246
CHÖÔNG 7
ZZZZ
Ta coù:
)u k (
1
1
ZZZZ
)
( ku k
1
2
1
)
( 1
1
ZZZZ
(
)
2
2
(
)
1
)
1
)
(
)
( r k
2
2
(
)
1
(
)
4- Haøm muõ
1 ‹ (cid:190) (cid:190) fi - - z 1 - z 1 ‹ (cid:190) (cid:190) fi - z ⇒ - - d dz z = - 1 - z - Tz ‹ (cid:190) (cid:190) fi kTu k ⇒ - - z 1 - Tz = ( 1 - z ZZZZ Tz = ‹ (cid:190) (cid:190) fi kTu k Vaäy (ROC: |z| > 1) - - z 1 - z Tz = 1
Haøm muõ lieân tuïc trong mieàn thôøi gian:
- ate 0
‡ x(t) = neáu t 0 neáu t < 0
kaT
Laáy maãu r(t) vôùi chu kyø laáy maãu laø T, ta ñöôïc:
- e
+¥
‡ x(k) = neáu k 0 neáu k < 0 0
aT
-k
-k
(
(
} )
{
) x k z
( x k
) x k z
-2 z
- = + ZZZZ e = + 1 ... ⇒ x(k) = e–kaTu(k) Theo ñònh nghóa: ∑
∑
=-
k
k
0
1
2
aT
aT
+¥ = = (
(
)
)
) 1
aTe
¥ - - + + e z e z = + 1 ... - z Neáu ( 1
{
} )
( x k
aT
) 1
(
aT e ZZZZ
kaT
(
)
)
( u k
aT
aT
(
)
aT
aT
(
z < thì bieåu thöùc treân laø toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn. AÙp duïng coâng thöùc tính toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ 1 = = ZZZZ haïn, ta suy ra: - - z e - - z 1 - z 1 = ‹ (cid:190) (cid:190) fi Vaäy: e - - - e z z 1 - e ) ROC e z > z e > (cid:219) 1 :
247
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
ZZZZ
Keát quaû treân ta deã daøng suy ra:
k
(
)
1
7.2.4 Caùc phöông phaùp tìm bieán ñoåi Z ngöôïc
(
)
1 ‹ (cid:190) (cid:190) fi a u k - - - z z a az = 1
( )X z , baøi toaùn ñaët ra laø tìm
Cho haøm x k . Theo coâng thöùc
1
)
( x k
( ) k X z z
C
(
)X ZZZZ vaø bao
- = dz bieán ñoåi Z ngöôïc, ta coù: p ∫ 1 j 2
vôùi C laø ñöôøng cong kín baát kyø naèm trong ROC cuûa goác toïa ñoä.
( )X z thaønh toång caùc haøm cô baûn, sau ñoù tra
Caùch 1: Phaân tích baûng bieán ñoåi Z
Tìm x(k) baèng coâng thöùc treân raát phöùc taïp, thöïc teá ta thöôøng aùp duïng caùc caùch sau:
( ) X z
Ví duï 7.1. Cho
)
(
Giaûi. Phaân tích
= . Tìm x(k). - 3
( ) X z
(
)
- = + - - z z z ( ) ( -2 z z )X ZZZZ , ta ñöôïc: z z 2 3
ZZZZ
k
(
)
Tra baûng bieán ñoåi Z:
g
‹ (cid:190) (cid:190) fi a u k - z z a
Caùch 2: Phaân tích
( )X z thaønh chuoãi luõy thöøa
Suy ra: x(k) = (–2k + 3k)u(k)
+¥
Theo ñònh nghóa bieán ñoåi z:
k
0
1
2
3
(
)
( ) X z
) ( x k z
( ) 1
( ) 3
- - - - == = + + + + z x z x z x z 2 K x 0 ( )
∑
=
k
0
( )X z thaønh toång cuûa chuoãi luõy thöøa ta
Do ñoù neáu phaân tích
seõ ñöôïc giaù trò x(k) chính laø heä soá cuûa thaønh phaàn z–k.
248
CHÖÔNG 7
( ) X z
Ví duï 7.2. Cho
(
)
= . Tìm x(k). - z 3
( ) X z
Giaûi.
2
)
(
z = = z ) ( -2 z z ) ( - - - z z 3 2 z + z 5 6
1
2
3
3
( )X z
Chia ña thöùc, ta ñöôïc: - - - - = + + + + z z z z 5 19 65 K
Caùch 3: Tính x(k) baèng coâng thöùc ñeä qui
Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,... g
( ) X z
Ví duï 7.3. Cho
)
(
1
( ) X z
Giaûi. Ta coù:
2
2
)
(
2
1
1 +
( ) = X z
2
2
1
( ) + z X z
= . Tìm x(k). - z z ) ( -2 z 3 - z = = = - - z ) ( - - z 1 + - - z 2 3 z + z z z 5 6 1 5 6 - - - z ) - z z z 6 - - - - 1 5 ( ) X z ( ) = z X z z ⇒ ( ⇒ 5 6
Bieán ñoåi Z ngöôïc hai veá phöông trình treân (ñeå yù tính chaát dôøi trong mieàn thôøi gian), ta ñöôïc:
x(k) – 5x(k – 1) + 6x(k – 2) = d (k – 1) ⇒ x(k) = 5x(k – 1) – 6x(k – 2) + d (k – 1)
Vôùi ñieàu kieän ñaàu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0
Thay vaøo coâng thöùc treân ta tìm ñöôïc:
g
Caùch 4: AÙp duïng coâng thöùc thaëng dö
x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,...
k
)
k–1
( x k
( ) 1 s z X z
taïi caùc cöïc cuûa z
( ) X z
∑
ZZZZ laø cöïc baäc moät thì:
- = Re
k
k
(
)
( ) 1 s z X z
( ) 1 z X z
= z z o
= z z o
ZZZZ laø cöïc baäc p thì:
Neáu o - - = - z Re z o
p
1
p
k
k
(
)
( ) 1 s z X z
( ) 1 z X z
= z z 0
p
1
(
)
= z z o
Neáu o - - - d 1 = - z Re z o - - p 1 ! dz
249
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
( ) X z
Ví duï 7.4. Cho
)
(
Giaûi. AÙp duïng coâng thöùc thaëng dö, ta ñöôïc:
= . Tìm x(k). - z z ) ( -2 z 3
k
k
)
( x k
( ) 1 s z X z
( ) 1 s z X z
=
=
z
z
3
2
- - = + Re Re
k
(
)
(cid:2)
( ) 1 s z X z
( ) k 1 z X z
=
=
z
z
2
2
k
Maø: - - = - z 2 Re
k
k
1
)
=
z
z
2
= = - 2
)
)
(
k
k
)
(
( ) 1 s z X z
( ) 1 z X z
(cid:2)
=
=
z
z
3
3
k
- z - z z = ( 2 2 z ) ( = ( - - - z z z 2 3 3 - - = - z 3 Re
k
1
)
=
z
z
3
k = = 3 3
)
)
(
g
- z - z z = ( 3 z ) ( = ( - - - z z z 2 3 2
7.3 MOÂ TAÛ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC BAÈNG HAØM TRUYEÀN
7.3.1 Haøm truyeàn cuûa heä rôøi raïc
Do ñoù: x(k) = –2k + 3k
)
) +
Quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa heä thoáng rôøi raïc
) +
) =
( a c k n
o
1
(
(
(
)
+ + ñöôïc moâ taû baèng phöông trình sai phaân: ( + c k 1 1 -
( a c k n ) +
( + r k
( + - a c k n 1 ) + b r k m b r k m o
1
1
+ + + K ) + - = 1 1 (7.17) a n + K - b m b r k m
trong ñoù n ‡ m, n goïi laø baäc cuûa heä thoáng rôøi raïc
n
( ) n a z C z
( ) zC z
( ) a C z
o
1
m
1
n ( )
( ) R z
( ) + zR z R z
( ) 1 a z C z 1 ( ) m b z R z o
1
n
n
1
+
+
+
+
K
a z o
a n
( ) z a C z n
a z 1
1
Bieán ñoåi z hai veá phöông trình (7.17) ta ñöôïc: - + + + + = K - a n - + + + = K - b m b z 1 - (cid:219) = -
m
m
1
( ) b R z m
1
- = + + + + + z K K - b z o b m b z 1
250
CHÖÔNG 7
m
m
1
m
n
n
1
( ) C z ( ) R z
1
m
m
1
m
( ) G z
n
n
1
1
- + + + K - (cid:219) = - + + + K - b z o a z o b m a n + z b 1 + z a n - + + + K - = = Ñaët: (7.18) - + + b z 1 a z 1 ( ) C z ( ) R z K - b z o a z o b m a n + z b 1 + z a n b z 1 a z 1
n m
m
m
1
1
(
)
( ) G z
( ) C z ( ) R z
- + b z m 1 - + n 1 z
b o + a z 1
1
+ ( )G z ñöôïc goïi laø haøm truyeàn cuûa heä thoáng rôøi raïc. Haøm truyeàn (7.18) coù theå bieán ñoåi töông ñöông veà daïng: - - - - + + + + z - = = (7.19) - - b z m n b z 1 1 + K + + K - a n a o a z n
Ví duï 7.5. Cho heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân:
)
)
)
Hai caùch bieåu dieãn treân hoaøn toaøn töông ñöông nhau, trong thöïc teá haøm truyeàn daïng thöù hai ñöôïc söû duïng nhieàu hôn.
) +
) =
) +
( c k
( c k
( + c k
( c k
( + r k
( r k
+ + + - 3 2 2 5 1 3 2 2
Tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng.
Giaûi. Bieán ñoåi Z hai veá phöông trình sai phaân moâ taû heä thoáng, ta ( ) + zC z
( ) ( ) 2 + z R z R z
( ) 3 z C z
( ) = C z
2
+ - ñöôïc: 5 3 2
( ) G z
⇒
3
( ) 2 z C z 2 ( ) C z ( ) R z
1
2
(
( ) G z
1
3
( ) C z ( ) R z
7.3.2. Tính haøm truyeàn heä rôøi raïc töø sô ñoà khoái
+ 2 1 = = z 2 + - z z + z 2 5 - - 3 ) + z 2 = = (cid:219) - - - z 2 + - z z z 5 3 + 1 2
1- Hai khaâu noái tieáp caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu
Hình 7.6 Hai khaâu noái tieáp caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu
Khi theâm vaøo heä thoáng lieân tuïc caùc khaâu laáy maãu, khaâu giöõ döõ lieäu (vaø boä ñieàu khieån soá) ta ñöôïc heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc. Baøi toaùn ñaët ra laø tìm haøm truyeàn heä rôøi raïc theo bieán z töø sô ñoà khoái coù caùc khaâu laáy maãu. Xeùt moät soá sô ñoà thöôøng gaëp sau ñaây:
251
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
( )
( ) G z
( ) G z G z
1
2
( ) C z ( ) R z
= = (7.20)
ZZZZ
ZZZZ
( ) G z 1
{ } ( ) G s 1
( ) G z 2
{ } ( ) G s 2
= = trong ñoù: ;
( ) vaø G s
Ví duï 7.6. Cho
2
( ) G s 1
Giaûi. Tra baûng bieán ñoåi Z, ta coù:
= = . Tìm haøm truyeàn töông 1 + s b 1 + s a ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.6.
Z Z Z Z
Z Z Z Z
( ) G z 1
} { ( ) G s 1
aT
z = = = - - 1 + s a z e
Z Z Z Z
Z Z Z Z
z = = =
{ {
} }
( ) G z 2
} { ( ) G s 2
bT
- - 1 + s b z e
( )
Do ñoù deã daøng suy ra:
( ) G z G z
g
2
1
aT
bT
(
)
2 z )(
2- Hai khaâu noái tieáp khoâng caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu
Hình 7.7 Hai khaâu noái tieáp khoâng caùch nhau bôûi khaâu laáy maãu
= - - - - z e z e
( ) G z
( ) G G z 1 2
( )
= = (7.21)
( ) C z ( ) R z } { ( ) ZZZZ G s G s
2
1
( )
= trong ñoù: G G 1 2
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
} { ( ) = G s G s
2
1
} { ( ) G s 1
} { ( ) G s 1
2
1
( ) G G z 1 2
= „ Caàn chuù yù laø: ( ) ( ) G z G z
Ví duï 7.7 seõ minh hoïa ñieàu naøy.
( ) vaø G s
Ví duï 7.7. Cho
2
( ) G s 1
Giaûi. Tra baûng bieán ñoåi z, ta coù:
= = . Tìm haøm truyeàn töông 1 + s b 1 + s a ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.7.
252
CHÖÔNG 7
Z Z Z Z
} { ( ) ( ) G s G s
( ) G G z 1 2
1
1
(
)
= Z Z Z Z
= + + 1 ) ( s a s b
ZZZZ
(
)
(
)
) ( b a s a
) ( + a b s b
1 1 1 1 = + + - -
Z Z Z Z
Z Z Z Z
(
)
(
)
) ( b a s a
) ( + a b s b
1 1 1 1 = + + - -
(
(
aT
bT
)
) (
)
bT
)
⇒
( ) G G z 1 2
bT
aT e )( aT
)
(
) ( ( z e )( b a z
z z = + - - - - 1 b a 1 a b - - z e z e - - - = - - - - - e z e
3- Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong keânh sai soá
thoáng ôû ví duï 7.6 vaø 7.7 hoaøn toaøn khaùc nhau. Roõ raøng keát quaû tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa hai heä g
( ) G z k
( )
= = (7.22) +1
Hình 7.8 Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong keânh sai soá ( ) G z ( ) GH z ( ) GH z
( ) C z ( ) R z } { ( ) G s
( ) G z
{ } ( ) G s H s .
= ZZZZ = ZZZZ ; trong ñoù:
( ) G z k
( ) G z
Tröôøng hôïp H(s) = 1 (heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò) ta coù: ( ) G z = = (7.23) +1
( ) vaø H s
( ) G s
Ví duï 7.8. Cho
( ) C z ( ) R z 1 + s a ñöông cuûa hai heä thoáng coù sô ñoà khoái ôû hình 7.7.
Giaûi. Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi Z töông töï nhö ñaõ laøm ôû ví duï 7.6 vaø 7.7, ta deã daøng tính ñöôïc:
= = . Tìm haøm truyeàn töông 1 + s b
Z Z Z Z
Z Z Z Z
( ) G z
} { ( ) G s
z = = =
{
}
aT
- - 1 + s a z e
253
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
bT
)
( )
Z Z Z Z
Z Z Z Z
( ) GH z
{ } ( ) G s H s
- - - = = =
{
}
bT
aT e )( aT
)
(
( z e )( b a z
- - 1 + 1 + s a s b - - - e z e
Thay vaøo coâng thöùc (7.22) ta ñöôïc:
aT
)
( ) G z k
)
( ) C z ( ) R z
( ) G z ( ) + GH z
bT
aT e )( aT
)
(
( z ( z e )( b a z )
(
⇒
g
( ) G z k
aT
bT
)( b a z )( aT
)
bT )
(
)( b a z
4- Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong voøng hoài tieáp
Hình 7.9 Heä thoáng hoài tieáp coù khaâu laáy maãu trong voøng hoài tieáp
z - - = = = - - e bT - 1 + 1 - - - - - e z e - - - = - - - - e bT + - - - - z e e e z ( z e
Tröôøng hôïp naøy khoâng tìm ñöôïc bieåu thöùc haøm truyeàn, quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra nhö sau:
( ) C z
( )
= (7.24)
( ) RG z ( ) + GH z } ( ) ( ) R s G s
( ) RG z
( ) GH z
( ) = ZZZZ G s H s {
5- Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä trong
nhaùnh thuaän
Hình 7.10 Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä
trong nhaùnh thuaän
1 { = ZZZZ trong ñoù: ; }
( ) G z k
( ) G z ( )
= = (7.25)
( ) C z ( ) +1 R z } { ( ) G s
( ) G z H z { ( ) = ZZZZ H z
} ( ) H s
( ) G z
= ZZZZ ; trong ñoù:
254
CHÖÔNG 7
6- Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä vaø caùc
khaâu noái tieáp ôû nhaùnh thuaän
Hình 7.11 Heä thoáng hoài tieáp coù caùc khaâu laáy maãu ñoàng boä vaø caùc khaâu
( ) G z k
1
= =
2 =
ZZZZ
ZZZZ
( ) G z 1
( ) ( ) G z G z 2 1 ( ) ( ) + G z G H z } { ( ) G s 2
= ; trong ñoù:
ZZZZ
noái tieáp ôû nhaùnh thuaän ( ) C z ( ) R z 1 { } ( ) ( ) G z G s 1 2 } { ( ) ( ) G s H s
( ) G H z
2
2
7- Sô ñoà doøng tín hieäu - Coâng thöùc Mason cho heä rôøi raïc
=
)
(cid:2) Neáu khoâng coù boä laáy maãu giöõa ñaàu vaøo R(s) vaø khaâu ñaàu tieân trong voøng thuaän (ví duï G(s)) thì khoâng theå taùch bieät bieán ( RG ZZZZ . ñoåi Z cuûa ñaàu vaøo vaø khaâu ñaàu tieân vaø ta luoân coù soá haïng Do ñoù trong tröôøng hôïp naøy khoâng theå tính ñöôïc haøm truyeàn baèng tæ leä giöõa bieán ñoåi Z tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo cuûa heä thoáng.
(cid:2) Neáu moät khaâu trong voøng thuaän hay trong voøng hoài tieáp phaân bieät vôùi ñaàu vaøo, ñaàu ra cuûa heä thoáng vaø vôùi caùc khaâu khaùc bôûi caùc boä laáy maãu ôû ñaàu vaøo vaø ñaàu ra cuûa noù hoaøn toaøn ñoäc laäp veà bieán ñoåi Z.
(cid:2) Neáu moät khaâu trong voøng thuaän hay voøng hoài tieáp khoâng phaân bieät vôùi caùc khaâu keá caän hay vôùi ñaàu vaøo cuûa heä thoáng bôûi boä laáy maãu thì phaûi thöïc hieän pheùp bieán ñoåi Z cuûa haøm truyeàn keát hôïp cuûa hai khaâu hay giöõa khaâu ñoù vôùi ñaàu vaøo.
Coù theå môû roäng khaùi nieäm sô ñoà doøng tín hieäu ñaõ trình baøy trong chöông 2 cho heä lieân tuïc ñeå aùp duïng vaøo heä rôøi raïc vôùi moät vaøi thay ñoåi nhoû. Ñeå söû duïng coâng thöùc Mason cho heä rôøi raïc caàn ñeå yù caùc nguyeân taéc sau ñaây:
Duøng lyù thuyeát Mason vaø ba nguyeân taéc treân cho heä rôøi raïc, ñoäc giaû coù theå kieåm chöùng ñöôïc caùc coâng thöùc tính haøm truyeàn ñaõ
255
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
7.4 MOÂ TAÛ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC BAÈNG PHÖÔNG TRÌNH TRAÏNG THAÙI
7.4.1 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø phöông trình
sai phaân
1- Veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân khoâng chöùa sai phaân
cuûa tín hieäu vaøo
daãn ra trong muïc 7.3.2 naøy.
)
(
)
) +
Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu
) +
) =
( + c k
( a c k
n
( b r k o
1 Chuù yù: ÔÛ phöông trình treân heä soá ao = 1. Neáu ao „ 1 ta chia
+ + c k n 1 1 (7.26) + K - a n ra moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: ( + - a c k n 1
hai veá cho ao ñeå ñöôïc phöông trình sai phaân coù daïng (7.26).
Töông töï nhö ñaõ laøm ñoái vôùi heä lieân tuïc, ta ñaët caùc bieán traïng thaùi ñeå bieán ñoåi töông ñöông phöông trình sai phaân baäc n ôû treân thaønh heä n phöông trình sai phaân baäc moät.
)
)
Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau:
)
)
)
=
)
)
)
= + = + 1 ⇒
( c k ( c k
) 1 ) 2
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3
( c k ( x k 1 ( x k 2
( x k 2 ( x k 3
= + = + 1 ⇒
)
(
)
(
)
)
(
)
...
) + ⇒ 1
( x k n
( x k n
( x k n
1
)
)
(
)
(
)
)
= = + = k c k n + c k n + - ⇒ 1 1 - x n
( x k 1 2
n )
(
)
( b r k o )
( x k n ⇒
( x k n
n
( b r k o
( x k 1 2
Thay vaøo phöông trình (7.26) ta ñöôïc: + + + + + = 1 - a n a x k 1 K ) ( + a x k n 1 ) = - - - - 1 K - a n a x k n 1 + a x k 1
Keát hôïp phöông trình treân vôùi caùc bieåu thöùc ñaët bieán traïng thaùi ta ñöôïc heä phöông trình sau:
256
CHÖÔNG 7
) )
) )
( x k 1 ( x k 2
( x k 2 ( x k 3
(
)
+ = 1 + = 1
( ) x k n (
)
)
(
)
)
M x n 1 ( x k n
n
( b r k o
( x k 1 2
= - k + + 1 ) = - - - - 1 K - a n a x k n 1 + a x k 1
257
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
0
0
1
K
0
0
0
) )
) )
+ +
1 1
0
1
0
K
0
0
0
( x k 1 ( x k 2
M
M
M
M
M
M
M
)
(
)
+
Vieát laïi döôùi daïng ma traän: ( x k 1 ( x k 2 = + r(k)
1 )
k )
M ( k +
K K
1
0 a n
0 a n
0 a n
0 ob
1
2
0 a 2
1 a 1
x n 1 ( x k n
x n 1 ( x k n
- - - - - - - - -
) )
( x k 1 ( x k 2
)
)
Ñaùp öùng cuûa heä thoáng:
]
( c k
[ 1 0
( x k 1
(
)
= = 0 0 K M
- k ) x n 1 ( x k n
Ñaët:
) )
0 1 0 0 0 K
( x k 1 ( x k 2
x(k) =
A d
(
)
K = 1 M 0 M 0 M 0 M 0 M M
1
2
- k ) - - - - - K K - - 0 a n 0 a n 0 a n 0 a 2 1 a 1 x n 1 ( x k n
]
0
Bd =
0 b 0
)
(
1 0 0 0 K 0 M Cd = [
( r k
B d
g
( x ( c k
A x d ( ) k
C x d
)
)
)
)
)
Ta ñöôïc heä phöông trình bieán thaùi: ) ) = + + k 1 k ) =
( r k
( c k
( c k
( c k
Ví duï 7.9. Cho heä thoáng ñieàu khieån rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình ( c k sai phaân:
)
)
)
)
)
= = + + + + + 3 4 2 5 1 2 3
( c k
Giaûi. Ta coù:
)
( r k ) =
( c k ) +
( r k
( c k ( c k
= + + + + = 2 3 ) 5 ) Haõy vieát heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng. ( c k + 2 + 4 + + + + ( c k 3 ( c k 1 ( c k (cid:219) 1 2 2 3 1 5 , 0 5 , 2 5 ,
258
CHÖÔNG 7
)
)
Ñaët bieán traïng thaùi nhö sau: ) =
)
= +
) 1 ) 1
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3
( c k ( x k 1 ( x k 2
= +
)
(
)
)
Heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng ñaõ cho laø:
( r k
B d
( x ( c k
+ = + k 1 k ) =
(cid:2) x(k) =
) ) )
A x d ( ) k ( x k 1 ( x k 2 ( x k 3
trong ñoù:
(cid:2) Ad =
= 0 0 1 0 0 1 - - - - - - 2 2 5 , 0 5 , 0 1 a 1
1 0 a 2 0 0
(cid:2) Bd =
C x d 0 0 a 3
=
1 5 , ] 1 0 0
(cid:2) Cd = [
2- Veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân coù chöùa sai phaân cuûa
tín hieäu vaøo
0 0 ob
)
(
Xeùt heä thoáng rôøi raïc coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu
) =
) +
) +
( + c k
)
( a c k n ) +
( b r k n
1
1 b = (7.27) n Chuù yù: ÔÛ phöông trình treân heä soá ao = 1. Neáu ao „ 1 ta chia
+ - + K ) + + + 1 ( + r k 1 1 a n + K - ra moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: ( + + - c k n a c k n 1 1 ( ( ) + - b r k n b r k n o 1
)
)
hai veá cho ao ñeå ñöôïc phöông trình sai phaân coù daïng (7.27)
= - b
1
= + - b
) ) )
) )
( r k ( r k
( c k ( x k 1 ( x k 2
2
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3 ...
)
(
)
)
Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: ( r k o ) 1 ) + = - b 1
( r k
( x k n
n
1
1
= + - b k 1 - - x n
259
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
(
)
)
)
)
)
( r k
( x k n
n
n
( + b a x k n 1
= - + - - - 1 K - a n Töø caùch ñaët bieán traïng thaùi treân ta ruùt ra phöông trình sau: ( ⇒ x k 1 2 a x k 1
o
o
2 1
o
2 2
3 1
- b a 1 - b - b a 1 1 b 2 - b - b - b a 2 0 a a 1 2 a 3 b 3 - b - b - b - b a a a 1 3 a 4 trong ñoù: b = ob o b = b 1 1 b = 2 b = 3 b = 4 b 4
n
n
n
n
n o
1
2
3
4
1 1
- b - b - b - b - - b - b a K - - - - - ... b = n b n a n a 1 a 2 a 3 a 4
)
(
)
)
Do ñoù heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù daïng:
( r k )
( x ( c k
A x d ( ) k
B d ( r k
C x d
D d
+ = + k 1 k ) = +
trong ñoù:
) )
0 1 0 0 0 K
( x k 1 ( x k 2
x(k) =
K
(
)
0 M 0 M 1 M 0 M 0 M M Ad =
1
2
1
- k ) - - - - - K K - - 0 a n 0 a n 0 a n 0 a 2 1 a 1 x n 1 ( x k n
]
b
2 M
Bd =
1 0 0 0 K Cd = [ Dd = b o.
n
1
-
n
)
)
)
)
)
)
Ví duï 7.10. Cho heä thoáng rôøi raïc moâ taû bôûi phöông trình sai phaân: +
b b b
( c k
( c k
( r k
( c k
( r k
( c k
+ + + = + + + + 2 3 5 1 2 2 3 4
Giaûi. Ta coù:
)
)
)
)
)
)
Haõy vieát heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng treân.
)
( c k 5 +
( c k 4 ) +
( r k ) =
( r k ) +
( c k ( + c k
( + c k ( c k
( r k
+ + + + + 2 2 3 3 ) + ) + 2 + + + (cid:219) 1 ( c k = ( c k + ( r k 3 2 1 2 2 0 5 , 2 5 , 0 5 , 1 5 ,
260
CHÖÔNG 7
)
)
)
Ñaët caùc bieán traïng thaùi:
)
( r k o )
)
= - b
1
)
)
)
= + - b 1
( r k ( r k )
2 (
(
)
)
)
( c k ( x k 1 ( x k 2 ) +
= + - b 1
( r k
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3 ⇒
( x k 3
( + b a x k 1 3
3
= - - - 1 a x k 3 1 a x k 2 2
- · = 0 5 0 0 5 , , = 0 b = a 1 - b - · - , · = - 0 0 5 0 5 2 5 0 , , , b 2 a 1 1
(
o
o b = - a o 2 b = 2 1 Heä phöông trình bieán traïng thaùi coù daïng: )
(
)
)
0 25 ) - b - b - · - - · a 2 5 0 5 0 375 1 5 0 5 = 0 25 , , , , , , trong ñoù: b = ob o b = b 1 1 b = 2 b = 3 a 1 2 = a 3 b 3
( r k )
( x ( c k
A x d ( ) k
B d ( r k
C x d
D d
+ = + k 1 k ) = +
x(k) =
Ad =
) ) )
trong ñoù:
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3
- - - 0 0 2 1 0 2 5 , 0 1 0 5 ,
]
g
Bd =
Cd = [
- 1 0 0 Dd = 0
7.4.2 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø haøm truyeàn
heä rôøi raïc
0 5 , 0 25 , 0 375 ,
m
m
1
m
( ) G z
1
( ) C z ( ) R z
1
Cho heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn: - + + + - b m = = (7.28) - + K + + b z o n z K - a n + z b 1 + z a n b z 1 n a z 1
Chuù yù: ÔÛ haøm truyeàn treân heä soá ao = 1. Neáu a0 „ 1 ta chia töû
soá vaø maãu soá cho ao ñeå ñöôïc haøm truyeàn coù daïng (7.28).
Caùch 1: Bieán ñoåi töông ñöông haøm truyeàn veà daïng phöông trình sai phaân:
261
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
n
n
1
1
m
m
1
)
- + + + + (7.28) (cid:219) K - a n a z 1 - + + + + K - b m
) +
) =
) ( ) z a C z n ) ( ) z b R z m ( + c k
1 + K
n
(
)
) +
( a c k ) +
( + r k
1 + K
) + b r k m b r k m o
1
1
+ ) + (cid:219) 1 1 - a n ( z = ( b z o ( + c k n ( b z 1 ( + - a c k n 1 ( + + - = 1 1 - b m b r k m
2
AÙp duïng phöông phaùp ñaõ trình baøy ôû muïc 7.4.1.2 ta ruùt ra ñöôïc heä phöông trình bieán traïng thaùi.
( ) G z
3
2
Ví duï 7.11. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù haøm truyeàn laø: ( ) C z ( ) R z
Giaûi. Caùch 1: Haøm truyeàn ñaõ cho töông ñöông vôùi:
+ z 3 = = + + + z z z 5 4 2
( ) G z
3
2 z 2
3
2
+ 0 5 , 1 5 , = = + + z z 0 5 ,
2 c
+ ( + + + = + (cid:219) c z ( ) C z 2 ( ) R z 0 5 ,
( ) C z ( ) R z ) 2 )
)
)
( c k
( r k
( r k
0 5 , ) z ) 2 5 , ) ) + + + + + + = + + (cid:219) 2 5 , ( c k 1 5 , ( c k ( z ( c k 3 2 1 2 2 0 5 , 2 5 , 0 5 , 1 5 ,
m
m
1
m
( ) G z
1
( ) C z ( ) R z
1
xem tieáp lôøi giaûi ñaõ trình baøy ôû ví duï 7.10. - + + + - b m = = Caùch 2: Do - + K + + b z o n z K - a n + z b 1 + z a n b z 1 n a z 1
m
m
1
1
n
n
1
( b z o ( = (
1 ) +
) +
) =
( a e k
( r k
n
1
- = + + + + (7.29) K - b m b z 1 - + + + + C z ( ) ( ) R z - (7.30) ) a z 1 ) + z + e k n a n 1 1 (7.30) ⇒ + K - neân ta coù theå ñaët bieán phuï E(z) sao cho: ) ( ) z b E z m ) ( ) z a E z n ( + e k a n K ( + - a e k n 1
AÙp duïng phöông phaùp ñaõ trình baøy ôû muïc 7.4.1.1, ñaët caùc
=
= = +
) )
) )
( e k ( e k
) 1 ) 2
( e k ( x k 1 ( x k 2
( x k 2 ( x k 3
)
(
)
)
(
)
(
)
bieán traïng thaùi: ) ) ) + ) = + = + 1 ⇒ 1 ⇒
) + - 1 ⇒
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3 ... ( x k n
( nx k
( nx k
1
= + = + = k e k n + e k n 1 ⇒ 1 - x n
262
CHÖÔNG 7
+
1
) )
) )
+
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
K K
1
( x k 1 ( x k 2
)
+
( r k
M
M
M
M
M
M
)
(
)
Ta ñöôïc phöông trình: ( x k 1 ( x k 2 =
K K
1 ) 1
0 0 M 0 1
0 a n
0 a n
2
1 a 1
M ( + k x n 1 ( + x k n
k x n 1 ( ) x k n
0 a n (
(
)
(
)
- - - - - - - - -
0 a 2 ) +
) +
( + e k
1 ) = b e k m b e k m o
1
(
)
(
)
)
1 +
( c k ( ) c k
+
m
1
+ + = - (7.29) ⇒ 1 + K - b e k m 1 ( = + + + k k ⇒ K - b x o m b m b b 1 b m ( ) x k 1 2
)
[
( c k
] K
1
(
)
b x k m 1 ) ( x k 1 ) ( x k 2 = ⇒ 0 0 K - M b m b m b o b 1
- k ) x n 1 ( x k n
)
(
)
(
)
Toùm laïi ta ñöôïc heä phöông trình traïng thaùi:
B d
( x ( c k
A x d ( ) k
C x d
+ = + k k 1 k ) =
trong ñoù:
) )
0 1 0 0 0 K
( x k 1 ( x k 2
x(k) =
K
(
)
0 M 0 M 1 M 0 M 0 M M Ad =
1
2
)
- k ) - - - - - K K - - 0 a n 0 a n 0 a n 0 a 2 1 a 1 x n 1 ( x k n
[
( c k
] K 0
Bd =
1
0 0 M 0 1
g
2
= 0 K - Cd = b m b m b o b 1
( ) G z
3
2
Ví duï 7.12. Cho heä thoáng moâ taû bôûi haøm truyeàn: ( ) C z ( ) R z
+ z 3 = = + + + z z z 5 4 2
263
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN RÔØI RAÏC
Giaûi. Haøm truyeàn ñaõ cho töông ñöông vôùi:
Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi.
( ) G z
2 z 2
3
( ) C z ( ) R z
+ 1 5 , 0 5 , = = + + z z z 2 0 5 , 2 5 ,
( ) E z
2
( 0 5 , (
)
+ + ( )E z sao cho: ) 2 = z 1 5 ,
3 z
( ) E z
)
= + + + z z 0 5 , 2 5 ,
)
)
( c k +
( c k +
( e k
( e k
= + (cid:219) + ) 2 ) ) = 2 + + + + Ñaët bieán phuï ( ) C z ( ) R z ( ) c k ( ) r z 0 5 , ( e k 1 5 , ( e k 3 2 1 2 0 5 , 2 5 ,
)
)
Ñaët bieán traïng thaùi: ) =
)
= +
) 1 ) 1
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3
( e k ( x k 1 ( x k 2
)
)
)
= +
( r k
B d
A x d ( ) k
D x d
+ = + k 1 k ) = Ta ñöôïc heä phöông trình: ( ( x ( c k
trong ñoù:
x(k) =
Ad =
) ) )
0 = 0
( x k 1 ( x k 2 ( x k 3
1 0 0 1 - - - –2 –2.5 –0.5 0 0 a 3 1 0 a 2 0 1 a 1
]
[ ] 1 5 0 0 5
g
Bd =
Dd = [
0 0 1
= . . b 2 b 1 b 0
( ) G z
4
Ví duï 7.13. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù haøm truyeàn laø: ( ) C z ( ) R z
)
+ = = 1 2 z 2 3 + + + + z z z z 5 3 2
Giaûi. Ñaët bieán phuï E(z) sao cho: ( ) E z
2
( 2 (
)
= + z 1
( ) C z ( ) R z
4 z
3 z
( ) E z
= + + + + z z 2 5 3
