intTypePromotion=1
ADSENSE

Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác

Chia sẻ: Pt1506 Pt1506 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:1

462
lượt xem
158
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dùng cho các học sinh đang ôn thi Đại học

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác

  1. GIÔÙI THIEÄU MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI ÑAÏI HOÏC VEÀ TAM GIAÙC 1 − cos 2A 1 − cos 2B Giaûi: Ta coù sin A + sin B + sin C = + + 1 − cos 2 C 2 2 2 3 2 2 1) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 1 = 2− (cos 2A + cos 2B) − cos 2 C = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 [π − (A + B)] Giaûi: Ñaët y= cosA+cosB+cosC ta coù: 2 A+ B A− B C π C A− B C 1 1 y = 2 cos cos + 1 − 2 sin 2 = 2 cos( − ) cos + 1 − 2 sin 2 = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 (A + B) = 2 + cos 2 (A − B) − [cos(A + B) + cos(A − B)] 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 C A− B C C A− B C 9 ⇔ y = 2 sin cos + 1 − 2 sin 2 ⇔ 2 sin 2 − 2 cos sin + y − 1 = 0 ⇒ sin A + sin B + sin C ≤ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 C 9 Ñeå phöông trình naøy xaùc ñònh sin ta phaûi coù: Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ 2 2 2 2 4 A− B 2 A− B 2 5) a) Chöùng minh baát ñaúng thöùc: Vôùi 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta luoân coù: ∆ ' = (cos ) − 2(y − 1) ≥ 0 ⇔ 2y ≤ 2 + (cos ) ≤ 3 2 2 a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a1 + a 2 + a 3 . b1 + b 2 + b 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ⇔ y≤ ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ a1 a 2 a 3 2 2 = = Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( BÑT Bunhiacoâpxki) 3 b1 b 2 b 3 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 b) Tam giaùc ABC coù 3 trung tuyeán ma, mb, mc vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc 1 9R 2) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA.cosB.cosC ≤ ABC. Chöùng minh raèng: Neáu ma+mb+mc= thì ABC laø moät tam giaùc ñeàu. 8 2 Giaûi:* Giaû thieát A tuø ⇒ø B, C nhoïn. Khi ñoù cosA0, cosC>0 Giaûi: a) Xeùt trong heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz xeùt 2 vectô khaùc 0 : → 1 ⇒ cosA.cosB.cosC < 0 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) vaø b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) . Theo coâng thöùc ñònh goùc cuûa 2 vectô ta coù → → 8 → → → → *Giaû thieát A, B, C nhoïn. Khi ñoù cosA>0 vaø cosB>0, cosC>0 → → a.b → → | a.b | → → → → cos A + cos B + cos C 3 cos(a, b) = → → . Vì | cos(a, b) | ≤ 1 neân → → ≤ 1 ⇒ | a.b |≤ | a | . | b | Theo baát ñaúng thöùc Coâsi daønh cho 3 soá ta coù: ≥ cos A. cos B. cos C |a|.| b| | a|.| b| 3 Theo phöông phaùp toïa ñoä: a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a 12 + a 2 + a 3 . b 12 + b 2 + b 2 2 ⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1). 2 2 3 3 a1 a 2 a 3 Theo keát quaû baøi 1): cosA + cosB + cosC ≤ → → → → (2). Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi | cos(a, b) | = 1 ⇔ a, b cuøng phöông ⇔ = = . 2 b1 b 2 b 3 3 1 Töø (1) vaø (2) ta coù: 27cosA.cosB.cosC≤( )3 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ b) Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤ 12 + 12 + 12 . m 2 + m 2 + m 2 a b c 2 8 ⇒ (ma+mb+mc)2 ≤ 3(m a + m b + m c ) (1). 2 2 2 1 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù: cosA.cosB.cosC ≤ Theo ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc ABC ta coù: 8 1 2 b 2 + 2c 2 − a 2 2a 2 + 2 c 2 − b 2 2a 2 + 2 b 2 − c 2 3 2 m2 + m2 + m2 = + + = (a + b 2 + c 2 ) (2) 3) Chöùng minh raèng: Neáu cosA.cosB.cosC = thì ∆ABC ñeàu. a b c 4 4 4 4 8 1 1 Theo ñònh lyù sin trong tam giaùc ABC ta coù: Giaûi: Ta coù cosA.cosB.cosC = ⇔ 8 cos A. [cos(B + C) + cos(B − C)] − 1 = 0 baøi 4 9 8 2 a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B + 4R 2 sin 2 C = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) ≤ 4 R 2 . 4 ⇔ 4 cos A.[cos(π − A ) + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇔ 4 cos A.[− cos A + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (3). ⇔ 4 cos A − 4 cos A. cos(B − C) + cos (B − C) + 1 − cos (B − C) = 0 2 2 2 27R 2 ⇔ [2 cos A − cos(B − C)] + sin (B − C) = 0 Töø (2) vaø (3): m a + m b + m c ≤ 2 2 (4) 2 2 2 4  1  2 cos A − cos(B − C) = 0  2 cos A − cos 0 = 0  cos A =  A = 60 0 81R 2 9R ⇒ ⇒ ⇒ 2 ⇒ Töø (1) vaø (4): (ma+mb+mc)2 ≤ ⇔ ma+mb+mc≤ .  sin(B − C) = 0 B= C B= C B= C 4 2  9R ma mb mc ⇒A=B=C=600 ⇒ ∆ABC ñeàu. Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: ma+mb+mc= ⇔ = = 2 1 1 1 9 4) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ ⇒ Tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu. 2 2 2 4
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2