» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác

Chia sẻ: Pt1506 Pt1506 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:1

0

Báo xấu

456
lượt xem 157
download

Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dùng cho các học sinh đang ôn thi Đại học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác

GIÔÙI THIEÄU MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI ÑAÏI HOÏC VEÀ TAM GIAÙC 1 − cos 2A 1 − cos 2B Giaûi: Ta coù sin A + sin B + sin C = + + 1 − cos 2 C 2 2 2 3 2 2 1) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 1 = 2− (cos 2A + cos 2B) − cos 2 C = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 [π − (A + B)] Giaûi: Ñaët y= cosA+cosB+cosC ta coù: 2 A+ B A− B C π C A− B C 1 1 y = 2 cos cos + 1 − 2 sin 2 = 2 cos( − ) cos + 1 − 2 sin 2 = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 (A + B) = 2 + cos 2 (A − B) − [cos(A + B) + cos(A − B)] 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 C A− B C C A− B C 9 ⇔ y = 2 sin cos + 1 − 2 sin 2 ⇔ 2 sin 2 − 2 cos sin + y − 1 = 0 ⇒ sin A + sin B + sin C ≤ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 C 9 Ñeå phöông trình naøy xaùc ñònh sin ta phaûi coù: Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ 2 2 2 2 4 A− B 2 A− B 2 5) a) Chöùng minh baát ñaúng thöùc: Vôùi 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta luoân coù: ∆ ' = (cos ) − 2(y − 1) ≥ 0 ⇔ 2y ≤ 2 + (cos ) ≤ 3 2 2 a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a1 + a 2 + a 3 . b1 + b 2 + b 2 2 2 2 2 2 3 3 3 ⇔ y≤ ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ a1 a 2 a 3 2 2 = = Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( BÑT Bunhiacoâpxki) 3 b1 b 2 b 3 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤ 2 b) Tam giaùc ABC coù 3 trung tuyeán ma, mb, mc vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc 1 9R 2) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA.cosB.cosC ≤ ABC. Chöùng minh raèng: Neáu ma+mb+mc= thì ABC laø moät tam giaùc ñeàu. 8 2 Giaûi:* Giaû thieát A tuø ⇒ø B, C nhoïn. Khi ñoù cosA0, cosC>0 Giaûi: a) Xeùt trong heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz xeùt 2 vectô khaùc 0 : → 1 ⇒ cosA.cosB.cosC < 0 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) vaø b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) . Theo coâng thöùc ñònh goùc cuûa 2 vectô ta coù → → 8 → → → → *Giaû thieát A, B, C nhoïn. Khi ñoù cosA>0 vaø cosB>0, cosC>0 → → a.b → → | a.b | → → → → cos A + cos B + cos C 3 cos(a, b) = → → . Vì | cos(a, b) | ≤ 1 neân → → ≤ 1 ⇒ | a.b |≤ | a | . | b | Theo baát ñaúng thöùc Coâsi daønh cho 3 soá ta coù: ≥ cos A. cos B. cos C |a|.| b| | a|.| b| 3 Theo phöông phaùp toïa ñoä: a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a 12 + a 2 + a 3 . b 12 + b 2 + b 2 2 ⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1). 2 2 3 3 a1 a 2 a 3 Theo keát quaû baøi 1): cosA + cosB + cosC ≤ → → → → (2). Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi | cos(a, b) | = 1 ⇔ a, b cuøng phöông ⇔ = = . 2 b1 b 2 b 3 3 1 Töø (1) vaø (2) ta coù: 27cosA.cosB.cosC≤( )3 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ b) Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤ 12 + 12 + 12 . m 2 + m 2 + m 2 a b c 2 8 ⇒ (ma+mb+mc)2 ≤ 3(m a + m b + m c ) (1). 2 2 2 1 Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù: cosA.cosB.cosC ≤ Theo ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc ABC ta coù: 8 1 2 b 2 + 2c 2 − a 2 2a 2 + 2 c 2 − b 2 2a 2 + 2 b 2 − c 2 3 2 m2 + m2 + m2 = + + = (a + b 2 + c 2 ) (2) 3) Chöùng minh raèng: Neáu cosA.cosB.cosC = thì ∆ABC ñeàu. a b c 4 4 4 4 8 1 1 Theo ñònh lyù sin trong tam giaùc ABC ta coù: Giaûi: Ta coù cosA.cosB.cosC = ⇔ 8 cos A. [cos(B + C) + cos(B − C)] − 1 = 0 baøi 4 9 8 2 a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B + 4R 2 sin 2 C = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) ≤ 4 R 2 . 4 ⇔ 4 cos A.[cos(π − A ) + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇔ 4 cos A.[− cos A + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (3). ⇔ 4 cos A − 4 cos A. cos(B − C) + cos (B − C) + 1 − cos (B − C) = 0 2 2 2 27R 2 ⇔ [2 cos A − cos(B − C)] + sin (B − C) = 0 Töø (2) vaø (3): m a + m b + m c ≤ 2 2 (4) 2 2 2 4  1  2 cos A − cos(B − C) = 0  2 cos A − cos 0 = 0  cos A =  A = 60 0 81R 2 9R ⇒ ⇒ ⇒ 2 ⇒ Töø (1) vaø (4): (ma+mb+mc)2 ≤ ⇔ ma+mb+mc≤ .  sin(B − C) = 0 B= C B= C B= C 4 2  9R ma mb mc ⇒A=B=C=600 ⇒ ∆ABC ñeàu. Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: ma+mb+mc= ⇔ = = 2 1 1 1 9 4) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ ⇒ Tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu. 2 2 2 4

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.01: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2019

315 tài liệu

1670 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline:0933030098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.