Tài liệu tóm tắt lý thuyết hệ thức vi-ét và ứng dụng kèm theo hướng dẫn giải bài 25,26,27,28,29,30,31,32,33 trang 52,53,54 Đại số 9 tập 2 là tài liệu hữu ích dành cho các em học sinh vừa ôn tập lý thuyết vừa thực hành giải bài tập nhằm củng cố lại kiến thức trong chương trình Toán lớp 9. Sau đây mời các em cùng tham khảo nội dung chi tiết tài liệu nhé!
Đáp án và hướng dẫn Giải bài 25 trang 52, bài 26, 27, 28 trang 53; bài 29, 30, 31, 32,
33 trang 54 Đại số 9 tập 2: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
A. Tóm tắt lý thuyết: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
1. Hệ thức Vi-ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 thì:
2. Áp dụng:
Tính nhẩm nghiệm.
– Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1,
còn nghiệm kia là x2 =
– Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1,
còn nghiệm kia là x2 = 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 – 4P ≥ 0 thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình: x2 – Sx + P = 0
B. Hướng dẫn và giải bài tập trang 52,53,54 SGK Toán 9 tập 2: Hệ thức Vi-ét và ứng
dụng
Bài 25 trang 52 SGK Toán 9 tập 2
Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình,
hãy điền vào những chỗ trống (..):
a) 2x2 – 17x + 1 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
b) 5x2 – x + 35 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
c) 8x2 – x + 1 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
Trang | 1
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
d) 25x2 + 10x + 1 = 0, ∆ = …, x1 + x2 = …, x1x2 = …;
a) 2x2 – 17x + 1 = 0 có a = 2, b = -17, c = 1
∆ = (-17)2 – 4 . 2 . 1 = 289 – 8 = 281
b) 5x2 – x + 35 = 0 có a = 5, b = -1, c = -35
∆ = (-1)2 – 4 . 5 . (-35) = 1 + 700 = 701
c) 8x2 – x + 1 = 0 có a = 8, b = -1, c = 1
∆ = (-1)2 – 4 . 8 . 1 = 1 – 32 = -31 < 0
Phương trình vô nghiệm nên không thể điền vào ô trống được.
d) 25x2 + 10x + 1 = 0 có a = 25, b = 10, c = 1
∆ = 102 – 4 . 25 . 1 = 100 – 100 = 0
Bài 26 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình
sau :
a) 35x2– 37x + 2 = 0 ; b) 7x2 + 500x – 507 = 0
c) x2– 49x – 50 = 0 ; d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 26:
a) 35x2– 37x + 2 = 0 có a = 0, b = -37, c = 2
Do đó: a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0
nên x1 = 1; x2 =
Trang | 2
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
b) 7x2 + 500x – 507 = 0 có a = 7, b = 500, c = -507
Do đó: a + b + c = 7 + 500 – 507
nên x1 = 1; x2 =
c) x2– 49x – 50 = 0 có a = 1, b = -49, c = -50
Do đó a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0
nên x1 = -1; x2 = = 50
d) 4321x2 + 21x – 4300 = 0 có a = 4321, b = 21, c = -4300
Do đó a – b + c = 4321 – 21 + (-4300) = 0
Bài 27 trang 53 SGK Toán 9 tập 2
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a) x2 – 7x + 12 = 0; b) x2 + 7x + 12 = 0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 27:
a) x2 – 7x + 12 = 0 có a = 1, b = -7, c = 12
nên x1 + x2 = -7/1
= 7 = 3 + 4
x1x2 = 12/1
= 12 = 3 . 4
Vậy x1 = 3, x2 = 4.
b) x2 + 7x + 12 = 0 có a = 1, b = 7, c = 12
nên x1 + x2 = -7/1
= -7 = -3 + (-4)
x1x2 = 12/1
= 12 = (-3) . (-4)
Trang | 3
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vậy x1 = -3, x2 = -4.
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 32, uv = 231; b) u + v = -8, uv = -105;
c) u + v = 2, uv = 9
Đáp án và hướng dẫn giải bài 28:
a) u và v là nghiệm của phương trình: x2 – 32x + 231 = 0
∆’ = 162 – 231 = 256 – 231 = 25, √∆’ = 5 . x1 = 21, x2 = 11
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21
b) u, v là nghiệm của phương trình:
x2 + 8x – 105 = 0, ∆’ = 16 + 105 = 121, √∆’ = 11 . x = -4 + 11 = 7
x2 = -4 – 11 = -15
Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7
c) Vì 22 – 4 . 9 < 0 nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.
Bài 29 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình
sau:
a) 4x2 + 2x – 5 = 0; b) 9x2 – 12x + 4 = 0;
c) 5x2 + x + 2 = 0; d) 159x2 – 2x – 1 = 0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 29:
a) Phương trình 4x2 + 2x – 5 = 0 có nghiệm vì a = 4, c = -5 trái dấu nhau nên
b) Phương trình 9x2 – 12x + 4 = 0 có ∆’ = 36 – 36 = 0
c) Phương trình 5x2+ x + 2 = 0 có ∆ = 12 – 4 . 5 . 2 = -39 < 0
Trang | 4
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Phương trình vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích các nghiệm.
d) Phương trình 159x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì a và c trái dấu
Bài 30 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) x2– 2x + m = 0; b) x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0
Đáp án và hướng dẫn giải bài 30:
a) Phương trình x2– 2x + m = 0 có nghiệm khi ∆’ = 1 – m ≥ 0 hay khi m ≤ 1
Khi đó x1 + x2 = 2, x1 . x2 = m
b) Phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có nghiệm khi
∆’ = m2 – 2m + 1 – m2 = 1 – 2m ≥ 0 hay khi m ≤ 1/2
Khi đó x1 + x2 = -2(m – 1), x1 . x2 = m2
Bài 31 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0; b) √3x2 – (1 – √3)x – 1 = 0
c) (2 – √3)x2 + 2√3x – (2 + √3) = 0;
d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m ≠ 1.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 31:
a) Phương trình 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0
Có a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0 nên x1 = 1; x2 =
b) Phương trình √3x2 – (1 – √3)x – 1 = 0
Có a – b + c = √3 + (1 – √3) + (-1) = 0 nên x1 = -1, x2 = =
c) (2 – √3)x2 + 2√3x – (2 + √3) = 0
Trang | 5
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Có a + b + c = 2 – √3 + 2√3 – (2 + √3) = 0
Nên x1 = 1, x2 = = -(2 + √3)2 = -7 – 4√3
d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0
Có a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0
Nên x1 = 1, x2 =
Bài 32 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 42, uv = 441; b) u + v = -42, uv = -400;
c) u – v = 5, uv = 24.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 32:
a) u + v = 42, uv = 441 => u, v là nghiệm của phương trình:
x2 – 42x + 441 = 0
∆’ = 212 – 441 = 441 – 441 = 0, √∆’ = 0; x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
b) u + v = -42, uv = -400, u, v là nghiệm của phương trình:
x2 + 42x – 400 = 0
∆’ = 441 + 400 = 841, √∆’ = 29; x1 = 8, x2 = -50. Do đó:
u = 8, v = -50 hoặc u = -50, v = 8
c) u – v = 5, uv = 24. Đặt –v = t, ta có u + t = 5, ut = -24, ta tìm được:
u = 8, t = -3 hoặc u = -3, t = 8. Do đó:
u = 8, v = 3 hoặc u = -3, t = 8.
Bài 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx +
c phân tích được thành nhân tử như sau:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Trang | 6
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x2 – 5x + 3; b) 3x2 + 8x + 2.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 33:
Biến đổi vế phải: a(x – x1)(x – x2) = ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2
Vậy phương trình ax2+ bx + c = 0 có nghiệm là x1, x2 thì:
ax2+ bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Áp dụng:
a) Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 nên có hai nghiệm là x1 = 1, x2 =
3/2
nên:
2x2 – 5x + 3 = 2(x – 1)(x2 – 3/2) = (x – 1)(2x – 3)
b) Phương trình 3x2 + 8x + 2 có a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2.
Trang | 7
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Nên ∆’ = 42 – 3 . 2 = 10, có hai nghiệm là:
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
Trang | 8
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
