Ôn thi Đ i h cạ ọ www.MATHVN.com Tr n Sĩ Tùngầ
H ng d n Đ sô 11ướ ẫ ề
Câu I: S d ng đi u ki n ti p xúc ử ụ ề ệ ế ⇒ M(0;1) và M(0;–1)
Câu II: 1) Đ t ặ
2
log( 1)+ =x y
. PT ⇔
2 2 2 2
( 5) 5 0 5+ − − = = = −� �y x y x y y x
Nghi m: ệ
99999= x
; x = 0
2) PT ⇔
(cos 1)(cos sin sin .cos 2) 0− − − + =x x x x x
⇔
2
π
=x k
. Vì
1 3 2 4− < − < <�x x
nên nghi m là: x = 0ệ
Câu III: Đ t ặ
2
ln( 1)
= + +
=
u x x
dv xdx
⇒ I =
1
2
0
3 3 1
3
4 4 1dx
x x
ln −+ +
.
Tính I1 =
.
Đ t ặ
1 3
2 2 2 2
x t ttan , ,
π π
� �
+ = −�
� �
� �
⇒ I1 =
3
9
π
.
V y: ậ
12
3
3ln
4
3
Iπ
−=
.
Câu IV:
2 2 2
2
+ +
=
td
ab a b c
Sc
Câu V: Vì
2
0 1 1 0< < − >�x x
Áp d ng BĐT Côsi ta có: ụ
2 2 2
2 2 2 2
3
2 2 (1 ) (1 ) 2
2 (1 ) (1 )
3 3 3 3
+ − + −
− − =�
x x x x x x x
2
2
3 3
1 2
−
xx
x
T ng t :ươ ự
2 2
2 2
3 3 3 3
;
1 2 1 2
− −
y z
y z
y z
Khi đó:
2 2 2
3 3 3 3 3 3
( ) ( )
2 2 2
+ + + + =P x y z xy yz zx
min
3 3 1
23
= = = =� �P x y z
Câu VI.a: 1) G i A = d ọ∩ (P) ⇒
(1; 3;1)−A
.
Ph ng trình mp(Q) qua A và vuông góc v i d: ươ ớ
2 6 0− + + + =x y z
∆ là giao tuy n c a (P) và (Q) ế ủ ⇒ ∆:
{
1 ; 3; 1= + = − = +x t y z t
2) Xét hai tr ng h p: d ườ ợ ⊥ (Ox) và d
⊥
(Ox) ⇒ d:
4 9 43 0+ − =x y
Câu VII.a: PT ⇔
2
8
( ) 2( ) 15 0
− − =
− + − − =
z w zw
z w z w
⇔
5 13
( ) ( )
3 5
= − = −
� �
� �
− = − = −
� �
zw zw
a b
z w z w
(a) ⇔
3 11 3 11
2 2
3 11 3 11
2 2
� �
− + − −
= =
� �
� �
� �
+ −
� �
= =
� �
� �
i i
w w
i i
z z
; (b) ⇔
5 27 5 27
2 2
5 27 5 27
2 2
� �
+ −
= =
� �
� �
� �
− + − −
� �
= =
� �
� �
i i
w w
i i
z z
Câu VI.b: 1) G i G là tr ng tâm c a ABCD ta có: ọ ọ ủ
7 14
; ;0
3 3
� �
� �
� �
G
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4+ + + = + + + +MA MB MC MD MG GA GB GC GD
≥
2 2 2 2
+ + +GA GB GC GD
. D u b ng x y ra khi ấ ằ ả
M
7 14
; ;0
3 3
� �
� �
� �
G
.
2)
(1;0)=
I
B AB Ox B
,
( )
;3 7( 1) 1− >� � �A AB A a a a
(do
0, 0> >
A A
x y
).
G i AH là đ ng cao ọ ườ
( ;0) (2 1;0) 2( 1), 8( 1)
∆
− = − = = −� � �ABC H a C a BC a AB AC a
.
( )
18 2 (3;0), 2;3 7
∆
= =� �Chu vi ABC a C A
.
Trang 14
Ôn thi Đ i h cạ ọ www.MATHVN.com Tr n Sĩ Tùngầ
Câu VII.b: Đ t ặ
1
1
= −
= −
u x
v y
. H PT ệ⇔
2
2
1 3
1 3
+ + =
+ + =
v
u
u u
v v
2 2
3 1 3 1 ( ) ( )+ + + = + + + =�
u v
u u v v f u f v
, v i ớ
2
( ) 3 1= + + +
t
f t t t
Ta có:
2
2
1
( ) 3 ln3 0
1
+ +
= + >
+
t
t t
f t
t
f(t) đ ng bi nồ ế
=u v
2 2
3
1 3 log ( 1) 0 (2)+ + = − + + =�
u
u u u u u
Xét hàm s : ố
( )
2
3
( ) log 1 '( ) 0= − + + >�g u u u u g u
g(u) đ ng bi nồ ế
Mà
(0) 0g=
0u
=
là nghi m duy nh t c a (2).ệ ấ ủ
KL:
1x y= =
là nghi m duy nh t c a h PT.ệ ấ ủ ệ
H ng d n Đ s 12ướ ẫ ề ố
www.MATHVN.com
Câu I: 2) (Cm) và Ox có đúng 2 đi m chung phân bi t ể ệ
C CT�
y co C , CT��
y hoac y�0 0
= =
⇔
1= m
Câu II: 1) PT ⇔
(2cos 1)(sin cos 2) 0
2sin 3 0
− + =
+
x x x
x
⇔
2
3
ππ
= +x k
2) Đ t ặ
31
2 0; 2 1
+
= > − =
x x
u v
.
PT ⇔
3 3
3
3 2 2
0
1 2 1 2
2 1 0
1 2 ( )( 2) 0
= >
� �
+ = + =
� �
� �
� � � − + =
+ = − + + + =
� �
� �
u v
u v u v
u u
v u u v u uv v
⇔
2
0
1 5
log 2
=
− +
=
x
x
Câu III: Đ t ặ
2
π
= − = −�x t dx dt
⇒
2 2
3 3
0 0
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
π π
= =
+ +
� �
tdt xdx
It t x x
⇒
2 2 4
220
0 0
1 1 cot( ) 1
2 2 4(sin cos ) sin ( )
4
π π π
π
π
= = = − + =
++
� �
dx dx
2I x
x x x
⇒
1
2
=I
Câu IV:
ﾷ
0; 2
π
ϕ
� �
= � �
� �
SCA
3
3
(sin sin )
6
ϕ ϕ
= −�
SABC
a
V
. Xét hàm s ố
3
sin sin= −y x x
trên kho ngả
0; 2
π
� �
� �
� �
. T BBT ừ
3 3
max max
3
( ) 6 9
= =�
SABC
a a
V y
khi
1
sin 3
ϕ
=
,
0; 2
π
ϕ
� �
� �
� �
Câu V: Đ t ặ
2 2= − − +t x x
1 1
' 0
2 2 2 2
−
=−<�− +
tx x
( )=�t t x
ngh ch bi n trên ị ế
[ 2;2]−
[ 2;2]−� �t
. Khi đó: PT ⇔
2
2 2 4= + −m t t
Xét hàm
2
( ) 2 4= + −f t t t
v i ớ
[ 2;2]−�t
.
T BBT ừ⇒ Ph ng trình có 2 nghi m phân bi t ươ ệ ệ
5
5 2 4 2
2
− < − − < −� � � �m m
Câu VI.a: 1) PT đ ng th ng d c t tia Ox t i A(ườ ẳ ắ ạ a;0), tia Oy t i B(0;b): ạ
1+ =
x y
a b
(a,b>0)
M(3; 1) ∈ d
3 1 3 1
1 2 . 12
−
+ =�
Cô si
ab
a b a b
.
Mà
3 3 2 3 12+ = + =OA OB a b ab
min
36
( 3 ) 12 311 2
2
=
=
+ =� � �
� � =
= =
a b a
OA OB b
a b
Trang 15
Tr n Sĩ Tùngầwww.MATHVN.com Ôn thi Đ i h cạ ọ
Ph ng trình đ ng th ng d là: ươ ườ ẳ
1 3 6 0
6 2
+ = + − =�
x y x y
2) G i (Q) là m t ph ng trung tr c c a đo n AB ọ ặ ẳ ự ủ ạ ⇒ (Q):
3 0+ − − =x y z
d là giao tuy n c a (P) và (Q) ế ủ ⇒ d:
{
2; 1;= = + =x y t z t
M ∈ d ⇒
(2; 1; )+M t t
2
2 8 11= − +�AM t t
.
Vì AB =
12
nên
∆
MAB đ u khi MA = MB = ABề
2
4 18
2 8 1 0 2
− − = =� �t t t
6 18 4 18
2; ;
2 2
� �
� �
� �
M
Câu VII.a: Ta có
0 1 2 2
(1 ) .... ( 1)− = − + − + − =
n n n n
n n n n
x C C x C x C x B
Vì
1
0
1
(1 ) 1
− = +
n
x dx n
,
1
0 1 2
0
1 1 1
... ( 1)
2 3 1
= − + + + − +
n n
n n n n
Bdx C C C C
n
1 13 12+ = =� �n n
•
12
5 5
12
3 3
0
2 2
( ) .( ) ( )
−
=
+ =
n k
n k k
k
x C x
x x
,
12 8 36
1 12
.2 .
− −
+
=
k k k
k
T C x
⇒
8 36 20 7− = =�k k
⇒ H s c a ệ ố ủ
20
x
là:
7 5
12
.2 25344=C
Câu VI.b: 1) Ph ng trình tham s c a ươ ố ủ ∆:
3 5
=
= −
x t
y t
. M ∈ ∆ ⇒ M(t; 3t – 5)
( , ). ( , ).= =�
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD
⇔
7
93
= − =�t t
⇒
7
( 9; 32), ( ;2)
3
− −M M
2) G i AB là đ ng vuông góc chung c a ọ ườ ủ
1
∆
,
2
∆
:
1
(2 ; ;4)
∆
A t t
,
2
(3 ; ;0)
∆
+ − B s s
AB ⊥ ∆1, AB ⊥ ∆2 ⇒
(2;1;4), (2;1;0)A B
⇒ Ph ng trình m t c u là: ươ ặ ầ
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4− + − + − =x y z
Câu VII.b: Hàm s luôn có hai đi m c c tr ố ể ự ị
1 2
2, 2= − − = − +x m x m
. Kho ng cách gi a hai đi mả ữ ể
c c tr là ự ị
2 2
2 1 2 1 1 2
( ) ( ) 2= − + − = −AB y y x x x x
=
4 2
(không đ i)ổ
H ng d n Đ s 13ướ ẫ ề ố
Câu I: 2) AB =
( )
2
2 1 4 2
2
−+
m
. D u "=" x y ra ấ ả ⇔
1
2
=m
⇒ AB ng n nh t ắ ấ ⇔
1
2
=m
.
Câu II: 1) Đ t ặ
sin cos , 0= − t x x t
. PT ⇔
2
4 3 0t t− − =
⇔
x k 2
π
=
.
2) H PT ệ⇔
4 2
2
2
( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)
2
1
− + − + − =
+
=
+
m x m x m
x
yx
.
• Khi m = 1: H PT ệ⇔
2
2
2
2 1 0
( )
2
1
+ =
+
=
+
x
VN
x
yx
• Khi m ≠ 1. Đ t t = xặ2 ,
0t
. Xét
2
( ) ( 1) 2( 3) 2 4 0 (2)= − + − + − =f t m t m t m
H PT có 3 nghi m phân bi t ệ ệ ệ ⇔ (1) có ba nghi m ệx phân bi t ệ
⇔ (2) có m t nghi m t = 0 và 1 nghi m t > 0 ộ ệ ệ ⇔
( )
(0) 0
... 2
2 3 0
1
=
=� �
−
= >
−
f
m
m
Sm
.
Câu III: •
1
3 2
0
1= −
I x x dx
Đ t: ặ
2
1= −t x
⇒
( )
1
2 4
0
2
15
= − =
I t t dt
.
Trang 16
Ôn thi Đ i h cạ ọ www.MATHVN.com Tr n Sĩ Tùngầ
• J =
( )
1
1
ln
+
+
ex
x
xe dx
x e x
=
( )
1
1
ln 1
ln ln ln
ln
++
= + =
+
x
ee
e
x
x
d e x e
e x ee x
Câu IV: Ta có A'M, B'B, C'N đ ng quy t i S. Đ t Vồ ạ ặ 1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B'.
Ta có
( )
'
−
−
= =�a a x
SB a x SB
SB a x
, (0< x < a)
Xét phép v t tâm S t s k = ị ự ỉ ố
1−x
a
ta có:
3
1
2
−
� �
=� �
� �
Va x
V a
. Mà
4
2 ' ' '
1. '
3 6
∆
= =
A B C
a
V S SB x
.
⇒
3
4
1
1
6
� �
= −
� �
� �
a x
Vx a
; Do đó:
3 2
4 3
2 1
1 1 1 1 1
6 6
� � � �
� � � � � �
= − = − − = + − + −
� � � �
� � � � � �
� �
� � � � � �
� �
� � � �
a x a x x
V V V x a a a
Theo đ bài V = ề
2 2
3
3 3
1 1
1 1 1 1 1 1 0
3 6 3
� �
� � � � � � � �
+ − + − = − + − − =� �
� �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� �
� �
a x x x x
a a
a a a a
(*)
Đ t ặ
1 , 0
� �
= − >
� �
� �
x
t t
a
(vì 0 < x < a), PT (*) ⇔ t2 + t – 1 = 0 ⇒ t =
1( 5 1)
2−
⇒
3 5
2
−
=x a
Câu V: Ta có: 4(x + y) = 5 ⇒ 4y = 5 – 4x ⇒ S =
4 1
4
+
x y
=
20 15
(5 4 )
−
−
x
x x
, v i 0 < x < ớ
5
4
D a vào BBT ự⇒ MinS = 5 đ t đ c khi x = 1, y = ạ ượ
1
4
Câu VI.a: 1) Tâm I là giao đi m c a d v i đ ng phân giác c a góc t o b i ể ủ ớ ườ ủ ạ ở ∆1 và ∆2.
2)
Câu VII.a:
2 ; 2 3= − = +z i z i
z
Câu VI.b: 1) Đ ng th ng d: ườ ẳ y = ax + b g n các đi m đã cho Mầ ể i(xi; yi), i = 1,..., 5 nh t thì m t đi uấ ộ ề
ki n c n là ệ ầ
( )
52
1
1
( )
=
= −
i
i
f a y y
bé nh t, trong đó ấ
= +
ii
y ax b
.
Đ ng th ng d đi qua đi m M(163; 50) ườ ẳ ể ⇒ 50 = 163a + b ⇒ d: y = ax – 163a + 50.
T đó: ừ
2 2 2
( ) (48 155 163 50) (50 159 163 50) (54 163 163 50)= − + − + − + − + − + −f a a a a a a a
+
2 2
(58 167 163 50) (60 171 163 50)+ − + − + − + −a a a a
=
2 2 2 2 2
(8 2) (4 ) 4 (8 4 ) (10 8 )− + + + − + −a a a a
( )
2
2 80 129 92= − +a a
.(P)
⇒ f(a) bé nh t khi a = ấ
129
160
⇒ b =
13027
160
−
. Đáp s : d:ố
129 13027
160 160
= −y x
2) OABC là hình ch nh t ữ ậ ⇒ B(2; 4; 0) ⇒ T a đ trung đi m H c a OB là H(1; 2; 0), H chínhọ ộ ể ủ
là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác vuông OCB.ườ ạ ế
+ Đ ng th ng vuông góc v i mp(OCB) t i H c t m t ph ng trung tr c c a đo n OS (mp cóườ ẳ ớ ạ ắ ặ ẳ ự ủ ạ
ph ng trình z = 2 ) t i I ươ ạ ⇒ I là tâm m t c u đi qua 4 đi m O, B, C, S.ặ ầ ể
+ Tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = OI =
2 2
1 2 2 3+ + =
⇒ (S):
2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9− + − + − =x y z
Câu VII.b: Ch ng minh r ng : ứ ằ
4 2
8 8 1 1− + a a
, v i m i a ớ ọ ∈ [–1; 1].
Đ t: a = sinx, khi đó: ặ
4 2
8 8 1 1− + a a
2 2 2 2
8sin (sin 1) 1 1 1 8sin cos 1− + −� � � �x x x x
.
⇔
2 2 2
1 8sin cos 1 1 2sin 2 1 cos 4 1− − �� �x x x x
( đúng v i m i ớ ọ x).
H ng d n Đ s 14ướ ẫ ề ố
www.MATHVN.com
Câu I: 2) L y M(xấ0; y0) ∈ (C). d1 = d(M0, TCĐ) = |x0 + 1|, d2 = d(M0, TCN) = |y0 – 2|.
d = d1 + d2 = |x0 + 1| + |y0 - 2| = |x0 + 1| +
0
3
1
−
+x
2 3
−
Cô si
.
D u "=" x y ra khi ấ ả
0
1 3= − x
Trang 17
Tr n Sĩ Tùngầwww.MATHVN.com Ôn thi Đ i h cạ ọ
Câu II: 1) Đ t ặ
, ( 0, 0)= = u x v y u v
. H PT ệ⇔
3 3
11
1 3
+ = + =
� � =
+ = −
u v u v
uv m
u v m
.
ĐS:
1
04
m
.
2) Dùng công th c h b c. ĐS: ứ ạ ậ
( )
2
π
= x k k Z
Câu III:
2
2 3
π
= −I
Câu IV: V =
1( )
6+ya a x
.
2 2 3
1( )( )
36
= − +V a a x a x
. Vmax =
3
3
8
a
khi
2
=a
x
.
Câu V: Áp d ng BĐT Côsi: ụ
1 1 1 1 4
( )( ) 4+ + +�� � +
x y x y x y x y
.
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 16
� � � �
+ + + +
� � � �
+ + + +
� � � �
x y x x y x z x y x z
.
T ng t cho hai s h ng còn l i. C ng v v i v ta đ c đpcm.ươ ự ố ạ ạ ộ ế ớ ế ượ
Câu VI.a: 1)
2 4 3 2 4 3
; , ;
7 7 7 7
� � � �
−
� � � �
� � � �
A B
.
2) (P):
y z 3 3 2 0+ + + =
ho c (P): ặ
y z 3 3 2 0+ + − =
Câu VII.a:
2
5
=
=
x
y
Câu VI.b: 1) Áp d ng công th c tính bán kính qua tiêu: FA = xụ ứ 1 + 2, FB = x2 + 2.
AB = FA = FB = x1 + x2 + 4.
2) G i P là chu vi c a tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.ọ ủ
Vì AB không đ i nên P nh nh t khi và ch khi AM + BM nh nh t.ổ ỏ ấ ỉ ỏ ấ
Đi m ể
∆
M
nên
( )
1 2 ;1 ;2− + −M t t t
.
2 2 2 2
(3 ) (2 5) (3 6) (2 5)+ = + + − +AM BM t t
Trong m t ph ng t a đ Oxy, ta xét hai vect ặ ẳ ọ ộ ơ
( )
3 ;2 5=
r
u t
và
( )
3 6;2 5= − +
r
v t
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
| | 3 2 5
| | 3 6 2 5
= +
= − +
r
r
u t
v t
⇒
| | | |+ = +
r r
AM BM u v
và
( )
6;4 5 | | 2 29+ = + =�
r r r r
u v u v
M t khác, ta luôn có ặ
| | | | | |+ +
r r r r
u v u v
Nh v y ư ậ
2 29+ AM BM
Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ
,
r r
u v
cùng h ng ướ
3 2 5 1
3 6 2 5
= =� �
− +
tt
t
( )
1;0;2M
và
( )
min 2 29+ =AM BM
. V y khi M(1;0;2) thì minP = ậ
( )
2 11 29+
Câu VII.b:
( )
( ) l 3ln 3= − −f x x
;
( ) ( )
1 3
'( ) 3 3 '
3 3
f x x
x x
= − − =
− −
Ta có:
t t
dt dt t t
20
0 0
6 6 1 cos 3 3
sin ( sin ) ( sin ) (0 sin0) 3
2 2
|
π π π
π π
π π π π
−� �
= = − = − − − =
� �
� �
Khi đó:
2
0
6sin 2
'( ) 2
tdt
f x x
π
π
>+
( ) ( )
2 1
3 3 2
0
3 2
3 2 13
3; 2 3; 2 2
xx
x x
x x x
x x x x
−
< −
<
>
� �
− +
� � �
− +
� � < <
� �
< − < −
H ng d n Đ s 15ướ ẫ ề ố
Trang 18