Tr n Sĩ Tùngầwww.MATHVN.com Ôn thi Đ i h cạ ọ
H ng d n Đ s 41ướ ẫ ề ố
Câu I: 2) Ph ng trình hoành đ giao đi m c a ươ ộ ể ủ d và (Cm):
x x mx
3 2
3 0+ + =
(1) ⇔
x
x x m
20
3 0 (2)
=
+ + =
(2) có 2 nghi m phân bi t, khác 0 ệ ệ ⇔
m
m
9
4
0
<
(*). Khi đó:
D E D E
x x x x m3; .+ = − =
D E
y y
' '
. 1= −
⇔
m m
2
4 9 1 0− + =
⇔
m9 65
8
=
(tho (*))ả
Câu II: 1) PT ⇔
x xcos3 cos 0
3
π
� �
+ − =
� �
� �
⇔
⇔
x k
x k
3
6 2
ππ
π π
= +
= − +
.
2) T (1) ừ⇒ y ≠ 0. Khi đó H PT ệ⇔
x y y
x y xy y
3 3 3
2 2 3
8 27 7
4 6
+ =
+ =
⇒
t xy
t t t
3 2
8 27 4 6
=
+ = +
⇔
t xy
t t t
3 1 9
; ;
222
=
= − = =
• V i ớ
t3
2
= −
: T (1) ừ⇒ y = 0 (lo i).ạ
• V i ớ
t1
2
=
: T (1) ừ⇒
x y 3
3
1; 4
2 4
� �
= =
� �
� �
• V i ớ
t9
2
=
: T (1) ừ⇒
x y 3
3
3; 3 4
2 4
� �
= =
� �
� �
Câu III: Đ t ặ
x t t
3
cos sin , 0
2 2
π
� �
=
� �
� �
⇒ I =
tdt
42
0
3cos
2
π
=
3 1
2 4 2
π
� �
+
� �
� �
.
Câu IV: G i H, M, I l n l t là trung đi m c a AB, AC, AM ọ ầ ượ ể ủ ⇒ SH ⊥ (ABC),
ﾷ
SIH
α
=
.
SH =
⇒
S ABC ABC
a
V SH S
3
.1. tan
3 16
∆α
= =
.
Câu V: • Chú ý: V i ớa, b > 0, ta có:
a b a b
4 1 1
+
+
.
⇒ P ≤
x y x z y x y z z x z y
1 1 1 1 1 1 1
4
� �
+ + + + +
� �
+ + + + + +
� �
=
x y y z z x
1 1 1 1
2
� �
+ +
� �
+ + +
� �
≤
x y z
1 1 1 1
4
� �
+ +
� �
� �
=
1005
2
.
D u "=" x y ra ấ ả ⇔
x y z 1
670
= = =
. V y MinP = ậ
1005
2
.
Câu VI.a: 1) Gi s : AB: ả ử
x y5 ﾖ2 6 0+ =
, AC:
x y4 7 ﾖ21 0+ =
. Suy ra: A(0; 3).
BO ⊥ AC ⇒ BO:
x y7 4 0− =
⇒ B(–4; –7) ⇒ BC:
y7 0+ =
.
2) Gi s A(ả ử a; 0; 0) ∈ Ox, B(1+t; 2t; –2+2t) ∈ d.
AB t a t t( 1 ;2 ; 2 2 )= + − − +
uuur
.
Trang 71
Ôn thi Đ i h cạ ọ www.MATHVN.com Tr n Sĩ Tùngầ
d
a
AB u t 3
9
+
⊥ =�
uuur r
⇒
a a a
B12 2( 3) 2 12
; ;
9 9 9
� �
+ + −
� �
� �
. AB =
a a
2
22 6 9
3− +
.
d A P a
2
( ,( )) 3
=
.
AB = d(A, (P)) ⇔
a a a
2
2 2
2 6 9
3 3
− + =
⇔
a3
=
⇒ A(3; 0; 0).
Câu VII.a: Gi s s tho mãn là: ả ử ố ả
a a a a a
1 2 3 4 5
.
• N u ếa1 = 1 thì có:
A4
7840=
(s )ố
• N u ếa2 = 1 thì có:
C A
1 3
6 6
. 720=
(s )ố• N u ếa3 = 1 thì có:
C A
1 3
6 6
. 720=
(s )ố
⇒ Có t t c : 840 + 720 + 720 = 2280 (s ).ấ ả ố
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3; 0), bán kính R = 2. Gi s M(0; b) ả ử ∈ Oy.
Vì góc gi a hai ti p tuy n k t M b ng ữ ế ế ẻ ừ ằ
0
60
nên MI =
R
0
sin30
= 4
⇒
MI 216=
⇔
b27=
⇔
b7=
⇒
( )
M0; 7
ho c ặ
( )
M0; 7−
.
2) d1 có VTCP
u1(2;1;0)=
r
, d2 có VTCP
u2( 1;1;0)= −
r
.
Gi s ả ử
A t t
1 1
(2 ; ;4)
∈ d1,
B t t
2 2
(3 ; ;0)−
∈ d2.
AB là đo n vuông góc chung ạ⇔
AB u
AB u
1
2
⊥
⊥
uuur r
uuur r
⇔
t t
t t
1 2
1 2
5 6
2 3
+ =
+ =
⇔
t t
1 2 1= =
⇒ A(2; 1; 4), B(2; 1; 0).
M t c u (S) có tâm là trung đi m I(2; 1; 2) c a AB và bán kính R = ặ ầ ể ủ
AB 2
2=
.
⇒ (S):
x y z
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4− + − + − =
.
Câu VII.b: PT ⇔
z z z
2
( 1)( 2)( 8) 0+ − + =
⇔
z z z i1; 2; 2 2.= − = =
.
H ng d n Đ s 42ướ ẫ ề ố
www.MATHVN.com
Câu I: 2) Ph ng trình đ ng th ng MN: ươ ườ ẳ
x y2 3 0+ + =
. G i I(a; b) ọ∈ MN ⇒
a b2 3 0+ + =
(1)
Ph ng trình đ ng th ng ươ ườ ẳ d qua I và vuông góc v i MN là: ớ
y x a b2( )= − +
.
Hoành đ các giao đi m A, B c a (C) và ộ ể ủ d là nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ
xx a b
x
2 4 2( )
1
−= − +
+
(x
≠
–1)
⇔
x a b x a b
2
2 (2 ) 2 4 0− − − + + =
(x ≠ –1)
A, B đ i x ng nhau qua MN ố ứ ⇔ I là trung đi m c a AB. ể ủ
Khi đó:
A B
I
x x
x2
+
=
⇔
a b
a2
4
−
=
(2)
T (1) và (2) ta đ c: ừ ượ
a b
a b
a
2 3 0
2
4
+ + =
−
=
⇔
a
b
12
=
= −
Suy ra ph ng trình đ ng th ng ươ ườ ẳ d:
y x2 4= −
⇒ A(2; 0), B(0; –4).
Trang 72
Tr n Sĩ Tùngầwww.MATHVN.com Ôn thi Đ i h cạ ọ
Câu II: 1) PT ⇔
x
x3
cos2 cos 2
4
+ =
(*).
Ta có:
x
x
cos2 1
3
cos 1
4
. Do đó (*) ⇔
x
x
cos2 1
3
cos 1
4
=
=
⇔
x k
l
x8
3
ππ
=
=
⇔
x m8
π
=
.
2) PT ⇔
xx x3 (2 1) 2 1− = +
(1). Ta th y ấ
x1
2
=
không ph i là nghi m c a (1).ả ệ ủ
V i ớ
x1
2
, ta có: (1) ⇔
xx
x
2 1
32 1
+
=−
⇔
xx
x
2 1
3 0
2 1
+
− =
−
Đ t ặ
x x
x
f x x x
2 1 3
( ) 3 3 2
2 1 2 1
+
= − = − −
− −
. Ta có:
x
f x x
x2
6 1
( ) 3 ln3 0, 2
(2 1)
= + > ∀
−
Do đó f(x) đ ng bi n trên các kho ng ồ ế ả
1
;2
� �
−
� �
� �
và
1;
2
� �
+
� �
� �
⇒ Ph ng trình ươ f(x) = 0 có nhi uề
nh t 1 nghi m trên t ng kho ng ấ ệ ừ ả
1 1
; , ;
2 2
� �� �
− +
� �� �
� �� �
.
Ta th y ấ
x x1, 1= = −
là các nghi m c a ệ ủ f(x) = 0. V y PT có 2 nghi m ậ ệ
x x1, 1= = −
.
Câu III: Ta có:
x x
x
2
1 sin 1 1 tan
1 cos 2 2
� �
+= +
� �
+��
.
Do đó: I =
x
xe dx
2
2
0
11 tan
2 2
π
� �
+
� �
� �
=
x
x x e dx
22
0
11 tan tan
2 2 2
π
� �
+ +
� �
� �
=
x x
x x
e dx e dx
2 2
2
0 0
11 tan tan .
2 2 2
π π
� �
+ +
� �
� �
� �
Đ t ặ
x
u e
x
dv dx
2
11 tan
2 2
=
� �
= +
� �
� �
⇒
x
du e dx
x
vtan2
=
=
⇒ I =
x x x
x x x
e e dx e dx
2 2
2
00 0
tan tan tan
2 2 2
π π
π
− +
� �
=
e2
π
.
Câu IV: Trên AC l y đi m D sao cho: DS ấ ể ⊥ SC (D thu c đo n AC) ộ ạ ⇒
ﾷ
ASD 0
30=
.
Ta có:
ASD
CSD
AS SD
S
AD a
CD S c
CS SD
0
1. .sin30
212
.
2
= = =
⇒
a
DA DC
c2
= −
uuur uuur
⇒
cSA aSC
SD c a
2
2
+
=+
uur uur
uuur
⇒
cSA aSC c
SD SB SB SA SB
c a c a
2 2
. . .
2 2
� �
+
= =
� �
+ +
� �
uur uur
uuur uur uur uur uur
=
c abc
ab
c a c a
0
2.cos60
2 2
=
+ +
và
c SA a SC caSA SC
SD
c a
2 2 2 2
2
2
4 4 .
(2 )
+ +
=+
uur uur
=
a c a c a c a c
c a c a
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
4 2 3
(2 ) (2 )
+ − =
+ +
⇒ SD =
ac
c a
3
2+
Trang 73
Ôn thi Đ i h cạ ọ www.MATHVN.com Tr n Sĩ Tùngầ
M t khác, ặ
ﾷ
abc
SD SB c a
SDB SD SB ac b
c a
. 3
2
cos . 3
3.
2
+
= = =
+
uuur uur
⇒
ﾷ
SDB 6
sin 3
=
ﾷ
SDBC SDB
V SC S SC SD SB SDB
1 1
. . . .sin
3 6
= =
=
abc
c a
2
2.
6 2 +
Mà
ASDB
CSDB
VAD a
V DC c2
= =
⇒
ASDB CSDB
a a bc
V V
c c a
2
2.
2 12 2
= = +
V y: ậ
SABC ASDB CSDB
a bc abc
V V V abc
c a
2 2
2 2 2
12 2 12
� �
+
= + = =
� �
+
� �
.
Câu V: Đ t ặ
a x b y c z
2 2 2
log , log , log= = =
⇒
a b c xyz
2 2
log ( ) log 8 3+ + = = =
⇒ P =
x y z
2 2 2
2 2 2
log 1 log 1 log 1+ + + + +
=
a b c
2 2 2
1 1 1+ + + + +
Đ t ặ
m a n b p c( ;1), ( ;1), ( ;1)= = =
r r r
.
Khi đó: P =
m n p m n p+ + + +
r r r r r r
=
a b c 2 2
( ) (1 1 1)+ + + + +
=
3 2
D u "=" x y ra ấ ả ⇔
a b c 1
= = =
⇔
x y z 2= = =
. V y MinP = ậ
3 2
khi
x y z 2= = =
.
Câu VI.a: 1) Gi s A(ả ử a; –a –1) ∈ d1, B(b; 2b – 1) ∈ d2.
MA a a MB b b( 1; 2), ( 1;2 2)= − − − = − −
uuur uuur
MA MB2 0+ =
uuur uuur
⇔
a b
a b
2 2 1 0
2 4 2 2 0
− + − =
− − + − =
⇔
a
b
0
3
=
=
⇒ A(0; –1), B(3; 5)
⇒ Ph ng trình ươ d:
x y2 1 0− − =
.
2) PTTS c a AB: ủ
x t
y t
z t
4 3
2 5
= +
= −
=
⇒ Giao đi m c a AB v i (P) là: M(7; –3; 1)ể ủ ớ
G i I là hình chi u c a B trên (P). Tìm đ c I(3; 0; 2). Hình chi u ọ ế ủ ượ ế d c a đ ng th ng AB làủ ườ ẳ
đ ng th ng MI.ườ ẳ
⇒ Ph ng trình đ ng th ng ươ ườ ẳ d là:
x t
y t
z t
3 4
3
2
= −
=
= +
Câu VII.a: PT có các nghi m ệ
i i
x x
1 2
1 1
;
2 2
+ −
= =
⇒
i i
x x
2 2
1 2
1 1
2; 2= − =
.
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R =
5
. IM =
2 5<
⇒ M n m trong đ ng tròn (C).ằ ườ
Gi s ả ử d là đ ng th ng qua M và H là hình chi u c a I trên ườ ẳ ế ủ d.
Ta có: AB = 2AH =
IA IH IH IM
2 2 2 2
2 2 5 2 5 2 3− = − − =
.
D u "=" x y ra ấ ả ⇔ H ≡ M hay d ⊥ IM. V y ậd là đ ng th ng qua M và có VTPT ườ ẳ
MI (1; 1)= −
uuur
⇒ Ph ng trình ươ d:
x y 2 0− + =
.
2) Ph ng trình mp(ABC): ươ
x y z 1
1 2 3
+ + =
. G i H(ọx; y; z) là tr c tâm c a ự ủ ∆ABC.
Ta có:
AH BC
BH AC
H P( )
⊥
⊥
uuur uuur
uuur uuur
⇔
y z
x z
y z
x
2 3 0
3 0
1
2 3
− + =
− + =
+ + =
⇔
x
y
z
36
49
18
49
12
49
=
=
=
⇒
H36 18 12
; ;
49 49 49
� �
� �
� �
.
Trang 74
Tr n Sĩ Tùngầwww.MATHVN.com Ôn thi Đ i h cạ ọ
Câu VII.b: Ph ng trình ươ
n n n
C C C
1 3 2
2+ =
⇔
n n n
2
( 9 14) 0− + =
⇔
n7=
S h ng th 6 trong khai tri n ố ạ ứ ể
( )
xx
7
5
lg(10 3 ) ( 2)lg3
2 2
− −
+
là:
( )
( )
xx
C
25
5
5 lg(10 3 ) ( 2)lg3
72 2
− −
Ta có:
xx
C5 lg(10 3 ) ( 2)lg3
7.2 .2 21
− − =
⇔
xxlg(10 3 ) ( 2)lg3
2 1
− + − =
⇔
xxlg(10 3 ) ( 2)lg3 0− + − =
⇔
x x 2
(10 3 ).3 1
−
− =
⇔
x x2
3 10.3 9 0− + =
⇔
x x0; 2= =
H ng d n Đ s 43ướ ẫ ề ố
www.MATHVN.com
Câu I: 2) Giao đi m c a hai ti m c n là I(1; 2). G i M(a; b) ể ủ ệ ậ ọ ∈ (C) ⇒
a
ba
2 1
1
−
=−
(a ≠ 1)
Ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i M: ươ ế ế ủ ạ
a
y x a a
a2
1 2 1
( ) 1
( 1)
−
= − − + −
−
Ph ng trình đwòng th ng MI: ươ ẳ
y x
a2
1( 1) 2
( 1)
= − +
−
Ti p tuy n t i M vuông góc v i MI nên ta có: ế ế ạ ớ
a a
2 2
1 1
. 1
( 1) ( 1)
− = −
− −
⇔
a b
a b
0( 1)
2( 3)
= =
= =
V y có 2 đi m c n tìm Mậ ể ầ 1(0; 1), M2(2; 3)
Câu II: 1) PT ⇔
x x x x
cos cos2 cos3 cos4 0
2 6 2 6 2 6 2 6
π π π π
� � � � � � � �
− + − + − + − =
� � � � � � � �
� � � � � � � �
Đ t ặ
x
t2 6
π
= −
,
PT tr thành: ở
t t t tcos cos2 cos3 cos4 0+ + + =
⇔
t t
t5
4cos .cos .cos 0
2 2 =
⇔
t
t
t
cos 0
2
cos 0
5
cos 0
2
=
=
=
⇔
t m
t l
k
t
(2 1)
22
5 5
π
ππ
π π
= +
= +
= +
• V i ớ
t m x m(2 1) (4 2)
3
π
π π
= + = + +�
• V i ớ
t l x l
42
2 3
π π
π π
= + = +�
• V i ớ
k k
t x
2 11 4
5 5 15 5
π π π π
= + = +�
Trang 75