GIÔÙI THIEÄU MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI ÑAÏI HOÏC VEÀ TAM GIAÙC
1) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù
2
3
cosCcosBcosA
≤++
Giaûi: Ñaët y= cosA+cosB+cosC ta coù:
01y
2
C
sin
2
BA
cos2
2
C
sin2
2
C
sin21
2
BA
cos
2
C
sin2y
2
C
sin21
2
BA
cos)
2
C
2
cos(2
2
C
sin21
2
BA
cos
2
BA
cos2y
22
22
=−+
−
−⇔−+
−
=⇔
−+
−
−
π
=−+
−+
=
Ñeå phöông trình naøy xaùc ñònh sin
2
C
ta phaûi coù:
2
3
cosCcosBcosA
2
3
y
3)
2
BA
(cos2y20)1y(2)
2
BA
(cos'
22
≤++⇔≤⇔
≤
−
+≤⇔≥−−
−
=∆
Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù
2
3
cosCcosBcosA
≤++
2) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù
8
1
cosC.cosA.cosB
≤
Giaûi:* Giaû thieát A tuø ⇒ø B, C nhoïn. Khi ñoù cosA<0 vaø cosB>0, cosC>0
⇒
8
1
cosC.cosA.cosB0 cosC.cosA.cosB
≤⇒<
*Giaû thieát A, B, C nhoïn. Khi ñoù cosA>0 vaø cosB>0, cosC>0
Theo baát ñaúng thöùc Coâsi daønh cho 3 soá ta coù:
⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1).
Theo keát quaû baøi 1):
2
3
cosCcosBcosA
≤++
(2).
Töø (1) vaø (2) ta coù: 27cosA.cosB.cosC≤(
2
3
)3 ⇒
8
1
cosC.cosA.cosB
≤
Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù:
8
1
cosC.cosA.cosB
≤
3) Chöùng minh raèng: Neáu
8
1
cosC.cosA.cosB
=
thì
∆
ABC ñeàu.
Giaûi: Ta coù
01)]CBcos()CB[cos(
2
1
.Acos8
8
1
cosC.cosA.cosB
=−−++⇔=
⇔
01)]CBcos()A.[cos(Acos4
=−−+−π
⇔
01)]CBcos(Acos.[Acos4
=−−+−
⇔
0)CB(cos1)CB(cos)CBcos(.Acos4Acos4
222
=−−+−+−−
⇔
0)CB(sin)]CBcos(Acos2[
22
=−+−−
⇒
=−
=−−
0)CBsin(
0)CBcos(Acos2
⇒
=
=−
CB
00cosAcos2
⇒
=
=
CB 2
1
Acos
⇒
=
=
CB
60A
0
⇒A=B=C=600 ⇒ ∆ABC ñeàu.
4) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù
4
9
CsinBsinAsin
222
≤++
Giaûi: Ta coù
Ccos1
2
B2cos1
2
A2cos1
CsinBsinAsin
2222
−+
−
+
−
=++
)]BA([cos)BAcos()BAcos(2Ccos)B2cosA2(cos
2
1
2
22
+−π−−+−=−+−=
222
)]BAcos(
2
1
)BA[cos()BA(cos
4
1
2)BA(cos)BAcos()BAcos(2
−++−−+=+−−+−=
⇒
4
9
CsinBsinAsin
222
≤++
.
Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù
4
9
CsinBsinAsin
222
≤++
5) a) Chöùng minh baát ñaúng thöùc: Vôùi 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta luoân coù:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1332211
bbb.aaabababa
++++≤++
Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
==
( BÑT Bunhiacoâpxki)
b) Tam giaùc ABC coù 3 trung tuyeán ma, mb, mc vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc
ABC. Chöùng minh raèng: Neáu ma+mb+mc=
2
R9
thì ABC laø moät tam giaùc ñeàu.
Giaûi: a) Xeùt trong heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz xeùt 2 vectô khaùc
→
0
:
)a;a;a(a
321
=
→
vaø
)b;b;b(b
321
=
→
. Theo coâng thöùc ñònh goùc cuûa 2 vectô ta coù
|b|.|a|
b.a
)b,acos(
→→
→→
→→
=
. Vì
|b|.|a||b.a|1
|b|.|a|
|b.a|
neân1|)b,acos(|
→→→→
→→
→→
→→
≤⇒≤≤
Theo phöông phaùp toïa ñoä:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1332211
bbb.aaabababa
++++≤++
Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi
1|)b,acos(|
=
→→
⇔
→→
b,a
cuøng phöông ⇔
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
==
.
b) Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤
2
c
2
b
2
a
222
mmm.111
++++
⇒ (ma+mb+mc)2 ≤
)mmm(3
2
c
2
b
2
a
++
(1).
Theo ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc ABC ta coù:
)cba(
4
3
4
cb2a2
4
bc2a2
4
ac2b2
mmm
222
222222222
2
c
2
b
2
a
++=
−+
+
−+
+
−+
=++
(2)
Theo ñònh lyù sin trong tam giaùc ABC ta coù:
4
9
.R4)CsinBsinA(sinR4CsinR4BsinR4AsinR4cba
2
4baøi
2222222222222
≤++=++=++
2222
R9cba
≤++⇒
(3).
Töø (2) vaø (3):
2
c
2
b
2
a
mmm
++
4
R27
2
≤
(4)
Töø (1) vaø (4): (ma+mb+mc)2
4
R81
2
≤
⇔ ma+mb+mc≤
2
R9
.
Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: ma+mb+mc=
2
R9
⇔
1
m
1
m
1
m
cba
==
⇒ Tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu.