154 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän
Chương 6
CƠ HỌC CHẤT LƯU
§6.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐẠI LƯỢNG CƠ BẢN
1 – Chất lưu:
Chất lưu là những chất có thể “chảy” được, bao gồm chất lỏng và chất khí.
Chất lưu không có hình dạng nhất định. Khi chuyển động, chất lưu phân thành
từng lớp, giữa các lớp có lực tương tác, gọi là lực nội ma sát hay lực nhớt. Chính lực
này làm cho vận tốc của các lớp không bằng nhau.
Để đơn giản, khi nghiên cứu về chất lưu, ta giả sử nó hoàn toàn không nén
được (có thể tích xác định) và không có lực nhớt (không có nội ma sát). Chất lưu như
thế được gọi là chất lưu lý tưởng; trái lại là chất lưu thực. Nghiên cứu chất lưu thực rất
khó khăn, vì thế ta nghiên cứu về chất lưu lý tưởng, rồi suy rộng ra cho chất lưu thực.
Trong một phạm vi gần đúng cho phép, các qui luật rút ra đối với chất lưu lý tưởng
cũng áp dụng được cho chất lưu thực.
Trong phạm vi giáo trình này chỉ nghiên cứu chất lưu lí tưởng.
2 – Đường dòng, ống dòng:
Để dễ dàng nghiên cứu và biểu diễn sự chuyển động của chất lưu một cách
trực quan, người ta đưa ra khái niệm về đường dòng và ống dòng:
• Đường dòng: là những đường mà
tiếp tuyến với nó tại mỗi điểm trùng
với vectơ vận tốc của phần tử chất
lưu tại điểm đó. Nói cách khác,
đường dòng chính là qũi đạo của các
phần tử của chất lưu.
• Ống dòng: Tập hợp các đường dòng
tựa trên một đường cong kín bất kì
tạo thành một ống dòng. Khi chất lưu chuyển
động trong một cái ống nào đó thì bản thân
ống đó là một ống dòng.
Nếu các đường dòng không thay đổi theo
thời gian, thì ta nói dòng chảy của chất lưu là
dừng. Trái lại là dòng không dừng. Trong giáo
trình này ta chỉ nghiên cứu các dòng dừng.
→
v
Hình 6.1: Đường dòng
→
v
Hình 6.2: Ống dòng
Chöông 6: CÔ HOÏC CHAÁT LÖU 155
3 – Khối lượng riêng và áp suất:
Ta biết, vật rắn thì có hình dạng, kích thước và khối lượng xác định, nên ta có
thể nói đến khối lượng và lực tác dụng lên vật rắn đó (ví dụ: vật có khối lượng m = 2
kg, chịu tác dụng của một lực F = 10N). Nhưng khi nghiên cứu về chất lưu – một môi
trường liên tục, không có hình dạng nhất định – ta thường quan tâm đến sự thay đổi
tính chất từ điểm này sang điểm khác trong chất lưu hơn là nói đến tính chất của một
“phần tử” riêng biệt nào đó. Vì thế, ta dùng các đại lượng: khối lượng riêng và áp
suất để mô tả (hơn là dùng các đại lượng: khối lượng và lực).
a) Khối lượng riêng: Khối lượng riêng tại điểm M trong chất lưu được định nghiã là:
dV
dm
=ρ (6.1)
trong đó: dV là yếu tố thể tích bao quanh điểm M; dm là khối lượng của chất lưu chứa
trong yếu tố thể tích dV.
Khối lượng riêng theo định nghĩa (6.1) còn được gọi là mật độ khối lượng của
chất lưu tại điểm M. Nếu chất lưu là đồng nhất và không nén được thì
ρ
=const. Khi
đó ta có: V
m
=ρ (6.2)
với m và V là khối lượng và thể tích của một lượng chất lưu xác định.
Trong hệ SI, khối lượng riêng có đơn vị là kg/m3.
b) Áp suất: áp suất do chất lưu gây ra tại điểm M trong chất lưu được định nghĩa là:
dS
dF
p= (6.3)
trong đó: dF là áp lực mà chất lưu tác dụng theo hướng vuông góc vào diện tích dS đặt
tại M. Nếu áp suất suất tại mọi điểm trên diện tích S đều như nhau thì:
S
F
p= (6.4)
với F là áp lực mà chất lưu tác dụng theo hướng vuông góc vào diện tích S
Bảng 6.1: Hệ số chuyển đổi đơn vị áp suất
Đơn vị đo Pa (N/m2) at atm
(760mmHg)
torr
(mmHg) bar
Pa 1 1,02.10 – 5 9,87.10 – 6 7,5.10 – 3 10 - 5
at 9,81.10 4 1 0,968 736 0,981
atm 1,013.10 5 1,033 1 760 1,013
torr 133,322 1,36.10 – 3 1,316.10 – 3 1 1,33.10 - 3
bar 10 5 1,02 0,987 750 1
156 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän
Áp suất theo định nghĩa (6.3) và (6.4) là một đại lượng vô hướng, trong hệ SI,
đơn vị của áp suất là niutơn trên mét vuông (N/m2) hay paxcan (Pa). Ngoài ra ta còn
có các đơn vị đo áp suất khác như: atmotphe (at hoặc atm), milimet thủy ngân
(mmHg), torr, … . Bảng 6.1 cho biết hệ số chuyển đổi giữa các đơn vị đo áp suất.
§6.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
Xét một chất lưu lý tưởng, chuyển động trong một ống dòng bất kỳ. Gọi v1 và
v2 là vận tốc chảy của chất lưu tại
hai tiết diện S1 và S2 bất kỳ của
ống dòng. →
2
v
→
1
v
S2
S1
Ta có lượng chất lưu đã chảy qua
tiết điện S1 , S2 trong thời gian dt
là:
dm1 = ρdV1 = ρS1 v1 dt
Hình 6.3: Sự chảy liên tục của chất lưu
dm2 = ρdV2 = ρS2 v2 dt
Do tính không chịu nén và tính
liên tục nên trong thời gian dt, lượng chất lưu đã chuyển qua tiết diện S1 và S2 là như
nhau. Suy ra dm1 = dm2
Vậy: S1 v1 = S2 v2 hay Sv = const (6.5)
Phương trình (6.5) được gọi là phương trình liên tục của chất lưu. (6.5) chứng tỏ vận
tốc chảy của chất lưu tỉ lệ nghịch với tiết diện của ống dòng.
§6.3 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
1 – Thiết lập pương trình:
Xét một khối chất lưu bất kỳ ABCD chứa trong một đoạn ống dòng giới hạn
bởi các tiết diện S1 và S2. Gọi v1 và v2 là vận tốc chảy của chất lưu tại các tiết diện đó.
Sau thời gian dt, khối chất lưu này chuyển tới vị trí mới A’B’C’D’. Ta có:
Độ biến thiên động năng của khối chất lưu sau thời gian dt là:
∆Wđ = W’đ – Wđ = (W’đ (2) + W’đ (3) ) – (Wđ (1) + Wđ (2) ) = W’đ (3) – Wđ (1)
Nghĩa là độ biến thiên động năng của toàn khối bằng hiệu động năng của hai khối nhỏ
(1) và (3). Mà từ phương trình liên tục (6.5) ta suy ra: khối lượng m và thể tích V của
hai khối (1) và (3) là bằng nhau và bằng m =
ρ
V
Suy ra ∆Wđ = 2
1
2
2mv
2
1
mv
2
1− = )
2
v
2
v
(V
2
1
2
2ρ
−
ρ (6.6)
Mặt khác, ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đó gồm có: trọng lực, áp lực tại hai tiết
diện S1 , S2 và áp lực của các ống dòng xung quanh. Công của các ngoại lực này sinh
ra trong thời gian dt được tính như sau:
Chöông 6: CÔ HOÏC CHAÁT LÖU 157
+ Công của trọng lực: ta thấy toàn bộ khối chất lưu đang xét gồm có 2 phần, trong đó
phần (2) không thay đổi về độ cao, vậy công của trọng lực chính là công làm di
chuyển phần (1) xuống vị trí của khối (3) : A1 = mg(h1 – h2) =
ρ
Vg (h1 – h2)
+ Áp lực tại tiết điện S1 sinh công dương đẩy khối chất lưu chuyển động; còn áp lực ở
tiết diện S2 sinh công cản. Do đó công của áp lực tại hai tiết diện này là:
A2 = F1 s1 – F2 s2 = p1 S1 v1 dt – p2 S2 v2 dt = p1V – p2V = (p1 – p2)V
+ Áp lực của các ống dòng xung quanh luôn vuông góc với mặt bên của ống dòng
đang xét nên không sinh công.
h2
h1
A
A’
BB’
C’
C
D’
S1 (1)
(2)
(3)
S2
D
Hình 6.4: Thiết lập phương trình Bernoulli
Do đó, tổng công của các ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đang xét là:
A = A1 + A2 =
ρ
gV(h1 – h2) + (p1 – p2)V (6.7)
* Theo định lý động năng, ta có: ∆Wđ = A . Kết hợp (6.6) và (6.7), suy ra:
)
2
v
2
v
(V
2
1
2
2ρ
−
ρ=
ρ
gV(h1 – h2) + (p1 – p2)V
Suy ra: p1 +
ρ
gh1 + 2
v2
1
ρ = p2 + ρgh2 + 2
v2
2
ρ (6.8)
hay p +
ρ
gh + 2
v2
ρ = const (6.9)
Phương trình (6.9) được gọi là phương trình Bernoulli. Trong đó cả ba số hạng ở vế
trái đều có cùng thứ nguyên của áp suất. Số hạng p được gọi là áp suất tĩnh; số hạng
gh được gọi là áp suất trắc điạ, vì nó liên quan đến độ cao so với mặt đất hoặc mặt
ρ
158 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän
biển, hoặc một mặt phẳng nằm ngang nào đó làm mốc; số hạng 2
v2
ρ gọi là áp suất
động vì nó liên quan đến vận tốc của chất lưu.
Vậy: tổng áp suất tĩnh, áp suất trắc địa và áp suất động không thay đổi tại mọi điểm
trong chất lưu.
2 – Hệ quả:
a) Nếu xét những điểm trong chất lưu cùng nằm trên một mặt phẳng ngang (h = const)
thì áp suất trắc địa không thay đổi. Từ (6.9) suy ra:
p +
2
v2
ρ = const (6.10)
Tổng áp suất tĩnh và áp suất động không thay đổi tại mọi điểm thuộc cùng một mặt
phẳng ngang trong chất lưu. Do đó nơi nào có dòng chảy mạnh thì nơi đó áp suất tĩnh
giảm và ngược lại.
b) Nếu trong chất lưu không có dòng chảy (v = 0) thì từ (6.9) ta có:
p + ρgh = const (6.11)
(6.11) là phương trình cơ bản của tĩnh học chất lưu. Ta sẽ bàn luận (6.11) sâu hơn ở
§6.4.
3 – Vài ứng dụng của phương trình Bernoulli:
a) Tính vận tốc chảy ở vòi – công thức Toricelli:
Xét một bình chứa chất lỏng có một vòi ở thành bình. Miệng vòi cách mặt
thoáng của chất lỏng trong bình một đoạn h. Gọi S1 là diện tích mặt thoáng của chất
lỏng trong bình và S2 là tiết diện ngang ở miệng vòi. Ap dụng phương trình Bernoulli,
ta có: p1 + gh
ρ1 + 2
v2
1
ρ = p2 +
ρ
gh2 + 2
v2
2
ρ
Vì p1 = p2 = po = áp suất khí quyển;
h1 – h2 = h, nên )vv(
2
2
1
2
2−
ρ=
ρ
gh.
h
Mà: S1 v1 = S2 v2; S1 >> S2 nên v1 << v2
Vậy: gh2vv2== (6.12)
Công thức (6.12) được gọi là công thức
Toricelli. Từ đó ta thấy vận tốc chảy của
chất lỏng (lý tưởng) tại miệng vòi chỉ
phụ thuộc vào độ cao của cột chất lỏng
so với miệng vòi, miệng vòi càng thấp
thì vận tốc phun ra càng mạnh. Hình 6.5: Vận tốc chảy tại vòi