Gi¸o tr×nh M« h×nh ho¸
Bé m«n Tù ®éng ho¸ http://www.ebook.edu.vn Khoa §iÖn
36
Ch−¬ng 4 - M« h×nh hãa c¸c hÖ ngÉu nhiªn
4.1- Kh¸i niÖm vÒ m« h×nh hãa c¸c hÖ ngÉu nhiªn
HÖ ngÉu nhiªn lµ hÖ trong ®ã cã c¸c biÕn ngÉu nhiªn. C¸c biÕn ngÉu nhiªn ®−îc ®Æc
tr−ng bëi luËt ph©n phèi x¸c suÊt.
Thùc chÊt cña ph−¬ng ph¸p nµy x©y dùng m« h×nh x¸c suÊt lµ x©y dùng trªn m¸y tÝnh hÖ
thèng S víi c¸c quan hÖ néi t¹i cña nã trong ®ã cã c¸c biÕn ngÉu nhiªn. §Çu vµo cña hÖ cã t¸c
®éng mang tÝnh ngÉu nhiªn nh− sè l−îng c¸c sù kiÖn x¶y ra, thêi gian gi÷a c¸c sù kiÖn hoÆc
t¸c ®éng cña m«i tr−êng xung quanh E. Trªn c¬ së ®ã ph©n tÝch c¸c tÝn hiÖu ®Çu ra ng−êi ta
nhËn ®−îc d¸ng ®iÖu ph¶n øng cña hÖ thèng. Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc gäi lµ ph−¬ng
ph¸p m« pháng (Simulation). Mçi mét lÇn thùc hiÖn phÐp thö ng−êi ta thu ®−îc mét lêi gi¶i
chøa ®ùng nh÷ng th«ng tin vÒ d¸ng ®iÖu cña hÖ thèng S. NÕu sè phÐp thö N ®ñ lín th× kÕt qu¶
thu ®−îc b»ng c¸ch lÊy trung b×nh theo x¸c suÊt sÏ æn ®Þnh vµ ®¹t ®é chÝnh x¸c cÇn thiÕt.
Ph−¬ng ph¸p m« pháng th−êng ®−îc dïng ®Ó nghiªn cøu c¸c hÖ ngÉu nhiªn nh−ng ®ång
thêi trong mét sè tr−êng hîp còng cã thÓ dïng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n ®èi víi hÖ tiÒn ®Þnh.
4.2- C¬ së lý thuyÕt x¸c suÊt
4.2.1- BiÕn cè ngÉu nhiªn vµ x¸c suÊt
1- PhÐp thö vµ biÕn cè
Khi thùc hiÖn mét sè ®iÒu kiÖn nµo ®ã ta nãi r»ng ®· thùc hiÖn mét phÐp thö. Cßn hiÖn
t−îng cã thÓ x¶y ra trong kÕt qu¶ cña phÐp thö ®−îc gäi lµ biÕn cè.
VÝ dô: Hµnh ®éng tung mét con sóc s¾c lµ thùc hiÖn mét phÐp thö cßn viÖc xuÊt hiÖn
mÆt nµo ®ã ®−îc gäi lµ biÕn cè.
Cã 3 lo¹i biÕn cè:
- BiÕn cè ch¾c ch¾n (U): lµ biÕn cè nhÊt ®Þnh sÏ x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö.
- BiÕn cè kh«ng thÓ cã (V): lµ biÕn cè nhÊt ®Þnh kh«ng x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö.
- BiÕn cè ngÉu nhiªn: lµ biÕn cè cã thÓ x¶y ra hoÆc kh«ng x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö.
1- X¸c suÊt cña mét biÕn cè
X¸c suÊt P(A) cña biÕn cè A lµ mét con sè ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng kh¸ch quan ®Ó xuÊt
hiÖn biÕn cè A khi thùc hiÖn phÐp thö.
1- Quan hÖ gi÷a c¸c biÕn cè:
- TÝch c¸c biÕn cè: BiÕn cè A ®−îc gäi lµ tÝch cña c¸c biÕn cè A1, A2, …, An nÕu A x¶y
ra khi c¶ n biÕn cè Ai (i = 1÷ n) cïng ®ång thêi x¶y ra: A = A1, A2, …, An.
VÝ dô: HS thi tèt nghiÖp 6 m«n, ®iÒu kiÖn ®Ó ®ç tèt nghiÖp lµ kh«ng cã m«n nµo bÞ ®iÓm
liÖt.
- Tæng c¸c biÕn cè: BiÕn cè A ®−îc gäi lµ tæng cña c¸c biÕn cè A1, A2, …, An nÕu A x¶y
ra khi cã Ýt nhÊt 1 trong sè n biÕn cè Ai (i = 1÷ n) x¶y ra: A = A1+ A2+ …+ An.
VÝ dô: HS thi tèt nghiÖp 6 m«n, HS sÏ tr−ît tèt nghiÖp nÕu cã mét m«n bÞ ®iÓm liÖt.
- BiÕn cè xung kh¾c: Hai biÕn cè A vµ B ®−îc gäi lµ xung kh¾c víi nhau nÕu chóng
kh«ng cïng x¶y ra trong mét phÐp thö. VÝ dô: BiÕn cè mÆt ch½n vµ mÆt lÎ khi tung sóc s¾c.
Gi¸o tr×nh M« h×nh ho¸
Bé m«n Tù ®éng ho¸ http://www.ebook.edu.vn Khoa §iÖn
37
C¸c biÕn cè A1, A2, …, An ®−îc gäi lµ xung kh¾c tõng ®«i nÕu bÊt kú hai biÕn cè nµo
trong chóng còng xung kh¾c víi nhau. C¸c biÕn cè A1, A2, …, An ®−îc gäi lµ hÖ ®Çy ®ñ c¸c
biÕn cè nÕu chóng xung kh¾c tõng ®«i vµ tæng cña chóng lµ mét biÕn cè ch¾c ch¾n.
VÝ dô: Gäi A lµ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm ch½n, B lµ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt cã sè
chÊm lÎ khi tung mét con sóc s¾c th× A, B lµ hÖ ®Çy ®ñ.
- BiÕn cè ®èi lËp: A vµ A ®−îc gäi lµ ®èi lËp víi nhau nÕu chóng t¹o thµnh hÖ ®Çy ®ñ
c¸c biÕn cè hay nãi c¸ch kh¸c lµ mét vµ chØ mét trong hai biÕn cè ph¶i x¶y ra sau phÐp thö.
4.2.2- §Þnh nghÜa x¸c suÊt
VÝ dô: Tung mét con sóc s¾c. Gäi A lµ biÕn cè xuÊt hiÖn mÆt cã sè chÊm ch½n. T×m
P(A).
Khi thùc hiÖn phÐp thö cã 6 tr−êng hîp ®ång kh¶ n¨ng x¶y ra, tuy nhiªn chØ cã mét kÕt
qu¶. Trong ®ã cã 3 tr−êng hîp mµ nÕu chóng x¶y ra sÏ lµm cho biÕn cè x¶y ra (®ã lµ c¸c
tr−êng hîp 2, 4, 6 chÊm). C¸c tr−êng hîp lµm cho biÕn cè x¶y ra ®−îc gäi lµ c¸c tr−êng hîp
thuËn lîi cho biÕn cè.
P(A) = 3/6 = 0,5
§Þnh nghÜa cæ ®iÓn vÒ x¸c suÊt: NÕu trong mét phÐp thö cã tÊt c¶ n tr−êng hîp ®ång
kh¶ n¨ng x¶y ra trong ®ã cã m tr−êng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A th× x¸c suÊt cña biÕn cè A
®−îc ®Þnh nghÜa lµ P(A) = m/n.
C¸c tÝnh chÊt cña x¸c suÊt:
- X¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn hoÆc bÊt kú: 0 < P(A) < 1.
- X¸c suÊt cña biÕn cè ch¾c ch¾n: P(A) = 1 (m = n).
- X¸c suÊt cña biÕn cè kh«ng thÓ cã: P(A) = 0 (m = 0).
§Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸c suÊt: TÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong n phÐp thö lµ tû sè
gi÷a sè phÐp thö trong ®ã biÕn cè xuÊt hiÖn vµ tæng sè phÐp thö ®−îc thùc hiÖn.
Gäi sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè A lµ k vµ tÇn sè xuÊt hiÖn biÕn cè A lµ f(A), ta cã: f(A)=k/n.
NÕu tÇn sè xuÊt hiÖn biÕn cè A lu«n lu«n dao ®éng xung quanh mét sè x¸c ®Þnh p nµo ®ã khi
sè phÐp thö t¨ng lªn kh¸ lín mµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A cµng tiÕn gÇn tíi p th× p ®−îc gäi
lµ x¸c suÊt cña biÕn cè A theo quan ®iÓm thèng kª: p(A) ≈ f(A).
4.2.3- C¸c ®Þnh lý x¸c suÊt
a- §Þnh lý céng x¸c suÊt:
NÕu A vµ B lµ hai biÕn cè xung kh¾c th× P(A + B) = P(A) + P(B). Tr−êng hîp tæng qu¸t:
NÕu A1, A2,…, An lµ xung kh¾c tõng ®«i th× x¸c suÊt cña tæng c¸c biÕn cè b»ng tæng c¸c x¸c
suÊt:
nn
ii
i1 i1
p( A ) p(A )
==
=
∑∑
b- §Þnh lý nh©n x¸c suÊt
- X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn: X¸c suÊt cña biÕn cè A ®−îc tÝnh víi ®iÒu kiÖn biÕn cè B kh«ng
x¶y ra ®−îc gäi lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña A vµ ®−îc kÝ hiÖu lµ p(A/B).
- BiÕn cè ®éc lËp: BiÕn cè A ®−îc gäi lµ ®éc lËp víi biÕn cè B nÕu viÖc A xuÊt hiÖn hay
kh«ng còng kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn x¸c suÊt biÓu hiÖn cña B. C¸c biÕn cè A1, A2,…, An ®−îc
Gi¸o tr×nh M« h×nh ho¸
Bé m«n Tù ®éng ho¸ http://www.ebook.edu.vn Khoa §iÖn
38
gäi lµ ®éc lËp toµn phÇn víi nhau nÕu mçi biÕn cè trong chóng ®éc lËp víi tÝch cña mét sè bÊt
kú biÕn cè trong c¸c biÕn cè cßn l¹i.
§Þnh lý: NÕu A vµ B lµ hai biÕn cè bÊt kú th× p(AB) = p(A).p(B) = p(B).p(A/B)
Tæng qu¸t: NÕu A1, A2, …, An c¸c biÕn cè bÊt kú th×:
p(A1A2…An) = p(A1)p(A2/A1)…p(An/A1A2…An-1)
HÖ qu¶: NÕu c¸c biÕn cè A1, A2,…, An ®éc lËp toµn phÇn th×:
p(A1A2…An) = p(A1)p(A2)…p(An)
c- C«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ, c«ng thøc Bayer
Gi¶ sö H1, H2,…, Hn lµ hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè. BiÕn cè A cã thÓ x¶y ra cïng víi mét
trong nh÷ng biÕn cè Hi (i = 1÷n). Khi ®ã:
n
ii
i1
p
(A)
p
(H )
p
(A / H )
=
=∑
d- C«ng thøc Bernoulli
- D·y phÐp thö ®éc lËp: c¸c phÐp thö ®−îc gäi lµ ®éc lËp víi nhau nÕu x¸c suÊt ®Ó x¶y ra
mét biÕn cè nµo ®ã trong tõng phÐp thö sÏ kh«ng phô thuéc vµo viÖc biÕn cè ®ã cã x¶y ra ë
c¸c phÐp thö kh¸c hay kh«ng.
- TiÕn hµnh n phÐp thö ®éc lËp. Mçi phÐp thö chØ cã hai tr−êng hîp x¶y ra: hoÆc biÕn cè
A x¶y ra hoÆc biÕn cè A kh«ng x¶y ra.
X¸c suÊt ®Ó biÕn cè A x¶y ra trong tõng phÐp thö ®Òu b»ng p.
X¸c suÊt ®Ó biÕn cè A kh«ng x¶y ra trong tõng phÐp thö ®Òu b»ng q = 1 - p.
Nh÷ng bµi to¸n tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn ®−îc gäi lµ tu©n theo l−îc ®å Bernoulli. X¸c
suÊt ®Ó trong n phÐp thö ®éc lËp biÕn cè A x¶y ra ®óng k lÇn kh«ng kÓ thø tù:
kknk
nn
p(k) Cpq−
=
X¸c suÊt ®Ó trong n phÐp thö ®ã biÕn cè A x¶y ra tõ k1 ®Õn k2 lÇn kh«ng kÓ thø tù:
22
11
kk
kknk
n12 n n
kk kk
p(k,k) p(k) Cpq
−
==
==
∑∑
VÝ dô: B¾n 5 viªn ®¹n vµo mét môc tiªu, x¸c suÊt tróng ®Ých cña mçi viªn ®¹n lµ 0,7.
T×m x¸c suÊt ®Ó cã ®óng 3 viªn ®¹n tróng môc tiªu.
n = 5; k = 3; p = 0,7 ⇒ 332
55
p (5) C .p .q 0,441==
4.2.4- §¹i l−îng ngÉu nhiªn vµ c¸c quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt
a- §¹i l−îng ngÉu nhiªn
Lµ ®¹i l−îng mµ trong kÕt qu¶ cña phÐp thö sÏ nhËn mét vµ chØ mét trong c¸c gi¸ trÞ cã
thÓ cã cña nã víi x¸c suÊt t−¬ng øng x¸c ®Þnh.
§¹i l−îng ngÉu nhiªn ®−îc ký hiÖu b»ng ch÷ in hoa: X, Y, Z…
C¸c gi¸ trÞ cã thÓ nhËn, ký hiÖu b»ng ch÷ in th−êng: x, y, z,…
§¹i l−îng ngÉu nhiªn ®−îc chia thµnh hai lo¹i:
- §¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c: lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn mµ c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã lµ
h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®−îc (liÖt kª ®−îc).
- §¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc: c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã lÊp ®Çy mét kho¶ng liªn tôc
trªn trôc sè, kh«ng thÓ liÖt kª ®−îc.
Gi¸o tr×nh M« h×nh ho¸
Bé m«n Tù ®éng ho¸ http://www.ebook.edu.vn Khoa §iÖn
39
b- Quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
Quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X lµ h×nh thøc cho phÐp biÓu diÔn
mèi quan hÖ gi÷a c¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña X víi c¸c x¸c suÊt t−¬ng øng.
* B¶ng ph©n phèi x¸c suÊt: Dïng ®Ó thiÕt lËp quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt cho ®¹i l−îng
ngÉu nhiªn rêi r¹c.
X x1 x2 x3 … xk
p p1 p
2 p
3 … pk
* Hµm ph©n phèi x¸c suÊt F(x): cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X lµ x¸c suÊt ®Ó X nhËn gi¸ trÞ
nhá h¬n x víi x lµ mét sè thùc bÊt kú.
F(x) = p(X < x)
NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c th×
i
i
xx
F(x) p
<=
∑
TÝnh chÊt cña hµm ph©n phèi:
+ 0 ≤ F(x) ≤ 1 víi mäi x.
+ F(x) kh«ng gi¶m nghÜa lµ x1 < x2 ⇒ F(x1) < F(x2).
+ p(x1 ≤ X ≤ x2) = F(x2) - F(x1)
+ F(+∞) = 1( x
lim F(x) 1
→+∞ =); F(-∞) = 0 ( x
lim F(x) 0
→−∞
=
)
* Hµm mËt ®é x¸c suÊt (chØ ¸p dông cho ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc) f(x): cña ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn X lµ ®¹o hµm bËc nhÊt cña hµm ph©n bè x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
®ã.
TÝnh chÊt cña hµm mËt ®é x¸c su©t:
+ f(x) ≥ 0 víi mäi x.
+
b
a
p(a < x < b) = f(x)dx
∫
+
x
F(x) f(t)dt
−∞
=∫
+ f(x)dx 1
∞
−∞
=
∫
c- C¸c th«ng sè ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn
* Kú väng to¸n: kú väng to¸n cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®Æc tr−ng cho gi¸ trÞ trung b×nh
cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ã.
X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt:
X x1 x2 x3 … xk
p p1 p
2 p
3 … pk
Kú väng to¸n cña X ®−îc tÝnh bëi c«ng thøc sau:
k
ii
i1
E(x) x
p
=
=
∑
NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é x¸c suÊt f(x):
E(x) xf(x)dx
∞
−∞
=∫
Gi¸o tr×nh M« h×nh ho¸
Bé m«n Tù ®éng ho¸ http://www.ebook.edu.vn Khoa §iÖn
40
TÝnh chÊt cña kú väng to¸n:
+ E(C) = C víi C = const.
+ E(Cx) = C.E(x)
+ E(X+Y) = E(X) + E(Y)
* Ph−¬ng sai: Ph−¬ng sai cña mét ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®Æc tr−ng cho ®é ph©n t¸n c¸c
gi¸ trÞ cã thÓ cã cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn xung quanh kú väng to¸n cña nã. Ph−¬ng sai lµ kú
väng to¸n cña b×nh ph−¬ng sai lÖch gi÷a ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X so víi kú väng to¸n cña nã
E(X):
D(X) = E([X - E(X)]2)
= E(X2) - [E(X)]2
NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c th×:
k
22
ii
i=1
E(X ) = x
p
∑
NÕu X lµ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc th×: 22
E(X ) x f(x)dx
∞
−∞
=∫
TÝnh chÊt cña ph−¬ng sai:
+ D(C) = 0
+ D(CX) = C2.D(X)
+ NÕu X vµ Y lµ c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp: D(X+Y) = D(X) + D(Y)
* §é lÖch tiªu chuÈn σ cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn lµ c¨n bËc hai cña ph−¬ng sai cña ®¹i
l−îng ngÉu nhiªn ®ã.
(X) D(X)σ= , σ cã cïng thø nguyªn víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn.
4.3- Ph©n bè x¸c suÊt cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn
Trong hÖ ngÉu nhiªn cã nhiÒu biÕn ngÉu nhiªn kh¸c nhau. B¶ng 4.1 liÖt kª mét sè biÕn
ngÉu nhiªn trong c¸c hÖ kh¸c nhau.
C¸c ®Æc tr−ng quan träng nhÊt cña biÕn ngÉu nhiªn lµ hµm mËt ®é x¸c suÊt, hµm ph©n bè
x¸c suÊt, c¸c th«ng sè, kú väng to¸n, ph−¬ng sai vµ mét sè ®Æc tr−ng kh¸c. Sau ®©y sÏ xem xÐt
mét sè ph©n bè liªn tôc vµ gi¸n ®o¹n th−êng dïng nhÊt trong m« pháng c¸c hÖ ngÉu nhiªn.
B¶ng 4.1
Lo¹i hÖ thèng C¸c biÕn ngÉu nhiªn
HÖ thèng s¶n xuÊt Thêi
g
ian vËn hµnh m¸
y
, n
g
õn
g
m¸
y
do hán
g
hãc, thêi
g
ian thao t¸c, sè
lÇn háng hãc,...
HÖ thèng m¸y tÝnh Thêi gian gi÷a c¸c lÇn lµm viÖc, thêi gian gi¶i c¸c bµi to¸n,...
HÖ thèng th«ng tin
liªn l¹c
Sè kh¸ch hµn
g
, thêi
g
ian
g
i÷a c¸c lÇn liªn l¹c, thêi
g
ian liªn l¹c, thêi
gian phôc vô,...
A. Ph©n bè liªn tôc (Continuous Distribution)
a. Ph©n bè ®Òu (Uniform Distribution)
§¹i l−îng ngÉu nhiªn X ®−îc gäi lµ tu©n theo luËt ph©n
bè ®Òu liªn tôc trªn ®o¹n [a,b], ký hiÖu lµ X~U(a,b), nÕu X cã
c¸c ®Æc tr−ng sau:
1
ba
f(x)
a b
x
H×nh 4.1- Ph©n bè ®Òu
U(a,b)