Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác
lượt xem 157
download

Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác
- GIÔÙI THIEÄU MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI ÑAÏI HOÏC VEÀ TAM GIAÙC 1 − cos 2A 1 − cos 2B Giaûi: Ta coù sin A + sin B + sin C = + + 1 − cos 2 C 2 2 2 3 2 2 1) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 1 = 2− (cos 2A + cos 2B) − cos 2 C = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 [π − (A + B)] Giaûi: Ñaët y= cosA+cosB+cosC ta coù: 2 A+ B A− B C π C A− B C 1 1 y = 2 cos cos + 1 − 2 sin 2 = 2 cos( − ) cos + 1 − 2 sin 2 = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 (A + B) = 2 + cos 2 (A − B) − [cos(A + B) + cos(A − B)] 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 C A− B C C A− B C 9 ⇔ y = 2 sin cos + 1 − 2 sin 2 ⇔ 2 sin 2 − 2 cos sin + y − 1 = 0 ⇒ sin A + sin B + sin C ≤ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 C 9 Ñeå phöông trình naøy xaùc ñònh sin ta phaûi coù: Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ 2 2 2 2 4 A− B 2 A− B 2 5) a) Chöùng minh baát ñaúng thöùc: Vôùi 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta luoân coù: ∆ ' = (cos ) − 2(y − 1) ≥ 0 ⇔ 2y ≤ 2 + (cos ) ≤ 3 2 2 a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a1 + a 2 + a 3 . b1 + b 2 + b 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ⇔ y≤ ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ a1 a 2 a 3 2 2 = = Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( BÑT Bunhiacoâpxki) 3 b1 b 2 b 3 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 b) Tam giaùc ABC coù 3 trung tuyeán ma, mb, mc vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc 1 9R 2) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA.cosB.cosC ≤ ABC. Chöùng minh raèng: Neáu ma+mb+mc= thì ABC laø moät tam giaùc ñeàu. 8 2 Giaûi:* Giaû thieát A tuø ⇒ø B, C nhoïn. Khi ñoù cosA0, cosC>0 Giaûi: a) Xeùt trong heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz xeùt 2 vectô khaùc 0 : → 1 ⇒ cosA.cosB.cosC < 0 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) vaø b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) . Theo coâng thöùc ñònh goùc cuûa 2 vectô ta coù → → 8 → → → → *Giaû thieát A, B, C nhoïn. Khi ñoù cosA>0 vaø cosB>0, cosC>0 → → a.b → → | a.b | → → → → cos A + cos B + cos C 3 cos(a, b) = → → . Vì | cos(a, b) | ≤ 1 neân → → ≤ 1 ⇒ | a.b |≤ | a | . | b | Theo baát ñaúng thöùc Coâsi daønh cho 3 soá ta coù: ≥ cos A. cos B. cos C |a|.| b| | a|.| b| 3 Theo phöông phaùp toïa ñoä: a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a 12 + a 2 + a 3 . b 12 + b 2 + b 2 2 ⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1). 2 2 3 3 a1 a 2 a 3 Theo keát quaû baøi 1): cosA + cosB + cosC ≤ → → → → (2). Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi | cos(a, b) | = 1 ⇔ a, b cuøng phöông ⇔ = = . 2 b1 b 2 b 3 3 1 Töø (1) vaø (2) ta coù: 27cosA.cosB.cosC≤( )3 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ b) Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤ 12 + 12 + 12 . m 2 + m 2 + m 2 a b c 2 8 ⇒ (ma+mb+mc)2 ≤ 3(m a + m b + m c ) (1). 2 2 2 1 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù: cosA.cosB.cosC ≤ Theo ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc ABC ta coù: 8 1 2 b 2 + 2c 2 − a 2 2a 2 + 2 c 2 − b 2 2a 2 + 2 b 2 − c 2 3 2 m2 + m2 + m2 = + + = (a + b 2 + c 2 ) (2) 3) Chöùng minh raèng: Neáu cosA.cosB.cosC = thì ∆ABC ñeàu. a b c 4 4 4 4 8 1 1 Theo ñònh lyù sin trong tam giaùc ABC ta coù: Giaûi: Ta coù cosA.cosB.cosC = ⇔ 8 cos A. [cos(B + C) + cos(B − C)] − 1 = 0 baøi 4 9 8 2 a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B + 4R 2 sin 2 C = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) ≤ 4 R 2 . 4 ⇔ 4 cos A.[cos(π − A ) + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇔ 4 cos A.[− cos A + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (3). ⇔ 4 cos A − 4 cos A. cos(B − C) + cos (B − C) + 1 − cos (B − C) = 0 2 2 2 27R 2 ⇔ [2 cos A − cos(B − C)] + sin (B − C) = 0 Töø (2) vaø (3): m a + m b + m c ≤ 2 2 (4) 2 2 2 4 1 2 cos A − cos(B − C) = 0 2 cos A − cos 0 = 0 cos A = A = 60 0 81R 2 9R ⇒ ⇒ ⇒ 2 ⇒ Töø (1) vaø (4): (ma+mb+mc)2 ≤ ⇔ ma+mb+mc≤ . sin(B − C) = 0 B= C B= C B= C 4 2 9R ma mb mc ⇒A=B=C=600 ⇒ ∆ABC ñeàu. Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: ma+mb+mc= ⇔ = = 2 1 1 1 9 4) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ ⇒ Tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu. 2 2 2 4

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Tuyển tập một số bài toán sơ cấp chọn lọc
131 p |
913 |
297
-
Chuyên đề: Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và một số bài toán phụ
21 p |
939 |
69
-
Một số bài toán đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch
8 p |
466 |
66
-
tuyển chọn một số dạng toán hình học 9: phần 1
58 p |
117 |
53
-
Bài giảng Đại số 7 chương 2 bài 4: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
14 p |
388 |
50
-
Một số bài tập toán nâng cao lớp 9
16 p |
367 |
40
-
tuyển chọn một số dạng toán hình học 9: phần 2
79 p |
100 |
39
-
Giới thiệu một số đề mẫu thi tuyển sinh đại học, cao đẳng môn toán
56 p |
406 |
29
-
Giới thiệu một số đề thi thử trường Bách khóa Hà Nội - Môn Toán
37 p |
197 |
24
-
Một số bài toán đếm cơ bản - GV. Đặng Việt Hùng
6 p |
119 |
21
-
Phương pháp giải một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4: Phần 2
156 p |
87 |
20
-
Một số bài Toán hay
2 p |
89 |
13
-
Hướng dẫn giải bài toán về đoạn thẳng nâng cao
16 p |
127 |
7
-
Bài toán chữ số và trang sách
3 p |
92 |
5
-
Bổ sung một số bài toán về con lắc lò xo
6 p |
100 |
5
-
Chuyên đề ôn thi đại học: Ứng dụng liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa trong việc giải một số bài toán dao động và sóng
18 p |
98 |
4
-
Bài tập tự luyện: Một số bài toán về hiện tượng quang điện
0 p |
64 |
3
-
Chuyên đề ôn thi đại học: Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
29 p |
38 |
3


Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline:0933030098
Email: support@tailieu.vn
