
+ (cid:219) Goïi n laø soá cöïc cuûa Go(z), m laø soá zero cuûa G0(z) = 0 (8.6) 1
Chuù yù: Neáu phöông trình ñaëc tính cuûa heä khoâng coù daïng (8.6) thì ta phaûi bieán ñoåi töông ñöông veà daïng (8.6) tröôùc khi aùp duïng caùc qui taéc veõ QÑNS.
= 1 (cid:219) (8.7) — Ñieàu kieän pha Ñieàu kieän bieân ñoä + p l 1 2 ) ( G z ( ) o = G z ( ) o
Vì daïng phöông trình ñaëc tính cuûa heä lieân tuïc ñaõ hoïc ôû chöông 4 vaø phöông trình ñaëc tính (8.6) laø nhö nhau (chæ thay
281
PHAÂN TÍCH VAØ THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
bieán s baèng bieán z) neân qui taéc veõ QÑNS laø nhö nhau, chæ khaùc ôû qui taéc 8, thay vì ñoái vôùi heä lieân tuïc ta tìm giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo thì ñoái vôùi heä rôøi raïc ta tìm giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi ñöôøng troøn ñôn vò.
Qui taéc 1: Soá nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá = baäc cuûa phöông
Sau ñaây laø 11 qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá cuûa heä thoáng rôøi raïc coù phöông trình ñaëc tính coù daïng (8.6)
Qui taéc 2: Khi K = 0: Caùc nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá xuaát
trình ñaëc tính = soá cöïc cuûa Go(z) = n.
phaùt töø caùc cöïc cuûa Go(z).
Qui taéc 3: Quyõ ñaïo nghieäm soá ñoái xöùng qua truïc thöïc.
Qui taéc 4: Moät ñieåm treân truïc thöïc thuoäc veà quyõ ñaïo nghieäm
Khi K tieán ñeán +¥ : m nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá tieán theo caùc tieäm ñeán m zero cuûa Go(z), n-m nhaùnh coøn laïi tieán ñeán ¥ caän xaùc ñònh bôûi qui taéc 5 vaø 6.
Qui taéc 5: Goùc taïo bôûi caùc ñöôøng tieäm caän cuûa quyõ ñaïo
soá neáu toång soá cöïc vaø zero cuûa Go(z) beân phaûi noù laø moät soá leû.
nghieäm soá vôùi truïc thöïc xaùc ñònh bôûi
Qui taéc 6: Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vôùi truïc thöïc laø ñieåm
( a = = – – ( l (8.8) 0 1 2 K ) , , , - )+ p l 1 2 n m
n
m
A coù toïa ñoä xaùc ñònh bôûi
∑ ∑ p i
=
∑
i
1
1
∑ n m
= i n m
- z i - cöïc zero = = OA (8.9) - -
Qui taéc 7: Ñieåm taùch nhaäp (neáu coù) cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá
(pi vaø zi laø caùc cöïc vaø caùc zero cuûa G0(z)).
Qui taéc 8: Giao ñieåm cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi ñöôøng troøn
naèm treân truïc thöïc vaø laø nghieäm cuûa phöông trình: = 0 (8.10) dK dz
ñôn vò coù theå xaùc ñònh baèng moät trong hai caùch sau ñaây
- AÙp duïng tieâu chuaån Routh - Hurwitz môû roäng hoaëc tieâu chuaån Jury.
