Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng: Kinh nghiệm và phương pháp

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

CHÖÔNG I ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

I. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

1. Ñinh nghóa:

Haøm soá f ñoàng bieán treân K (cid:219) ("x1, x2 ˛ K, x1 < x2 (cid:222) f(x1) < f(x2) Haøm soá f nghòch bieán treân K (cid:219) ("x1, x2 ˛ K, x1 < x2 (cid:222) f(x1) > f(x2)

2. Ñieàu kieän caàn:

Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.

a) Neáu f ñoàng bieán treân khoaûng I thì f¢(x) ‡ 0, "x ˛ I

b) Neáu f nghòch bieán treân khoaûng I thì f¢(x) £ 0, "x ˛ I

3. Ñieàu kieän ñuû:

Giaû söû f coù ñaïo haøm treân khoaûng I.

a) Neáu f¢ (x) ‡ 0, "x ˛ I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f ñoàng bieán treân I.

b) Neáu f¢ (x) £ 0, "x ˛ I (f¢(x) = 0 taïi moät soá höõu haïn ñieåm) thì f nghòch bieán treân I.

c) Neáu f¢(x) = 0, "x ˛ I thì f khoâng ñoåi treân I.

Chuù yù: Neáu khoaûng I ñöôïc thay bôûi ñoaïn hoaëc nöûa khoaûng thì f phaûi lieân tuïc treân ñoù.

VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá

Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y = f(x), ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau:

– Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.

– Tính y¢. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y¢ = 0 hoaëc y¢ khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn)

– Laäp baûng xeùt daáu y ¢ (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá.

Baøi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:

224 x

2 4 x +

2 x =+ - 4

a) y 5 x c) yx 3 b) y x =-+ + =- 5 4

3 =-+ -

3 xx =-+

234 x -

4 x

d) yxx x 2 e) (4)(1) f) 1 y yx x=- -

4 x

22 +

2 1 h) yx 3 i) yx 2 g) yx - =-- 1 - 1 4 x =+ 1010 1 =- 4

m) y l) y k) y 1 = - = = x x 2 1 x 1 - - -

1 2415 x 1 x 2 - x 5 + 2226 x + o) y p) y n) y x 3 =-+ - = = - 3 9 x x 1 x 1 - x + + 2 x +

Trang 1

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

Baøi 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:

43 x 683

1 x 1 - x - + a) yxx 1 b) y c) y =-+- - = = x 2 x 4 x 1 - x + +

2 e) y f) y y x d) = = x =++ 32 2 - 1x - 2 x x x 2 x 2 3 - +

g) 2 2 y x 21 3 x h) y x x i) y x x =-- - = - = -

yx l) yxx x sin 2 =--< < p 2 p 2 p 2 p 2 (cid:230) x sin 2 =-< < (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán

treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh)

Cho haøm soá y fx m (, ) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D. =

• Haøm soá f ñoàng bieán treân D (cid:219) y¢ ‡ 0, "x ˛ D.

• Haøm soá f nghòch bieán treân D (cid:219) y¢ £ 0, "x ˛ D.

Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m.

Chuù yù:

1) y¢ = 0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm.

2 axbx +

2) Neáu 'y x thì: =+

0 0

• •

b 0 0 0 b 0 0 0 Ø(cid:236) = = a (cid:237)Œ c ‡(cid:238) yx R '0, ‡"˛ (cid:219) Œ (cid:236) > a Œ(cid:237)Œ £(cid:238)º D Ø(cid:236) = = a (cid:237)Œ c £(cid:238) yx R '0, £"˛ (cid:219) Œ (cid:236) < a Œ(cid:237)Œ £(cid:238)º D

2 c

3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai : ( )gxaxbx =+ +

• Neáu D < 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a.

) • Neáu D = 0 thì g(x) luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x = - b a 2

2 c

• Neáu D > 0 thì g(x) coù hai nghieäm x 1, x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g(x) khaùc daáu vôùi a, ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g(x) cuøng daáu vôùi a.

vôùi soá 0: ( )gxaxbx =+ + 4) So saùnh caùc nghieäm x1, x2 cuûa tam thöùc baäc hai

0 0 0 P P • P <<(cid:219) < xx • 1 xx 1 • 1 xx 0 0 0 0 0 0 (cid:236) > D (cid:239) <<(cid:219) > (cid:237) 2 (cid:239) >(cid:238) S

(cid:236) > D (cid:239) 0 <<(cid:219) > (cid:237) (cid:239) <(cid:238) S 3 5) Ñeå haøm soá y =++ axbxcx d + coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán) (x 1; x2) baèng

d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau:

• Tính y¢.

• Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán:

(1) 0 0 a(cid:236) „ (cid:237) >(cid:238)D

Trang 2

2 d

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

(2) • Bieán ñoåi = thaønh = xxxx 4 () +- 121 2 xx 1 d- 2

• Söû duïng ñònh lí Viet ñöa (2) thaønh phöông trình theo m.

• Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän (1) ñeå choïn nghieäm.

Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc

taäp xaùc ñònh) cuûa noù:

239 x +

3 513 x +

3 x =-+ 3

1 y b) y x c) a) yx = =+

2 2 x + x 1 +

1 x 3 - - e) y d) y y x x f) = = =- 3sin(31) + x 1 2 - 2 x + 2 2 xmx - x m -

Baøi 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc

taäp xaùc ñònh) cuûa noù:

a) y 5cot(1) x x b) y cos x c) y xx sincos2 2 x =-+ - = - x =- -

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc

ñònh) cuûa noù:

3 =-++

2 xmxmx m 3(2) -

3 xmx =-- 3 2 2 xmx - x m -

b) y 2 x 1 c) y a) y = + 2 x m + x m - 2 1 3 - e) y f) y d) y = = = xmx m 2 + - x m 2 - 4mx + x m +

Baøi 4. Tìm m ñeå haøm soá:

23 3 xxmx m + =++

a) nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 1. y

23 1 nghòch bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 3. b) 1 1 3 yxmxmx m + =-+- 3 2

ñoàng bieán treân moät khoaûng coù ñoä daøi baèng 4. c) 4 (1)(3) x - 1 3 yxmxm =-+-++ 3

Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá:

3 x =++-+ 3

a) y x 1 (1)(1) mxm + ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥).

3 yxmxm =-+++

2 3(21)(125) +

b) x 2 ñoàng bieán treân khoaûng (2; +¥).

c) y m (2) ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥). x 4 + =„ – x m +

d) y = ñoàng bieán trong khoaûng (–1; +¥).

x m + x m - 2 3 e) y = ñoàng bieán treân khoaûng (1; +¥). xmx m 2 + - x m 2 -

22 3 xx m + -- x 1 2 +

f) y nghòch bieán treân khoaûng . = (cid:230) 1 ; -+¥(cid:231) 2 Ł (cid:246) (cid:247) ł

Trang 3

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc

Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau:

• Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f(x) > 0 (hoaëc <, ‡, £ ). Xeùt haøm soá y = f(x) treân taäp xaùc ñònh do ñeà baøi chæ ñònh. • Xeùt daáu f¢ (x). Suy ra haøm soá ñoàng bieán hay nghòch bieán. • Döïa vaøo ñònh nghóa söï ñoàng bieán, nghòch bieán ñeå keát luaän.

Chuù yù:

1) Trong tröôøng hôïp ta chöa xeùt ñöôïc daáu cuûa f ¢ (x) thì ta ñaët h(x) = f ¢ (x) vaø quay laïi tieáp tuïc xeùt daáu h¢ (x) … cho ñeán khi naøo xeùt daáu ñöôïc thì thoâi. 2) Neáu baát ñaúng thöùc coù hai bieán thì ta ñöa baát ñaúng thöùc veà daïng: f(a) < f(b). Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá f(x) trong khoaûng (a; b).

Baøi 1. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

3 x xxxvôùi x -<< 6

p a) 1 xxxvôùi sintan, x sin, 0 b) 0 +>< < > 2 33 2

c) xxvôùi x 0 d) sintan2, xxxvôùi x tan, << < 0 +>< < p 2 p 2

Baøi 2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

a) b) aabbvôùia b sinsin, , vôùia b 0 << < < 0 -<-< < < p 2 tan tan a b a b p 2

c) 0 aabbvôùia b tantan, -<-< < < p 2

Baøi 3. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

5 x sin,

33 xx xxxvôùi x -<<-+ 66120

b) a) sin, x 0 > p 2 2 x xvôùi 0 >< < p

Baøi 4. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

xexvôùi x>+ 1,

a) b) ln(1), 0 0 > +< >

xxvôùi x ( c) xxvôùi x 1 x d) 1ln1 ln(1)ln, +-> + xxx +++‡ 0 1 > x 1 +

Baøi 5. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

7 a) b) sin20 c) tan551, 4> < log3log 4> 1 < 320

HD: a) . Xeùt haøm soá f x ( ) . tan55tan(4510 ) = + = 1 1 x x + -

b) Xeùt haøm soá fxx ()3 . x= 4 -

0 ,sin20 ,

7 f(x) ñoàng bieán trong khoaûng vaø . ˛ 1 1 ; 2 2 1 320 1 1 ; 2 2 (cid:230) -(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) -(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

c) Xeùt haøm soá + vôùi x > 1. ()log(1) x x fx =

Trang 4

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát

Ñeå chöùng minh phöông trình f(x) = g(x) (*) coù nghieäm duy nhaát, ta thöïc hieän caùc böôùc sau:

• Choïn ñöôïc nghieäm x0 cuûa phöông trình. • Xeùt caùc haøm soá y = f(x) (C 1) vaø y = g(x) (C 2). Ta caàn chöùng minh moät haøm soá ñoàng bieán vaø moät haøm soá nghòch bieán. Khi ñoù (C 1) vaø (C 2) giao nhau taïi moät ñieåm duy nhaát coù hoaønh ñoä x0. Ñoù chính laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*).

Chuù yù: Neáu moät trong hai haøm soá laø haøm haèng y = C thì keát luaän treân vaãn ñuùng.

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) x 5 5 b) 5 xx 0 x+- = + x 134 --+ =

2 xx

c) xxx x 571614 d) x 8 +-++++ = 1532 +=-+ +

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau:

x c) 34

x 5

a) 55 xx 123 x b) ln(4) 5 x x 0 +++++ = -= -

x++

d) 2 + = 3538 =

Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

34 15775137 x ++-+-+- <

xxx 8 b) xxxx 272735 x a) +++++ <

Baøi 4. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

3 y 3 zz + 3 xx

2 z + 2 x

a) b)

2 2 2 2 2 2 1 xyy +=+ y 1 += z 1 +=+ + (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) =++ - 3 y xyy (cid:239) 3 2 (cid:237) =++ - yzz z (cid:239) =++ - 3 zxx x (cid:238)

3 yx 3 zy 3 xz

2 612 x 2 612 y 2 612 z

xyy tantan d) c) 2 x 3 y + = 8 8 8 =- =- =- + + + x -= - 5 p 4 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

3 t=+

2 +

HD: a, b) Xeùt haøm soá fttt ( ) c) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t

2 t=-

d) Xeùt haøm soá ftt ()612 8 +

Trang 5

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

II. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ

I. Khaùi nieäm cöïc trò cuûa haøm soá

Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân taäp D (D (cid:204) R) vaø x0 ˛ D.

a) x0 – ñieåm cöïc ñaïi cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) (cid:204) D vaø x0 ˛ (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), vôùi "x ˛ (a; b) \ {x0}.

Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc ñaïi (cöïc ñaïi) cuûa f.

b) x0 – ñieåm cöïc tieåu cuûa f neáu toàn taïi khoaûng (a; b) (cid:204) D vaø x0 ˛ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), vôùi "x ˛ (a; b) \ {x0}.

Khi ñoù f(x0) ñgl giaù trò cöïc tieåu (cöïc tieåu) cuûa f.

c) Neáu x0 laø ñieåm cöïc trò cuûa f thì ñieåm (x0; f(x0)) ñgl ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá f.

II. Ñieàu kieän caàn ñeå haøm soá coù cöïc trò

Neáu haøm soá f coù ñaïo haøm taïi x0 vaø ñaït cöïc trò taïi ñieåm ñoù thì f¢ (x0) = 0.

Chuù yù: Haøm soá f chæ coù theå ñaït cöïc trò taïi nhöõng ñieåm maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc

khoâng coù ñaïo haøm.

III. Ñieåu kieän ñuû ñeå haøm soá coù cöïc trò

1. Ñònh lí 1: Giaû söû haøm soá f lieân tuïc treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x 0 vaø coù ñaïo haøm treân (a; b)\{x0}

a) Neáu f¢ (x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0.

b) Neáu f¢ (x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x ñi qua x0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0.

Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá f coù ñaïo haøm treân khoaûng (a; b) chöùa ñieåm x0, f¢ (x0) = 0 vaø coù

ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0.

a) Neáu f¢¢ (x0) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi taïi x0.

b) Neáu f¢¢ (x0) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu taïi x0.

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá

Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1.

• Tìm f¢ (x).

• Tìm caùc ñieåm xi (i = 1, 2, …) maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.

• Xeùt daáu f¢ (x). Neáu f¢ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi.

Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2.

• Tính f¢ (x).

• Giaûi phöông trình f¢ (x) = 0 tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …).

• Tính f¢¢ (x) vaø f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …).

Neáu f¢¢ (xi) < 0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi.

Neáu f¢¢ (xi) > 0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi.

Trang 6

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

Baøi 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

3 xx

2 415 x

3 xx =-+

222 x -

a) y 3 x 2 x b) y 1 c) y = - -

2 3

24 +

1 =-+ 3 4 f) y x y e) yx x 5 d) + x + =- 3 2 x =- 2

234 x

2 3 x + x 2 +

x 6 x -+ + g) i) y y h) y = = = + x x =-+ 2 2 215 x - - x 3 - 5 x 1 +

Baøi 2. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

3 +

2 4

x 42 1 x x 34 4 x + - + + a) yx x (2)(1) b) y c) y =- = = 3 2 x 1 x + +

e) yx 5 f) y xx d) yx x= - =- x x + - 2 2 x + =+ 2 x -

Baøi 3. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

3 x=

2 1 +

a) y y e e- b) c) 4 y = + = 2 1 x x +

2 552ln xx =-+ +

d) e) y 4sin x f) y x ) x = - x =- ln(1 +

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò

1. Neáu haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm. 2. Ñeå haøm soá y = f(x) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f¢ (x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0. Chuù yù:

y coù cöïc trò (cid:219) Phöông trình y¢ = 0 coù hai nghieäm =++ axbxcx d +

• Haøm soá baäc ba phaân bieät. Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch: + d +

3 0 + , trong ñoù Ax + B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y¢.

+ y xaxbxcx ( ) =++ 000 y xAx ( ) 0 B= 0

2 c axbx + ax b ' +

y = = • Haøm soá (aa¢„ 0) coù cöïc trò (cid:219) Phöông trình y ¢ = 0 coù hai + ' P x ( ) Q x ( )

nghieäm phaân bieät khaùc . - b a ' '

Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y(x0) baèng hai caùch:

y x ( ) hoaëc y x ( ) = = P x ( Q x ( ) ) P x '( Q x '( ) )

• Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû nghieäm ngoaïi lai. • Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí Vi–et.

Trang 7

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu:

322 xmxmx m =-+- 22

3 23(21)6(1) xmxmm + =-+++ 2

y b) y x 1 a) 33(1) -

1 2 xmmx m (1) +-- y d) y c) = = 1 + x m - xmx m +- + x m - +

Baøi 2. Tìm m ñeå haøm soá:

2 5

3 y mxxmx (2)3 - =+++

a) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.

2 32 yxmxmmxm m 3(1)(232)(1) =--+-+-

b) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu. -

32 yxmxm =-+-

2 3(1) x +

c) 2 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2.

d) 2(2) 5 coù moät cöïc ñaïi . ymxmx m =-+-+ - x = 1 2

2 2 xmx - x m - 2 (1)4 xmxm -+-+

2 + ñaït cöïc tieåu khi x = 2. e) y =

coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu.

f) y = m x 1 2 - -

g) y coù moät giaù trò cöïc ñaïi baèng 0. = xx m - + 1 x -

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò:

a) yx b) 1 x 3(1) -

3 y mxmxm =+-- 2 xmxm

2333 3 xmx m 4 + =-++ 2 xmx x

5 -+ (1)4 -+-+ y d) y c) = = m x 1 + 3 - 2 - -

Baøi 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá:

a) ñaït cöïc tieåu baèng 0 taïi x = 0 vaø ñaït cöïc ñaïi baèng taïi x = y =++ axbxcx d + 4 27 1 3

2 c

coù ñoà thò ñi qua goác toaï ñoä O vaø ñaït cöïc trò baèng –9 taïi x = 3 . b) y =+ +

+ ñaït cöïc trò baèng –6 taïi x = –1. c) y =

4 axbx 2 xbx c + x 1 - 2axbxab + + bx a +

2 axx b 2

ñaït cöïc trò taïi x = 0 vaø x = 4. d) y =

+ ñaït cöïc ñaïi baèng 5 taïi x = 1. y e) = + 2 x 1 +

Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá :

322 =+-+-+-

a) yxmxmmx m 2(1)(41)2(1) + ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x 1, x2 sao

3 xmxmx

1 cho: x ) . ( + x 1 += x 2

y b) 1 - x- ‡ . 8 ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x1, x2 sao cho: x 1

1, x2 sao cho:

c) ñaït cöïc trò taïi hai ñieåm x (1)3(2) x + 1 3

= . 1 11 x 1 1 =-+ 3 1 3 ymxmxm =--+- 3 x+ 22 x 1

Trang 8

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

Baøi 6. Tìm m ñeå haøm soá :

2 xmxm

2 y coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuøng daáu. a) = 1 xmx m +- + x m - +

(1)4 -+-+ b) y coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø tích caùc giaù trò cöïc ñaïi, cöïc = m x 1 2 - -

-+ c) y coù giaù trò cöïc ñaïi M vaø giaù trò cöïc tieåu m thoaû = M m- = . 4 tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát. 2 3 xx m + x 4 -

223 xx m 2 ++ - 2 x +

d) y coù 12 . = y- < y CÑCT

Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :

2 4

2 AB =

900 . a) coù hai ñieåm cöïc trò laø A, B vaø yxmx=-+ - m 729

2 xmxx m

4 =-+

coù 3 ñieåm cöïc trò laø A, B, C vaø tam giaùc ABC nhaän goác toaï ñoä y +

b) 4 O laøm troïng taâm. 2 2 coù hai ñieåm cöïc trò naèm hai phía ñoái vôùi truïc tung. Chöùng minh y c) = xmx m ++ - x m -

hai ñieåm cöïc trò luoân luoân naèm cuøng moät phía ñoái vôùi truïc hoaønh.

coù khoaûng caùch giöõa hai ñieåm cöïc trò baèng 10. y d) =

2 xmx + x 1 - 2 2 xmx x - thaúng y = 2x. 2 2 xx m

5 -+ coù hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía ñoái vôùi ñöôøng e) y = + 1

3 coù hai ñieåm cöïc trò vaø khoaûng caùch giöõa chuùng nhoû nhaát. f) y = ++ + x m -

Baøi 8. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :

3 21213

coù hai ñieåm cöïc trò caùch ñeàu truïc tung. a) yxmx =+- x -

32 xmx

3 m

3 4 coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng phaân y

b) + =- giaùc thöù nhaát.

coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu ôû veà moät phía ñoái vôùi ñöôøng y =-

3 32 m c) xmx 4 + y-+ = thaúng (d): 328 0 2

3 x

. 2 1 xmx m (21) +++ d) coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng y = x

+ 1 + . x (d): 231 0 y-- =

Baøi 9. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :

2 xmx

-++ y coù hai ñieåm cöïc trò ôû trong goùc phaàn tö thöù nhaát cuûa maët a) = m (1)2 1 - x m -

22 mxmxm 2(41)32 +++

phaúng toaï ñoä.

b) y coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù = 2 m + 2 x m +

hai vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù tö cuûa maët phaúng toaï ñoä.

Trang 9

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

y coù moät ñieåm cöïc trò naèm trong goùc phaàn tö thöù nhaát c) = 4 (1) mxmxm m + -++ x m -

2 1

vaø ñieåm kia naèm trong goùc phaàn tö thöù ba cuûa maët phaúng toaï ñoä.

xmx m (21) +++ d) y coù hai ñieåm cöïc trò naèm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh (tung). = x + 1 +

VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò

f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B.

1) Haøm soá baäc ba fxaxbxcx d ( ) y + ==++ • Chia f(x) cho f¢ (x) ta ñöôïc: • Khi ñoù, giaû söû (x1; y1), (x2; y2) laø caùc ñieåm cöïc trò thì:

B B fxAx ) ( + 1 fxAx ) ( + 2 (cid:236) == y 11 (cid:237) y == (cid:238) 22

2 c

(cid:222) Caùc ñieåm (x1; y1), (x2; y2) naèm treân ñöôøng thaúng y = Ax + B.

+ + 2) Haøm soá phaân thöùc ( ) . yf x == ( ) Pxaxbx = ( ) e Qxdx

+ P x '( ) . y = • Giaû söû (x0; y0) laø ñieåm cöïc trò thì Q x '( )

• Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm

+ cöïc trò aáy laø: y . = Pxax b '() 2 = Qx '( ) d

Baøi 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá :

22 x

3 xx =--

236 x +

3 xx =-- + 22 x x

1 a) b) y 2 x c) y 8 y = - x 3 2 1 x 1 d) y e y = = x - + 3 + x - - 2 x -

Baøi 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc

trò cuûa ñoà thò haøm soá:

322 xmxmx m =-+-

6 - y b) y a) 33(1) - =

32 2 yxmxmmxm m 3(1)(232)(1) =--+-+-

2 xmx + x m - xmx m +- + x m - +

2 y c) d) = - 1

Baøi 3. Tìm m ñeå haøm soá:

3 23(1)6(2) xmxm -

y 1 x coù ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò song song =+-+-

a) vôùi ñöôøng thaúng y = –4x + 1.

3 =+-+

y coù caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ñoà thò naèm treân 23(1)6(12 ) xmxmm x -

2 7

b) ñöôøng thaúng y = –4x.

3 yxmx =++

3 coù ñöôøng thaúng ñi qua caùc ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu vuoâng goùc

d) y coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoái xöùng nhau qua ñöôøng

y thaúng (D): c) x + vôùi ñöôøng thaúng y = 3x – 7. 23 32 xxmx m + =-+ 1 x= 2 5 - . 2

Trang 10

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ

1. Ñònh nghóa: Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D (cid:204) R).

a) max( ) Mf x = M ) = 0 (cid:236) () fxMx D , £" ˛ (cid:219) (cid:237)$˛ xDfx :( (cid:238) 0

b) min( ) mf x = ) = 0 (cid:236) () fxmx D , ‡" ˛ (cid:219) (cid:237)$˛ :( m xDfx (cid:238) 0

2. Tính chaát: a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì . = fxfbfxf a= max()(),min()( ) aba b [;][; ]

b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì . = fxfafxf b= max()(),min()( ) aba b [;][; ]

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân

• Tính f¢ (x). • Xeùt daáu f¢ (x) vaø laäp baûng bieán thieân. • Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän.

{

}

Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng. Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b]. • Tính f¢ (x). • Giaûi phöông trình f¢ (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, …, xn treân [a; b] (neáu coù). • Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). • So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän. ) = max()max(),(),(),(),...,( Mfxfafbfxfxf x = [; ] a b

{

}

) = min()min(),(),(),(),...,( mfxfafbfxfxf x = a b [; ]

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 3

22 -

a) y x 3 b) y 4 x 3 x c) yx x 2 x =+ 4 + = - =+

2 x =+ -

x 1 - x 24 5 x + d) yx 2 e) y f) y = = + 2 2 + 2 x x + 1 x 1 x 2 x - x - + 1 + i) y h) y g) yx = (0) x > = =+ x + 3 1 (0) x > x x 1 x x x + + +

Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:

3 xx 2312

treân [–1; 5] b) y 3 x treân [–2; 3] a) y x = - =+-

3 treân [–3; 2] d) yx x 5 treân [–2; 2] c) yx x =- x 22 + =-

2 1 + 22 + 1 x 3 - 3 x -

e) y treân [0; 2] f) y treân [0; 4] = = x x 1 1 - +

Trang 11

VNMATHS.TK - Free Ebooks

247 x

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

+ 1 x x - + y treân [0; 2] h) g) y treân [0; 1] = = 7 x + x 2 + 1 x x + -

y treân [–6; 8] 100 x k) y 4 x i) = - 2 =++ x -

Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:

2 x coscos

1 a) y b) y c) y 1 x = = =- 2sincos x + x 1 2sin - 2 x sin + 1 x + +

3 x sincos

x y e) y x f) d) x 1 y =- x cos22sin - = + = 1 - 2 x x 1 - +

2 =-++-

2 4252 xxx =-++-

yxxx 3 y x h) g) 44 x + 3 +

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng baát ñaúng thöùc

Caùch naøy döïa tröïc tieáp vaøo ñònh nghóa GTLN, GTNN cuûa haøm soá.

• Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc. • Tìm moät ñieåm thuoäc D sao cho öùng vôùi giaù trò aáy, baát ñaúng thöùc vöøa tìm ñöôïc trôû thaønh ñaúng thöùc.

1 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu

Baøi 1. Giaû söû

{ z (;;)/0,0,0, Dxyzxyzxy =>>>++ =

}

thöùc: P . =+ + 11 xy z 1 xy ++

HD: P 3 =-+ xy 1 z 11 + 11 ++ 1 + z + (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

]

xy (1)(1)(1) z ++++=++ ‡ Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [ 11 xy 9 z 1 11 ++ 1 + (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

. Vaäy (cid:222) P £ . Daáu “=” xaûy ra (cid:219) x = y = z = P = . min D 1 3 3 4 3 4

Baøi 2. Cho D =

y . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: yx >>+ = 5 4 (cid:236) (;)/0,0, xyx (cid:237) (cid:238) (cid:252) (cid:253) (cid:254)

S . 1 y 4

xxxx 425 y ‡ (cid:219) 4()25 y x ++ ‡ HD: ( 1 y 4 4 x 1 y 4 4 = + x (cid:230) ) 1111 + + ++++ ++ (cid:231) xxxx Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

. Vaäy minS = 5. (cid:222) S ‡ 5. Daáu “=” xaûy ra (cid:219) x = 1, y =

xyx (;)/0,0, yx y 1 >>+ <

Baøi 3. Cho D = {

1 4 } . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:

2 x y y =+++ + y xyx 1 1 -- 2

1 Px . +

1 HD: Px 2 . = (1)(1) =++++++ - 1 1 y + y 2 1 y y - xyx 1 + x --

]

y xyx (1)(1)() -+-++++ ‡ Söû duïng baát ñaúng thöùc Coâ–si: [ 1 9 1 xyx 11 -- 1 y + 11 ++ xyx 1 -- (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

Trang 12

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

‡ (cid:219) ++ xyx 11 2 111 -- 9 y +

. Vaäy minP = . (cid:222) P ‡ . Daáu “=” xaûy ra (cid:219) x = y = 5 2 5 2

xyx (;)/0,0, . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: 4 y yx >>+ ‡ 1 3 }

Baøi 4. Cho D = {

+ . P = + y 2 x 34 4 2 + x y

+ HD: P (1) 1 2 1 xyyx =++++ x 488 y (cid:230) y 2 +(cid:231) 2 Ł (cid:246) (cid:247) ł

Theo baát ñaúng thöùc Coâ–si: (2) 2. x 4 1 +‡ x x 4 1 1 = x

(3) ++‡ = 11 2 yyy y 8888 3 3. 3 4 y . 2 y

. (cid:222) P ‡ . Daáu “=” xaûy ra (cid:219) x = y = 2. Vaäy minP = 9 2 9 2

VAÁN ÑEÀ 3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng mieàn giaù trò

Xeùt baøi toaùn tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f(x) treân moät mieàn D cho tröôùc. Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm:

(2) (cid:236) fx ()(1) y = (cid:237) x D ˛(cid:238)

(3)

Tuyø theo daïng cuûa heä treân maø ta coù caùc ñieàu kieän töông öùng. Thoâng thöôøng ñieàu kieän aáy (sau khi bieán ñoåi) coù daïng: m £ y0 £ M Vì y0 laø moät giaù trò baát kì cuûa f(x) neân töø (3) ta suy ra ñöôïc: min();max( ) fxmfx M= =

Baøi 1. Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau:

2 2723 x + 2

x x 1 + x + + y b) y c) y a) = = = 1 x x 3 2sincos x + x sin2cos - + + x 1 + 210 x +

y d) = x 3 x 4 x x - + x 2sincos + x 2cossin - + +

VAÁN ÑEÀ 4: Söû duïng GTLN, GTNN cuûa haøm soá trong PT, HPT, BPT

Giaû söû f(x) laø moät haøm soá lieân tuïc treân mieàn D vaø coù min();max( ) . Khi ñoù: fxmfx M= =

a 1) Heä phöông trình coù nghieäm (cid:219) m £ a £ M.

a 2) Heä baát phöông trình coù nghieäm (cid:219) M ‡ a.

b 3) Heä baát phöông trình coù nghieäm (cid:219) m £ b. (cid:236) ( ) f x = (cid:237) x D ˛(cid:238) (cid:236) f x ( ) ‡ (cid:237) x D ˛(cid:238) (cid:236) ( ) f x £ (cid:237) x D ˛(cid:238)

Trang 13

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

4) Baát phöông trình f(x) ‡ a ñuùng vôùi moïi x (cid:219) m ‡ a. 5) Baát phöông trình f(x) £ b ñuùng vôùi moïi x (cid:219) M £ b.

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:

5 ) =

a) 4 x x 2 b) 356 2 x c) 5 x x 24 -+- = += + (1 +- 1 16

Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:

22 ++ =

a) xx m 1 xxxx b) 22(2)(2 -++--+ m ) =

xxxx c) 36(3)(6 ++--+- m ) = xxxx d) 72(7)(2 -++--+ m ) =

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x ˛ R:

22 ++ >

4 4 mxx m-+

xx m 1 9 c) 0 a) mxx m+< + ‡

m 0 . b) 221 -+-+ <

Baøi 4. Cho baát phöông trình: 3 xxx a) Tìm m ñeå baát phöông trình coù nghieäm thuoäc [0; 2]. b) Tìm m ñeå baát phöông trình thoaû moïi x thuoäc [0; 2]. Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau:

a) mxx 1 coù nghieäm. b) mxm x (2) 1 --£ 3 m + +-‡ + coù nghieäm x ˛ [0; 2].

2 mxxx (1)

2 1

c) x-+£+ + nghieäm ñuùng vôùi moïi x ˛ [0; 1].

Trang 14

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

IV. ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ

1. Ñònh nghóa:

)

( Uxf x ;( 0

Ñieåm ñgl ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) neáu toàn taïi moät khoaûng (a; ) 0

b) chöùa ñieåm x 0 sao cho treân moät trong hai khoaûng (a; x 0) vaø (x 0; b) tieáp tuyeán cuûa ñoà thò taïi ñieåm U naèm phía treân ñoà thò coøn treân khoaûng kia tieáp tuyeán naèm phía döôùi ñoà thò

2. Tính chaát:

( Uxf x ;( 0

laø moät ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá. • Neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp hai treân moät khoaûng chöùa ñieåm x 0, f¢¢(x0) = 0 vaø ) f¢¢(x) ñoåi daáu khi x ñi qua x0 thì ) 0

y =++ axbxcx d + (a „ 0) luoân coù moät ñieåm uoán vaø ñoù

• Ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò.

Baøi 1. Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

263 x +

3 =--

239 x +

26 +

3 =-+ 4

a) yxx 2 b) yxx 9 c) yx x 3 =-

5 353

22 x +

43 =-+

d) y 3 e) yxx f) yxx 2 124810 x + =-+ x - x =- 4

Baøi 2. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa haøm soá sau coù ñieåm uoán ñöôïc chæ ra:

3 =-++

2333 xmx m 4 +

a) yx ; I(1; 2). b) ; I(1; 3) (1)(3) x - x ymxm =-+-++ 3 8 3

2 1

3 yxmxnx =-+

c) ; I(1; 4) d) 2 ; I ymxnx=+ + - ; 3 - 2 3 (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

3 ymxmx=+

3 2 ; I(1; 0) f) 4 ; I(–1; 2) ymx e) - 3 + x =-+ m

Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán:

3 1

4 xmx -

2 xmx + 2

5 x =-+++ 5

1 - a) x (43)5 b) y y = 4 3 x 1 +

Baøi 4. Chöùng minh ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán thaúng haøng:

1 x 1 + + 2 x 3 x - b) y c) y a) y = = = x 2 2 2 x 1 1

x 2 x + + 1 + x 2 x 5 + y d) e) y f) y = = = x 2 1 + x 2 + 2 x 1

x x x 3 x 1 + 2 x - h) y i) y g) y = = = + x 2 1 + 2 3 + 2 x 2 2 x 1 x x 5 3 x x + x - + 3 x 2 4 - + + - 3 Baøi 5. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

coù hai ñieåm uoán thaúng haøng vôùi ñieåm A(1; –2). 1 a)

2 +

y b) coù ñieåm uoán ôû treân ñöôøng thaúng 2 x= + . 2 3

2 n

4 xmx +

2262 43 yxxxmx m - =--++ 3 x yxmx=--+ 3 1 =-+ 4

y c) coù ñieåm uoán ôû treân Ox.

Trang 15

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

V. ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ

1. Ñònh nghóa:

x ñgl ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá y f x ( ) neáu ít • Ñöôøng thaúng x= =

nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: f x f x f x f x =-¥ ; =+¥ ; =+¥ ; =-¥ lim( ) +ﬁ x 0 lim( ) +ﬁ x 0 lim( ) -ﬁ x 0 lim( ) -ﬁ x 0

y ñgl ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá y f x ( ) neáu ít • Ñöôøng thaúng y= =

nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: ; y = y = lim( ) fx ﬁ+¥ lim( ) fx ﬁ-¥

0 y ñgl ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá y f x ( ) , axb a „ =+ =

• Ñöôøng thaúng neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn:

]

[ lim()() ﬁ+¥

[ lim()() ﬁ-¥

; 0 fxax b -+ = 0 fxax b -+ =

2. Chuù yù:

a) Neáu ( ) laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû. yf x = = ( ) P x Q x ( )

x . x= • Neáu Q(x) = 0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng

• Neáu baäc(P(x)) £ baäc(Q(x)) thì ñoà thò coù tieäm caän ngang. • Neáu baäc(P(x)) = baäc(Q(x)) + 1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân.

b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc sau:

[

]

- f x ( ) abfxax lim;lim( ) == x x ﬁ+¥ﬁ+¥

[

]

hoaëc - ( ) f x lim;lim( ) abfxax == x x ﬁ-¥ﬁ-¥

Baøi 1. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

a) y b) y c) y = = = 3 x 10 + 1 2 x -

x 3 3 x 2 + 2 x - 274 x + + y e) y f) y d) = = = x x 2 5 - 1 x - 2 4 x - x 1 + x (2) - 1 - x 5 + 2 3 x -

Baøi 2. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

2 + x x 5 + a) y y b) y c) = = = x 2 4 + 2

- 3 9 x 1 x x 2 4 x x - 2 x 23 3 + 5 + x + d) y e) y f) y = = = x x + + 2 x 1 - x 4 - + 3 x 1 1 x 1 x x + + + -

Baøi 3. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

2 4 -

4 x 2 1 + y x x b) y c) y a) = = = x 9 x 4 x 3 - - +

Trang 16

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

2 3 x - x 2 -

x 2 + y d) y x e) y 3 x x f) = = = - x x 1 1 - +

2 x ln(56) +

e 1 2 + a) c) yx y b) ln y = =- =

Baøi 4. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: x -- e 2

2 1 -

Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng:

2 xm 32(1)

3 x 3 2 x + + a) c) y y b) y = = = xx m 22 xmx m 1 2 x 4 ++ - ++ + ++ -

Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù tieäm caän xieân: 2

1 3 a) y b) y = = xmx m (32)2 +++ x 5 - + mxmx m (21) +++ + 2 x +

Baøi 7. Tính dieän tích cuûa tam giaùc taïo bôûi tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau chaén

treân hai truïc toaï ñoä:

23 x -+ - x +

23 x x + + 1 x -

4 x 7 1 b) y c) y a) y = = = x 2 x + - 3 x -

Baøi 8. Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam

giaùc coù dieän tích S ñaõ chæ ra:

3 1 - ; S = 8 b) y ; S = 8 y a) = = xmx m (21)2 +-- x 1

2 xmx + x 1 - 222(21)4 xmx +++

22 xmx + x

+ + 2 - ; S = 16 d) y ; S = 4 c) y = = 1 m x 1 - 5 - +

Baøi 9. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñoà thò cuûa caùc haøm

soá ñeán hai tieäm caän baèng moät haèng soá:

225 x

x 1 x 7 - a) y b) y c) y = = = x - + 1 x - 4 x + x 3 + x + - 3 x -

Trang 17

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

VI. KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

– Tính y¢¢. – Tìm caùc ñieåm taïi ñoù y¢¢ = 0 vaø xeùt daáu y¢¢.

1. Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá

• Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. • Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: + Tính y¢. + Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y¢ baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. + Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù). + Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá. • Veõ ñoà thò cuûa haøm soá: + Tìm ñieåm uoán cuûa ñoà thò (ñoái vôùi haøm soá baäc ba vaø haøm soá truøng phöông). + Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. + Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå veõ chính xaùc hôn. + Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò.

2 3 yaxbxcxd a „ =+++

2. Haøm soá baäc ba y (0) :

• Taäp xaùc ñònh R = R. • Ñoà thò luoân coù moät ñieåm uoán vaø nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. • Caùc daïng ñoà thò:

a > 0 y a < 0 y

y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät (cid:219) D’ = b2 – 3ac > 0

I

0 x

y

y’ = 0 coù nghieäm keùp (cid:219) D’ = b2 – 3ac = 0

I

x

0 x

0 I

y

y’ = 0 voâ nghieäm (cid:219) D’ = b2 – 3ac < 0

I

0 x

Trang 18

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

2 „

3. Haøm soá truøng phöông (0) : yaxbxc a =++

• Taäp xaùc ñònh D = R. • Ñoà thò luoân nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng. • Caùc daïng ñoà thò:

a > 0 a < 0 y

y

0 x

y’ = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät (cid:219) ab < 0

0 x

y

0 x

y’ = 0 chæ coù 1 nghieäm (cid:219) ab > 0

4. Haøm soá nhaát bieán (0,0) :

R \ . • Taäp xaùc ñònh D = d c ax b + ycadbc „ =„- cx d + (cid:236) -(cid:237) (cid:238) (cid:252) (cid:253) (cid:254)

x y • Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø = - vaø moät tieäm caän ngang laø = . Giao ñieåm a c d c

cuûa hai tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá. • Caùc daïng ñoà thò:

y

0 x

ad – bc > 0

ad – bc < 0

: 5. Haøm soá höõu tyû y aatöûkhoângchiaheátchomaãu (.'0, ) = „ + '

2 c axbx + ax b ' + (cid:236) -(cid:237) (cid:238)

R \ . • Taäp xaùc ñònh D = b a ' ' (cid:252) (cid:253) (cid:254)

x vaø moät tieäm caän xieân. Giao ñieåm cuûa hai • Ñoà thò coù moät tieäm caän ñöùng laø = - b a ' '

tieäm caän laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò haøm soá.

Trang 19

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

• Caùc daïng ñoà thò:

a.a¢ > 0 a.a¢ < 0

y

y¢ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät

0 x

y

y¢ = voâ nghieäm

0 x

Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

3 x

3 xx =--

239 x +

3 =++

233 x +

23 -

a) y 1 b) yxx c) yx 2 5 =-+

2 -

3 =---

234 +

e) y d) y x (1)(4 ) x f) yxx x 2 x + =- x =- 3 1 3

Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

22 -

24 +

a) yx x 1 b) yx x 1 c) y =- =- 3 x + x =- 2 5 2

4 x

4 x 24

2 +

22 +

d) yx x (1)(1) e) yx 2 f) yx 8 =- =-+ =-+ +

Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

a) y b) y c) y = = = x x 1 2 3 x x 4 + + x 1 2 + 1 x - - -

d) y e) y f) y = = = x x 1 2 - 1 2 + 1 x 3 - 3 x - x 2 - x 2 1 +

Baøi 4. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

x x x 1 2 2 a) y b) y c) y = = = x + + 1 x + x + + 1 x - 2 x x y e) y f) y d) x 1 =-+ + = = x 1 1 x 1 - x - x + - x 1 + 2 2 - x 1 +

Baøi 5. Veõ ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

3 x

23 -

22 -

a) yx 2 b) yx 2 c) yx x 3 =- 3 x + =-+ =-

2 3 + x +

x 3 x 2 y f) d) y e) y = = = x x 1 1 x + 2 + - - x + 1 x -

Trang 20

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

VII. MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät 2. Ñoà thò haøm soá baäc ba (0) 1. SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 1. Cho hai ñoà thò (C 1): y = f(x) vaø (C 2): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C 1) vaø (C2) ta giaûi phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm). Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò. 2 3 yaxbxcxd a „ =+++

2 axbxcx d +++ =

0 coù 3 nghieäm phaân bieät. (cid:219) Phöông trình

y coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø (cid:219) Haøm soá =++ axbxcx d + < . 0 y y . CÑCT

Baøi 1. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau:

34 x x =- +

x y 3 - x 3 2 c) a) b) 3 - 2 (cid:236) = y (cid:237) y (cid:238) 4 - 1 - 2 x 4 2 + (cid:236) 2 x y =(cid:239) x (cid:237) (cid:239) =-+ yx (cid:238) x 2 1 2 (cid:236) x =-+ (cid:239)(cid:239) 2 (cid:237) (cid:239) = + y (cid:239)(cid:238)

2 x 510 - 1

4 x 2 x

1 5 d) e) f) 5 + - (cid:236)(cid:239) =- yx (cid:237) 4 y = (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) =-+ 3 yxx (cid:237) 2 yx x =- + (cid:239)(cid:238) 1

(cid:236) x (cid:239) = y (cid:237) 1 x - (cid:239) =- 3 x y + (cid:238) Baøi 2. Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau:

3 3 x + (2) -

2 x y = - + 2 3 x + x 3 b) a) c) (cid:236) =- yx (cid:237) ym x = (cid:238) x 3 (3) - (cid:236) (cid:239) =- y (cid:237) (cid:239) = ym x (cid:238) x 2 (cid:246) 113 (cid:247) 212 ł (cid:230) +(cid:231) Ł (cid:236) (cid:239)(cid:239) (cid:237) (cid:239) =+ ym x (cid:239) (cid:238)

2 6 - x +

x 3 + e) f) d) x 2 x 2 1 + 2 x + x m 2 + (cid:236) 1 x + (cid:239) = y (cid:237) 1 x - (cid:239) =- x m y 2 + (cid:238) (cid:236) (cid:239) = y (cid:237) (cid:239) = y (cid:238) (cid:236) (cid:239) = y (cid:237) (cid:239) = - yx m (cid:238)

2 3 - x - 4 m -

3 x + 1 x y h) g) i) 1 x 1 - x 2 x - (cid:236)(cid:239) =+ + 3 x y 2 (cid:237) 2 ym x (1) = (cid:239)(cid:238) 3 + 1 (cid:236) (cid:239) =-+ + 3 (cid:237) (cid:239) = ymx (cid:238) (cid:236) (cid:239) = y (cid:237) (cid:239) =- ymx (cid:238)

- ymx a) 1 y ; caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. ==

Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: 2 1 + 2 +

+ caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät. b) y ; yx m 2 ==

c) ; 2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. yymx == (2) x + x 22 3 xx m - + x 1 - 2 mxx m + + + 1 x -

5 + d) ; 2 caét nhau taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä traùi daáu. x yymx == + x 4 + + x 2 2 caét nhau taïi hai ñieåm thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau. y ymx ; 3 e) == + x (2) x - 1 -

Trang 21

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

3 yxxmxmy

caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông. y f) =

a) 2 x caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät.

2 mxx m + + 1 x - Baøi 4. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: 232; =+++=- +

3 y mxmxm x =+--

2 3(12) -

b) 1 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät.

2 -

c) caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm phaân bieät. yxxmx m (1)(3) =--+

d) yxxxmyx 2 caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. x 2221;2 =+-+-=- +

322 yxxmxmy =+-+=

caét nhau taïi ba ñieåm phaân bieät. 1 e) x +

4 =--

y caét nhau taïi boán ñieåm phaân bieät. a)

42 =-+

xmmx m b) y caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät.

42 xmxm =--+

c) m 3 y caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm phaân bieät. 23;2 Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò caùc haøm soá: 221; xxy m = 3(1) + 2 (23) -

Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá:

; a) yx 2 m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn y

yx m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tìm m ñeå ñoaïn y ; b) x 3 1 + == + 4 x - AB ngaén nhaát. x 4 1 - ==- + x 2 -

AB ngaén nhaát.

2 2 x - ==+ - x - AB theo m.

4 ymx ;2 2 m caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù tính y c) x + 2

Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá: 2

8 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp xmxmx 36 -

4 caét nhau taïi ba ñieåm A, B, C vôùi B laø trung ñieåm y

3 y a) =-+ soá coäng. 2391; 3 b) xxxyx m + =--+= cuûa ñoaïn AC. 2 xmx m (24) +

caét truïc hoaønh taïi boán ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh moät caáp y

42 c) =-+ soá coäng. 3 yxmxmx m -+--+

caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp (1)(1)2 = -

3 3(22)9192 yxmxmx e) + =+++ moät caáp soá nhaân.

d) 1 thaønh moät caáp soá nhaân. 2 caét truïc hoaønh taïi ba ñieåm coù hoaønh ñoä laäp thaønh

Trang 22

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

f(x) = g(x) (1)

Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) Nghieäm cuûa phöông trình (1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x)

2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ • Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình: • Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 () baèng ñoà thò ta bieán ñoåi () veà

moät trong caùc daïng sau:

(1)

m

A

yCÑ

(C) c.(d) : y = m c.

(C): y = f(x) d: y = m

xA

yCT

(2) giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: • d laø ñöôøng thaúng cuøng phöông vôùi truïc hoaønh. • Döïa vaøo ñoà thò (C) ta bieän luaän soá giao ñieåm cuûa (C) vaø d. Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa (1) F(x, m) = 0 (cid:219) f(x) = g(m)

y

d1

b1

y = kx d c.

(k: khoâng ñoåi) Thöïc hieän töông töï nhö treân, coù theå ñaët g(m) = k. Bieän luaän theo k, sau ñoù bieän luaän theo m. F(x, m) = 0 (cid:219) f(x) = kx + m (3)

d2

M1

O

(C): y = f(x) d: y = kx + m

x

M2

m

(C)

A

b2

giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: • Vì d coù heä soá goùc k khoâng ñoåi neân d cuøng phöông vôùi ñöôøng thaúng y = kx vaø caét truïc tung taïi ñieåm A(0; m). • Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … cuûa (C) coù heä soá goùc k. • Döïa vaøo caùc tung ñoä goác b, b1, b2, … cuûa d, d1, d2, … ñeå bieän luaän.

F(x, m) = 0 (cid:219) f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

m = +¥

y

d3

m > 0

(+)

d

(C) c.

M

M1

y0

d1

m = 0

(–)

m < 0

M2

0 x

x0

d2

m = –¥

Daïng 1: F(x, m) = 0 (cid:219) f(x) = m Khi ñoù (1) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä Daïng 2: Daïng 3: Khi ñoù (3) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä Daïng 4: Khi ñoù (4) coù theå xem laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: (C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0 • d quay quanh ñieåm coá ñònh M0(x0; y0). • Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán d1, d2, … cuûa (C) ñi qua M0. • Cho d quay quanh ñieåm M0 ñeå bieän luaän. Chuù yù:

• Neáu F(x, m) = 0 coù nghieäm thoaû ñieàu kieän: a £ x £ b thì ta chæ veõ ñoà thò (C): y = f(x) vôùi a £ x £ b. • Neáu coù ñaët aån soá phuï thì ta tìm ñieàu kieän cuûa aån soá phuï, sau ñoù bieän luaän theo m.

Trang 23

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

VAÁN ÑEÀ 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò

Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 (*) ta bieán ñoåi (*) veà moät trong caùc

daïng nhö treân, trong ñoù löu yù y = f(x) laø haøm soá ñaõ khaûo saùt vaø veõ ñoà thò.

Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo

m soá nghieäm cuûa phöông trình:

3 31;31 0

3 yxxxx =-+-+-

3 =-+--++ =

a) 0 b) yxxxx m 31;31 m =

3 0

d) yxxxx m c) 0 31;34 =-+--++ =

424 2 yxxxx m 22;22 =-+--+ =

24 22;442 m =

33 m 31;322 yxxxxm =-+---- = 4 x =-++--+ 2

f) 0 yxxx 0 e)

Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo

m soá nghieäm cuûa phöông trình:

2 0

7 ;(5)37 a)

2 x x 5 + - yxmx m =-+++ = x 3 - 2 2 x x 24 + - yxmx m =-+-+ = 3 2 x +

b) ;22(2)32 0

2 1 + x ;(1)21 0 =-+- = x 2

x ymx c)

2 ;2(1)4(1)

4 x yxmx 0 d) x 2 + - m =-+++ = 2 4 x -

Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo

m soá nghieäm cuûa phöông trình:

ym m ;2sin2cos20(0 a) £ ) aaa p

ym m ) b) ;cos2(3)cos210(0 £ aaa p

x ym m ) c) 3 ;cos(3)cos320(0 £ aaa p 3 +

d) yxxxx 0 x 2 =+--=£ x 2 1 - 22 x x 3 - =-+++=£ x 2 - 2 x + + =+-+-=£ 2 x 323 =-+-+- 36;cos3cos6 m =

Baøi 4. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo

m soá nghieäm cuûa phöông trình:

a) 7 m ym ;2(37)2 5

b) ym 1 m ;2(1)2 1

2 5 x x + - + =++= 3 x - 2 x x + - - =+-= x 1 - 2 25 x - yeme =-+++ x

c) ;2(5)4 0 4 x + m = 1 -

2 5 x x yem e =-++ = x

4 - + d) ;(5)4 0 t 2

Baøi 5. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Töø ñoà thò (C) haõy suy ra ñoà thò

(T). Duøng ñoà thò (T) bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:

22 x 36363 xxxxx -+-+- 0 = 11 xx --

6 + a) CyTy ():;():;2 m ==- x 1 -

Trang 24

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

22 54545 x xxxxx -+-+- 0 ==-+ = xx

32323

4 + m CyTy ():;():;2 b) x

2 m

c) CyxxTyxxxx ():36;():36;363 0 =-+=-+-+-+ =

322 CyxxxTyxxxxxx m ():29124;():29124;2912 =-+-=-+--++

222

0 d) =

2 1 x + x CyTymx ():;():;(1)21 0 ==-+- = x

e) ) ():(1)(2);():(1)2;(1)2(1)(2 m CyxxTyxxxxm =+-=+-+-=+ - 2 x 1 f)

( ) .

Baøi 6. Cho haøm soá

= yf x = 2 1 + x + -

x y- 3 = . 0

23(2)2 xmx m-+++ = 0

x x a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình:

( ) .

Baøi 7. Cho haøm soá

= yf x = 1 1 + -

x y- 2 = . 0

22(1)1 0 xmx m-+++ = 2

x x a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:

Baøi 8. Cho haøm soá

( ) . = yf x = 1

2 (1)(1)1 0 mxm x ---+ =

x x - a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) ñi qua ñieåm A(0; 1). c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:

VAÁN ÑEÀ 2: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc ba baèng ñoà thò

2 axbxcx d +++ = 2 3

Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình baäc ba: 0 (a „ 0) (1)

Goïi (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá baäc ba: y fxaxbxcx d ( ) + ==++

Soá nghieäm cuûa (1) = Soá giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh

Daïng 1: Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baäc 3

• Tröôøng hôïp 1: (1) chæ coù 1 nghieäm (cid:219) (C) vaø Ox coù 1 ñieåm chung (.1 )

(cid:219) h b (.1 ) 0 Ø fkhoângcoùcöïctròh a Œ(cid:236) 2 fcoùcöïctrò Œ(cid:237) y y . < Œ(cid:238)º CÑCT

y

(C)

yCÑ

A

A x0

x2

yCT x1 o

x0

O

x

(h.1b)

(h.1a)

x

Trang 25

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

• Tröôøng hôïp 2: (1) coù ñuùng 2 nghieäm (cid:219) (C) tieáp xuùc vôùi Ox

(.2) h (cid:219) 0 2 fcoùcöïctrò . y y = CÑCT (cid:236) (cid:237) (cid:238)

y

(C)

yCÑ

(H.2)

yCÑ x2

A

o

B

C x"0

x0

x1

x

B x'0 yCÑ

A x0 o

x1

x'0

x

(H.3)

(yCT = f(x0) = 0)

• Tröôøng hôïp 3: (1) coù 3 nghieäm phaân bieät (cid:219) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät

(.3) h (cid:219) 0 2 fcoùcöïctrò . y y < CÑCT (cid:236) (cid:237) (cid:238)

Daïng 2: Phöông trình baäc ba coù 3 nghieäm cuøng daáu • Tröôøng hôïp 1: (1) coù 3 nghieäm döông phaân bieät (cid:219) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông

0 (cid:219) 0 >

fcoùcöïctrò 2 y y . < CÑCT x x 0, > CÑCT afhayad .(0)0(0) < < (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239)(cid:238)

y

a < 0

a > 0

(C)

yCÑ

f(0)

yCÑ x2

x1

B

A

C

A xA

o

xC

C xC

x2

xB

xA

x1

B xB

x

yCT

f(0)

(C)

• Tröôøng hôïp 2: (1) coù 3 nghieäm coù aâm phaân bieät (cid:219) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä aâm

0 (cid:219) 0 <

2 fcoùcöïctrò y y . < CÑCT x x 0, < CÑCT .(0)0(0) afhayad > > (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239)(cid:238)

y

a > 0

a < 0

(C)

yCÑ

f(0) yCÑ

x2

x1

B

A

C

o

xA

C xC

x2

xC

xA

x1

B xB

xB

x

yCT

yCT f(0)

Trang 26

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

3 xmxmx-++- = 23(1)62

a) xxmx 0 0 -+-++

233(1)13 m = 263(4)48 0 m

3 2 236(1)312 xmxmx m 0 -+--+

c) = ---+- =

Baøi 1. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 1 nghieäm: b) 3 d) 3 xxmx f) 3 32

3 xmxmx 23(1)6(2)2

2 m =

e) 0 0 +-+-+- xmx m-+ =

Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau chæ coù 2 nghieäm:

2 -+--++- =

xmxmmxm m (1)(232)2(21) 0 0 xmx m-+ =

2 -+++-+ =

a) 32 c) 3 xmxmx m (21)(31)(1) 0 xxmx d) 3 b) 3 32 233(1)13 m 0 =

-+-++ Baøi 3. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät:

2 0

263(4)48 0 m

a) 322 b) 3 33(1)(1) xmxmx m -+--- = ---+- =

3 xmxmx 23(1)6(2)2

2 m =

0 c) 0 d) xx m-+ = +-+-+- xxmx 31 3

Baøi 4. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm döông phaân bieät: 263(4)48 0 m

2 0

b) 3 xxmx 33(1)(1) xmxmx m -+--- = ---+- =

3 xxx m-+++ = 4

2 -++-- =

c) 0 d) 3 xmxmx m (21)2 0 a) 322 15 32 7 6

Baøi 5. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 3 nghieäm aâm phaân bieät:

2 0

2 m =

3 23(1)6(2)2 xmxmx +-+-+- 239 xxx m+-+

a) c) 3 0 b) 322 d) 3 0 = 33(1)(1) xmxmx m -+--- = 2 182 = xxmx m -+-

Trang 27

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

3. SÖÏ TIEÁP XUÙC CUÛA HAI ÑÖÔØNG. TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑÖÔØNG CONG. 1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x

0 laø heä soá goùc

cuûa tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm . )

0;( )

) laø:

)

( Mxf x 00 ( Mxf x 00

0;(

Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm

y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)

2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C 1): y = f(x) vaø (C 2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình sau coù nghieäm:

(*) ()( ) fxg x = fxg x '()'( ) = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

2axbxcpx q ++=

Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù. 3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì coù nghieäm keùp. +

(C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau (cid:219) phöông trình

VAÁN ÑEÀ 1: Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C): y = f(x)

)

( Mx y 0; 00

: Baøi toaùn 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C): y =f(x) taïi ñieåm

• Neáu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Neáu cho y0 thì tìm x0 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = y0. • Tính y¢ = f¢ (x0). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0). • Phöông trình tieáp tuyeán D laø: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)

Baøi toaùn 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C): y =f(x), bieát D coù heä soá goùc k cho tröôùc. Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. • Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Tính f¢ (x0). • D coù heä soá goùc k (cid:222) f¢ (x0) = k (1) • Giaûi phöông trình (1), tìm ñöôïc x0 vaø tính y0 = f(x0). Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D. Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. • Phöông trình ñöôøng thaúng D coù daïng: y = kx + m. • D tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm:

+ (*) fxkx m ( ) = k '( ) fx = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

• Giaûi heä (*), tìm ñöôïc m. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D. Chuù yù: Heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán D coù theå ñöôïc cho giaùn tieáp nhö sau: + D taïo vôùi chieàu döông truïc hoaønh goùc a thì k = tana + D song song vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b thì k = a

+ D vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b (a „ 0) thì k = 1 - a

tan + D taïo vôùi ñöôøng thaúng d: y = ax + b moät goùc a thì = a k a - ka 1 +

A x (; . Baøi toaùn 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C): y = f(x), bieát D ñi qua ñieåm y )A

A x (; (2) Caùch 1: Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm. • Goïi M(x0; y0) laø tieáp ñieåm. Khi ñoù: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0). • Phöông trình tieáp tuyeán D taïi M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) • D ñi qua neân: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0) y )A

• Giaûi phöông trình (2), tìm ñöôïc x0. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D.

Trang 28

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

A x (; Caùch 2: Duøng ñieàu kieän tieáp xuùc. • Phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua vaø coù heä soá goùc k: y – yA = k(x – xA) y )A

y ) • D tieáp xuùc vôùi (C) khi vaø chæ khi heä phöông trình sau coù nghieäm: + (*) ()( fxkxx fx '( ) =- k = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

• Giaûi heä (*), tìm ñöôïc x (suy ra k). Töø ñoù vieát phöông trình tieáp tuyeán D.

Baøi 6. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:

3 xx 37

22 +

a) (C): y 1 taïi A(0; 1) b) (C): yx x 1 taïi B(1; 0) =- - x + =-

c) (C): y taïi C(1; –7) d) (C): y taïi D(0; 3) = x 1 =+ - 2 1 3 2 x x 4 3 2 x - + -

Baøi 7. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra:

3 x + a) (C): y = taïi ñieåm A coù xA = 4 x 2

b) (C): y = taïi ñieåm B coù yB = 4

2 3 - x - 3(2) x - x 1 - x 1 + x 2 -

c) (C): y taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh, truïc tung. =

d) (C): yx 22 taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh, truïc tung. =- 1 +

e) (C): y x 1 taïi ñieåm uoán cuûa (C). x =- x 3 3 +

4 x

taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh. yx f) (C): 2 - 1 =- 4 9 4

Baøi 8. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng ñöôïc chæ

3 239

ra:

4 yxx vaø d: a) (C): y x - =-+ x= 7

3 239

b) (C): vaø (P): yxx 4 3 . y x =-+ =-+ x -

3 239

vaø (C’): c) (C): yxx 4 . 7 y =-+ x -

4 + . 2 8 x - 246 3 x xx - =-+ Baøi 9. Tính dieän tích tam giaùc chaén hai truïc toaï ñoä bôûi tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm

a) (C): y = taïi ñieåm A coù xA = 2 .

yx b) (C): ñöôïc chæ ra: 511 x + 3 x 2 - 2 726 x + =- taïi ñieåm B coù xB = 2.

Baøi 10. Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra chaén hai truïc toaï ñoä moät

tam giaùc coù dieän tích baèng S cho tröôùc:

2 a) (C): y . = taïi ñieåm A coù xA = 2 vaø S = 1 2

b) (C): y . = taïi ñieåm B coù xB = –1 vaø S = 9 2

c) (C): x m + x 1 - 3 x m - 2 x + 3 1(1) + yxm x=+- taïi ñieåm C coù xC = 0 vaø S = 8.

Baøi 11. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D coù heä soá goùc k ñöôïc chæ ra:

3 x

a) (C): yx 22 5 ; k = 12 b) (C): y ; k = –3 =- + = x 1 2 - 2 x -

Trang 29

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

2 4 x +

2 3 x + - 1 x -

x 4 y ; k = –1 d) (C): c) (C): yx 3 ; k = 2 = =-

Baøi 12. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D song song vôùi ñöôøng thaúng d cho

tröôùc:

223 x +

1 a) (C): y x ; d: y = 3x + 2 b) (C): y ; d: y = =- + 2 x 3 4 1 x 2 - 2 x -

4 x

3 x =-+ 3 2 2 x - - 6 x 4 +

x 3 c) (C): y ; d: 25 0x d) (C): yx ; d: y = –4x + 1 = y+- = 3 + 1 =- 2 3 2

Baøi 13. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho

tröôùc:

223 x +

3 x =-+ 3 2 3 x + x 1 +

a) (C): y 1 x ; d: b) (C): y ; d: y = x= x y =- + 2 8 1 x 2 - x 2 - 2 x 1 c) (C): y ; d: y = –3x d) (C): y ; d: x – 2 = = x + - 2 x +

Baøi 14. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D taïo vôùi chieàu döông truïc Ox goùc a:

2 24;60 =

2 24;75 =

3 x x =-+- 3

a) (C): yx yx b) (C): a a

3 x x =-+- 3 3 x x

C y ():;45 c) = = a 2 - 1 -

Baøi 15. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D taïo vôùi ñöôøng thaúng d moät goùc a:

a) (C): = a

2 24;:3;30 x =

b) (C): a 1 2

Cydy ():;:3;45 c) = a

Cydy ():;:;60 d) a

3 x x 24;:37;45 yxxdy =-+-=+ 3 3 x yxxdy =-+-=-+ 3 4 3 x - x == 1 x - 7 3 x - x = ==- 2 5 x + - 2 x x - + x ==-+ x 2 -

Cydy ():;:1;60 e) 3 = a

Baøi 16. Tìm m ñeå tieáp tuyeán D cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d

2 xmx

cho tröôùc:

y a) (C): = taïi ñieåm A coù xA = 0 vaø d laø tieäm caän xieân cuûa (C). 2 1 m (21) ++- + x +

22 xmx + x -

1 - b) (C): y = ; taïi ñieåm B coù xB = 4 vaø d: x – 12y + 1 = 0 . 3

Baøi 17. Tìm m ñeå tieáp tuyeán D cuûa (C) taïi ñieåm ñöôïc chæ ra song song vôùi ñöôøng thaúng d

cho tröôùc:

(31) +- a) (C): y . y m (0) 10 x= - = „ taïi ñieåm A coù yA = 0 vaø d: mxm m + x m +

Baøi 18. Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C), bieát D ñi qua ñieåm ñöôïc chæ ra:

3 3 +

3 3 x -

y x ; B(1; –6) a) (C): yx 2 ; A(2; –4) b) (C): 1 x =- =-+

Trang 30

(

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

4 x

2 D 0; c) (C): y x ; C(0; 4) d) (C): yx ; = - 3 + 3 2 3 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

e) (C): y ; E(–6; 5) f) (C): y ; F(2; 3) = = x x 1 =- 2 3 x x 4 + 1 -

x 3 x 2 + g) (C): y ; G(1; 0) h) y ; H(2; 2) = = x 2 2 + 2 - 2 3 - x - x - + 1 x -

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå hai ñöôøng tieáp xuùc 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C 1): y = f(x) vaø (C 2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình sau coù nghieäm:

(*) fxg x ()( ) = '()'( ) fxg x = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù.

2axbxcpx q ++=

2. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì coù nghieäm keùp. + (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau (cid:219) phöông trình

3 2 CyxmxmxCtruïchoaønh ():(3)2;() : =+++

Baøi 1. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau: a) +

3 CyxxmxmCtruïchoaønh ():2(1);() : =---

2 +

c) CyxmxCy ():(1)1;(): x 1 =+++= +

2 =++-= +

d) CyxxxCyx m ():221;() :

Baøi 2. Tìm m ñeå hai ñöôøng (C1), (C2) tieáp xuùc nhau: +

42 2 =++=

CyxxCymx m ():21;(): 1

42 CyxxCyx m ():1;() : =-+-=- 1

b) +

2 9 4

c) + 1 42 CyxxCyx m ():2;() : =-++=- 1 4

22 2

d) CyxxCyx m ():(1)(1);(): =+-= +

e) (21) x = = CyCy ():;() : 1

f) x == mx m - - 1 x - 2 x 1 - + CyCyx m ():;() : + 1 1 x -

VAÁN ÑEÀ 3: Laäp phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø C2): y = g(x)

1. Goïi D: y = ax + b laø tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2). u laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa D vaø (C1), v laø hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa D vaø (C2). • D tieáp xuùc vôùi (C=1) vaø (C2) khi vaø chæ khi heä sau coù nghieäm:

+ ()(1) fuau b = '()(2) a fu = ()(3) gvav b = '()(4) a gv = (cid:236) (cid:239)(cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239)(cid:238)

Trang 31

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

(5) (6)

• Töø (2) vaø (4) (cid:222) f¢ (u) = g¢ (v) (cid:222) u = h(v) • Theá a töø (2) vaøo (1) (cid:222) b = j(u) • Theá (2), (5), (6) vaøo (3) (cid:222) v (cid:222) a (cid:222) u (cid:222) b. Töø ñoù vieát phöông trình cuûa D.

2. Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x 0 thì moät tieáp tuyeán chung cuûa (C 1)

vaø (C2) cuõng laø tieáp tuyeán cuûa (C1) (vaø (C2)) taïi ñieåm ñoù.

Baøi 1. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñoà thò:

2 x CyxxCyx ():56;():511 =-+=-+

a) -

b) CyxxCyx ():56;():14 x =-+=-- -

2 CyxxCyx ():56;():310 =-+=+

c) x -

neân VAÁN ÑEÀ 4: Tìm nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) sao cho taïi ñoù tieáp tuyeán cuûa (C) song song hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng d cho tröôùc • Goïi M(x0; y0) ˛ (C). D laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M. Tính f¢ (x0). (1) • Vì D // d

neân (2) hoaëc D ^ d - f¢ (x0) = f¢ (x0) = kd 1 dk

• Giaûi phöông trình (1) hoaëc (2) tìm ñöôïc x0. Töø ñoù tìm ñöôïc M(x0; y0) ˛ (C).

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d cho

tröôùc:

6 x y ; d: y a) (C): = 1 x= 3

2 3 x + + 1 x + x + + x 1 +

x 1 b) (C): y ; d laø tieäm caän xieân cuûa (C) =

x 1 y ; d laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa (C). c) (C): = x + - x 1 -

x 1 d) (C): y ; d: y = x = x - + x

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø tieáp tuyeán taïi ñoù song song vôùi ñöôøng thaúng d cho

tröôùc:

3 =++ +

x 1 ; d: y = –x y b) (C): y a) (C): yxx x 10 ; d: = x= 2 x - + x

VAÁN ÑEÀ 5: Tìm nhöõng ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 1, 2, 3, … tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x)

Giaû söû d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) ˛ d.

y +

• Phöông trình ñöôøng thaúng D qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – xM) + yM • D tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: ()()(1) fxkxx =- '()(2) k fx = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

(3)

• Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – x M).f¢ (x) + yM • Soá tieáp tuyeán cuûa (C) veõ töø M = Soá nghieäm x cuûa (3)

Trang 32

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C):

3 x=- 1

a) Cyx ():3 b) Cyx ():3 x=-+ 2 - +

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ñuùng moät tieáp tuyeán vôùi (C):

2 x a) C y () : ; d laø truïc tung b) C y () : ; d laø truïc hoaønh = =

x 3 x + c) C y () : ; d: y = 1 d) C y () : ; d: x = 1 = = x 2 x + + 1 x - 2 3 + x +

e) C y () : ; d: y = 2x + 1 = x x x 1 + 1 x - 22 x + 1 x + 3 + 1 -

Baøi 3. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ít nhaát moät tieáp tuyeán vôùi (C):

9 x 3 x + a) C y () : ; d laø truïc tung b) C y () : ; d laø truïc tung = =

2 6 x + - x 2 - + x 1 2 + x 2 -

2 3 x + x 1 + 4 + 3 -

c) C y () : ; d: x = 3 d) C y () : ; d: y = 2 = = x x 3 4

Baøi 4. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C):

2 x x 1 a) C y () : ; d laø truïc hoaønh b) C y () : ; d laø truïc tung = = x - - 1 x +

3 x + c) C y () : ; d: y = –5 = x 2 x + - x 2 + 2 3 + x +

Baøi 5. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù veõ ñöôïc ba tieáp tuyeán vôùi (C):

3 x=

a) Cyx ():3 ; d: y = 2 b) Cyx (): ; d: x = 2 x=-+ 2 - 3 -

3 x=-

c) Cyx ():3 ; d laø truïc hoaønh d) Cyx ():1212 ; d: y = –4 + x=-+ 2 +

e) Cyx (): ; d laø truïc tung Cyx ():2 e) 2 ; d laø truïc tung x=- - -

x=-+ 1 Baøi 6. Töø ñieåm A coù theå keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán vôùi (C):

3 2 =-+

2 +

a) Cyxx ():917 x ; A(–2; 5) b) Cyxxx ():234; =-+ + 14 4 3 A ; 39 3 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

3 ():235;(1;4) A Cyxx =+-

2 -

Baøi 7. Töø moät ñieåm baát kì treân ñöôøng thaúng d coù theå keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán vôùi (C):

3 x=-+ 1

3 x=

a) Cyxx ():69 ; d: x = 2 b) Cyx (): ; d: x = 2 - 3 -

VAÁN ÑEÀ 6: Tìm nhöõng ñieåm maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y = f(x) vaø 2 tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau

Goïi M(xM; yM).

y +

• Phöông trình ñöôøng thaúng D qua M coù heä soá goùc k: y = k(x – xM) + yM • D tieáp xuùc vôùi (C) khi heä sau coù nghieäm: ()()(1) fxkxx =- k fx '()(2) = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

(3)

• Theá k töø (2) vaøo (1) ta ñöôïc: f(x) = (x – x M).f¢ (x) + yM • Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) (cid:219) (3) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2. • Hai tieáp tuyeán ñoù vuoâng goùc vôùi nhau (cid:219) f¢ (x1).f¢ (x2) = –1 Töø ñoù tìm ñöôïc M.

Trang 33

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

Chuù yù: Qua M veõ ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) sao cho 2 tieáp ñieåm naèm veà hai phía vôùi truïc

hoaønh thì coùnghieämphaânbieät < (cid:236) 2 (3) (cid:237) fxf x ().() 0 (cid:238) 1

Baøi 1. Chöùng minh raèng töø ñieåm A luoân keû ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi

nhau. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán ñoù:

2 A =-+

x b) a) Cyxx ():231;0; 1 A - ():;(1;1) Cy = - 1 4 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł x + + 1 x +

2 2 x + + 1 x +

x c) 2 A d) ():;(1;0) Cy =

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng d maø töø ñoù coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán vôùi (C)

vuoâng goùc vôùi nhau:

3 x=

; d: y = –2 b) Cyx (): ; d laø truïc hoaønh a) Cyx ():3 +

x 1 1 + ; d laø truïc tung d) C y () : ; d laø truïc tung C y () : c) = = x 1 3 + 2 2 - x -

3 x=- 2 22 x x + + x 1 + 2 3 - x

x x 2 + e) C y () : ; d: x = 1 =

Baøi 3. Tìm m ñeå d caét (C) taïi hai ñieåm phaân bieät maø taïi ñoù hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng

goùc vôùi nhau:

2 xmx + x m -

8 - a) C y () : ; d: y = –1 b) C y () : ; d laø truïc hoaønh = =

2 xx m -+ - 2 x m + 2 2 xmx m - x m +

+ c) C y () : ; d laø truïc hoaønh =

Baøi 4. Tìm m ñeå töø ñieåm A keû ñöôïc 2 tieáp tuyeán vôùi (C) sao cho 2 tieáp ñieåm naèm veà hai

phía vôùi truïc hoaønh;

a) b) x ) CyA m ():;(0; = x 2 1 + -

VAÁN ÑEÀ 7: Caùc baøi toaùn khaùc veà tieáp tuyeán

Baøi 1. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän.

b) a) c) H y () : H y () : H y () : = = = x x Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. 1) Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. 2) Chöùng minh dieän tích cuûa DIAB laø moät haèng soá. 3) Tìm ñieåm M ñeå chu vi DIAB laø nhoû nhaát. 1 + 1 - x 1 2 - 1 x - x 5 4 - x 2 3 + -

Baøi 2. Cho hypebol (H) vaø ñieåm M baát kì thuoäc (H). Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tieäm caän.

Tieáp tuyeán taïi M caét 2 tieäm caän taïi A vaø B. 1) Chöùng minh M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB. 2) Chöùng minh tích caùc khoaûng caùch töø M ñeán 2 ñöôøng tieäm caän laø khoâng ñoåi. 2) Chöùng minh dieän tích cuûa DIAB laø moät haèng soá. 3) Tìm ñieåm M ñeå chu vi DIAB laø nhoû nhaát.

Trang 34

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

2 3 x - x 1 -

2 2 x + x 1 +

2 3 x + - 2 x 2 -

x 3 x 2 x 4 + + H y () : b) H y () : c) H y () : a) = = =

Baøi 3. Tìm m ñeå tieáp tuyeán taïi ñieåm M baát kì thuoäc hypebol (H) caét hai ñöôøng tieäm caän

taïo thaønh moät tam giaùc coù dieän tích baèng S:

2 a) Hy ():; 8 = = mx 3 + S x m -

Baøi 4. Tìm ñieåm M thuoäc hypebol (H) taïi ñoù tieáp tuyeán caét caùc truïc toaï ñoä taïi caùc ñieåm A,

22 x x

2 3 + x +

B sao cho DOAB vuoâng caân: 2 x 1 x x 3 + a) H y () : b) H y () : c) H y () : = = = x 2 5 + 2 +

Baøi 5. Cho (C):

y . Chöùng minh raèng treân ñöôøng thaúng d: y = 7 coù 4 ñieåm sao = x + + 1 x - 22 x x x - + 1 -

cho töø moãi ñieåm coù theå keû ñeán (C) hai tieáp tuyeán taïo vôùi nhau moät goùc 450.

Baøi 6. Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong (C) taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam

giaùc coù dieän tích S cho tröôùc:

3 1 + S ; x

x a) Cyx ():; S b) Cy (): 4 =+ = = 1 x 1 = 2

Trang 35

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

(1) M(x0; y0) ˛ (Cm) (cid:219) y0 = f(x0, m)

Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuyø theo soá nghieäm cuûa (1) ta suy ra soá ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua M. • Neáu (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M. Khi ñoù, M ñöôïc goïi laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï (Cm). • Neáu (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua M. • Neáu (1) voâ nghieäm thì khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua M.

4. HOÏ ÑOÀ THÒ Cho hoï ñöôøng (Cm): y = f(x, m) (m laø tham soá).

VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m)

(1) M(x0; y0) ˛ (Cm), "m (cid:219) y0 = f(x0, m), "m Caùch 1: • Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). • Bieán ñoåi (1) veà moät trong caùc daïng sau:

0 , "m • Daïng 2: (1) (cid:219) • Daïng 1: (1) (cid:219) Am + B = 0, "m

(2b) (2a) (cid:219) (cid:219) 0 0 (cid:236) = A (cid:237) B =(cid:238)

AmBm C++ = (cid:236) = A 0 (cid:239) B 0 =(cid:237) (cid:239) =(cid:238) C 0 • Giaûi heä (2a) hoaëc (2b) ta tìm ñöôïc toaï ñoä (x0; y0) cuûa ñieåm coá ñònh. Chuù yù: Caùc heä (2a), (2b) laø caùc heä phöông trình coù 2 aån x0, y0.

(1) y0 = f(x0, m), "m

(3)

• Goïi M(x0; y0) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) cuûa hoï (Cm). M(x0; y0) ˛ (Cm), "m (cid:219) • Ñaët F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 khoâng ñoåi. (cid:222) F¢ (m) = 0 • Giaûi (3) tìm ñöôïc x0. Thay x0 vaøo (1) tìm ñöôïc y0. Töø ñoùsuy ra ñöôïc caùc ñieåm coá ñònh.

b) 1 y mx m 1 (1)2 a) Caùch 2: Baøi 1. Tìm caùc ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñoà thò (Cm) coù phöông trình sau: 2 2(2)3 ymxmx m + =+-- =-- +

3 (1)2(2)2

2 ymxmx m (12)(31)5 - =---+

d) c) 2 ymxmxmx =+---+

3 xmxx m - =+-

d) 9 y 2 e) ymxmx=-- (2) +

4 yxmx m =+- -

1 m + 2 9 2 f) 5 g) ymxx 24 =-- 1 m +

1 - h) ym (1,2) i) y =

2 i) y y m m (0) k) = „ =„ – + 2 x m 3 - + mx m 4 (2) + + 22(2) xmx m + -++ x m 2 - x 2 m (1) - m =„-„ - x m - 2 57 xmx - mx - 3 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

2 xx 26 2 2(52) xm

m 4 + + + l) y m) y = = xmx m (1) +- 2 1 6 x xmx m 22 ++ + ++ +

Baøi 2. Chöùng minh raèng hoï ñoà thò (C m) coù 3 ñieåm coá ñònh thaúng haøng. Vieát phöông trình

ñöôøng thaúng ñi qua 3 ñieåm coá ñònh ñoù:

3 (3)3(3)(61) ymxmxmx m =+-+-++ +

a) 1

Trang 36

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

3 m (2)3(2)42

b) ymxmxx 1 =+-+-+ -

c) (4)(624)12718 ymxmxmx m - =----+

3 (1)(21) ymxmx m =+-+- +

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) ñi qua

(1) y0 = f(x0, m) voâ nghieäm m M(x0; y0) ˇ (Cm), "m (cid:219) • Goïi M(x0; y0) laø ñieåm maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua. • Bieán ñoåi (1) veà moät trong caùc daïng sau:

(2a) • Daïng 1: (1) (cid:219) Am + B = 0 voâ nghieäm m (cid:219) 0 0 (cid:236) = A (cid:237) B „(cid:238)

0 =

0 (2b) • Daïng 2: (1) (cid:219) AmBm C++ = voâ nghieäm m (cid:219)

0 < Ø(cid:236) = A B (cid:237)Œ C 0 „(cid:238)Œ (cid:236) „ A 0 Œ (cid:237)Œ 2 BAC 4 - (cid:238)º

Chuù yù: • Keát quaû laø moät taäp hôïp ñieåm.

• Nhöõng ñieåm naèm treân tieäm caän ñöùng coá ñònh cuûa haøm höõu tyû laø nhöõng ñieåm ñoà thò khoâng ñi qua.

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm trong maët phaúng maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua:

2 m 2

m 1 + y a) b) = + (2) y mxm =++ + m 2 1

2 2(1)1(0) 323

c) 2 d) ymxmxm m =+-++ „ x 1 mmm m +++ + 23 2 yxmx m =-+ -

322 ymxmxmx =--+

2 xmx

d) e) 4 6 4 m - 235 yxmxm =+-- m - 4 2 mxm (2)2 --+ f) y g) y = =

2 m 4 - x m - m 8 ++ - 1 x -

2 y i) y h) = = (31)mxm m + +- x m + 2 2 xmx m -+ + x m -

2 xm

4 2 + k) y l) y = = xmx m +- 2 (31)10 x - +- 2 x 2 x 5 3 x x 2 + + - +

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm thuoäc (L) maø khoâng coù ñoà thò naøo cuûa hoï (Cm) ñi qua: 4

322 ymxmxmx =--+

; (L) laø truïc hoaønh. 6 4 m - a) (Cm):

2 14 +

3 yxmxmx 23(3)18 =-++ 2

6 ; (L): y . + x= b) (Cm):

2 1

1 y ; (L) laø truïc tung. = c) (Cm): 1

; (L): x = 2. y = d) (Cm):

y ; (L): y = 1. = e) (Cm): xmxm m -+- + 2 mxm m ++ + 2 mxm x (1) + ++ x m + 2 2 1 m x + x

Trang 37

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

(1) M(x0; y0) ˛ (Cm) y0 = f(x0, m) VAÁN ÑEÀ 3: Tìm ñieåm maø moät soá ñoà thò cuûa hoï ñoà thò (Cm): y = f(x, m) ñi qua (cid:219) • Ta coù: • Bieán ñoåi (1) veà moät trong caùc daïng sau:

Am + B = 0 (2a) hoaëc (2b) 0 AmBm C++ =

• Soá nghieäm cuûa (2a) hoaëc (2b) theo m = Soá (Cm) ñi qua M.

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm trong maët phaúng sao cho coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua:

-+ 2 y ; k = 2. y ; k = 1. = = a) (Cm): b) (Cm): xmx m - x m - mxm m 2 + + ) 2( x m +

m ; k = 1. 224 xymymxmx --+- 0 = c) (Cm):

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm thuoäc (L) sao cho coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua:

2 m

32 xmx =++

4 y ; (L): x = 2; k = 1. (1) - a) (Cm):

2 m

32 xmx =++

y 4 ; (L): x = 2; k = 2. (1) - b) (Cm):

2 m

32 xmx =++

y 4 ; (L): x = 2; k = 3. (1) - c) (Cm):

Baøi 3. Chöùng minh raèng caùc ñieåm thuoäc (L) coù ñuùng k ñoà thò cuûa hoï (Cm) ñi qua:

2 y ; (L): x > 1; k = 2. = a) (Cm):

mxmmxm m (1) -+-+- + x m - 2 y ; (L): x > 0; k = 2. = b) (Cm):

2 (1)mx m - + x m - 22 42 yxmx m + =-+

1 ; (L): y = 1; k = 1. c) (Cm):

3 yxmxmmxm m -+--++

(1)(232)2(21) ; (L): x = 1, y > –2; k = 2. = -

d) (Cm):

Trang 38

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

5. TAÄP HÔÏP ÑIEÅM Baøi toaùn: Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M(x; y) thoaû tính chaát a.

• Nhaän xeùt: Tìm taäp hôïp ñieåm M trong maët phaúng toaï ñoä laø tìm phöông trình cuûa taäp hôïp ñieåm ñoù.

Daïng 1: Tìm toaï ñoä cuûa ñieåm M.

Tröôøng hôïp 1: M ) ) 1) Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa tham soá m ñeå toàn taïi ñieåm M. 2) Tính toaï ñoä ñieåm M theo tham soá m. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: (cid:236) = xf m ( (cid:237) y g m ( =(cid:238)

Khöû tham soá m giöõa x vaø y, ta coù moät heä thöùc giöõa x, y ñoäc laäp vôùi m coù daïng: (goïi laø phöông trình quó tích)

) Tröôøng hôïp 2: M ( ) F(x, y) = 0 (cid:236) = xahaèngsoá (cid:237) yg m ( =(cid:238)

( Tröôøng hôïp 3: M ) ) ( bhaèngsoá Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng x = a. (cid:236) = xf m (cid:237) y =(cid:238)

Khi ñoù ñieåm M naèm treân ñöôøng thaúng y = b. 3) Giôùi haïn quó tích: Döïa vaøo ñieàu kieän (neáu coù) cuûa m (ôû böôùc 1), ta tìm ñöôïc ñieàu kieän cuûa x hoaëc y ñeå toàn taïi ñieåm M(x; y). Ñoù laø giôùi haïn cuûa quó tích. 4) Keát luaän: Taäp hôïp caùc ñieåm M coù phöông trình F(x, y) = 0 (hoaëc x = a, hoaëc y = b) vôùi ñieàu kieän cuûa x hoaëc y (ôû böôùc 3).

Daïng 2: Trong tröôøng hôïp ta khoâng theå tính ñöôïc toaï ñoä cuûa ñieåm M theo tham soá m maø chæ thieát laäp ñöôïc moät heä thöùc chöùa toaï ñoä cuûa M thì ta tìm caùch khöû tham soá m trong heä thöùc ñeå tìm ñöôïc heä thöùc daïng F(x, y) = 0.

F(x, y) = 0 maø khoâng caàn tìm giôùi haïn cuûa quó tích.

Chuù yù: Neáu baøi toaùn chæ hoûi : Ñieåm M chaïy treân ñöôøng naøo thì ta chæ tìm phöông trình Baøi 1. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm ñaëc bieät cuûa hoï ñoà thò ñaõ cho.

m yxmx 4 - =--+ a) (Pm): . Tìm taäp hôïp caùc ñænh cuûa (Pm).

22(2)2 3 323 yxmxx m - =-+-

1 b) (Cm): . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm uoán cuûa (Cm).

3 23(21)6(1) xmxmm +

y x 1 =-+++ c) (Cm): . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (Cm).

m (1) y = d) (Hm): . Tìm taäp hôïp caùc taâm ñoái xöùng cuûa (Hm). - mx 1 x + 1 -

223 xmx m 5 + - x 2 -

y = . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm cöïc ñaïi cuûa (Hm). e) (Hm):

Baøi 2. Cho (C) vaø (C¢). Tìm taäp hôïp trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng.

1) Tìm m ñeå (C) vaø (C¢) caét nhau taïi hai ñieåm phaân bieät A, B. 2) Tìm taäp hôïp caùc trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB.

3 xxmx =++

23 +

22 +

a) (C): 1 y vaø (C’): yx x 7 . =+

2 yxmx=-

b) (C): 3 + vaø (C¢): y mx= + . 2

c) (C): y 0 = vaø (C¢): 2 xy m-+ = x x 1 1 - +

Trang 39

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

y d) (C): = vaø (C¢) laø ñöôøng thaúng ñi qua A(0; 3) vaø coù heä soá goùc m. x (2) x - 1 - 2 x 3 + e) (C): y vaø (C¢): y mx= + . 1 = + x 4 +

x 2 Baøi 3. Cho (C) vaø (C¢).Tìm taäp hôïp caùc ñieåm.

1) Tìm m ñeå (C) caét (C¢) taïi 3 ñieåm phaân bieät A, B, C (trong ñoù xC khoâng ñoåi). 2) Tìm taäp hôïp caùc trung ñieåm I cuûa ñoaïn thaúng AB.

23 x

a) (C): y x . = - vaø (C¢): y mx=

b) (C): y y . vaø (C¢): =- mx m 3 +

3 xx

322 2(1)(1) xmxmx m - =-+++ 26 x +

c) (C): y 9 . =- vaø (C¢): y mx=

d) (C): yx x (2)(1) =+ - vaø (C¢) laø ñöôøng thaúng ñi qua C(–2; 0) vaø coù heä soá goùc m.

Baøi 4. Cho (C). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm töø ñoù coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng

goùc vôùi nhau.

x 1 y x b) (C): y a) (C): = + = 1 x x + + 1 x +

Baøi 5.

a) Cho (C): . Tìm taäp hôïp caùc ñieåm treân truïc tung maø töø ñoù coù theå keû ñöôïc y = 2 1

23 -

. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm treân ñöôøng thaúng y = 2 maø töø ñoù x - x - tieáp tuyeán vôùi (C). 3 x 2 yx =-+

b) Cho (C): coù theå keû ñöôïc 3 tieáp tuyeán vôùi (C).

Trang 40

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

• Xeùt daáu bieåu thöùc coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. • Chia mieàn xaùc ñònh thaønh nhieàu khoaûng, trong moãi khoaûng ta boû daáu giaù trò tuyeät ñoái. • Veõ ñoà thò haøm soá töông öùng trong caùc khoaûng cuûa mieàn xaùc ñònh.

6. HAØM SOÁ COÙ CHÖÙA DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Baøi toaùn: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) vôùi f(x) coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái. Caùch 1: Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò. Caùch 2: Thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi ñoà thò.

Daïng 1: Veõ ñoà thò haøm soá f x ( ) . y =

y f x ( ) coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) Ñoà thò (C¢) cuûa haøm soá =

(

)

nhö sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû phía treân truïc hoaønh. + Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò cuûa (C) ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh. + Ñoà thò (C¢) laø hôïp cuûa hai phaàn treân.

Daïng 2: Veõ ñoà thò cuûa haøm soá . x

f ) y = ( f x y coù theå ñöôïc suy töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) =

Ñoà thò (C¢) cuûa haøm soá nhö sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) ôû beân phaûi truïc tung, boû phaàn beân traùi truïc tung. + Laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung. + Ñoà thò (C¢) laø hôïp cuûa hai phaàn treân.

Baøi 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C ¢). Duøng ñoà thò (C ¢)

3 xx

a) (C): yx 6 x yx x 6 ; m 6 (1) ; (C¢): =- =-

23 -- = 22 -- =

23 - 22 -

yx 3 ; m 3 (1) b) (C): yx 3 bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1): 23 - 22 - =- ; (C¢): =-

4 xx 225 x

x 225 x x 225 x - - - c) (C): y y ; m (1) = ; (C¢): = = + x + x + x 2 x 1 + 2 x 1 + 2 x 1 +

Trang 41

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

x x 1 1 1 x y (1) m ; y d) (C): = ; (C¢): = = x - - 2 x -

e) (C): (1) m ; y y ; (C¢): = = = x - - x 2 - x 2 2 - x 2 -

x - - 2 x - x 2 2 x 2 2 - - 2 x 2 x - - Baøi 2. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C ¢). Duøng ñoà thò (C ¢)

bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình (1):

3 2912

2 4

3 2912

2 4

3 2 2912xxx m-+

a) (C): yxx yxx x ; =-+ x - ; (C¢): =-+ - =

b) (C): y y ; (2). 0 (1) = ; (C¢): = mx m-- = 2 x 1 x - 2 x x 1 - 2 x 5 + x x 5 5 + + y c) (C): y m ; (1) = ; (C¢): = = + x x 2 4 + + x + x x 4 2 + x 4 2 +

Baøi 3. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C). Töø ñoù suy ra ñoà thò C ¢). Duøng ñoà thò (C ¢),

22 -

2 21log -- =

22 -

tìm m ñeå phöông trình (1) coù k nghieäm phaân bieät: 4 xx yx ; 1 x m ; k = 6. a) (C): yx 1 x =- ; (C¢): =-

3 xxx

2693 -+-+

26 x +

3 xx 225 x

3 xx =- 225 x

9 m 0 ; k = 6. b) (C): y 9 y = =- ; (C¢):

; 225 x - - - c) (C): ; m ; k = 4. y y = = ; (C¢): = + x + x + x 2 x 1 + 2 x 1 + 2 x 1 +

2 xm

; d) (C): y y x m 2 ; k = 8. 3 x + ; (C¢): 3 + 3 -+= x =- 2 5 2 x =- 2 5 2 x 2 5 - 2

Trang 42

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

7. ÑIEÅM ÑAËC BIEÄT TREÂN ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

coù toaï ñoä laø nhöõng soá nguyeân: y Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò haøm soá höõu tæ = VAÁN ÑEÀ 1: Tìm ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) coù toaï ñoä nguyeân P x ( ) Q x ( )

y thaønh daïng ( ) , vôùi A(x) laø ña thöùc, a laø soá nguyeân. = • Phaân tích yA x = + ( ) P x Q x ( ) a Q x ( )

(cid:219) Q(x) laø öôùc soá cuûa a. Töø ñoù ta tìm caùc giaù trò x nguyeân ñeå Q(x) laø • Khi ñoù ¢ ¢

(cid:236) ˛ x (cid:237) y ˛(cid:238) öôùc soá cuûa a. • Thöû laïi caùc giaù trò tìm ñöôïc vaø keát luaän.

Baøi 1. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân:

y b) y c) y a) = = = 2 1 x x 2 2 + - x + x + 2 x 1 x x d) y e) y f) y = = x 1 =+ + x 1 x + + 2 x + x 10 - 2 x + 2 2 + x 1 + 4 -

Baøi 2. Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá coù toaï ñoä nguyeân:

2 2(1) x +

2 +

a) y 4 b) y xyxy 24(1) x 6 xyxy =+++ =++-

VAÁN ÑEÀ 2: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng d: y = ax + b

Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua d (cid:219) d laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB • Phöông trình ñöôøng thaúng D vuoâng goùc vôùi d: y = ax = b coù daïng:

(C)

y D: =- x m +

(d)

(D)

1 a

• Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa D vaø (C):

B

f(x) = (1) - x m +

A

1 a

I

• Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå D caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. Khi ñoù xA, xB laø caùc nghieäm cuûa (1). • Tìm toaï ñoä trung ñieåm I cuûa AB. • Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua d (cid:219) I ˛ d, ta tìm ñöôïc m (cid:222) xA, xB (cid:222) yA, yB (cid:222) A, B.

B y

Chuù yù: • A, B ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh (cid:219) x y x = = -

x • A, B ñoái xöùng nhau qua truïc tung (cid:219) (cid:236) (cid:237) (cid:238) x y = - y = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

• A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y = b (cid:219) x y x y 2 b = + =

B y

2 a = • A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng x = a (cid:219) xx A y + = (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:237) (cid:238)

Trang 43

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d:

3 0 =++

Cydx ():;:26 b) a) Cyxxdx ():;:2 y =

2 x 1 x == - x 1 -

1 Cydy ():;: c) d) Cydy ():;: x 4 + y 0 =-- = x 2 - 2 x x + - 1 x == - x 1 -

Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Vieát phöông trình ñoà thò (C ¢) ñoái xöùng vôùi (C) qua

ñöôøng thaúng d:

223 x 2 Cyd x ():;: =

+ a) 2 b) Cyxxxd x=-+-= - ():35102;: = x 7 1 -

2 - c) d) Cyd y ():;: x 2 Cyd y ():;: = - x 225 x 1 == - = x + - x 2 - 3 x + x 1 -

Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d:

a) : Cymxxx mdOx ():32; =++ +

VAÁN ÑEÀ 3: Tìm caëp ñieåm treân ñoà thò (C): y = f(x) ñoái xöùng qua ñieåm I(a; b)

kxa ( . b ) =- +

I

B

A

f(x) = ( (1) kxa +

A, B. khi ñoù xA, xB laø 2 nghieäm cuûa (1). Cô sôû cuûa phöông phaùp: A, B ñoái xöùng nhau qua I (cid:219) I laø trung ñieåm cuûa AB. • Phöông trình ñöôøng thaúng d qua I(a; b), coù heä soá goùc k coù daïng: y • Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø d: b- ) • Tìm ñieäu kieän ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät • Töø ñieàu kieän: A, B ñoái xöùng qua I (cid:219) I laø trung ñieåm cuûa AB, ta tìm ñöôïc k (cid:222) xA, xB.

Chuù yù: A, B ñoái xöùng qua goác toaï ñoä O (cid:219) x y x y = - = - (cid:236) (cid:237) (cid:238)

Baøi 1. Tìm treân ñoà thò (C) cuûa haøm soá hai ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm I:

2 I

3 Cyxxx ():42;(2;4) =-+ +

x 2 Cy ():;0; a) b) = (cid:230) (cid:231) (cid:246) (cid:247) 5 2 I ł

3 CyxxxI O=--+ ():321;(0;0)

c) d) ” ” ():;(0;0) CyI O =

(

)

+ I e) e) I Cy ():;2; 5 Cy ():;(1;1) = x 3 x 2 4 1 + - x + + x 1 -Ł x 4 + x 1 + 225 1 x x - =- - x 1 +

Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm I. Vieát phöông trình ñoà thò (C¢) ñoái xöùng vôùi (C) qua ñieåm I:

3 Cyxxx ():2351;(1;2)

I a) b) ():;(1;1) Cy = =++ I + - -

x 1 (1) x x 3 xx c) I I d) ():;(2;1) Cy = ():;(2;1) Cy = x - + x 1 - 2 225 1 x + -- 3 2 x -

Baøi 3. Tìm m ñeå treân ñoà thò (C) coù moät caëp ñieåm ñoái xöùng nhau qua ñieåm:

322 CyxmxmxmI O ():33(1)1;(0;0) =-+-+-

2 ”

3 CyxmxxI O ():73;(0;0) =+++

2 ”

3 CyxmxxI O ():94;(0;0) =+++

22 xmx m 2 + x +

+ c) d) ” ():;(0;0) CyI O = ” 1

Trang 44

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

VAÁN ÑEÀ 4: Khoaûng caùch

Kieán thöùc cô baûn:

2 ) A

1) Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B: AB = y-+ - xxy ()( BAB

2) Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0; y0) ñeán ñöôøng thaúng D: ax + by + c = 0:

+ axby + 0 c 0 d(M, D) = a b +

)2 uuuruuur (

3) Dieän tích tam giaùc ABC:

S = ABACAABACABAC . ..sin. = - 1 2 1 2

Baøi 1. Cho ñoà thò (C) vaø ñieåm A. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho AM nhoû nhaát. Chöùng minh raèng khi AM nhoû nhaát thì ñöôøng thaúng AM vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M.

2 CyxA O=- ():1;(0;0)

2 A=

a) b) Cyx ():;(3;0) ”

c) Cyx ():21;(9;1) A = +

Baøi 2. Cho ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm ñieåm M treân (C) sao cho khoaûng caùch töø M

ñeán d laø nhoû nhaát.

2 x 6 ==-

2 -

5 + Cydy ():;:3 a) Cyxxxdy ():2321;:2 b) 1 x =-++= 4 x - 2 +

2 x

c) Cyxxdy ():;:2(1) d) Cydy ():;:2 =-= + + + x x 1 x + x 3 ==- 1 x -

Baøi 3. Tìm caùc ñieåm M thuoäc ñoà thò (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) vôùi k cho tröôùc.

2 x 1

1 b) Cy ():; k a) Cy ():; 1 k = = = = x x 2 2

2 x 1 + d) Cy ():; x 2 k Cy ():; k c) = = = = x + - 1 x - 2 2 x + x 1 + + - 2 x + - 2 1 x -

Baøi 4. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai

tieäm caän laø nhoû nhaát.

a) H y () : b) H y () : c) H y () : = = = 2 2

3 x x x 2 1 + H y () : e) H y () : f) H y () : d) = = = x 2 x 4 9 - x 3 - 2 3 x + x + + - 2 x + - x 3 - x 1 2 - 1 x + 2 x x - + x 2 -

Baøi 5. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho toång caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán hai truïc

toaï ñoä laø nhoû nhaát.

a) H y () : b) H y () : c) H y () : = = = 1 1 x x x 9 4 - x 3 - 2 - + 2 x 6 x 11 d) H y () : e) H y () : f) H y () : = = = x + - 3 x - x + - 1 x - x 2 1 + 2 x - 2 3 x - x 2 -

Baøi 6. Tìm caùc ñieåm M thuoäc hypebol (H) sao cho khoaûng caùch töø ñoù ñeán giao ñieåm cuûa

hai tieäm caän laø nhoû nhaát.

2 2 x + x 1 -

x 2 x + H y () : b) Hy ():; 1 x a) = 1 = > x - + x 1 -

Baøi 7. Cho hypebol (H). Tìm hai ñieåm A, B thuoäc hai nhaùnh khaùc nhau cuûa (H) sao cho ñoä

daøi AB laø nhoû nhaát.

Trang 45

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

b) H y () : c) H y () : H y () : a) = = = x x 1 1 - +

x 3 x 5 + + d) H y () : f) H y () : Hy ():2 e) = = 1 x =+ + x x 1 x x 2 3 + x 2 - 2 3 x - x 1 - 9 4 x - 3 x - 2 2 - 1 -

Baøi 8. Cho (C) vaø ñöôøng thaúng d. Tìm m ñeå d caét (C) taïi 2 ñieåm A, B sao cho ñoä daøi AB laø

nhoû nhaát.

2 6 x + x 1 +

4 - a) Hydy ():; : x k b) 0 = = = 1 1 x + Hydxy m ():;:2 =-+ x -

Trang 46

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

VIII. OÂN TAÄP KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ

2 4,

Baøi 1. Cho haøm soá: a laø tham soá. yxax=+ -

2 4

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi a = 3. b) Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá a ñeå phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát:

3 xax+- =

ÑS: b) a < 3.

3 xx =-+

269 x -

Baøi 2. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: y 1 .

b) Töø moät ñieåm baát kyø treân ñöôøng thaúng x = 2 ta keû ñöôïc bao nhieâu tieáp tuyeán tôùi ñoà thò cuûa haøm soá? ÑS:

Baøi 3. Cho haøm soá: yx =

(1) 2

b) moät tieáp tuyeán. 3 3(1) x - a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). b) Chöùng minh raèng m khi thay ñoåi, ñöôøng thaúng d cho bôûi phöông trình: y m x luoân caét ñoà thò haøm soá (1) taïi moät ñieåm A coá ñònh. Haõy xaùc ñònh caùc =+ + giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng d caét ñoà thò haøm soá (1) taïi 3 ñieåm A, B, C khaùc nhau sao cho tieáp tuyeán vôùi ñoà thò taïi B vaø C vuoâng goùc vôùi nhau.

b) A m 2 ÑS: (1;2);1 -=- + 2 3

221(1) -

Baøi 4. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: yx x =-

4 xx

b) Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình sau coù 6 nghieäm phaân bieät.

2 21log(2) -- =

254(1) +

ÑS: b) 4 < m < 16. 4 Baøi 5. Cho haøm soá: yx x =-

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. b) Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi 4 ñieåm phaân bieät. c) Tìm m sao cho ñoà thò (C) cuûa haøm soá chaén treân ñöôøng thaúng y = m ba ñoaïn thaúng coù ñoä daøi baèng nhau.

ÑS: 4 c) b) m < m = 9 -< 4 7 4

(1) Baøi 6. Cho haøm soá: + 1 yxmx=- 2 3 2

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 3.

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán ñi qua A 0; tieáp xuùc vôùi (C). 3 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

c) Xaùc ñònh m ñeå haøm soá (1) coù cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi.

b) yy ;2 2 ÑS: x + c) m £ 0. 3 ==– 2 3 2

Trang 47

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

( ) Baøi 7. Cho haøm soá: y H = 3 x x 4 + 1 -

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá. b) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, ñöôøng thaúng y = ax + 3 khoâng caét ñoà thò (H)? c) Qua ñieåm M(2 ; 3) vieát phöông trình tieáp vôùi ñoà thò (H). ÑS: c) y = –28x + 59. b) –28 < a £ 0

Baøi 8. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò y C ( ) . = x x 2 1 - -

(2 ; 0), (0 ; 2). b) Tìm taát caû nhöõng ñieåm treân ñoà thò (C) caùch ñeàu hai ñieåm A(0; 0) vaø B(2; 2). ÑS: b)

Baøi 9. Cho haøm soá: y 2( C x =- + 1 ) x

2 xmxm

b) c) M ÑS: k =- – 25. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). b) Tìm treân (C) caùc ñieåm caùch ñeàu hai truïc toïa ñoä. c) Tìm k ñeå ñöôøng thaúng y = k caét (C) taïi hai ñieåm maø taïi ñoù hai tieáp tuyeán vôùi (C) vuoâng goùc vôùi nhau. 1 1 ; 2 2 (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

(1)44 -++- y Baøi 10. Cho haøm soá: = m 2 - x m (1) - -

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò vôùi m = 2. b) Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå haøm soá xaùc ñònh vaø ñoàng bieán treân khoaûng (0 ; +¥)

ÑS: b) 3 m £ £ 23 - 7 2

2 2 x + x 1 +

x 2 + Baøi 11. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá: y . =

b) Goïi I laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò (C) vaø M laø moät ñieåm treân (C). Tieáp tuyeán taïi M vôùi (C) caét hai ñöôøng tieäm caän taïi A vaø B. Chöùng minh raèng M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB vaø dieän tích tam giaùc IAB khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M treân (C).

IABS

b) 22. ÑS: =

2 22 x x + ==+ + x 1 + a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C). b) Tìm treân ñoà thò haøm soá ñaõ cho caùc ñieåm sao cho tieáp tuyeán taïi ñoù vuoâng goùc vôùi tieäm caän xieân cuûa noù.

+ Baøi 12. Cho haøm soá: y 1 1( C x ) x 1 +

ÑS: b) 1;;1 -+-- M 1 2 (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ (cid:246) M (cid:247) ł 23223 2 ; - 222 2 1 (1) xmxmx ++- y C ( Baøi 13. Cho haøm soá: = )m + x m -

a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá öùng vôùi m = 2. b) Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm tuøy yù thuoäc ñoà thò (C) (vôùi m = 2 ôû caâu treân) tôùi hai ñöôøng tieäm caän luoân baèng moät haèng soá.

Trang 48

Traàn Só Tuøng Khaûo saùt haøm soá

c) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá ñaõ cho coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, ñoàng thôøi giaù trò cöïc ñaïi vaø giaù trò cöïc tieåu cuøng daáu.

b) c) 32332 3 ÑS: mhay m<-->- + 9 2 2

x 1 + Baøi 14. a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá: y = + x x 2 4 +

b) Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò coù khoaûng caùch ñeán ñöôøng thaúng ( D) : y + 3x + 6 = 0 laø nhoû nhaát.

. ÑS: b) ; - M 1 355 ;; 222 (cid:230)(cid:246)(cid:230) -- (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ (cid:246) 5 M (cid:247) 2 ł

22 xmx + x

2 - Baøi 15. Cho haøm soá: y vôùi m laø tham soá. = 1 -

a) Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc taïo bôûi hai truïc toïa ñoä vaø ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò cuûa haøm soá treân coù dieän tích baèng 4. b) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá treân khi m = –3. ÑS: a) m = –6 hay m = 2.

x 1 y . Baøi 16. Cho haøm soá: =

2 --+--+ =

x + + x a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá treân. b) Xaùc ñònh m sao cho phöông trình sau coù nghieäm: 43 tmttm 3(1)1 (1) 0 t

ÑS: b) . ‡ 3 mhay m£- 2 7 2

3222 yxmxmm m =-++-+

2 33(1)(1) -

Baøi 17. Cho haøm soá: (m laø tham soá)

2 k =

coù 3 nghieäm phaân bieät. 33 a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 1. 323 xxk -++-

b) Tìm k ñeå phöông trình 0 c) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1).

ÑS: k c) y b) 13;0;2;kk -<<„ „ 2 =- xm m +

2 (9)10 x +

Baøi 18. Cho haøm soá: (1) (m laø tham soá) ymxm =+-

mhay b) a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1. b) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò. 303. m ÑS: < <-<

(21) Baøi 19. Cho haøm soá: y (1) (m laø tham soá) = mx m - - 1 x -

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) öùng vôùi m = –1. b) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) vaø hai truïc toïa ñoä. c) Tìm m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá (1) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng y = x.

b) 14ln ÑS: S = + c) m „ 1. 4 3

Trang 49

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Khaûo saùt haøm soá Traàn Só Tuøng

2 mxx m + + 1 x - a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = –1. b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä döông.

Baøi 20. Cho haøm soá: y (1) (m laø tham soá) =

0. ÑS: b) m < 1 -< 2

23 3 xx m +

Baøi 21. Cho haøm soá: y (1) (m laø tham soá) =-

a) Tìm m ñeå haøm soá (1) coù hai ñieåm phaân bieät ñoái xöùng nhau qua goác toïa ñoä. b) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 2. ÑS: a) m > 0.

2 2 x + - 2 x -

x 4 y (1) Baøi 22. a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá =

b) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d m: y = mx + 2 – 2m caét ñoà thò cuûa haøm soá (1) taïi hai ñieåm phaân bieät. ÑS: b) m > 1.

2 3 x x - -+ x 2(1) -

3 y (1) Baøi 23. Cho haøm soá: =

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). b) Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y = m caét ñoà thò taïi 2 ñieåm A, B sao cho AB = 1.

5 1 ÑS: b) m . = – 2

3 x

2 x 23(1)

yx coù ñoà thò (C) Baøi 24. Cho haøm soá: + 1 =- 3

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1). b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán D cuûa (C) taïi ñieåm uoán vaø chöùng minh raèng D laø tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc nhoû nhaát.

ÑS: b) yx :;1. D k =-+= - 8 3

3 yxmx =-+

2 391(1) x +

Baøi 25. Cho haøm soá: (vôùi m laø tham soá)

a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 2. b) Tìm m ñeå ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá (1) thuoäc ñöôøng thaúng y = x + 1. ÑS: b) m = 0 hay m = 2 hay m = –2.

Trang 50

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

CHÖÔNG II HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT

I. LUYÕ THÖØA

1. Ñònh nghóa luyõ thöøa

Cô soá a Soá muõ a

(n thöøa soá a)

*Nn ˛=a 0=a

a = aaaa aa

a ˛ R 0„a = a a = 0 =

*Nnn ˛

0„a

a = - a = ( ) -=a Luyõ thöøa aa ....... 1 1 n a

*NnZm ,

m n

0>a

( ) =a ˛ ˛ a a a ( a b b a ) =a = =(cid:219)=

0>a

nra

*NnQr , n

m n lim ( ) =a ˛ ˛ a lim=a r n

2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa

. ba

ba +

ba -

• Vôùi moïi a > 0, b > 0 ta coù:

ba aa .

ba )

aa ba .

a (cid:246) =(cid:247) ł

a b a b ; 0 < a < 1 : a

a a a a ab ; ; ( ; ( ) ; = = = = a b a a a b (cid:230) (cid:231) Ł

b a b

m ab

a>(cid:219) <

m ab

m m>(cid:219) <

0 ; 0 a>(cid:219) > • a > 1 : a • Vôùi 0 < a < b ta coù: m m<(cid:219) >

Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0. + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông.

a= .

3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc • Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho nb • Vôùi a, b ‡ 0, m, n ˛ N*, p, q ˛ Z ta coù:

)

p aa

( n a=

naba b=

a ; m nmna a ; . ; (0) > = (0) b > = a b b

p >

(0) a ; Ñaëc bieät a a = q p Neáuthìaa == n m

a .

n b<

a .

• Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì n n b< Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì n Chuù yù: + Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n. Kí hieäu n a . + Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau.

4. Coâng thöùc laõi keùp

Goïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì. )N Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø: r (1 CA = +

Trang 51

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau::

(

)

3 ) ( 1..7 . =----

(

2 ( ) 3.15.8 - ) ( 2 6 9.5.

(

)

2 5

3 2

2 3

(

- A b) B a) = 7 ) (cid:230)(cid:246)(cid:230)(cid:246)(cid:230) 72 -(cid:231)(cid:247)(cid:231)(cid:247)(cid:231) 8714 ŁłŁłŁ (cid:246) (cid:247) ł - -

D c) 4 8 d) = C = +

(

) 3 232 ( 6 125.16. -

) 2

)

(

)

3 25

)

( ø œ ß

3134

2 - -

- - 3 ) e) E f) F = = -- 7 ) 4 18.2.50 45 ( ) 25.4.27 - - (

)

1 3

(

)(

)

32 --

- 2.25.50,01.10 + h) g) Ø ( 5 -Œ º 1111 3333 410252 H =-+ 5 + G =

( 0 2 - +

)

(

)

4 4.64.

10:100,25100,01 -

5 81.3.9.12 2

5 3.1827. 6

2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł k) i) I = K = 32

(cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

Baøi 2. Vieát caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng luyõ thöøa vôùi soá muõ höõu tæ:

2 3

(

)

322 2

(

)

xx x , 0 b) ,, c) 5 a) ‡ 0 a b „ b a 3 a b

323 2 32 3

b b f) d) 3 e) 4 3 b b

Baøi 3. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:

0,50,5 b

0,5

1,51,5 a + 0,50,5 +

b a - aa a b a) b) + a - a a b - 1 + 1 - a b b 2 0,50,5 + (cid:246) . (cid:247) (cid:247) a ł

0,50,50,5 22 +- 0,50,5 1 + 1 2 y + 2

11113 1 22222 2 xyxyxy - 111 1 2 222 xyxyxyx y +

1 2

y + 2 aa + 11111 22222 xyxyx 3 +- c) . . d) + x 2 - y 3 - y - xyx + 2 - - (cid:230) (cid:231) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) (cid:247) ł y x - (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) (cid:231) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) (cid:247) (cid:247) ł

) (

)

) (

)

4 3. b

12212 33333 abaab -+

1 -

. f) ( e) ( (cid:246) (cid:247) ł 1 2. b . + (cid:230) (cid:231) Ł 11111 44442 ababa -+ +

2 -

11 22 aa

(

)

1 -

22 bc + ++ + 2

2 a - bc

1 2 a a

( 1 - ab c + ( 1 - ab c -

) )

1 2

+ ab c h) . g) 22(1) - + 1 - + (cid:230) .1 (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) . (cid:247) (cid:247) ł +- 1 2 a 2 1 aa + + (cid:230) (cid:231) (cid:231) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) (cid:247) (cid:247) ł

Baøi 4. Ñôn giaûn caùc bieåu thöùc sau:

4 b

a b abab - a) b) ab : - - a b - a b - aab + (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

333

222 axaax --

axaxa x + -

2 -+ +

2 3 2 x

2 4 axx a + 4 axax

x 2 axa x d) c) - + x 6 + a - + (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

Trang 52

222

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

3 -

2 aab -

xx e) : a f) + aaabababab 2 -+ 3 a b - x 1 x 1 - + Ø Œ Œ º ø œ œ ß x x - - x 1 x 1 - + x - (cid:246) 4 (cid:247) (cid:247) ł (cid:230)(cid:246)(cid:230) 4 (cid:231)(cid:247)(cid:231) (cid:231)(cid:247)(cid:231) 4 ŁłŁ

(

)

1 - 6 a

333

+ g) ab . + ababa b - 3 3 b -- - Ø Œ Œ Œ Œ º Ø Œ Œ º ø œ œ œ œ ß ø œ œ ß

222 aabba 2 -+ Baøi 5. So saùnh caùc caëp soá sau:

(

)

233 2 - 5vaø 5

2 ) 0,01vaø10

2 (cid:246) (cid:247) ł

b) vaø c) a) ( p 4 (cid:230)(cid:246)(cid:230) p (cid:231)(cid:247)(cid:231) 4 ŁłŁ

) 0,3 -

( 24vaø0,125

)

3 -

1011

)

(

)

d) 300200 5vaø 8 0,001vaø100 f) e) (

- 0,0250 vaø

4 - (cid:246) (cid:247) ł

2 2

(

)

i) vaø g) ( 2 vaø 2 h) 5 4 (cid:230)(cid:246)(cid:230) 4 (cid:231)(cid:247)(cid:231) 5 ŁłŁ

1 ) 4 313 1 vaø

- (cid:246) (cid:247) ł

510 (cid:246) 2 (cid:247) ł

k) ( m) vaø l) vaø - - 2 2 p 2 (cid:230)(cid:246)(cid:230) 3 (cid:231)(cid:247)(cid:231) 5 ŁłŁ (cid:230)(cid:246)(cid:230) p (cid:231)(cid:247)(cid:231) 2 ŁłŁ

Baøi 6. So saùnh hai soá m, n neáu:

)

(

)

m (cid:246) (cid:247) ł

)

b) ( 2 2 c) a) 3,23,2m < > > 1 9 (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 (cid:231)(cid:247)(cid:231) 9 ŁłŁ

m ) 515 1 -<

( -

m ) 212 1 -<

( -

m (cid:246) (cid:247) ł

e) ( f) ( d) > (cid:230)(cid:246)(cid:230) 3 (cid:231)(cid:247)(cid:231) 2 ŁłŁ

0,2

2 3

1 3

(

)

3 2 Baøi 7. Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu:

) 1

3 - 1

) 1 -<

( +

1 2

3 4

1 2

)

(

)

a a b) ( a a) ( a 212 a c) - +> < 1 a (cid:230) (cid:231) Ł

( 1

1 - 3

0,25

1 17

1 8

2 2 a f) a e) ( d) ( 1 a -> - a -> > 1 a (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 (cid:231)(cid:247)(cid:231) a ŁłŁ (cid:246) (cid:247) ł 1 (cid:246) 2 (cid:247) ł

-< a

a h) a a i) a g) a< <

x+ 1

x- 3

Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau:

x = 5 41024

b) c) 1 8 a) 8 = =

2 5 x-

)

1 32 6 +

e) 1 f) 3 3 d) ( = = 3 2 1 9 (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:246) (cid:230) 52 (cid:247) (cid:231) 25125 ł Ł x (cid:246) 2827 . (cid:231) (cid:247) 92764 Ł ł (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) = (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

x =

3 = (cid:231) Ł

377 x - (cid:246) (cid:247) ł

)

) 12.

( 3

10,25 g) h) 0,20,008 i) .32 7 3 0,125 (cid:247) ł (cid:230)(cid:246)(cid:230) 9 (cid:231) 49 Ł 8 (cid:230) = (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

1 x - =

x = x k) 5.20,001

m) 1 - 7.4 l) ( 1 = 6 1 28

Baøi 9. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

x >

0,04 c) 0,3 b) a) 0,1100x > > 100 9 1 5 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

Trang 53

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

x+ 27.49343

x <

1 1 f) 9 d) e) 3 < ‡ (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) 1 (cid:247) 327 ł

9 3 x

x ) 3.3

x 27.3

3 .2

g) ( h) i) 1 > > 1 27 1 x- < 1 3 1 64 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau:

x- 1

x ++

c) a) = = x = x + f) d) = 1 + =

x+ 1 0

x++ 1 3312x b) x e) 2424.4128 0 = -+ 2 5 6 x- + = 1

i) h) 3 5530x + 12 4248x + + x 4224 +- = 2220x + xx 1 - 44484 x- x g) 3.92.95 0 -+ =

Trang 54

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

II. LOGARIT

1. Ñònh nghóa

=(cid:219) =a b a

a • Vôùi a > 0, a „ 1, b > 0 ta coù: loga ba 1 „ Chuù yù: loga b coù nghóa khi 0, 0 (cid:236) > a (cid:237) b >(cid:238)

b lgloglog bb = = • Logarit thaäp phaân:

b lnlog b = e ) (vôùi =+ • Logarit töï nhieân (logarit Nepe): 1 n (cid:230) lim12,718281 »(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

log

2. Tính chaát

a b ab b =

a = ;

a a

a a = ; 1 • Cho a > 0, a „ 1, b, c > 0. Khi ñoù:

log log • log1 0 b= ; (0) >

>(cid:219) >

+ Neáu a > 1 thì logloga + Neáu 0 < a < 1 thì logloga bcb c a bcb c >(cid:219) < a

3. Caùc qui taéc tính logarit Vôùi a > 0, a „ 1, b, c > 0, ta coù:

c b c b + = - • log( aa )loglog bcb = a =a a b • logloga b c (cid:246) (cid:230) • logloglog (cid:247) (cid:231) aa ł Ł

4. Ñoåi cô soá Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b „ 1, ta coù: c log log c hay log.loglog bc • = c= a log b

a 1 log

log c c b a • „ = • loglog(0) = a a a 1 a

Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:

1 4 log

log 3 2

log 2 9

log 27 8

a) log4.log 2 b) c) a loga 1 log.log 9 527 25

2 2

1/3 a

2lo g 2 4lo g 5 +

d) 4 e) log 8 f) 27 9+ 4+

381

a 7 a

1 a

g 7 9

g 8 7

a log.log a g) 9 h) log6.log9.log 2 i) log

32lo g 4 5 -

log 364lo 3 +

log 6lo 2549 + 5

log 5 8127 3 1 log 3lo 6

1 g 2 8

k) l) m) +

1log 4 + 34 9

2lo g 3lo - 5 + 2125

n) 9 o) p) 4+ + log3.log36 6

q) lg(tan1)lg(tan2)...lg(tan89 ) ++ +

r) loglog(log16).loglog(log64) ØøØ ºßº 84223 ø ß

Trang 55

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

a log(1)log(2)

Baøi 2. Cho a > 0, a „ 1. Chöùng minh:

+> a+ + 1

1 +

11 aa ++ a log(1) a

++ HD: Xeùt A = a a = aa log(2)loglog(2) 1 a + =+ a + log.log(2) £ 1 a + 2 +

1 + 2

aa a + log(2)log(1) + 1 + = < = 1 2

Baøi 3. So saùnh caùc caëp soá sau:

3 0,10,2

3 4

a) log4 vaø log b) log2 vaø log0,34 c) 1 3 2 log vaø log 5 3 4

5 2 1 2

log

log 3 2 vaø 3 6

1317

1 2

1 d) vaø e) log150log290vaø f) 15 2 + 1 loglog 1 80 3

3 1

g) h) log3log 4vaø i) log10log13vaø 711 log10log11vaø 910

1 2

HD: d) Chöùng minh: < < 15 2 + 1 log4log 1 80 3

1317

e) Chöùng minh: log1502log290 < <

7 log11 7

log10.log11log13 - g) Xeùt A = - = log10log13 711

110.11.71011 = > 0 + 7 7 (cid:230) loglog.log (cid:231) 77 log117.7.137 Ł (cid:246) (cid:247) ł

h, i) Söû duïng baøi 2.

Baøi 4. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho: log32 theo a. a) Cho a= . Tính log14 2

b) Cho log15 theo a. log 3 a= . Tính

. . Tính lg9000 ; lg0,000027 ; c) Cho lg30,477= 1 log100 81

1 2

d) Cho log28 theo a. a= . Tính log 2 7

Baøi 5. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc logarit theo caùc bieåu thöùc ñaõ cho:

3 5

a) Cho log theo a, b. a= ; log 5 b= . Tính log 7 25 49 8

b) Cho log1350 theo a, b. log 3 a= ; log 5 b= . Tính

30 log 7 14

c) Cho log28 theo a, b. a= ; log 5 b= . Tính

14 log 5 b= ;

35 c= . Tính

140

d) Cho log63 theo a, b, c. log 3 a= ; log 2 7

Baøi 6. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau (vôùi giaû thieát caùc bieåu thöùc ñaõ cho coù nghóa):

log

a x

x log c + a) b b) bx ) c) 1log b c= = = + log( ax log c b loglog a 1log +

a b , vôùi 2 7 . d) + abab+ = = a b + log(loglog cc 3 1 ) c 2

2412

aaa

e) xyx y , vôùi 2 . log(2)2log2(loglog +-= ) + xyxy+ = 1 2

Trang 56

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

2 c+ =

, vôùi 22 ab . a = f) loglog2log.log +-+

k k + . ... g) aaa + bccbcbc b 11111(1) xxxxx = 4 +++++ x logloglogloglog2log 23 aaa

abbcc

abc

1 1 lg -

1 1010 x 1l g

N NN log.log.log ab h) N log.loglog.loglog.log NNNNN . = ++ a log N

i) x 10 , neáu . = =

111 yvaø z - = 1 ... k) . = N

l) , vôùi caùc soá a, b, c laäp thaønh moät caáp soá nhaân. N = N +++ NNN loglogloglog 2320092009! logloglog NN - ab logloglog NN - bc

Trang 57

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

III. HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT

1. Khaùi nieäm

x= a (a laø haèng soá)

a) Haøm soá luyõ thöøa y

Taäp xaùc ñònh D Soá muõ a Haøm soá y x= a

D = R a = n (n nguyeân döông) y x=

D = R \ {0} a = n (n nguyeân aâm hoaëc n = 0) y

1 n

a laø soá thöïc khoâng nguyeân D = (0; +¥) y x= x= a

Chuù yù: Haøm soá y khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá y . x= = xn N (*) ˛

(a > 0, a „ 1). D = R. T = (0; +¥).

b) Haøm soá muõ a= • Taäp xaùc ñònh: • Taäp giaù trò: • Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. • Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang. • Ñoà thò:

y=ax

a>1

c) Haøm soá logarit y x = (a > 0, a „ 1) loga

D = (0; +¥). T = R.

• Taäp xaùc ñònh: • Taäp giaù trò: • Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán. • Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng. • Ñoà thò:

y=logax

x 1

a>1

Trang 58

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

2. Giôùi haïn ñaëc bieät

1 x

(

x ) 1 e = • = 1 • = 1 • x +=+ lim x 0 ﬁ 1 x ln(1 + x e - lim xﬁ 0 x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

a xx

(

lim(1)lim 1 0 x ﬁﬁ–¥ 3. Ñaïo haøm ¢ ) ( ¢ ¢ ) 1. aa =a - u uu ; •

1 (0) aa - x = > ¢ ) (

(

¢ ) Chuù yù: u x . = = 0 vôùixneáu nchaün > 0 vôùixneáunleû < (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł u ¢ n 1 n n u - 1 n 1 n n x -

(

a ln ln . = ; ¢ •

(

¢ ) x aa ¢ )x e e ; . = ¢ ) u aaa u = ¢ ) u ee u = ¢

(

a x

(

log log u = = ; • ¢ ) ¢ ) 1 ln x a u ¢ ln u a

(

¢ ) ¢ ) ln x (x > 0); ln u = = 1 x u ¢ u

1 -

1 + x

Baøi 1. Tính caùc giôùi haïn sau:

1 x + 3

b) c) a) lim x ﬁ+¥ lim 1 ﬁ+¥ lim ﬁ+¥ x 1 x (cid:230) x (cid:231) 1 +Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) +(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) x (cid:231) x -Ł (cid:246)+ 1 (cid:247) 2 ł

e) f) d) lim ﬁ+¥ lim ﬁ+¥ lim ﬁ+¥ 3 3 x x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246)- 4 (cid:247) 2 + ł (cid:246)+ x 1 2 (cid:247) 1 x - ł (cid:230) (cid:231) Ł 2 (cid:246)+ 1 x (cid:247) 2 x 1 - ł x (cid:230) (cid:231) Ł x 1 e g) h) i) lim e x ﬁ lim x 0 ﬁ ln x 1 - e - x 3 e lim xﬁ 1 x x - e - 1 -

e e e

(

)

1 1x

sin2sin x - x

m) k) l) x e - lim x 0 ﬁ lim ﬁ+¥ e - sin x

lim x 0 ﬁ Baøi 2. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

3 2 x =+ +

3 sin(21) x

3 cot 1

x 2 yx 1 b) y c) a) y = = x + - 2 x x 1 1 + - 1 + x 3 2 x 1 - y e) y x f) y d) = + = + = 2 1 x +

x 3 x 1 x + + y h) y x i) g) sin y = = 9 6 + = + 4 x 1 x - +

Baøi 3. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

x 2 .sin

2 2 xx +

2 2 xx e +

-= e

(

)

(

)

y e 2 y c) y x =- = b) a)

1 3

2x x e +

e e + y y e) d) f) . = = yx e = e e -

cos

3 g) y 2 .x e y cos . cotx x e h) y = = = i) x 1

x - + Trang 59

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

Baøi 4. Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

)

( .lncos

)

(

)

yx 3 y x y e x x ln2 =+ + = = a) b) c)

( =-

) 21ln 3 xx

)

( logcos 3

( logcos 2 (

)

(

)

d) y x e) y x f) y x + = - =

x logcos 1 2

)

(

( ln2 x

( ln2 2

x x 1 + 1 + y 1 x g) y h) y i) ln =+ x + = = 1 + x 1 +

Baøi 5. Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:

x - 2 xexyx .; - =¢=

)1 ( xeyy =+¢- =

(

)

a) y y 1 b) y ;x e

4 x yeeyy =+-¢-

x y- 2;1312 =

x - yaebeyy ..;32 =++¢+

2 - y 0 =

¢¢¢ ¢¢ c) 0 d)

( )4 0

- yexyy =++

-=+ yexy

¢¢ ¢ g) 0 h)

i) k) yexyy 0 .cos;4 y = 2 .sin5;429 x y =¢¢-¢+ =

4 x yeeyy =+-¢-

x y- 2;1312 =

¢¢¢ l) y e 2 m) 0 .sin;22 y = sin ;cossin y yeyxyx =¢--¢¢= 0 21 x xeyyy .; =¢¢-¢+ = 2

x 1

2 x 12010; =++¢=+

(

)(

)

(

)

xy yxeye n) + 2 2 x 1 +

Baøi 6. Chöùng minh haøm soá ñaõ cho thoaû maõn heä thöùc ñöôïc chæ ra:

22 2

a) y 1 xy e 1 b) Ø º ø ß x yxyyy =¢= 1ln ;ln - x 1 x x + +

(

)

(

)

0 d) ;2 1 c) (cid:230) 1 ln; =¢+ =(cid:231) 1 +Ł ( yxxyxyx y sinlncosln; =++¢+¢¢ = (cid:246) (cid:247) ł ) 1ln + yxyx y =¢= ( 1ln x - x + ) x

2 1ln1;2 ln xxxxyxy ¢

e) y y =+++++=¢+ x 2 1 2

Baøi 7. Giaûi phöông trình, baát phöông trình sau vôùi haøm soá ñöôïc chæ ra: 2

(

)

fxfxfxex '()2();()3 ==+ 1 x + a)

211 2 x -

b) fxfxfxx = 1 x '()()0;()ln += x

5 x -

1 +

c) d) '()0;()2.7 fxfxee ==++ '()'();()ln(5);()ln(1) x fxgxfxxxgx - >=+-=

e) x '()'();().5;()54ln 5 fxgxfxgx <== + 1 2

Trang 60

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

IV. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

1. Phöông trình muõ cô baûn

a Vôùi a > 0, a „ 1: 0 log b (cid:236) > b b = (cid:219) (cid:237) =(cid:238) x

a 2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ

()( ) fxg x aafxg x=(cid:219)

()( ) = a) Ñöa veà cuøng cô soá Vôùi a > 0, a „ 1:

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì: 0 aaaM N=(cid:219)-- (1)() =

()( ) fxg x abfxbg x =(cid:219)

( ()log.( )

)

b) Logarit hoaù =

c) Ñaët aån phuï

( ), f x t 0 =

fxfxf x 2()()2( )

0 > () 0f x ( ) P a , trong ñoù P(t) laø ña thöùc theo t. • Daïng 1: = (cid:219) (cid:236) = ta (cid:237) () P t (cid:238)

f x ( )

2( )f x

aab () 0 • Daïng 2: ab ++ b g =

fxf x ()( )

b Chia 2 veá cho , roài ñaët aån phuï t a b (cid:230) = (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

()( ) fxf x b

ab = . Ñaët 1

ta ab , vôùi =(cid:222) = • Daïng 3: m+ = 1 t

f(x) = g(x)

d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Xeùt phöông trình: (1) • Ñoaùn nhaän x0 laø moät nghieäm cuûa (1). • Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f(x) vaø g(x) ñeå keát luaän x0 laø nghieäm duy nhaát:

c ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). () ñoàng bieán vaø () nghòch bieán (hoaë fxg x fxgx () ñôn ñieäu vaø () haèng soá c = Ø Œ º

fufvu ()( ) • Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì v=(cid:219) =

e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät

• Phöông trình tích A.B = 0 (cid:219) • Phöông trình A B 0 += (cid:219) (cid:237) 0 0 0 0 Ø = A Œ =º B (cid:236) = A B =(cid:238)

f) Phöông phaùp ñoái laäp Xeùt phöông trình:

318 x -

x x

Neáu ta chöùng minh ñöôïc: thì (1) (1) M M fx M ( ) M gx ( ) ‡ £ = = f(x) = g(x) (cid:236) fx ( ) (cid:237) gx ( ) (cid:238) (cid:236) (cid:219) (cid:237) (cid:238)

10 + 1015 - 160,125.8 = xxx

x 2

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc logarit hoaù): x + x - a) 9

2 1

1 -

c) +

2 3 = 22 x xxxxx 326523 ++= -+--+ 444 222 2 x xxx 12 -+ 3 223 +=

e) + b) d) 2 575.357.35 0 = --+ 2 4 525x + = f)

Trang 61

VNMATHS.TK - Free Ebooks

2 2 -

4 3 -

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

71 2 1 . 2

x + (cid:246) (cid:247) ł

x x

1 - 1 +

(

2 2 = = g) h) 1 2 (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 (cid:231)(cid:247)(cid:231) 2 ŁłŁ (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

)2 32232 2 -= + x+ = 3.272x 1

1 x - ) 525 2 += xx 1-1 + + 5 6. 5–3. 552

) =

i) ( l)

k) ( m) Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 1):

x + =

1 x+ 428 0 +- = x d) 1617.416

x 1 1 + + 46.28 0 -+ = 1 x+ 4978 0 +- =

5 x c) 482 + 34.327 -+ 2 223.xxx x-+ --

x = x

b) a) 0 2 e) f) 0 = -+

x i) 25 + 336.39

cos2cos +

1 x 0 -+ =

)

(

)

x 1

2 x++ 1 xxx 22 328.39

2 + 49.28 0

h) 4 4 = 3 74323 +++ 6 =

2 x -+ =

+ 0 -+ =

x 21 - 3.52.50,2 -

m) = g) ( k) l)

Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 1):

x 0

0 x x =

x a) 252(3).527 x c) 3.4(310).23

2 - 3.25(310).53 x b) +-+- x d) 92(2).325 0 +-+- =

x 0

x x x --+- = x +-+- =

21 xx

x 2 6

x e)

)

0 x g) x =

2 - 3.25(310).53 x +-+- = ) ( x x 4+–82+12 –2 2 x 4(7).2124 +-+-

x 0 =

xx + f) 4 332.3.2 x + ++=+ h) ( ( ) x x 4.95.31 0 +-++ = x 0 k) 9(2).32(4) x = -+-+

x x i)

Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï daïng 2):

11 -- x 46

- x 9

x x c) 3.162.815.36

x xx a) 64.984.1227.16 -+

1 =

x+ 1

1 x

0 b) = + = +

x 2510 +

11 2.46 xx

27 12 8.2 4.6 0 9.6 d) e) 2 = + = + = -

x xx h) 3.162.815.36 =

xx 6.313.66.2 xx x k) (752)(25)(322)3(12)120. = -++++-

i) + 6.13 1 9 = x -+ 0 = +

Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuïdaïng 3):

x (cid:246) (cid:247) ł

4 b) a) (23)(23)14x -++ = = 2323 ++- (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ

x c) (23)(743)(23)4(23) +++-=

(

)

x ) 52452410

x 1 -

x 63563512

2 d) = -++ + (521)7(521) x + - 7 8 e) ( f) ++- = = 73573 5 2 2

(

)

(

(cid:246) + (cid:247) (cid:247) ł xx (1)2 -- 3 232 -++ = ++- = 2 3 4 -

) 351635 ++-

( 2 =

)

) x ) 35357.2 ++--

)

(

0 = g) ( i) ( (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ h) ( k) (

3 =

x l) (743)3(23)2 +--+ =

x (cid:246) (cid:247) ł

x a) (23)(23)

0 38386. ++-

)

-++ 4 =

( 6 =

(cid:230)(cid:246)(cid:230) m) 3 (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): b) (32)(32)(5)x d) ( c) ( 322322 ++- -++ x ) 3516.35 ++- = ( 2 =

Trang 62

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

)

( 2

)

x 5

2 e) 2323 ++- = f) ( 7 + = 5 3 5 (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

xx 3510 =

x h) 23 x

x + = i)

x 1 xx - - 22(1) -= - x 124 + -= - 1

g) 2 ++ k) 35 2x x l) 2 3 m) x = - x

1 -+ 15 +

x = 23 x 3 +

= - x 2 1 x 5 x 5 9 x 7 8 p) s) n) q) 4 o) x 6 r) = 01 x =+- x x 10 14 + 9 x 2 + x x 5 3 + + x 4 = 7 + x 2 + = = +

1 +

Baøi 7. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà phöông trình tích):

xx 12.33.15520 +- x

b) = x

1 +

2 )

x a) 8.33.224 6 + += 8.2 2 0 x 3 x c) -+- x x 3 - + 4 e) x g) 22 xxxx

+ x + 4 1 ( 2 1 x = + +

222 xxxxx 2()12() 1 +-+ 222.21 0

2 d) f) 4 h) 21 x ) + -

x 0 =

k) xy i) = 4 + x 2 .33(127)81912 x +-=-+- x sin1sin +-+ 42cos()2 3 61 += x 1 - 2 + = x xxxx - x .3(32)2(23 +-= x -+-- =

Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau (phöông phaùp ñoái laäp):

x 36

2 610 x + - 6

sin3cos x

x 2cos =

2 x =-+

sin

a) x , b) x c) x - =

2 2.cos3

xx =-

x 1 x cos x 2 d) e) p = = + + x vôùi x ‡ 0 (cid:246)- 3 x 3 (cid:247) 2 ł (cid:230) (cid:231) Ł

2 5cos3 =

3 cos 2 x =

x Baøi 9. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:

2 4 c)

x m x 0 a) 93 ++ = d) 232.3(3).2 xx +-+ x

x m- 0

1 3 1 3 ++-++

xm+- = x b) 931 0 x m e) 2(1).2 +++ = xm xxx 414.2

xm 0 = x 2 m g) m h) 25.512 m m - = x x m f) 252.52 0 --- = 2 x 8181 xc sinos + = ++- 0 =

1 + -

x 98.3

m m k) i) x - -+ = 8 l) 16(1).21 0 m --+- = 2 42 x 2 x - - 32.323 0 -+- = 2 m m n) 4x -+ =

x -+- = .225 0

b) a) m m

2 111 t 1 +-+ --+++ = m 9(2).321 0 m) Baøi 10. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: x .162.815.36 +

)

x ) 5151 ++-

( m 2 =

x (cid:246) + (cid:247) ł

= x - + 8 d) m c) ( = 2

x 42

x 3 + 3 -+ =

(cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ x f) 931 0 m e) 73573 5 2 xm++ =

x mm m 49(1).72 0 b) = +-+- ++-++ =x m d) (3).16(21).41 0 x

m Baøi 11. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù 2 nghieäm traùi daáu: 1 +

m m m e) mm x f) 42 6 -+ =

m coù 2 nghieäm döông phaân bieät.

x 42

m coù 3 nghieäm phaân bieät.

2 x 94.3

x 8 -+ =

coù 3 nghieäm phaân bieät.

c) coù 3 nghieäm phaân bieät. ++--+ =x mm (1).4(32).231 0 a) x c) 93(1).352 0 m +--+ = ) ( 421.2+38 0 -+- = Baøi 12. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau: x .162.815.36 a) + = xmm xxx b) 16.8(21).4.2 = -+- 2 2 x + 6 -+ = 2 d)

Trang 63

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

V. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

1. Phöông trình logarit cô baûn

a xbx

log Vôùi a > 0, a „ 1: a =(cid:219) =

2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit a) Ñöa veà cuøng cô soá

fxg x log()log( ) = Vôùi a > 0, a „ 1: fxg x ()( ) = fxhoaëcg x ()0(()0) > > (cid:236) (cid:219) (cid:237) (cid:238)

log( ) a

b) Muõ hoaù

a f x =

a fxba

log( ) Vôùi a > 0, a „ 1: =(cid:219)

c) Ñaët aån phuï d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät f) Phöông phaùp ñoái laäp

log

Chuù yù: • Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa.

a c=

• Vôùi a, b, c > 0 vaø a, b, c „ 1:

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù): 1x x b) a) x = x loglog(1) 1 +- = 2 Ø log(1) º 2 ø- ß

c) 2 x d) x x --- = log(3)log(1) 3 -+- =

2 x f) lg(2)lg(3)1lg 5 -+-= -

e) x log(2)6.log35 21/8 x x log(3)log(1)2log 8 x +--= -

g) x x 2log(2)log(3) x --- = h) lg54lg12lg0,18 x -++= + 2 3

2 log(6)log(2) 1 +

i) x x k) x -=-

3 x

l) x m) log(3)log(1)1/log 2 x ++- = 5 x log(1)log(2) 0 = --+

n) x o) log(8)log(26)2 x 51/5 x loglog(10) 2 = +- 4 log(1)log(3)log10 1 - -++= +-++ = x 2 x 0 3

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

2 1lg(21)lg(1)2lg(1 xxx - +-+-+=

x 6 x b) ) x a) = logloglog x ++ 31/3

2 xxx +-+-+=

c) d) 2lg(441)lg(19)2lg(12 ) x = -

1/ 2

log(1)log(1)1log(7 ) x e) logloglog xx ++ 41/16 xx logloglog11 x 5 8 x f) -++=+ - ++ = xx 1/21/2

223

233

g) x h) x loglogloglogx = loglogloglogx =

3 xx loglogloglogloglog + 3

23323

2 loglogloglogloglogx 3443

x i) k) x = = 2

Baøi 3. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

a) log(92) 3x x b) log(38) 2x x -= - -= -

1 x - -= log(4.31)2 1

)

log (3 5

x log(92) 5

c) x d) log(67) 1 x -+= + x -

f) log(3.21)21 0 e) - = x --- =

Trang 64

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

g) log(122) 5x x h) -= - log(263) 2x- =

1 x + - log(525) 2

1 + -

5 log(3.25)x 4

i) k) x = =

1 x + -= - 2

x log(525) 1

x log(636) 1

l) m)

Baøi 4. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá hoaëc muõ hoaù):

2 x log(45) 1 1 -

x a) b) x = -+ -+ =

3 xx 231) 3

2 x +-+ =

c) log(265) 2 x x - 2 x log(583) 2 d) = x-+

e) - = =

g) h) x = x-+ - = log(2 1 x + x x + f) log(2) 2 x log() 1 x +

x x log(1) 2 3 x - x x log(56) 2 2 x-+ log(2712) 2 x

i) k) log(234) 2 x = x-- =

l) m) = x-+ =

x 2 x x - log(2) 1 x log(1) 1 2 4 x +

n) x o) ++ = + =

x x log(56) 2 x log(982) 2 3 5 x + 15 1 2 -

p) log q) 2 = - x- = log(32) 1 2 x

r) x s) log(254) 2 x + = x-+ = log(3) 1 2 x x +

Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):

2 ++- = 3

2 3

x loglog15 0 x b) xx = a) x 2 21/2 log3loglog ++ 2

2 log4log 1 2

c) x d) x + = -+ = 4 log2log x 7 0 6 x 8 8

e) xx f) = = x 0 21/2 log3loglog ++ 2

g) h) x - = x - = loglog 5 loglog 7 1 2 5x log16log64 3x + 2 1 2 7x

k) x 3 loglog4 0 x i) x - = - = 2log2log 5 1 5x

3 loglog4/ 3x +

x l) x x m) = 3loglog31 0 3 -- = 3

3 loglog2/ 3x

3 -= -

2 log2log + 2

2 1 x

n) x x o) = 0 4

2 x 525

2 21/4

x x q) p) log4log55 0 +- = log(2)8log(2) 5 x --- =

xx 5

r) s) log5log5log += + = x 1 9 log3log + x 9 4

t) u) 1 1 + = + = x x 1 4lg2lgx - 2 + 1 5lg3lgx - 3 +

2 xx log14log40log

xx 216

x 4

v) x 0 -+ =

Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):

loglog 6 x 2 6.96.13. +

2 3

xxx log(12)log11 x x x +-+- = = b) a) 0 3

2 2

xxx .log2(1).log4 0 x log x ( x log)1 x 26 x d) c) -++ = + - -=

Trang 65

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

2 +++++-

xxx (2)log(1)4(1)log(1)16 0 e) f) x = x ++ log(2)log 2 x 2 2 x = x

2 3

g) x log(1)(5)log(1)26 xxx 0 h) x 4log1log 4 ++-+-+ = -- x =

2 xxx

i) log(32)log(712)3log 3 x +++++= +

Baøi 7. Giaûi caùc phöông trình sau (ñaët aån phuï):

log

x x x = log(3)log(2) 2 = -+- a) b)

) +++

)

(

log

c) x x d) x 2 = = + (

)

log 3

loglog(2) x 7 ( log1log21 ( e) x x 4 f) = x = log3log x + 2 ( log1log + 2

log 9lo = 22

g) xx -

2 =

372 x +

)

(

)

( xxxxx log1.log1log

log3log 5

log

i) x --+-=- -

(0) b) a) x 5 xxx += > =

d) c) x )x += - - = x

2.3 x 2 log(9124)log(62321) 4 xxx x +++++ ( ) 1 6 Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): 2 3 x + log(3 2

log 2

log(3) 3x 5

2 log(6)log(2) 4 xxx --+=+

2.3

x +

3 =

e) x f) +

2 xxx --+-=

g) 4(2)log(3)log(2)15(1) x + Ø º ø ß

Baøi 9. Giaûi caùc phöông trình sau (ñöa veà phöông trình tích): xxx

272

233

log2.log2log.log xxx b) a) x + += + 7 x+= log.log33.loglog 2

) ( 2loglog.log21 1 x =+ - 93 3

)

(

x x c)

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau (phöông phaùp ñoái laäp):

(

2 ln(sin)1sin

2 1xx

) -

x c) 213 2 2

-+ 2

a) x 0 x -+ x = +-= b) log1 2

= x - + 8 2 x log(444) 3

)

(

)

b) a)

Baøi 11. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: ø = ß

232 +

)

2 xmxm

Ø log2(1)log(22) 0 xmxx m -+++- º 3

( log1log 525 2 +

( log2logx 2 ) ( mx lg ) ( x 1

2 log(4)log(221)

x 2 0 ++++ = = c) d) lg +

e) xmxx m +=- -

22722 +

(

f) log(1)log() 0xmmx x -++- =

x 1

a) coù 2 nghieäm phaân bieät.

Baøi 12. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau: ) x m -= +

coù 2 nghieäm x1, x2 thoaû x1.x2 = 27.

log4 2 2 3

log(2).log31 0 xmx m -++- = 222

3 xmmxmx m

2 -

2 x+ 2

x 2log(224)log(2 ) c) 1 > . -+-=+

2 x 1 ø ß .

2 3

coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc ñoaïn d) coù 2 nghieäm x1, x2 thoaû 1;3Ø º

2 loglog121 0 m xx ++-- = 3 )2 ( xx m++ 4loglog 2

e) coù nghieäm thuoäc khoaûng (0; 1). 0 = 2

Trang 66

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

VI. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ LOGARIT

Khi giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit, ta cuõng duøng caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình

ñaõ hoïc nhö: • Phöông phaùp theá. • Phöông phaùp coäng ñaïi soá. • Phöông phaùp ñaët aån phuï. • …….

Baøi 1. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

1 -

4 y a) b) 5 1 2 2 y = = 2 = x 432 =

c) d) = 6 4 x x 8 = 1 = y 319 = 3 +

3 2 2 f) e) = 1 = =

2 16

2 710 y - +

y - -

f) g) = = = =

)

h) i) x x 0 x x 0 y += y -= 1 = ( 8 x > 1 = ( 2 x > (cid:236)(cid:239) + x (cid:237) x - (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) - x (cid:237) 2 x (cid:239)(cid:238) (cid:236) + (cid:237) y x =+ (cid:238) .2520 x y (cid:236)(cid:239) (cid:237) y x 5.250 (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) y x (cid:236)(cid:239) 2.936 (cid:237) y x 3.436 (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) y x 2.312 (cid:237) y x 3.218 (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

Baøi 2. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

y 6

y x 7 43 - x y 4.3144 =

= b) a) =

1 +

2 1

- =

c) d) = 1 + + 8 = = =

1 +

y -+ 2 y - 4

2 2(1)1 xxy - 44.4.22 yx 21. 23.4.2 -

y 4 -= - y 1 + 1 -= -

y x - 1

e) f) =

2cot 3 x = y 2 x cos =

y g) h) = 2 - y + 2 9() 6 x + =

y 7

y 22()(2) -=- 2 y x +

y (cid:236)(cid:239) 317 2 = + (cid:237) x 3.22.3 - (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) 2 222 x + 3217 + (cid:237) 1 x + 2.33.2 + (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) 2 ()2 x (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

i) k) yxxy + 2 = = = (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) y xx 22.356 + (cid:237) xx 3.2387 + (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) 32 (cid:237) 32 (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) 23277 x - (cid:237) x 32 - (cid:239)(cid:238)

Baøi 3. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

x 1 - 76

b) a) y x y 1 x 1 = = + + x += + y += +

y 1 - 76

y 2 y -= - 2 y = ++

x (cid:236)(cid:239) 3211 (cid:237) y 3211 (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

x (cid:236)(cid:239) 32 (cid:237) y 32 (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

c) d) x 3 2 2 xxy

Trang 67

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

Baøi 4. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

x y loglog y x + =

x = 2 y a) b) y = + 6 3 2 (cid:236) + = y x 6 (cid:237) loglog x + (cid:238) 2

(

)

y c) d) 4 = 2 y = = 1 5 (cid:236) + x log (cid:237) 2log x - (cid:238)

x y x 3 = - ( ) y xyx loglog +-- 3 log 2 3 = + e) f) xy = log 4 32 x = x 9 log2 3 y = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

y 8

2 (log x log y ) 5 + = x y 1 g) h) xy = y - = (cid:236) (cid:237) (cid:238) 3 3 (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) 12 -+- = (cid:239) (cid:237) 2 3log(9)log x (cid:239)(cid:238) 9

2 x loglog 3

3 12 3

2 y

y - = log 1 x = 0 3 k) i) x = (cid:236) - y (cid:237) y (cid:238) 1 2 3 xy 0 +- 2 = (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

Baøi 5. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

) )

( log32 x ( log23 y

a) b) x y y x log(64) 2 + log(64) 2 + = = 2 2 x x y y + + = = (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

y x loglog x loglog 4

3 2

y loglog 2

d) c) x y 4 (cid:246) x -= - (cid:247) y ł + = - - = = y 1 2 y 1 4 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:230) log12log (cid:231) 2 Ł loglog 3 2

2 4 y ++

(

)

log

loglog y 2

x = y 16 = e) f) y + - = y + = x x loglog 2 2 2 (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) log6 2 x loglog 3 1 3

x .2 y 27 = + h) g) + y log x = 1 - = y = (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:237) log (cid:238) y 2 2

) = ) =

( log22 x ( log22 y

4 log = x 2 y +- i) k) y 2 x +- 2 log = (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) x y + ) xy (cid:246) (cid:247) ł

22 xyxy lglglg( = 2 lg()lg.lg xyx -+

2 log() 1 6

x + = ) x loglog y l) m) 5 2 + 0 y = (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) x y + = (cid:236)(cid:239) 3.2.10 x (cid:237) 2 loglog x (cid:239)(cid:238) 4 ( (cid:236) (cid:239) (cid:230) (cid:237) (cid:231) (cid:239) Ł (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

) -=-

(

)

( 2 x lg1lg 8 ( xyx lglglg 3

2 y += + ) +--

( =

)

( log5log 2 lglg 4 x - y lglg 3 -

xyx y + 2 o) n) 1 = - y (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

2 y

)

1 x - = p) q) = 2 = ( y 3 + y log x log23 x 1 + (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) log x 1 - = y loglog xy x ( y (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

Baøi 6. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

b) a) 9 x = -+ x lglg y lg x y 4 = 1000 + = x ( xy 42log 36 ) = 6 (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

Trang 68

y x -

x lglg

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

y = d) c) y (cid:236)(cid:239) 3 4 = (cid:237) lg 4l (4)(3 ) x = (cid:239)(cid:238) 5 27 ) y xyx += -

x y -+ =

e) (cid:246) (cid:247) ł

= (cid:236) (cid:239) + ()3 x (cid:237) (cid:239) 3log( (cid:238) 5 (cid:236) (cid:230) 2log2log5 0 1 (cid:239) (cid:231) (cid:237) Ł y (cid:239) xy 32 (cid:238)

Baøi 7. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

xy += + y log3loglog 22 a) b)

log12loglog xx += + 2 z = 2 x = 2 y = y 33 logloglog xy ++ 24 logloglog yz ++ 39 logloglog zx ++ 41616 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) x 3 2 2 y 3

1 +

1 -

1 +

= log13sinlog(3cos ) x y = + c) d) x yyx -++++ x +++ y x log13coslog(3sin ) = + (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

( (

) )

( log131log1 +-=- ( log131log1 +-=-

2 x y e) 2 y x

2 log(12)log(12) 4 x log(12)log(12) 2 = ) 2 + ) 2 + yxyxx 2log(632)log(69) 6 -+-+-+ x y log(5)log(2) 1 = --+

= x (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

Baøi 8. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

log

(

)

) ( loglog 2

y loglog 8

3 y a) 1 3 y = - = 2 x loglog 2 1 2 (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) xyx (cid:246) (cid:247) ł = (cid:230) = (cid:231) Ł ) y ++- 4 2

) y += -

1 3

yx -

y 4 d) c) = x 1 y + - = = x x loglog 4 1 4 (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) b) ( (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) y x 3.218 (cid:239) ( (cid:237) log (cid:239) (cid:238)

)

(

)

) -=-

x y + y x 432 = ( log1log xyx 3

3 = f) e) ( y + 3 ( x ( x y ) 4 + 1 (cid:230) (cid:246) (cid:231) (cid:247) 3 Ł ł y ) log + - = (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

)

log 2 3

g) h) y 2 y 2 - = + =

(

)

log 42( 2 xyx

xy ) = + 2 3312 y = +--

-(cid:236) x 3.21152 = (cid:239) (cid:237) ( x log (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

x ) y xyx += loglog x - 2

y loglog 3

xy - k) y = 1 2 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) log (cid:238) (cid:236) 3.2972 = (cid:239) (cid:237) ( x log (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) i) ( (cid:237) (cid:239)(cid:238)

x = x l) m) xy loglog x x 2log x 227 y - = = + loglog y 3 1 3 (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) y 4 y 3 = + (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

Trang 69

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

VII. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

• Khi giaûi caùc baát phöông trình muõ ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá muõ.

()( ) fxg x >

a a 1

Ø(cid:236) > a 1 (cid:237)Œ ()( ) fxg x > (cid:238) (cid:219) Œ (cid:236) < < 0 a Œ(cid:237)Œ ()( ) fxg x < (cid:238)º

• Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình muõ: – Ñöa veà cuøng cô soá. – Ñaët aån phuï. – ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì:

0 aaaM N>(cid:219)-- (1)() >

321 x -+

Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá):

1 - 1 2

x- 1

2341

++++

b) 3 a) < 1 3 (cid:230) ‡ (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

x 5

1 -

d) c) < -

x (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:246) 1 (cid:231)(cid:247)(cid:231) (cid:247) 2 ŁłŁ ł 33311xx +- 3 + < 2

x .3.2

1 + 3 + 2 +

2 +

x 7.353 x 1 2 - 2.3 36

e) < 2 x x 3 x 9 .6 x g) < + + + 134 +++ i) +

xx 52

x x .3 xx 5 +£ x + >

x x

x 1 -

1 + 3 +

(

)

f) h) k) m) l) 2 +<

xxxx 2225 --> 2 2 323 x 2 xxx -+- +- 0 96 4.23.2.2812xx 21 x+ xxx ++>+ + 2 x xxxx x 121 + +++ 99944 4 + ++<+ x 21 ++ 5 + 3 - ) 1 - 10310 3 +<

( -

1 -

1 x + ) 212 1 +‡ 1 1 x -

n) ( o) (

- 1 x 1 + q) p) 2 2 2 £ ‡ 1 2 2

Baøi 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï):

1 x

- 423 0

1 - x -- £

x+- a) 2.143.494

x (2)

x 2(1)

b) 0 ‡

2 3 >

41 x ++ 9 x xx 1 + +

c) > 42852 -+ xx >

8.39 d) x f) 21 + 56305.30 +> x x h) 27122.8 0 + >

x 12 + 3212

x + 0

1 --

x 2 k) i) <

- ‡

xxx

)

( 2

3.8 9.9 0 l) - - > x o) 3 m) p) ( ‡ 3232 ++- £

x - ‡

x-+ e) 25.210525 x xx g) 62.33.26 --+ ‡ 1 11 x 493525 £ - 22 x xxxx x 2121 -+-+ 25934.25 + 1 1 1 x +-+- +-+ 45.216 0 1 2 (cid:246) x x (cid:247) ł

x 3 (cid:246) (cid:247) ł

12 +

1 x

)

s) 128 0 r) + > -- 1 312 3 1 8 (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 (cid:231)(cid:247)(cid:231) 4 ŁłŁ

x 2 129.24.23

+ -++- ‡ 0

9 (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 (cid:231)(cid:247)(cid:231) 3 ŁłŁ 1 x 22 u) ( x x t) <

Trang 70

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu):

x 2 1

x < 23

x -- x 2

1 21 + 0 a) b) + £ 1 2 -

1 3213x + c) d) + > £

x - + 3.2 2 x 2 3 - x 233 2 - + - x 4 2 - 22

3 4 x x + - e) 0 0 f) > ‡ 6 x - -

(

3x522x3.2x3x522x 3x x x x g) --++>--+ +

x )2 Baøi 4. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm:

xm x a) 4.23 0 -++ £

) 0

m 2 1 x - c) 272 m m 2 ++- £ m ( =

xm x b) 9.33 0 -++ £ 2 x ) d) ( 2121 ++-+ Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi:

x 0

m m b) , "x > 0. -+++ > , "x.

1 m+ x 2 m+

xx a) (31).12(2).63 ++-+ ( x xx .9216.4 -++

)

(1)421 0x m x mm c) < ) m 0 mm £ , "x ˛ [0; 1]. d) , "x.

, "x.

x g) 42

x m

e) m m , "x. f) .9(1).31 0 +-+- > x 1 m+ 0 ‡

x coscos ( 4221243 0 +++- < x m 0 ‡ m -+++

x ‡

x 43.2 -- x h) 335 3 ++- xm- -+ > x 14.(21) 0

£ , "x. , "x ˛ (0; 1) -- xx i) 2.25(21).10(2).4 m 0 , "x ‡ 0. k)

1 +

2 x

1 x

, "x. Baøi 6. Tìm m ñeå moïi nghieäm cuûa (1) ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình (2):

+ > a) b)

(

)

2 1 (cid:246) 1 x x 312(1) (cid:247) 3 ł 2 ) 2 23610(2) mxmx m ----- <

228(1) > - 2 42(1)0(2) xmx m --- < (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 (cid:239)(cid:239) (cid:231)(cid:247)(cid:231) (cid:237)ŁłŁ 3 (cid:239) ( (cid:239)(cid:238)

1 1 x 9.12(1) 3

) m <

> + c) d) (cid:236)(cid:239) 1 x + 29.240(1) -+ £ (cid:237) 2 (1)(3)10(2) mxm x ++++ > (cid:239)(cid:238) (cid:236) 2 (cid:246) (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 (cid:239)(cid:239) x (cid:231)(cid:247)(cid:231) (cid:247) (cid:237)ŁłŁ 3 ł (cid:239) ( 2 22230(2) xmx +++- (cid:239)(cid:238)

Trang 71

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

VIII. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

> log()log( ) fxg x >

• Khi giaûi caùc baát phöông trình logarit ta caàn chuù yù tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá logarit. Ø(cid:236) > a 1 (cid:237)Œ ()() 0 fxg x > (cid:238) (cid:219) Œ (cid:236) < < 0 1 a Œ(cid:237)Œ fxg x 0()( ) < < (cid:238)º

• Ta cuõng thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp giaûi töông töï nhö ñoái vôùi phöông trình logarit: – Ñöa veà cuøng cô soá. – Ñaët aån phuï. – ….

Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá a coù chöùa aån soá thì: log A 0 B ; A 0(1)(1) >(cid:219)-- > B log0(1)(1) 0 a Ba >(cid:219)-- > log B

x 1)21( log log )1 x

Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñöa veà cuøng cô soá): (

)

( log12log - 2

)

b) a) 1x +< - + <

( -

1 3

x 3x -< 0x > c) d)

)

log

(log

log5log 1 3 logloglog 2 1 3

) 4log

x 21 + x 1 +

1 3

x x - 0 > f) (

1 2

(

2 0x

2 612 x loglog 6

) ø- ß

log

(

g) > x+ £ h) Ø º loglog5 1 3

) +‡+

(

)

( log31log 2

x 1 x 2 i) x+ - 2

1 8

1 2

l) k) m) x 2log(2)log(3) x -+- > 2 3 (cid:230) loglog 3 (cid:231) Ł (cid:246) ‡ 0x (cid:247) ł

(

)

2 xxx

) 1 x ++>+ - ß

ø n)

ØøØ loglog1loglog º 153 3 œ œ ß

)

Œ Œ º Baøi 2. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

( x log1log 2

) +- 2

) 1 - ) x -

( + 3 4

)

x 1 a) 0 1 b) > < x 3 x - -

log

5log2log - < x

( x lg ( lg 1 ( x 2 lg3 - x lglg 2 +

x + d) x 18 0 2 > x +- c)

log

x 2

1 1

3 x

+ xx log.logloglog 323 x< 2 x 4

- + log(log(24)) 1x - 4

)

e) g) f) h) x £ -

2 x-+ 1

( x x log816 5

> ) k) i) x-+ 0 ‡ < log(3) 1 x x 3 - ( x x log56 2

Trang 72

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

)

( x +

)

( log1log 1 x -

1 -

m) l) 1 x > +> x x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246)- 1 0 (cid:247) 2 + ł

x (412.232).log(21) 0 -+- £ 2

(

)

loglog x 6 + 3 2 xx n) x 0 o) x (4167).log(3) > -+-

x 1

3 Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau (ñaët aån phuï):

( log121log x -<+

a) b) +

5 ‡

1 4

2 x loglog 1 2

c) + < d) log2log43 0x x +- £ x - 2loglog125 1x log64log16 3 2 x 2 log2.log2.log4 x 0 x > + e) < f) 1 2

1 + + > £ h) x 2 x 4 x 2 1 log 2 log x 2 -+ + - x loglog 4 x - 2 1log1log1log x 22

2 33

2 1 2

x log6 x 0 k) xx log4log92log - 8 £+ -+‡ g) log i) 3 x - 3

2 log 3( x 4 x 1)2 log 3( x 4 x )2 1 l) m) + < + + >+ + + 1 5log1logx x - +

2 1 8

1 8

19log14logx x o) x -> - > n) 0 100 log100log - x 1 2

2 3

x q) 1 p) > > log2.log x 1 x log 6 x - 1log + 1log + 2 x 16

Baøi 4. Giaûi caùc baát phöông trình sau (söû duïng tính ñôn ñieäu): x

2 ( x 1)log(25)log6 xx ++++ ‡ 0,50,5

log 2( log 4( )2 2 a) 0 x b) )1 ++ + £

)

x 23

lg d) 0 c) > < 1 + + 2 ( x 3 ( x log1log 2 + - 1 x 5 5 - x x +

Baøi 5. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau coù nghieäm:

(

)

2 xx m-+> - 3

1log +

2 m

b) log100log100 a) - > log2 1/2 0 m 1 2

1log +

d) c)

m 2 xmx mxx log(1)log(2) -

1 x 5log1logm - loglogxm + 2

f) e) x ->+ - > x 2

Baøi 6. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi: 2

)

(

)

a) 4 + , "x

( x

)

( 2 xmxx m+‡+ log77log 2 (

log 2 x 4 log 2 b) - mx + + - mx + , "x ˛[0; 2] ) 5 £

2 1log(1)log(4 + ++‡+ 5

xmxx m ) c) , "x.

1 2

d) 0 x > , "x 11 m 1 mm ++ m + 2log21log21log x --+-+ 11 mm 22 (cid:230)(cid:246)(cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231)(cid:247)(cid:231) (cid:231)(cid:247)(cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁłŁ (cid:246) 2 (cid:247) (cid:247) ł

Baøi 7. Giaûi baát phöông trình, bieát x = a laø moät nghieäm cuûa baát phöông trình:

(

)

( 2 xxxx log2log23;9/ 4

) -->-++

2 =

a) . a m

2 xxxx

log(23)log(3); a 1 ++£- b). = m

Trang 73

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

Baøi 8. Tìm m ñeå moïi nghieäm cuûa (1) ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình (2):

2 xx

x -+-

2 1 2 2 xmxm +++

1 4 2 m <

x loglog0(1) x + < x log(583)2(1) x -+ a) b) > 4 210(2) m > (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) 60(2) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

Baøi 9. Giaûi caùc heä baát phöông trình sau:

(

)

(

)

) x 1 + 1lg2lg21lg7.212 + -++< ) ( x

x 4 + x 0 > b) a) 2 + > (cid:236) ( (cid:239) (cid:237) log2 (cid:239)(cid:238) x x

y 0 - y d) c) x < < x 0 - > log(5) 0 + 1 x - log(4) 0 - 2 y + 1664 x x + - lg7lg(5)2lg 2 x - +>- ( ) ( > ) log2 x 2 - log22 y 4 - (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

Trang 74

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

IX. OÂN TAÄP HAØM SOÁ LUYÕ THÖØA – MUÕ – LOGARIT

1 x

21 x 2.4

318 x -

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:

2 =

1 -

0,5

9 3 a) 64 b) = 8

x + 0,2(0,04) =

xx (cid:230)(cid:246)(cid:230)(cid:246)(cid:230) 59 (cid:231)(cid:247)(cid:231)(cid:247)(cid:231) 325 ŁłŁłŁ

x 1211 - ++ (cid:246) . (cid:247) ł

21 xxx ++

c) d) = 25 5

2 7,23,9 x + - 393lg(7)

3 2

e) f) ( x 5 3 ) = 0 -- 1 x 1 - 7.714.72.748 = --+ 7

1 - 4

x- = 1

g) 5.8500xx 2(2) h) = (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

xx lg

1 1lg - 3 x

log

1 -

5 lg +

x + 3

)

1 i) 1000 x k) = = 100

xxx

2 + 49.28 0

m) ( x l) 10 x = = 3

b) a) Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau: 2 x -+ =

x xx c) 64.984.1227.16 -+ 3 -

1 - 936.33 0

0 =

x -+ =

2 x 51 5 --+ = ---- 412.28 0 3 + x 0 = x + =

)

+ ++- =

lg1lglg xx + 462.3

1 x d) 64212 -+ f) 482 5 x + 34.3282log -+ x ) h) ( 52452410 k)

x 3 =+- 0x +--

x = 3 x

2 = x +

xxx g) 2122(1) ++ 3316.3 1log1log + 93210 3 2 x sincos 24.2

2 ( 0 i) -- x lg(tan)lg(cot) 1 m) 32.3 1 l) = + = -

1 -

x x

6 5 - 2 5 +

6 Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

1 +

x .55

x 0

2 +-

+ >

2 x -

x 23 - x 2 - log(1) 2

2 1 - a) 2 b) < < 4 2 1 1 + 2lg3lg x - d) x < 1000 x (cid:246) (cid:230) 225 (cid:247) (cid:231) 5 ł Ł c) 2 x x 42 - e) 2 f) 8. £ + x 4 x 1 - 2 3 (cid:230) 1 > + (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł 3

2 x ++++ 2225

341 xxx + 5

1 2 + - 2 x

2 x

g) h) 1 > --> - 1 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

x + (cid:246) 21 - (cid:247) 3 ł

3 -

1 i) 9 k) > > 1 3 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł 27

2 x 1 + (cid:246) (cid:230)(cid:246)(cid:230) 11 x - (cid:247) (cid:231)(cid:247)(cid:231) 5 ł ŁłŁ

x (cid:246) (cid:247) ł

l) > > 1 5 1 1 3 (cid:230)(cid:246)(cid:230) m) 72 1 3.. (cid:231)(cid:247)(cid:231) 3 ŁłŁ

Trang 75

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit Traàn Só Tuøng

Baøi 4. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

x 2

lg2lg x +

- x

a) b) 0 > 25550x -- +- ‡

xx 42.510 -- 11 -- x 9.45.64.9

x 2

1 <

c) d) 33 + < - x 3 +

1 x 2 + 221.2

1 x + - 4162log 8 <

2 3 -

2(1) x -

e) f) 1 2 (cid:230) 0 -+ ‡(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

4 3 x - 335.6

2(2) x - 3 >

g) h) 42852 -+ 1 3 (cid:230) 0 -+ ‡(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

xx 933

x k) 9329 3

x +-‡ -

x+-> 2 9 - Baøi 5. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) log(38) 2x x b) x -= - =

x x log(265) 2 -+ log(1log(27)) 1x +-

7 3lglg3 0x loglg 3

c) d) -+- = = log(21)log(27) 1 7

e) x x x -+- = - 5x log(12 ) 3 log = 1 - 10 x g) 1lg + x f) 95 h) ( x = 5

2 x

1 +

) x + 4

= 2 lglg x

lg i) x 10 x k) = = lg x 2 (cid:230) (cid:231) Ł

l) x x m) + = loglog9 3 1 2 ++ 2 3 7 x x 3 1 (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) x = (cid:247) ł x - 2log1log 3 x - - -

a) b) x -+ = 0 -+ = x log3log2 1/31/3

1 +

c) x d) x 32log32log(1) + +=

Baøi 6. Giaûi caùc phöông trình sau: )2 0 +- = )2

( 2log53log51 0 2 log2log2 x 2 ( x log9.log x

2 4 3

( 2 loglog3log5 31/21/2

e) f) x x = 2x -+ = )

2 xx lg(100)lg(10)lg

2 xx log(2).log(16)log

1 +

g) x 6 h) -+ = x = 2 9 2

x log(44)log2log(23) +=+

x k) i) log(99)log(282.3 ) +=+ - - 3

x + log(251)2log(51)

x x m) lg(6.525.20)lg25

x +

l) x -=+ += +

Baøi 7. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

log 0 a) b) > x-+> - 1 x log(56) 0,5

1/3

x c) log x loglog3 0 x d) ‡ - 1 -- < 3 x 6 2 - 2 x 1 - 2 3 - x

2 0x

e) x f) > > log(2)log - 1/41/4 loglog(5) 1/3 Ø º ø- ß x 1 2 +

x - g) 0 h) 0 < > 4 2 x log(1) + 2 1 x - x -

log

1/ 3

log(815) x x 2 -

i) 1x k) log < < 1 x+ 3 log(1) 1/2 Ø loglog(39) º 9 ø- ß

5 x + 2 x 3 + > 1

(0,5) l) 2 m) < 1

Trang 76

Traàn Só Tuøng Haøm soá luyõ thöøa – muõ –logarit

Baøi 8.

() 1 x y -

x y + 4128 y 2 3 - -

3 5

x y + 5125

1 4 a) b) 5 1 = = = = (cid:236) x c) 2212 + = (cid:237) x y + = (cid:238)

x 716 - x 449 -

y x -

= f) e) d) y 0 y 0 = = 3.2972 = y x log() 2 = - 3 (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

xy x y

- y

) x

)

x 1 + = i) h) 2 2 = /2 7 = y 9 6 + = g) y ( (cid:236)(cid:239) x 2 3277 - (cid:237) x 32 - (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) ( (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) 43.416 - x 8 = 212 y - -=

Giaûi caùc heä phöông trình sau: (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) x 3.22.32,75 + (cid:237) y x 230,75 -= - (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) Giaûi caùc heä phöông trình sau:

Baøi 9.

yx lg xy

log

log 2 x

y - = x log() 2 3 y - = c) a) b) 2 20 = = x loglog 4 2 x 0 2 2 y 54 0 -+ = y - = (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:237) (cid:238) x loglog 4 7 6

log

log 3 y

x = y = log2log + 2 f) d) e) y 4 3 2 y 16 x = + 2 x = (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236)(cid:239) 3 (cid:237) (cid:239)(cid:238) 11 x 15 loglog1log 5 y += + 2 - = y x 33

2 2 y lg()1lg13 x +- = lg()lg()3lg 2 y = +--

( x 2loglog y

= + 8 x 2 y 2 9 8 h) g) i) + = = xyx 5 x xy ) y (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) 3 y + = x y x loglog 2

1 +

x y + y x 432 log()1log( xyx -=-

x 2log315 = - m) l) 3 x = + 3.2576 = log() 4 x y = - 2 (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) = y ) (cid:236) (cid:239) 2 (cid:237) 3.log2log x (cid:239)(cid:238) + 3 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) k)

Trang 77

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

CHÖÔNG III NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG

I. NGUYEÂN HAØM

1. Khaùi nieäm nguyeân haøm • Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu: , "x ˛ K Fxf x= '()( )

(cid:242)

• Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø: fxdxFx C= ()( ) , C ˛ R. +

• Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân K ñeàu coù nguyeân haøm treân K.

]

• fxdxfx C= + – • [ (cid:242)(cid:242) ()()()( ) fxgxdxfxdxgxdx –= (cid:242)

(cid:242)

k • ()()(0) kfxdxkfxdx = „ 2. Tính chaát '()( ) (cid:242) (cid:242)

3. Nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp

x adxC

(cid:242)

(cid:242) (cid:242)

x a a =+< „ ln a • cossinxdxx C=

• 0dx C= (01) • • dxx C= + +

a xdx

(cid:242)

(cid:242) (cid:242)

1 a + x =+„ - 1 a +

C ,(1) a • • sincosxdxx C=- +

(cid:242)

• dxx C ln = + dxx C tan = + • 1 2 x

x C=

(cid:242)

axbax b + edxeC a

1 x x edxe • + cot dxx C =- + • cos 1 2 sin x

(cid:242)

,(0) • cos()sin()(0) +=++ • „

(cid:242)

• „ • 1 axbdxaxbC a „ a 1 sin()cos()(0) axbdxaxbC a +=-++ a 1 =+ a 1 ln dxaxb C =+ + a 1 axb +

(cid:242)

( ) 4. Phöông phaùp tính nguyeân haøm a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá fuduFu C= ()( ) Neáu +

[

(cid:242)

C= + uu x= vaø ] [ fuxuxdxFux ().'()( ) coù ñaïo haøm lieân tuïc thì: ]

(cid:242)

b) Phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì: udvuvvdu - =

Trang 78

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

VAÁN ÑEÀ 1: Tính nguyeân haøm baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm

Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn.

Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi:

– Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm.

– Naém vöõng pheùp tính vi phaân.

Baøi 1. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:

2 x

x 1 2 x 3 b) f x ( ) a) f x ( ) c) = ()– 3 fxx = = - 2 + 2 1 + x x

2 x (1)

3 +

x 1 d) fxxx ( ) f) f x ( ) e) f x ( ) x=+ = - = 2 3 - 2 x x x

2 x

h) i) g) ()tan fx = ()cos fx = f x = ()2sin

1 +

2 sin.cos x (

)

2 cos

x x 2 1 m) l) f x ( ) k) f x ( ) = x= ()2sin3cos 2 fxx = x x x e n) p) o) fx () ( ) fx e = ()– 1 x e= fxe e = x cos 2 2 x sin.cos (cid:230) 2 +(cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

Baøi 2. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc:

2 1 + x

a) b) ()45;(1) 3 fxxx -+ = = F=- ()35cos;() 2 fxx =p F 2 x x c) d) F = ();(1) fx = 3 5 - ();() 1 fxF e = x 3 = 2

4 x 32 ();(1) 2 fx =

x 1 fx ()=;(2) 0 e) F f) fxxx ();(1) - = 2 =+= - - 2 x 1 F x 3 + - F 0 F h) g) ()sin2.cos;' fxxx = = = x 5 2 p 3 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

3 ();(0) 8 fx =

x x 33 x ++ - p p i) F k) fx ()sin ; = = == 7 2 F 4 x x 22 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł x (1) +

Baøi 3. Cho haøm soá g(x). Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) thoaû ñieàu kieän cho tröôùc:

a) F 3 gxxxxfxxx ()cos;()sin; =+= = p 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

2 0

2 F 2

b) F ()sin;()cos;() gxxxxfxxx =+= = p

c) ()ln;()ln;(2) gxxxxfxx =+== -

Baøi 4. Chöùng minh F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x):

4 ()tan3 x Fxx 5 - =+ 5 ()4tan4tan x fxx =+

a) b) ()(45) e Fxx = ()(41) e fxx = - - 3 +

2 (4)(3) x +

x x - 2 1 + x ()ln F x = ()ln F x = 2 1 + x (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł c) d) (cid:246)+ 4 (cid:247) (cid:247) 3 + ł 2 x - x + 2 x - ( ) f x = ( ) f x = x 22(1) 4 x + 1 x + (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:239) (cid:238)

Trang 79

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

Fxxmx ()ln 5 =- b) a) . Tìm m . Tìm m . . 2 3

Baøi 5. Tìm ñieàu kieän ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x): 2 + x +

3 ()(32)4 Fxmxmx =++- 2 x 4 fxx ()310 =+

f x ( ) = 3 x + - (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) x x 3 5 + + (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

2 4

2 +

) ()() x Fxaxbxcx =++ d) c) . Tìmab c .,, . .,, Tìmab c - 2 Fxaxbxc e ()( =+ e fxx ()(3) - = 4 ()(2) fxxx x (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) =- -

2 + +

2 + 2 +

) ) f) e) Tìmab c .,, . Tìmab c .,, . Fxaxbxc e ()( =+ 2 e fxxx ()(32) =- Fxaxbxc e ()( =+ e fxxx ()(287) =-- (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238)

Fxaxx ()(1)sinsin2sin 3 x =++ + g) Tìmab c .,, . b 2 c 3 x ()cos fx =

2 3 2 x 2030

Fxaxbxc ()()2 =++ h) Tìmab c .,, . - x 7 x - + f x ( ) = x 2 3 - (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

VAÁN ÑEÀ 2: Tính nguyeân haøm fxdx ( ) baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá

(cid:242) ] guxu x ().'( )

thì ta ñaët . ()'( ) tuxdtuxdx =(cid:222) = • Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: f(x) = [

(cid:242)

Khi ñoù: fxdx ( ) = ( )gtdt , trong ñoù ( )gtdt deã daøng tìm ñöôïc.

(cid:242)

Chuù yù: Sau khi tính ( )gtdt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x).

• Daïng 2: Thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau:

f(x) coù chöùa

sin , t xat =-£ £ Caùch ñoåi bieán p 2 p 2 a x- hoaëc xat cos, t 0 =£ £ p

xat tan , t =-< < p 2 p 2 a x+ cot, t 0 hoaëc =< < p

xat

Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau (ñoåi bieán soá daïng 1):

(cid:242)

dx b) c) 5 2xdx - a) (51)xdx- (cid:242) x- (32 )

2 (21)xxdx+

34 2 (5)xxdx+

(cid:242)

d) e) f) dx

2 1. xxdx+

(cid:242)

2 )

3 x x 2 5 x + dx g) h) dx i) x (1 x+

4 sincosxxdx

(cid:242)

tan k) l) dx m) x+ 5 2 sin x 5 xdx 2 cos cos x x

Trang 80

x edx

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

2 1 . xxedx +

(cid:242)

xe x

tan

dx n) o) p) 3

(cid:242)

x e - 3ln x x

e r) q) dx dx s) cos x dx 1x e +

Baøi 2. Tính caùc nguyeân haøm sau (ñoåi bieán soá daïng 2):

2 .xdx

(cid:242)

2 3 )

dx dx b) c) 1 a) - (1 x+ (1 x-

(cid:242)

dx dx . e) f) d) xxdx - 1 1 x+

2 1.

3 xxdx +

(cid:242)

dx x- 4 2 xdx i) g) h) x 1 x+ + 1 x-

VAÁN ÑEÀ 3: Tính nguyeân haøm baèng phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn

Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau:

(cid:242)

Pxxdx ().cos Pxxdx ().sin ().lnPxxdx Pxedx ().

P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x) u dv P(x) xedx

Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau:

2(5)sinxxdx+

a) .sinxxdx c) b) xxdx cos

2(23)cos xxxdx+

(cid:242) (cid:242)

e) xxdx sin 2 f) xxdx cos 2 d) +

2 3 x xedx

i) ln xdx g) . xxedx h)

(cid:242) m)

2 ln(1)xdx+

k) lnxxdx l)

2 xxdx

n) tanxxdx p) cos

(cid:242) (cid:242) (cid:242) (cid:242)

(cid:242) 2 cos 2 xxdx (cid:242) (cid:242)

(cid:242) 2ln xdx (cid:242) o) (cid:242) (cid:242)

q) ) s) lgxxdx .2xxdx r) xxdx + ln(1

Baøi 2. Tính caùc nguyeân haøm sau:

xedx

(cid:242)

ln xdx a) c) sin xdx b) x

3 sin xdx

(cid:242)

d) cos xdx f) e) .sinxxdx

(cid:242)

g) dx i) cos(ln )xdx h) sin(ln )xdx ln(ln )x x

Baøi 3. Tính caùc nguyeân haøm sau:

xexdx

xexxdx+

(cid:242)

a) .cos b) (1tantan ) c) .sin 2 +

(cid:242)

ln(1 )x d) dx dx f) dx e) x ln(cos ) 2 + 2 x 2 cos x x cos x

Trang 81

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Traàn Só Tuøng

)

(cid:242)

Nguyeân haøm – Tích phaân ( x xx ln 1 x + + dx i) dx g) dx h) ln x x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł x 1 1 x+ +

VAÁN ÑEÀ 4: Tính nguyeân haøm baèng phöông phaùp duøng nguyeân haøm phuï

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x), ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) – g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). Böôùc 1: Tìm haøm g(x). Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) – g(x), töùc laø:

(*) FxGxAx C ()()( ) += FxGxBx C ()()( ) -= + + (cid:236) (cid:237) (cid:238)

[

]

C laø nguyeân haøm cuûa f(x). Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra + 1 ()()( ) FxAxBx =+ 2

Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau:

(cid:242)

x x x dx b) dx c) dx a) x x x cos x sincos - sin x sincos +

(cid:242)

4 x sincos

x sin x cos x d) f) dx e) dx dx x sin x sincos - cos x sincos + x x + +

2 2sin.sin 2xxdx

2 2cos.sin 2xxdx

(cid:242)

g) h) i) dx e

(cid:242)

4 sincos x x e e-- x - e -+ e

k) l) m) dx dx dx e e e e -- e e e-+

VAÁN ÑEÀ 5: Tính nguyeân haøm cuûa moät soá haøm soá thöôøng gaëp

1. f(x) laø haøm höõu tæ: f x ( ) = ( ) P x Q x ( )

– Neáu baäc cuûa P(x) ‡ baäc cuûa Q(x) thì ta thöïc hieän pheùp chia ña thöùc.

– Neáu baäc cuûa P(x) < baäc cuûa Q(x) vaø Q(x) coù daïng tích nhieàu nhaân töû thì ta phaân tích f(x) thaønh toång cuûa nhieàu phaân thöùc (baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh).

A B Chaúng haïn: + 1 xaxbxax b ()( ) --- = -

+ vôùibac ,4 0 D 1 2 ABx C < =+=- x m - xmaxbxcaxbx ()( ) c -+++ +

D + 2 - ) 1 222 ()()()( xaxbxax b --- ABC =++ xax b - -

2. f(x) laø haøm voâ tæ

m ax b + cx d +

+ f(x) = t ﬁ ñaët = (cid:230) R x (cid:231) Ł (cid:246)+ , m ax b (cid:247) cx d + ł

1 + f(x) = R ﬁ ñaët txax b =++ + xax b ()( ) + + (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

Trang 82

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

• f(x) laø haøm löôïng giaùc

Ta söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc thích hôïp ñeå ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn. Chaúng haïn:

[ sin()(

]

xax b ) +- + 1 . söûduïng 1 , + = ) sin( sin( ) ) 1 xaxbabxax b sin().sin()sin()sin().sin( ++-+ = + a b - a b - (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

[ sin()(

]

xax b ) +- + 1 + . , söûduïng 1 = ) sin( sin( ) ) 1 xaxbabxax b cos().cos()sin()cos().cos( ++-+ = + a b - a b - (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

[ cos()(

]

xax b ) +- + 1 . , söûduïng 1 + = ) cos( cos( ) ) 1 xaxbabxax b sin().cos()cos()sin().cos( ++-+ = + a b - a b - (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

+ Neáu R x thì ñaët t = cosx (sin,cos)(sin,cos ) xxRx -= -

+ Neáu R xxRx x thì ñaët t = sinx (sin,cos)(sin,cos ) -= -

+ Neáu R x thì ñaët t = tanx (hoaëc t = cotx) (sin,cos)(sin,cos ) xxRx --= -

Baøi 1. Tính caùc nguyeân haøm sau:

(cid:242)

x + b) c) a) x dx x x + (1) dx (1)(23) x + - 1 dx 1 x

(cid:242)

d) e) f) x x 9 +

(cid:242)

223 x dx

dx 2 6 x- x g) i) dx dx dx h) x dx 2 710 x- + x (1)(21) x + + x 2 + x- 2 -

(cid:242)

k) m) l) dx 1 dx 2(1) x x + x+ - dx 2 4 x - 3 x 2 3 x- x 3 1 x -

Baøi 2. Tính caùc nguyeân haøm sau:

(cid:242)

1 x 1 + a) b) c) dx dx dx 1 1 1 1 x x 2 1 3 x+ + x+ + -

(cid:242)

4 x+

1 d) e) f) dx dx dx x x x 3 x-

(cid:242)

g) h) dx 3 1 1 xdx x x x (1) x x + i) 3 1 (cid:242) 1 xdx x x - + - + xx +

(cid:242)

3 (21)2 x +-

x + dx k) l) m) 1 x x 6 x 8 + dx 2 5 x- + dx 2 6 x+ +

Baøi 3. Tính caùc nguyeân haøm sau:

2 (tantan

(cid:242)

c) a) sin2sin 5xxdx b) cossin 3xxdx xxdx+ )

(cid:242)

x dx dx d) e) f) x dx cos x

(cid:242)

dx h) g) dx i) cos 2 +(cid:242) 1sincos x 1sin x - cos x 2sin 3 sin cos x + 1 x x x coscos p 4 dx (cid:230) x +(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

3 cos xdx

4 sin xdx

(cid:242)

k) coscos2cos3 xxxdx l) m)

Trang 83

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

CHÖÔNG III NGUYEÂN HAØM, TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG

II. TÍCH PHAÂN

1. Khaùi nieäm tích phaân • Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b ˛ K. Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân K thì:

b (cid:242) a

F(b) – F(a) ñgl tích phaân cuûa f töø a ñeán b vaø kí hieäu laø fxdx ( ) .

b (cid:242) a

fxdxFbF a= ()()( ) -

bb (cid:242)(cid:242) aa

b fxdxftdtfuduFbF a ()()()...()( ) - ==== (cid:242) a

• Ñoái vôùi bieán soá laáy tích phaân, ta coù theå choïn baát kì moät chöõ khaùc thay cho x, töùc laø:

( ) thaúng x = a, x = b laø: • YÙ nghóa hình hoïc : Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân ñoaïn [a; b] thì dieän tích S cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa y = f(x) , truïc Ox vaø hai ñöôøng b Sfxdx= (cid:242) a

2. Tính chaát cuûa tích phaân

b (cid:242) a

0 (cid:242) 0

b (cid:242) a

a (cid:242) b

b (cid:242) a

fxdx () (k: const) • 0 = • fxdxfxdx= - ()( ) • kfxdxkfxdx= ()( )

]

b (cid:242) c

bb • [ (cid:242)(cid:242) aa

b ()()()( ) fxgxdxfxdxgxdx –= (cid:242) a

bc (cid:242)(cid:242) aa

• ()()( ) fxdxfxdxfxdx = + –

b (cid:242) a

fxdx () • Neáu f(x) ‡ 0 treân [a; b] thì 0 ‡

b (cid:242) a

• Neáu f(x) ‡ g(x) treân [a; b] thì fxdxgxdx‡ ()( )

3. Phöông phaùp tính tích phaân a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá

( ) u b (cid:242) ( )

b ] [ ().'()( ) fuxuxdxfudu (cid:242) au a

trong ñoù: u = u(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, y = f(u) lieân tuïc vaø haøm hôïp f[u(x)]

xaùc ñònh treân K, a, b ˛ K. b) Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, a, b ˛ K thì:

b udvuvvdu = a

b (cid:242) a

Trang 84

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

Chuù yù: – Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm.

b (cid:242) a

– Trong phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, ta caàn choïn sao cho vdu deã tính

b (cid:242) a

hôn udv .

VAÁN ÑEÀ 1: Tính tích phaân baèng caùch söû duïng baûng nguyeân haøm

Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn. Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x), roài söû duïng tröïc tieáp ñònh nghóa tích phaân:

b (cid:242) a

fxdxFbF a= ()()( ) -

Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi:

– Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm.

– Naém vöõng pheùp tính vi phaân.

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

1 +

1 ( x e ) dx ( x 2 x )1 dx dx + + a) (cid:242) b) (cid:242) c) (cid:242) 3 ++ x -2 x x

( x

)

(cid:242)

1 e (cid:242) 1

4 x dx f) ) ( d) e) dx 1 xxdx ++ x + 2 x 1 + 2 x 2 +

) dxx

(

(cid:242)

1 2 (cid:242) x- 1 2 (cid:242) 1

2 (cid:242) 1 2

x 2 x 4 g) h) ( ) i) (1)(1)xxxdx+- + xxxxdx+ + + -

8 (cid:242) 1

2 (cid:242) 1

e (cid:242) 1

1 x 2 x x 25 7 x k) dx l) dx m) 4 xdx - - 3 + - x x 3 x (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:

2 (cid:242) 1

5 (cid:242) 2

2 (cid:242) 1

2 xxdx +

(cid:242) 0

2 (cid:242) 0 3

dx b) c) ( ) a) 1xdx+ xxxxdx+ + x2 2x - ++ 2 3 x xdx e) dx f) 9 d) dx 1 1 x+ x-

Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:

)

(

p 6 (cid:242) 0

sin( 2 x ) dx b) c) sin3cos 2xxdx + + (2sin3 xcosxxdx ) + + a) (cid:242) p 6

2 3tan xdx

2 (2cot5)xdx+

p 4 (cid:242) 0

p 4 (cid:242) p 6

p 2 (cid:242) p 3 p 3 (cid:242) p 4

f) d) e) xdx tan . 2 cos x

Trang 85

VNMATHS.TK - Free Ebooks

p 2

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

2 sin.cosxxdx

p 2 (cid:242) 0

g) h) dx x x x 1cos - +(cid:242) 1cos

4 cos xdx

p 4 (cid:242) 0

sin( x ) - k) l) m) dx (tancot xxdx ) -

p 2 (cid:242) p - 2

sin( x ) + p 4 p 4 dx +(cid:242) 0 1sin p 3 (cid:242) p - 6

Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau: x -

(cid:242) 0

2 (cid:242) 1

1 (cid:242) 0

ln 2

x edx (1

(cid:242) 0

(cid:242) 1

e e - 4 e - c) dx a) dx b) (1). xdx + 2 xx x ln 2 e + + + e x e x e f) ) e) dx d) - x dx 1 e 1 (cid:242) 0 2 e x e +

cos exdx

p 2 (cid:242) 0

(cid:242) 1

xe x

x dx i) sinx h) dx g) 1ln + x

xxedx

(cid:242) 0

1 (cid:242) 0

x 1 k) m) dx l) dx lne (cid:242) 1 x 1 e+

VAÁN ÑEÀ 2: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá

b (cid:242) a

Daïng 1: Giaû söû ta caàn tính gxdx ( ) .

[ gxfuxu x= ()().'( )

]

b (cid:242) au a

( ) u b (cid:242) ( )

gxdxfudu= ()( ) Neáu vieát ñöôïc g(x) döôùi daïng: thì

b (cid:242) a

Daïng 2: Giaû söû ta caàn tính fxdx ( ) .

Ñaët x = x(t) (t ˛ K) vaø a, b ˛ K thoaû maõn a = x(a), b = x(b)

[ ()()'()( ) fxdxfxtxtdtgtdt =

[ gtfxtx t= ()().'( )

]

(

)

] (cid:242)

b (cid:242)(cid:242) a

thì =

Daïng 2 thöôøng gaëp ôû caùc tröôøng hôïp sau:

f(x) coù chöùa Caùch ñoåi bieán

xat t sin , =-£ £ p 2 p 2 a x- hoaëc xat cos, t 0 =£ £ p

xat tan , t =-< < p 2 p 2 a x+ hoaëc xat t 0

{ }

[

]

p p p x ,;\ 0 t cot, =< < a =˛ - t sin2 2 Ø Œ º x a- hoaëc x t \ ,0; = ˛ p a cos t ø œ ß (cid:236) (cid:252) p (cid:237) (cid:253) 2 (cid:238) (cid:254)

Trang 86

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (ñoåi bieán soá daïng 1):

19)

32 )

dx x 1( x dx - x 2 c) (cid:242) a) (cid:242) x 1 x b) (cid:242) + x 1( +

3 xxdx - 1

1 (cid:242) 0

xdx e) f) 1xxdx- d) (cid:242) 2x 1 +

1 (cid:242) 0 ln 2 (cid:242) 0 1 e

x 2 x e + dx dx dx i) h) (cid:242) g) (cid:242) e+ 1 x + xx 4 +

x edx

ln 3 (cid:242) 0

x e +

(

)

p 6

p 2

2 dxx x ln x dx k) l) (cid:242) m) (cid:242) ln + x 2 ln31 + x 1

2sin x x dx dx dx o) (cid:242) n) (cid:242) p) (cid:242) x cos sin2 x x cos sin. x 2 sin 1 + 2sin 2 x + sin4 cos x +

1 2

x Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (ñoåi bieán soá daïng 2):

2 4

x dx dx x x dx - c) (cid:242) b) (cid:242) a) (cid:242) 4 x - 1 x -

f) (cid:242) e) (cid:242) d) (cid:242) dx )(1 x ( x )2 x 1 x 3 + + xdx 2 x + + dx 2 +

(cid:242)

2 1 x - 3 x

0 (cid:242) 1 -

( 1 x +

)

dx dx dx i) g) h) (cid:242) x 2 x 2 + +

2 2 (cid:242) 0

3 (cid:242) 2

2 (cid:242) 0

2 x x -

x dx k) m) dx l) 2xxxdx - 1 1 x-

VAÁN ÑEÀ 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn

Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau:

b (cid:242) a

Pxxdx ().cos Pxxdx ().sin Pxlxdx (). n Pxedx ().

P(x) cos xdx P(x) sin xdx u dv lnx P(x) P(x) xedx

p 4

p 2

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

2 cos xdx

x 2sin xdx ( x sin x ) cos xdx x + a) (cid:242) b) (cid:242) c) (cid:242)

2)2 e

p 4 (cid:242) 0

p 3 (cid:242) p 4

( x dx d) xxd x co s e) - tanxxdx f) (cid:242)

Trang 87

VNMATHS.TK - Free Ebooks

2ln

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

(cid:242)

p 2

cos

xe x dx x ln dxx ln( x dxx ) g) h) - i) (cid:242)

3 e x

5sin 2sin xdx e xdx ln xdx k) (cid:242) l) (cid:242) m) (cid:242)

3 ln

(cid:242)

1 -

1 e

x dxx ( ex x )1 dx dx o) q) + + x 2 p) (cid:242) ln x

VAÁN ÑEÀ 4: Tính tích phaân caùc haøm soá coù chöùa giaù trò tuyeät ñoái

Ñeå tính tích phaân cuûa haøm soá f(x) coù chöùa daáu GTTÑ, ta caàn xeùt daáu f(x) roài söû duïng coâng

thöùc phaân ñoaïn ñeå tính tích phaân treân töøng ñoaïn nhoû.

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

2 dx x dxx 2 x 3 dx c) - + - a) (cid:242) - x b) (cid:242) x(cid:242)

2 xdx -

3 (cid:242) 0

5 (cid:242) 2 -

3 (cid:242) 3 -

d) 1 e) (22 )xxdx f) 2 4 dx +- - -

2 xxdx-

4 (cid:242) 1

1 (cid:242) 1 -

x 4 x 4 dxx i) g) 6 9 4 xdx + - + - h) (cid:242)

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:

p (cid:242) 0

p 2 (cid:242) p - 2

1 cos 2 dxx 1sin2 . xdx c) b) - - sin xdx a) (cid:242)

p (cid:242) 0

2 p (cid:242) 0

p (cid:242) p -

1sin xdx e) xdx f) 1cos 2 xdx d) - 1cos + +

2 tancot

2 2

2 p (cid:242) 0

p 3 (cid:242) p - 2

p 3 (cid:242) p 6

g) h) i) xdx 1sin + xxxdx coscoscos xxdx+ - -

VAÁN ÑEÀ 5: Tính tích phaân caùc haøm soá höõu tæ

Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá höõu tæ.

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

b) (cid:242) c) (cid:242) x 6 x dx 2x 1 dx a) (cid:242) + x dx 5x - + x + +

dx e) d) f) (cid:242) x x ) dx 1( + x dx )

(cid:242)

1 (cid:242) 0

x 1 h) i) dx g) (cid:242) (xx )1 x (cid:242) + ( ) 321 dx - x + + 1 x + x (cid:242) - ( 1 x ) ( x dx 11 4 + 2 x x 5 6 + +

Trang 88

3 xx 269

2 x

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

3 (cid:242) 2

1 (cid:242) x + 0 (31)

0 (cid:242) 1 -

9 3 x x + + + dx l) dx m) dx k) -+ 2 x 33 3 x x x x 2 3 3 2 + - +

- Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:

)

(cid:242)

( x 3 2 x

x x 9 + + dx dx b) a) (cid:242) c) (cid:242) dx 2x x 2 x 2 2 x - + 2 + 1 + 4 + 4 +

2008

x x dx dx 1 dx e) f) d) 1 2 x + + 2 x x 1 x+ (2)(3) x + + +

2008

1 (cid:242) 0 2 (cid:242) 1

1 1 x - g) dx dx h) dx i) x (1 ) x x (1 ) x+ +

2 (cid:242) 0

2 (cid:242) 1

1 (cid:242) 0 1 3 x (cid:242) 2 x - 2 (1) 1 (cid:242) 0

1 1 x 2 x - - k) dx l) dx m) dx 4 x x 1 1 x+ + +

VAÁN ÑEÀ 6: Tính tích phaân caùc haøm soá voâ tæ

Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ.

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

2 1dx +

x dx xx dx a) (cid:242) c) (cid:242) b) (cid:242) x x 1 ++ x x 1 + +

6 (cid:242) 2 214 x 1

x x dx dx dx e) d) (cid:242) f) (cid:242) 1 x 1 + - 1 ++ x + x 1 +

10 (cid:242) 5 7 3

4 x 3 - dx x x 1dx dx g) + i) (cid:242) h) (cid:242) 2 3 x 1 + + x 2 x 1 - -

3 (cid:242) 0

2 x x +

2 3 (cid:242) 5

x 1 x x dx + + dx m) dx l) k) (cid:242) 3 x 1 + 4 1 x +

2 (cid:242) 1

2 2 (cid:242) 0

2 x x -

3 x x +

3 (cid:242) 2

dx dx dx o) n) p) 1 1 x x + - 1 1

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:

3 (cid:242) 1

1 (cid:242) 0

2 3 )

dx x 1 + a) b) dx c) xxdx + 1 (1 x x 1 x+ +

2 xdx+

3 xxdx - 10

2 (cid:242) 1

1 (cid:242) 0

3 (cid:242) 0

d) 2008 e) f) 1 xdx +

3 xdx

2 (cid:242) 1

1 (cid:242) 0

1 (cid:242) 11 x - ++

2 x +

dx dx g) i) h) 1 2008 x 1 x+ +

2 xdx

2 8

2 2 (cid:242) 0

5 4 (cid:242) 1

2 3 )

dx 124 l) k) m) xxdx- - (1 1 x- x-

Trang 89

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:

p 2 (cid:242) 0

cos xdx cos xdx a) b) c) sincoscos xxxdx - x 7cos 2 + x 2cos +

3 1cossincosxxxdx

p 2 (cid:242) 0

p 3 (cid:242) 0

x cos xdx sin2sin x + d) e) dx f) - x x 13cos + 2cos 2 +

p 2 (cid:242) 0 p 2 (cid:242) 0

p 2 (cid:242) 0

p 3 (cid:242) p 4

cos xdx tgx x sin2sin x + i) g) dx h) dx x 13cos + x x x cos1cos + 1cos +

Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau:

2 x edx

ln 3 (cid:242) 0

ln 2 (cid:242) 0

e (cid:242) 1

x e +

x edx

2 (1) x xexdx

ln 3 (cid:242) ln 2

ln 2 (cid:242) 0

0 (cid:242) 1 -

x e + (1)

x x dx a) c) b) 13lnln + x 1 dx 1x e + 2 ln x d) dx e) f) + + x ln 1 x +

1 (cid:242) 0

ln 2 (cid:242) 0

ln 3 (cid:242) x e 0 (1)

x e 1

e h) i) g) dx dx 1xedx- e + - e e-+

VAÁN ÑEÀ 7: Tính tích phaân caùc haøm soá löôïng giaùc

Xem laïi caùch tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá löôïng giaùc.

p 4

p 2

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

p 2

x .2sin cos xdx tan dx xdx a) (cid:242) b) (cid:242) x cos x sin c) (cid:242) + 31

2 3

(cid:242)

p 2

sin sin cos dxx x xdx e) f) (cid:242) d) (cid:242)

2 sincosxxdx

4 sincosxxdx

p 2 (cid:242) 0

p 2

x xdx sin cos g) i) h) (cid:242)

3 (sincos

3 cos x cos

p 2 (cid:242) 0

x dx k) dx l) xxdx+ ) m) (cid:242) cos x x cos 2sin 1 + 1 x +

3 tan xdx

4 tan xdx

p 4 (cid:242) 0

p 3 (cid:242) p 4

p 3 (cid:242) p 4 p 2

dx n) o) p) sin.cos x x

3 cos +(cid:242) 1cos

p 2 (cid:242) 0

/3 p (cid:242) 4 x /6 sin.cos p

dx sin dx r) dx s) q) x 2 x x x x 1cos +

Trang 90

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:

p 3

p 2

p +2 1

(cid:242)

p 4

p 6

p 2

sin

tan 2 x x 1 cos sin cos x x xdx dx dx c) - a) (cid:242) b) (cid:242) 2sin x sin + cos cos x x + cos 1 cos x x +

4 xxxdx + ) cos2(sincos

)

p 4 0

( (cid:242) + 1

p 2 (cid:242) 0

sin 2sin (tan x e cos dxx ) x dxx d) f) + e) (cid:242)

22 x (tan1).cos

2 sin9cos +

p 3 (cid:242) 0

p 4 (cid:242) 0

p 3 (cid:242) p - 3

sin 1 g) xxdx sin.ln(cos ) h) dx i) dx x 5 x x x +

Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:

p 2

p 2 (cid:242) p 3 p 2

p 2

dx a) b) c) dx 1 sin x x x 1 +(cid:242) 2sin dx -(cid:242) 0 2cos

x x x d) f) dx dx e) dx x x x sin +(cid:242) 2sin cos +(cid:242) 1cos cos -(cid:242) 2cos

p 2 (cid:242) 0

0 p 4 (cid:242) 0 coscos(

p 2 (cid:242) p - 2

dx 1 dx g) h) i) dx x 1 sincos x + + sincos x - x sin2cos + x 1 + x 3 + x x + p ) 4

p 2 (cid:242) 0

p 3 (cid:242) p 4

p 3 (cid:242) p 6

x (1sin)cos dx dx - k) dx l) m) x 2 (1sin)(2cos x ) x + - x sincos( x sinsin( x + x + p ) 4 p ) 6

Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau:

p 3

p 2

p 4

x xdx dx 2( )1 cos - a) (cid:242) c) (cid:242) x xdx cos 2 b) (cid:242) + 1 x x 2 cos

3 sin xdx

2 xxdx

2 1 x xedx +

p 2 (cid:242) 0

d) e) cos f) sin2 .

2 (cid:242) 1

p 2 (cid:242) 0

3 (cid:242) p 6

g) cos(ln )xdx i) h) dx xxdx- (21)cos x ln(sin ) 2 cos x

p (cid:242) 0

p 4 (cid:242) 0

p (cid:242) 0

p 4

k) sinxexdx 2 l) tanxxdx m) xxxdx sincos

2 sin x exxdx

p 2 (cid:242) 0

p 4 (cid:242) 0

n) sincos o) ln(1tan )xdx + p) (cid:242) dx 4 cos x

Trang 91

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

VAÁN ÑEÀ 8: Tính tích phaân caùc haøm soá muõ vaø logarit

Söû duïng caùc pheùp toaùn veà luyõ thöøa vaø logarit. Xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm.

2ln

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

8ln

1 c) dx b) (cid:242) 5 dx x e dx + 4 e a) (cid:242) + 0 1

2.1 e

3ln

e e dx dx dx + e) (cid:242) d) (cid:242) e e e 1 +

2 (cid:242) 0

1 (cid:242) 0

2 (cid:242) 1

2 -

h) dx dx i) dx g) 1 1 e 1 e x e + 1 e--

1 (cid:242) x e + 0 -2ln 1 f) (cid:242) + 0 1 - e x - + ln 3 (cid:242) 0

e (cid:242) 1

1 (cid:242) 0

x l) dx k) dx dx m) x ln 2 (ln1) e 1 x + e x - + 1 1x e +

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:

p 2

2 dx

p 2

xe x xe x - dx e x sin xdx c) (cid:242) a) (cid:242) b) (cid:242)

( 1ln

) dxx

(cid:242)

e (cid:242) 1 3

x e x x xdx x ( cos ) cos e) dx f) + + d) (cid:242) 1ln + x

e (cid:242) e

ln x x x lnln(ln ) + ln x dx i) g) dx dx + h) (cid:242) x ln(ln ) x x ln 1 x x + (cid:230) (cid:231)(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247)(cid:247) ł

2 (cid:242) 1

1 (cid:242) 0

p 3 (cid:242) p 6

x ln(1) + l) k) dx m) dx dx ln x 2 x 1 + x x ln(sin ) 2 cos x

VAÁN ÑEÀ 9: Moät soá tích phaân ñaëc bieät

Daïng 1. Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû

fxdx () • Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì 0 =

a (cid:242) 0

a (cid:242) a - a (cid:242) a -

• Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì fxdxfxdx ()2( ) =

Vì caùc tính chaát naøy khoâng coù trong phaàn lyù thuyeát cuûa SGK neân khi tính caùc tích phaân coù daïng naøy ta coù theå chöùng minh nhö sau:

a (cid:242) 0

0 (cid:242) a -

a Ifxdxfxdxfxdx ()()( ) == (cid:242)(cid:242) a -

0 + (cid:242) a -

Böôùc 1: Phaân tích J fxdxKfxdx ();( ) = = (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

0 = (cid:242) a - – Neáu f(x) laø haøm soá leû thì J = –K (cid:222) I = J + K = 0

Böôùc 2: Tính tích phaân ( ) fxdx J baèng phöông phaùp ñoåi bieán. Ñaët t = – x.

Trang 92

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

– Neáu f(x) laø haøm soá chaün thì J = K (cid:222) I = J + K = 2K

Daïng 2. Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì:

a dxfxdx = (cid:242) 0

a (cid:242) a- a

( ) (vôùi a ˛ R+ vaø a > 0) f x ( ) 1x +

Ñeå chöùng minh tính chaát naøy, ta cuõng laøm töông töï nhö treân.

x a

a (cid:242) 0

0 (cid:242) a -

0 a ()()( ) fxfxf x Idxdxdx == + (cid:242)(cid:242) (cid:242) xx aa a - - a Ñeå tính J ta cuõng ñaët:

J = = fxf x ()( ) x ; dxKdx 1 1 11 1 a a + + ++ + (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

t = –x.

p 2 (cid:242) 0

Daïng 3. Neáu f(x) lieân tuïc treân 0; thì fxdxfxdx = (sin)(cos ) p 2 Ø Œ º ø œ ß

x Ñeå chöùng minh tính chaát naøy ta ñaët: t - =

p 2 hoaëc Daïng 4. Neáu f(x) lieân tuïc vaø fabxf x+- ()( ) = fabxf x+-= - ()( )

thì ñaët: t = a + b – x

thì ñaët thì ñaët

t = p – x Ñaëc bieät, neáu a + b = p t = 2p – x neáu a + b = 2p Daïng 5. Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm

cuûa caùc haøm soá f(x) – g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). Ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: Böôùc 1: Tìm haøm g(x). Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) – g(x), töùc laø:

(*) ()()( ) FxGxAx C += FxGxBx C ()()( ) -= + + (cid:236) (cid:237) (cid:238)

[

]

C Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra laø nguyeân haøm cuûa f(x). + 1 FxAxBx ()()( ) =+ 2

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau (daïng 1):

3 xx -+- + 4

p 4 (cid:242) p - 4

1 2 (cid:242) 1 - 2

x x 1 a) b) c) dx cosln(1 xxxdx ) cos.ln xdx + + (cid:230) 1 (cid:231) 1 +Ł (cid:246)- x (cid:247) x ł cos x

(

)

1 (cid:242) 1 -

p 2 (cid:242) p - 2 1 (cid:242) 1 -

1 (cid:242) 1 -

xdx x sin x ln 1 e) f) dx d) xxdx + + + 2 x x 1 x 1 - + +

p 2 (cid:242) p - 2

x x + sin x g) h) dx dx xdx 2 cos 2 x 1cos + x x 4sin - 4sin -

1 (cid:242) x e 1 (1)(1) + -

1 (cid:242) 1 2 -

dx a) b) dx dx c) x + x 1x + x 1 - 1 2x +

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau (daïng 2): 1 (cid:242) 1 -

Trang 93

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

p (cid:242) p -

dx dx f) d) dx 1 x e) (cid:242) 3 x sin x 1x + + +

6 sincos x

p 2 (cid:242) p - 2

1 (cid:242) x 1 (41)(1) - p 2 (cid:242) p - 2

xx x x x h) i) g) dx dx dx sinsin3cos 5 x x 1 e 6 + + 1x + sin 1 2x + x + 21 - + p 4 (cid:242) p - 4

7 x sincos

sin x sin x x a) dx c) dx dx (n ˛ N*) b) x sincos x + x cos n cossin x x + +

Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau (daïng 3): p 2 (cid:242) 0

p 2 (cid:242) 0

2009

p 2 (cid:242) 0

x x x d) e) dx dx f) dx sincos x cos 4 x cossin x sin 4 x cossin x sin 20092009 x + + +

p 2 (cid:242) 0 Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau (daïng 4):

p (cid:242) 0

p 2 (cid:242) 0

x .sin x x + b) c) a) dx dx ln x 2 cos 2 x x (cid:230) 1sin + (cid:231) 1cos +Ł (cid:246) dx (cid:247) ł x x 4cos - 4sin -

p 4 (cid:242) 0

2 p (cid:242) 0

p (cid:242) 0

d) ln(1tan )xdx e) xxdx .cos f) .sinxxdx +

p (cid:242) 0

x x sin dx h) i) g) dx dx x 2 x x x sin +(cid:242) 2cos x 1cos +

p (cid:242) 0

x sin k) sin4ln(1tan ) dx l) m) xxxdx sincos xxdx + x 2 x 94cos + x +(cid:242) 0 1sin p 4 (cid:242) 0

x x x dx dx dx b) a) c) x x x sin sincos x - cos sincos x - sin sincos x +

p (cid:242) 0 Baøi 5. Tính caùc tích phaân sau (daïng 5): p 2 (cid:242) 0

p 2 (cid:242) 0

4 x sincos

p 2 (cid:242) 0

cos x sin x x dx dx f) dx e) d) x cos sincos x + x x + +

2 2sin.sin 2xxdx

6 x sincos

p 2 (cid:242) 0

sin x cos x i) g) h) dx dx x x + +

2 2cos.sin 2xxdx

p 2 (cid:242) 0

1 (cid:242) 1 -

e e l) k) dx m) dx e e e - -

1 (cid:242) 1 -

e- x - e e dx o) dx n) e e- e e + +

Trang 94

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

VAÁN ÑEÀ 10: Thieát laäp coâng thöùc truy hoài

b Ifxndx= (cid:242) n a

Giaû söû caàn tính tích phaân (, ) (n ˛ N) phuï thuoäc vaøo soá nguyeân döông n. Ta

0nI

cuï theå naøo ñoù. thöôøng gaëp moät soá yeâu caàu sau: • Thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø bieåu dieãn In theo caùc In-k (1 £ k £ n). • Chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. • Tính moät giaù trò

1 -

Baøi 1. Laäp coâng thöùc truy hoài cho caùc tích phaân sau:

p 2 nIxdx= (cid:242) 0

1 -

x sinn a) • Ñaët (cid:236) = sin u (cid:237) dvxdx sin . = (cid:238)

p 2 nIxdx= (cid:242) 0

(

)

x cosn b) • Ñaët (cid:236) = cos u (cid:237) dvxdx cos . = (cid:238)

- tantantan1tan xxx =+ -

p 4 nIxdx= (cid:242) 0

x tann c) • Phaân tích:

p 2 nIxxdx= (cid:242) 0

d) cos . • Ñaët (cid:236) = x u (cid:237) dvxdx cos . = (cid:238)

n xxdx

p 2 = (cid:242) 0

n x

sin . • Ñaët (cid:236) = x u (cid:237) dvxdx sin . = (cid:238)

1 nIxedx(cid:242) 0

e) • Ñaët .

x . f) ln • Ñaët (cid:236)(cid:239) = x u (cid:237) dvedx = (cid:239)(cid:238) (cid:236) = lnn u (cid:237) dvdx = (cid:238)

nIxdx=

e nIxdx= (cid:242) 1 1 (1 -(cid:242) 0

g) )n x cos t Ñaët • Ñaët = ﬁ (cid:236) = u t sin (cid:237) dvtdt sin . = (cid:238)

n )

22 (1)(1)(1 xx ++

1 (cid:242) 0 (1

1 1 x x + h) I • Phaân tích = = - dx 2 x ) x + +

n )

1 (cid:242) 0 (1

x x x Tính J dx . Ñaët = dvdx = x + (1 x )n + (cid:236) = u (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

1 nIxxdx= (cid:242) 0

1 . i) - • Ñaët 1 . - (cid:236)(cid:239) = x u (cid:237) dvxdx = (cid:239)(cid:238)

p 4 = (cid:242)

0 cos

t k) • Phaân tích ﬁ Ñaët = = Idx n dx n x 1 1 cosn x+ 1cos coscosn x x 1 x+

Trang 95

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

III. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN

1. Dieän tích hình phaúng • Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. – Truïc hoaønh. – Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b.

b Sfxdx= (cid:242) a

( ) laø: (1)

• Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. – Hai ñöôøng thaúng x = a, x = b.

b Sfxgxdx (cid:242) a

= ()( ) - laø: (2)

Chuù yù:

b (cid:242) a

fxdxfxdx= ()( ) • Neáu treân ñoaïn [a; b], haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu thì:

ñöôïc 2 nghieäm c, d (c < d).

• Trong caùc coâng thöùc tính dieän tích ôû treân, caàn khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân. Ta coù theå laøm nhö sau: Böôùc 1: Giaûi phöông trình: f(x) = 0 hoaëc f(x) – g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]. Giaû söû tìm Böôùc 2: Söû duïng coâng thöùc phaân ñoaïn:

bcd (cid:242)(cid:242)(cid:242) aac

b (cid:242) d

()()()( ) fxdxfxdxfxdxfxdx =+ +

cd (cid:242)(cid:242) ac

b ()()( ) fxdxfxdxfxdx + (cid:242) d

= +

(vì treân caùc ñoaïn [a; c], [c; d], [d; b] haøm soá f(x) khoâng ñoåi daáu)

(g vaø h laø hai haøm soá lieân tuïc treân ñoaïn [c; d])

• Dieän tích S cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: – Ñoà thò cuûa x = g(y), x = h(y) – Hai ñöôøng thaúng x = c, x = d.

d Sgyhydy (cid:242) c

= ()( ) -

2. Theå tích vaät theå

• Goïi B laø phaàn vaät theå giôùi haïn bôûi hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi caùc ñieåm caùc ñieåm a vaø b. S(x) laø dieän tích thieát dieän cuûa vaät theå bò caét bôûi maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x (a £ x £ b). Giaû söû S(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b].

b VSxdx= (cid:242) a

( ) Theå tích cuûa B laø:

• Theå tích cuûa khoái troøn xoay: Theå tích cuûa khoái troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:

Trang 96

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

(C): y = f(x), truïc hoaønh, x = a, x = b (a < b)

2 ( )

b Vfxdx= (cid:242)p a

sinh ra khi quay quanh truïc Ox:

2 ( )

Chuù yù: Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay xung quanh truïc Oy: (C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d

d Vgydy= (cid:242)p c

laø:

VAÁN ÑEÀ 1: Tính dieän tích hình phaúng

Baøi 1. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

2 46,0,2, =

x , a) yxxyx x 4 b) y e =--==- ,0, yxx = ln === x 1 e

x y e 1 c) yxx ,0,1, d) ,0,, = === = 1ln + x ln x yyxe x === x 2

3,0,2, xyx ===-

e) y ln,0, xyxx e , f) y x 1 === = = 1 e

x 1 g) yyx ,0,0, h) yxyx x lg,0,,10 === = = 4 1 10 2 === 1 x x -

Baøi 2. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

a) yy ,0, 0 b) ,2, 0 - == yxyx y ==- = x 1 - x = 1 -

3 x x ey c) y ,2, x 1 d) yxxy ,20, 0 == = =+-= y =

2 2,21, ==--

2 45,24,411 x =-+=-+=

2 2 = 2

e) yxyxx y f) yxxyxy -

2 2,44, ==--

2 8 =

g) , , h) yxyxx y yxy == x y = 27 27 x

yxxy i) 2 2,2210, k) 0 x =++= y = 65,43,315 -

2 yxxyxxy =-+-=-+-= Baøi 3. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

a) b) y xyyx ,,0, y x === sin2cos,3,0, xxyx =-=== p 1 e = x

x 25,0,3, yyyx x- ===-

2 yxxyxxx 22,36,0, =-=+-=

c) 0 d) x = 4 =

2 yxxyxx =-+=++

e) y 4 x f) 1 ,0, xyy === - 22,45, y =

g) ,2, 0 h) y ,, 1 x - x ye = yxyx y ==- = 1 2 - == e

Baøi 4. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

2 2 x

2 xyx -

2 43, x xxy =-+= +

a) y b) y 3 4, =-=

1 c) yxy , x 3 d) y , y + = = 1 ==- 4 1 2 x 2 x 1 +

Trang 97

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

2 xxyx =-=-

2 x e) y f) y 2, x 4 + xy , == - 2 1 g) yx 3, 0 y , y h) =++ = = 2 y = x 1 x +

2 2, xy =+= -

i) yxxy k) 2 y x x 2 2 2, x =+= +

4 Baøi 5. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

y y 50,3 0 y+-=+- =

0 b) 2 yxx d) 2 y x 1 y-+=+ = 21, xy =+= -

2 a) xx , == - c) 2 20, yyxx e) 2 g) 22 yxx

2 (1),sin xx p =+= 2(4),

yxyxy y 3 y = ===

x =- 4 =

f) y h) 23 y k) 22 xyy xy 28, x 2 i) xyx 2,,0, 26,16 y=+ = 3 10,1 0 y -+=+- = += =

Baøi 6. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

x ===-

. a) yxeyx b) y .;0;1;2. x = ===

- =

2 .ln;0;1; e xxyxx = 25;0;0;3 x - y ==== -

c) x ;;1. d) y . xy x yeye ==

5 x (1);;1.

yxye f) y xyxx e e) ln,0, , =+= = === = 1 e

2 sincos,0,0,

g) yxxyx x h) y sin;;0;2 . x =+=== p xxyxx =+=== p

2 =++==

2 x sin;;0; =+=p== p

yxxyx x i) yxxyx . k) sinsin1,0,0, = p 2

Baøi 7. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

1 a) Cy () : , tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3. x = +

x + b) Cy ():, , tieäm caän xieân cuûa (C), x = –1 vaø x = 2 1 y = 0 = x 2 2 2 + x +

3 y 0 =-+-

c) Cyxxx ():243, vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 2. x 2 2 =

3 x=-+= -

d) Cyxx ():32, 1 vaø tieáp tuyeán côùi (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = –2.

2 x=

e) Cyx (): vaø caùc tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3; 3) treân (C). 2 -

VAÁN ÑEÀ 2: Tính theå tích vaät theå Baøi 1. Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi hình (H) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay

quanh truïc Ox:

2 ,0,0, =

b) x a) yxyx 3 === x sin,0,0, = p 4 1 3 yxxyx =-== 3

6 =

c) d) , yxxyx =+= x sincos,0,0, = yx x= = 4 p 2

2 , xy

3 1,0,1, x xyx = =-==- 3 2

1 e) y f) y = x =

2 x 4, =-+= +

g) y , y h) yxxy 2 = = x 4 x 8

2 -+=

2 =

sin,cos, , k) xy (2)9, y 0 i) yxyxx === x = p 4 p 2

2 yxxyx =-+=--

y l) x 46,2 6 m) xy ln,0, x 2 == = +

Trang 98

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

Baøi 2. Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi hình (H) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay

2 , y=

b) yx xy y ,1, 4 a) = 4 =

2 ,1, y =

y c) d) ,0, 2 quanh truïc Oy: 2 == y x exy == yxy == e =

Baøi 3. Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi hình (H) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau quay

quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy

2 y

2 4 =

a) yx (2), b) y ,4, =- 4 = yxyx ==

2 0 =

c) y x 1 d) y ,0,0, yx = 2, yxx =- 1 === 2 x 1 +

e) y e f) yxxyx 1 === .ln,0,1, xxyxx = =

2 (0),310, y =>=-+ )2 – 4 1

2 , xy y 4

g) x h) ( y+ = x = y = 2 1 i) 0 k) yxyy + = =-== 1,2,0, x = x 9

3,0, x

2 -==

l) 0 m) 2 yxy 1 0,2, x = == =

xyy

Trang 99

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Nguyeân haøm – Tích phaân Traàn Só Tuøng

IV. OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN

Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau:

2 xxdx-

3 (cid:242) 1

x dxx dx c) 2 1 b) + - a) (cid:242) x 8 x x 2 + -

2 (cid:242) 1 -

3 (cid:242) 2 1 5 (cid:242) 3 -

dx d) e) dx (22 )xxdx f) +- - x+ 2 + (cid:230) x (cid:231) x +Ł (cid:246)- 1 (cid:247) 2 ł

2 x 24 2

1 (cid:242) 0 25 x 2 3 xx (cid:242) 0

xdx dx 9 ++ + g) h) i) dx x 2 x 4 x 4 + + +

0 (cid:242) 1 - 1 (cid:242) 0 1

1 (cid:242) 0 (1) x +

1 (cid:242) 0 (1) x + 1 3 (cid:242) 0

xdx k) dx l) m) xdx 2 1 x 2 x + x+

Baøi 2. Tính caùc tích phaân sau:

3 xxdx + 1

3 1xxdx-

9 (cid:242) 1

3 (cid:242) 0

dx b) c) a) (cid:242) x x 1 1 + -

2 (cid:242) 0

3 (cid:242) 0

4 (cid:242) 1 -

5 x +

x 2 x 2 dx x + d) f) e) dx dx x 5 4 + + x 1 1 +

2 (cid:242) 0

0 (cid:242) 1 -

xdx g) i) h) xxdx - 4 1xxdx + x x ++ 2 -

2 3 .xxdx

3 xxdx +

2 (cid:242) 1 2 1 (cid:242) 0

3 (cid:242) 0

3 (cid:242) 1 -

x 3 - k) 1 l) 3 m) dx + 31 x 3 x ++ +

3 1 .

3 xxdx+

7/3 (cid:242) 0

3 (cid:242) 0

1 (cid:242) 0

x 1 + o) p) q) dx xxdx - 1 3 x 1 +

3 xxdx - 1

1 (cid:242) 0

10 (cid:242) 5

1 (cid:242) 0

x x dx + s) t) r) dx x 2 x 1 - - x (1) +

Baøi 3. Tính caùc tích phaân sau:

/ 4

(cid:242)

/2 p (cid:242) 0

x x sin2sin x + dx dx dx c) b) a) x x x x sin2cos 1cos + 12sin - 1sin 2 + x 13cos +

5 cos xdx

/2 p (cid:242) 0

2 cos4sin +

sin 2 x d) dx e) xxxdx sinsin2sin 3 f) x x

4 xxxdx cos2(sincos

/3 p (cid:242) / 4 p

p (cid:242) 0

/2 p (cid:242) 0

tan x x sin dx g) h) i) dx ) + x 2 x 1cos + x cos1cos x +

/ 4 p (cid:242) 0

/2 p (cid:242) 0

2004

x k) tanxxdx l) dx m) dx sin 2 x cos 1 x x + sin +(cid:242) 13cos

/ 4 p (cid:242) 0

/2 p (cid:242) 0

x dx p) dx q) dx o) x x x x 4sin +(cid:242) 1cos 12sin - 1sin 2 + x sincos x sin 20042004 +

Trang 100

Traàn Só Tuøng Nguyeân haøm – Tích phaân

2 xxdx sin

/2 p (cid:242) 0

/3 p (cid:242) 0

sin xdx dx s) t) r) x cos3 x 1 sin + sin2cos x x x sin2coscos x + x 2

Baøi 4. Tính caùc tích phaân sau:

2 ln(5)

1 (cid:242) 0

3 (cid:242) 0

ln( x dxx ) xxdx c) a) xedx- (2) + - b) (cid:242)

2 xxdx ln

sin x (cos)cos exxdx +

ln 5 (cid:242) ln 3

e (cid:242) 1

e) d) f) 2 3 dx e- e - +

2 xedx+ (1)

1 dx i) xdx h) ln g) + x e+

2 x e

2 xxedx- (421)

1 (cid:242) 0 1 2 (cid:242) 1

ln(1 )x dx m) k) dx l) - + 2 x

xexdx 3

/2 p (cid:242) 0 e x (cid:242) 1 2 (cid:242) x + 0 (2) /2 p (cid:242) 0

1 (cid:242) 0

1 (cid:242) 0 1 (cid:242) 0 lne (cid:242) x 1

p) sin 5 o) ) q) dx xxdx + ln(1 x 2

e (cid:242) 1

ln x x ln. x x 32ln - dx r) dx t) dx s) (cid:242) ln31 + x x x x ln 1 12ln + x +

Baøi 5. Tính dieän tích caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau:

3 31,0,0, x =-+=== -

a) yxxyx 1 b) yyx 1 ,0,2, x = x 4 ===- 2 -

x ey

d) ,2, 1 yxx y y x c) 2, = == = 1 =-++ 4 9 0 4

2 xxyx =-=-

f) y 2, x 4 e) 4 + 1 yxyx =-+== 2 1 1 1,0,2, x = x -

x - y , y 0 g) yy 0 h) = = x x + 1 +

2 m) y ,,0, tieämcaänxieânx 1 x x 1 2 + x ,0, = == x 1 + 2 3 x x - + = == 1 x +

2 x n) y ,0, ytieáptuyeánveõtöøgoáctoaïñoä = =

y , tieáp tuyeán taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung. o) 1 x + - 1 x + 233 x +

3 xx =++ 31 x 4

p) y 3 x , tieáp tuyeán taïi ñieåm M thuoäc ñoà thò coù hoaønh ñoä x = 2 3 . = -

Baøi 6. Tính theå tích caùc vaät theå troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc

ñöôøng sau quanh truïc:

a) y b) y ; == ,0,3; xyxOx = === ln,0,1, xxyxxeOx =

x ,0,1; xeyxOx =

2 xyxOx +

d) y 4,2; == =-=

c) y e) 2 y 4,0; f) =- xxOy = xyexyOy == ,0,1; =

Trang 101

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Soá phöùc Traàn Só Tuøng

CHÖÔNG IV SOÁ PHÖÙC

I. SOÁ PHÖÙC

• Taäp hôïp soá phöùc: C • Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z abi = +

( a, b R˛ , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i2 = –1)

• z laø soá thöïc (cid:219) phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0)

z laø thuaàn aûo (cid:219) phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0)

1. Khaùi nieäm soá phöùc Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo.

’’(,,',' R • Hai soá phöùc baèng nhau: abiabia bab +=+(cid:219) ˛ a b ' ' (cid:236) = a ) (cid:237) b =(cid:238)

2. Bieåu dieãn hình hoïc : Soá phöùc z = a + bi (a, b )R˛ ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay

(

)

(

)

(

)

(

)

bôûi ) trong mp(Oxy) (mp phöùc) ua b=r (;

) ( ’’’ abiabiaabb i - +-+=-+

’ ’ • (

(

)

'ur bieåu dieãn z' thì r bieåu dieãn z + z’ vaø ' r bieåu dieãn z – z’. ' u u-r

3. Coäng vaø tröø soá phöùc: • ( ) ( ) ’’’ abiabiaabb i + +++=++ • Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi u u+r • ur bieåu dieãn z, 4. Nhaân hai soá phöùc : ) )( ( abiabiaabbabba i '' ’–’’ ’ + ++=+ kabikakbik R ) ˛ +=+ • ( • ()(

5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z abi = -

2 b= +

; • zzzzzzzzz z ;'';.'.'; =–=–= = .z za z 1 z 2 (cid:230) (cid:231) Ł

(cid:246) z 1 (cid:247) z ł 2 z laø soá aûo (cid:219) z z= - z= ;

uuuur z =+=

zzCz 0,,0 0 • z laø soá thöïc (cid:219) z 6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi 2 abzzOM = z ‡"˛=(cid:219) = • •

' z ' • z zz z= .'. • = • '' zzzz -£–£ z + z z ' z z '

7. Chia hai soá phöùc:

1 - =

z z z z ' ' = • • (z „ 0) • wzwz =(cid:219) = 1 2 zzz z 2 z ''.'. == z z z . ' z z z z

Trang 102

Traàn Só Tuøng Soá phöùc

8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc:

x • z xyi = + (cid:219) 2z laø caên baäc hai cuûa soá phöùc wabi= + w= (cid:219) - 2 y xy a b = = (cid:236) (cid:237) (cid:238)

• w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0 • w 0„ coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau

• Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø a–

.a i – -

2 4 -

• Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø 9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A 0„ ). AC B D=

z = • , ( d laø 1 caên baäc hai cuûa D) 0D „ : (*) coù hai nghieäm phaân bieät 1,2 B -– d 2 A

• z 0D = : (*) coù 1 nghieäm keùp: 1 z == - 2 B 2 A

Chuù yù: Neáu z0 ˛ C laø moät nghieäm cuûa (*) thì 0z cuõng laø moät nghieäm cuûa (*).

2 b

z 10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: i (cossin ) • j r =j+ (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z „ 0)

cos

j = (cid:236) (cid:239) = ra (cid:239)(cid:239) (cid:219)j =(cid:237) (cid:239) (cid:239) sin (cid:239)(cid:238)

)OxOM (, + a r b r j = • j laø moät acgumen cuûa z,

z 1cossin( zi • =(cid:219)=+ R ) ˛jj j

11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc rizr (cossin),''(cos'sin') Cho z : =j+j=j+ i j

[ =j-j+j- j

]

[ =j+j+j+ j

]

zzrr .''.cos(')sin(') i cos(')sin(') i • • z z ' r r '

12. Coâng thöùc Moa–vrô:

n j

n ] nj+j=j+ rirni (cossin)(cossin

, ( ) ) n N˛

n ) n

cossincossin ini j+j=j+ j • [ • (

13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: i z r • Soá phöùc j (r > 0) coù hai caên baäc hai laø: (cos sin ) +j =

r i j 2 (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

vaørir -+=+p++ p j cossin + 2 (cid:230)(cid:246)(cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁłŁ ø œ ß

z r jjj cossincossin i 222 • Môû roäng: Soá phöùc (cid:246) (cid:247) ł = Ø j Œ 2 º (cos sin ) i +j j (r > 0) coù n caên baäc n laø:

+ 2 n 1 p += 2 - k jpj + cossin,0,1,..., n k n (cid:230) rik (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

Trang 103

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Soá phöùc Traàn Só Tuøng

VAÁN ÑEÀ 1: Thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng – tröø – nhaân – chia

AÙp duïng caùc quy taéc coäng, tröø, nhaân, chia hai soá phöùc, caên baäc hai cuûa soá phöùc. Chuù yù caùc tính chaát giao hoaùn, keát hôïp ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân.

Baøi 1. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau:

(

( ) 4–23– 5 ii ++

)

( +

)

(

)

a) i b) c) 2 2 i i i -+ 2 3 i -- 2 3 5 4 (cid:230) -(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) 1 -(cid:231) 3 Ł (cid:246) (cid:247) ł

(

)( 3i

) + i

d) e) f) 23 - i 2 i - 3 i +-- + 5 315 454 13 ii -+-+ 32 1 2 (cid:246) (cid:247) ł

i i - g) i) h) - 1 1 i i (cid:246) (cid:247) ł 2 i + -

(cid:230)(cid:246)(cid:230) 3 (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ 3 - 1 i + m (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ 3 i21 + aia + m) l) k) i 3 + i 1)(21( i ) - +

aia - bia + o) q) p) 2 3 i - i 4 5 + mi i 1 + i 2 - ai

Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau:

(

( 11 –i +

)

(

)

(

) i +-

( -

)

a) i b) 2 3 i c) 3 4i+ -

(

100

f) i 3 e) d) 2 i- i ) i ) i )21( + )23( i + 1( -- 2( - + (cid:230) 1 -(cid:231) 2 Ł

(1 )i-

i i) (cid:246) (cid:247) ł 3 - (33 ) i+

h) . Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: (1)(2 )i g) -+ xyi Baøi 3. Cho soá phöùc z = +

2 2 -

a) b) z z 4 i + z iz i + 1-

Baøi 4. Phaân tích thaønh nhaân töû, vôùi a, b, c ˛ R:

2 1 a + 4 16 a +

a) b) d) 4 3 b+ 9 a 4 g) f) a a 3 8 a + h) 5 b+ 2 1 + a+

22 a + c) 3 3 27 e) a - Baøi 5. Tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc:

a) b) c) d) 46 5 i 12 6 i 512i + - - - +

e) i f) g) h) i 724i- - 4042i + 1143. + 14 3 i - + 5 4 - - 3 2

i) i k) l) m) + 512i - + 8 6i+ 3356i- 1 4 2 2

VAÁN ÑEÀ 2: Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc

Giaû söû z = x + yi. Giaûi caùc phöông trình aån z laø tìm x, y thoaû maõn phöông trình.

0 z z 0

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (aån z): a)

b) + z = + z =

d) 42 i

z z i c) e) f) 0 2 i z 2 + -= z 21 8 -=- - =- z ) iz -= +

z ( 45 Trang 104

Traàn Só Tuøng Soá phöùc

4 (cid:246) =(cid:247) ł

1 z g) h) = z z i i i i + - + - (cid:230) (cid:231) Ł

23112z i k) i 3 32 i) z -= - i 31 +- i 2 + ) 2 1 (

2 ) ( izi -+ = (cid:246) 1 i -= + (cid:247) 2 ł

) 0 2[( zi ) i ]( iz l) m) - 3 ++ + = 3 3 z i 1 2 i 1 2 (cid:230) (cid:231) Ł

2 z +

(

)(

)

p) 2 4 i ziz 325 0 o) = - +- =

2 0 =

3 zzz 23533

2 i-++- = 0

)

(

)(

r) 3 5 i + z 2 zz q) z+-+ 91

.3 x x .32 x 2 0

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (aån x): 01 a)

b) - - + = x 2 c) d) i x 0 = .23 2 ixx 3.24 i 0 --+ =

0 h) e) g) = =

2.2.4 0+- = ixi x 4216 x + 2 x +

i) k)

) ix =

x i 0 m) x i l) 0 = =+ ) ( 343 ix --+- 232 x-+ = x 0 3324 x - 0 5 (2)1 0 x ++ = ( 2 2142 ++++

2 ixx

o) p) 0 0 i 44 ++- =

ivaø 24 4 b) i i 231 3ivaø +- + - +

7 0 = ( ) 2 22184 ix + --+ ) ( 2 xi x+- 23 = Baøi 3. Tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng laàn löôït laø: a) Baøi 4. Tìm phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc nhaän a laøm nghieäm:

b) c) a) 3i 2 5i 3 4i a= 7 - = -a = +a

d) e) f) 3i 2i 2 a=- - a= 3 -

5180453823 ii +

)i i h) i) g) (2)(3 a =+ - a = i 4 a i =++ i i i= -a 5 + 2 -

Baøi 5. Tìm tham soá m ñeå moãi phöông trình sau ñaây coù hai nghieäm z1, z2 thoaû maõn ñieàu kieän

3 23 zmziñkz -+=+

121 2

a) b) 1 ñaõ chæ ra: 2 22 zmzmñkzzz z -++=+= 10,: + 350,:18 z =

2 xmxiñkz ++=+

c) 8 30,: z =

2 +-++- =

(

)

iziz 12321 i 0 . Tính giaù

Baøi 6. Cho 1

2,z

)

z laø hai nghieäm cuûa phöông trình (

trò cuûa caùc bieåu thöùc sau:

2 B zzz z + 121 2

2 A z = 1

2 z 2

b) c) a) + = C = + z 1 z 2 z 2 z 1

z i .55 i

Baøi 7. Giaûi caùc heä phöông trình sau: 4 +=

5 2

2 z

2 +

2 2

2 z 1

+ --= 0 z = b) c) a) 25 i z .25 i + -= +-= z .() 1 = z 1 2 z 1 . zz 1 2 z 1 (cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:237) (cid:238)

1 = ++ 1 = = z 3 12 i 8 5 3 1 i d) e) f) 1 = z 3

3 (cid:236) + z (cid:239) 1 (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) - z (cid:239) -(cid:239) z (cid:237) 3 z i -(cid:239) (cid:239) z i + (cid:238)

1 1 = = 1 = zz 12 zz ++ 12 zz z .. 12 3 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) 4 8 (cid:236) - z (cid:239) -(cid:239) z (cid:237) z -(cid:239) (cid:239) -(cid:238) z

Trang 105

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Soá phöùc Traàn Só Tuøng

2 z 1 z 1

2 z 5 2 += + 2 i z 4 += - 2

2 zzz z ++ 121 2 zz + 1

2 i z = i 4 0 = g) 1 i z -= - 2 i = (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236)(cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) - z (cid:239) (cid:237) z (cid:239)(cid:238)

Baøi 8. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

i b) c) a) x x i x xy i x x i i 8 8 (cid:236) += - y 21 2 (cid:237) y 3 += - (cid:238) (cid:236) + = y 4 (cid:237) 7 4 = + (cid:238)

2 y += - 2 + = y

6 i f) e) d) i i 3 2 1 + 2626 x 11 x 5 111 x 2 x 2 1 2 i 1 += - y 2 2 y += - (cid:236) += + xy (cid:239) 1117 (cid:237) += (cid:239)(cid:238) y x

1 g) h) x x i 1 2 i x x i 2 3 (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) += - y 5 (cid:237) 2 y += + (cid:238) (cid:236) += - y 5 (cid:237) 2 y += - (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) (cid:236) + = y (cid:237) 3 3 y +=- - (cid:238)

VAÁN ÑEÀ 3: Taäp hôïp ñieåm

Giaû söû soá phöùc z = x + yi ñöôïc bieåu dieån ñieåm M(x; y). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M laø tìm

heä thöùc giöõa x vaø y.

Baøi 1. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá

z thoûa maõn

a) 4 z b) zz 2 c) z 2 i 2 moãi ñieàu kieän sau: z++ = 3 1 i -+- = ziz -+= -

iz 2.12 3 d) e) -= z + z + = 1 3 222 iz - 1 z = - f)

g) z i 2 3 h) i) z 2 iz +=- - 1 i -+ = 1 = z i 3 - z i +

1 1 2 k) 2 z z l) m) i += - z + < 1 z i <- <

Baøi 2. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá

z thoûa maõn

moãi ñieàu kieän sau:

laø soá thöïc b) 2z i - + laø soá thuaàn aûo c) z z = . 9 i+ 2z

VAÁN ÑEÀ 4: Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc

Söû duïng caùc pheùp toaùn soá phöùc ôû daïng löôïng giaùc.

Baøi 1. Tìm moät acgumen cuûa moãi soá phöùc sau:

b) 4 – 4 a) i 13. -

cos sin. sin . cos 1( i 1)(3. i ) d) e) f) i- - i- - + p 4 c) p 8 i.322 +- p 4 i p 8

Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:

)( o

)

( i 3cos20 sin20cos25 sin25

ooo +

)(

)

( i 3cos120sin120cos45sin45

i b) i a) + +

ooo +

i i d) c) + + ppp 5cos.sin.3cos.sin i + 664 ppp i 5cossin3cossin + 664 (cid:247) ł (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) p (cid:247) 4 ł p (cid:246) (cid:247) (cid:231) 4 Ł ł

Trang 106

)(

(

)

Traàn Só Tuøng Soá phöùc

ooo i 2cos18sin18cos72sin72 +

i e) f) + cos85sin85 o cos40sin40 o + +

0 )45 0 )15

2 (cos 45 i sin. + g) h) i i 2(cos45sin45 ) o 3(cos15sin15 ) o i i + + 3 (cos 15 i sin. +

i + ) i sin. 2 (cos + (cid:246) (cid:247) ł 2 p 3 k) i)

2 (cos i sin. ) + i + 2 p 3 p 2 2 p 2cossin 3 p 2cossin 2 p 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł 2 p 3 (cid:246) (cid:247) ł

3 1( i 1)(3 i ) i .(.2 3 p 2 Baøi 3. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau: a) b) c) d) 1 i- - + i ) - 1 i+

1 3 sin e) f) g) h) i+ j cos . j 2 2i+ - 1 i i + 1 i22 +

o cos45sin45

1 tan i) k) m) + i 3i+ 3 i- l) 3 0i+ 5 p 8

( 3cos120sin120

)

i a) b) c) i+ + i+ p 6 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

e) d) (2 f) )i+ i 1 i

Baøi 4. Vieát döôùi daïng ñaïi soá caùc soá phöùc sau: p 2cossin 6 i 3 + (1)(12 ) i - +

(

)60

100

3 h) 3i i) g) (22) . i - 1 - + + 1 i i - i 1 + i 2 1 + (cid:230) 7 1 (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

(

)17

p 13 1 l) m) k) i i 3 + (cid:231) (cid:247) (cid:246) p cossin + 4 ł p cossin 4 p 4 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 i + (cid:231) i 14 -Ł Ł (cid:247) ł 2 3 i-

Baøi 5. Tính: (

)16

( 1

o i+ cos12 sin12

o (cos15sin15 )

3( a) c) i- i+

( 2cos30sin30i +

20082008 i (1)(1 ) ++ -

2008

f) i d) i+ Ø º b) ) 7 ø ß e)

1 i 335 + h) i) g) + i 1 2 3 2 i 321 - i (cid:230) + (cid:231) i Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł

2008 zbieát z

ii i l) k) + , 1 p p (cossin).(13 ) - 3 3 1 z (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł 1 ++ = 2008 z

a) b)

Baøi 6. Chöùng minh: 5 t

5 t

ttt cos516cos20cos5cos sin516sin20sin5sin + =- ttt = - +

2 t

3 cos34cos3cos t =

d) tt sin33cossin tt = - -

Trang 107

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Soá phöùc Traàn Só Tuøng

II. OÂN TAÄP SOÁ PHÖÙC

Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau:

6 (cid:246) 7 (cid:247) ł

-+ - a) (2)(32)(54 ) b) + ii --+ i - i 131 2 i 2 (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ

16 (cid:246) (cid:247) ł

c) d) + i i 1 1 i i - + (cid:230)(cid:246)(cid:230) 1 + (cid:231)(cid:247)(cid:231) 1 - ŁłŁ - - 232009 e) (24)(52)(34)(6 i ) f) iii -+++- -

200019992018247 i+++ iiii +

g) h) ‡

232000 i

k) 375 8 i i + + 232 3 i i + 1...iii i +++ + + 2 1...,(1) n iii ++++ 571310094 -- ()()( iiii i ) -+-++ - iii .....

1 z iziz i . Tính: 12,23, =+=-+= -

3 z zzzz z+ 12233 1

i) Baøi 2. Cho caùc soá phöùc 12 a) b) z c) + + z 3 z + 12

22 z + 12

2 + 3

+ z z e) f) d) + + z z z z + z 12 z 23 z z z 12 3 2 z 1 z 2 z 2 z 3

Baøi 3. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau:

43 A zizizzivôùiz

i (12)313,2 3 a) =+-++++= +

23 zzzzzvôùiz (2)(2),(3 =-+-+=

B ) i b) - 1 2

Baøi 4. Tìm caùc soá thöïc x, y sao cho:

a) 1 i b) i ixyi (12)(12) -++= + + = x 3 3 i y 3 3 i - + - -

222 (43)(32)4(32 -++=-+

c) ) ixixyyxxyy i - 1 2

Baøi 5. Tìm caùc caên baäc hai cuûa caùc soá phöùc sau: a)

c) b) d) 3 4i+ 8 6i+ 1 i+ 724i-

1 i - e) i h) i, –i f) g) - 1 2 2 2 3 (cid:230) 1 (cid:231) 1 -Ł (cid:246)+ i (cid:247) i ł (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) 3 (cid:247) (cid:247)- i ł

)

( 21

3 i 1 1 - l) k) 3i m) i) - + i + 1 i + 1i 1 + 1 - 1 i 3 2 2 +

c) d) i- b) –27 2 2i+ 18 6i+

Baøi 6. Tìm caùc caên baäc ba cuûa caùc soá phöùc sau: a) Baøi 7. Tìm caùc caên baäc boán cuûa caùc soá phöùc sau:

d) 724i 212i- 2i- - +

a) 3 i+ c) b) Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau:

a) i z z = b) = c) 0 = 0

3 64 + 10 z

3 27 i -

e) f) i g) = d) 0 5 0 iz =

Baøi 9. Goïi

i 3 4 vaø = + v laø hai caên baäc hai cuûa 2 1 0 z 1 (2)2 +-+- ;v 1

4 16 3 125 0 z + z - 322 3 6 74 0 i++- = ziz ziziz--- = u laø hai caên baäc hai cuûa ;u 2 1 u . Tính 1 i 3 4

? = - v + + 1 u+ 2 v 2 z 2

Trang 108

Traàn Só Tuøng Soá phöùc

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc:

2 z + 2

b) c) a) z 5 0 = 4 10 0 =

e) f) d) z z-+ 5 9 0 = =

(

)

z ()() h) g) zz 0 +- z = 0 z z++ 2 2 0 = 22 3 1 0 z z -+- = 2 z+ + = i) 2 z++ z 23 2 3 0 z z-+ 2 z= + z 2

2 ) 2+223 i ++- =

k) l) ziz 0 i m) 3z z=

2 (1)211 iz +++

o) (12)1 0 p) i 232 3 z z += + 2 248 z+ z 8 = 0 =

)

(

)(

izi z+++ = n) Baøi 11. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc:

)( 533 +-++

2 (cid:246)+ ziz i 4 (cid:247) i ziz - ł

)

2 0

2 zzz

a) b) zizz z 0 = 4 + 0 56 -+ = -

( i

) )

d) c)

(cid:230) (cid:231) Ł ( ( f) e)

( ) 2 133 iziz 0 z = -+++- 2 221 0 i-+- = ziz 2 804099100 z

( ) 26 216 z = +-+- )( 2 2 2 0 z ziz +-+ = ) ( 2 5142125 i ziz = ---+

( 0

)

g) h) z 0 i -+- =

2 ziz

2 ( ) 36313 0 i = +--+-+

(

)

( i-j+j+jj =

)

ziz k) cossincossin 0 i)

2 xix

232 x

) ( i-++- = 3451 0

0 i c) a) b) x x+ + = 0

Baøi 12. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: ) ( ix 12 ++-- = 3 1 0 x - =

x 1 0 x++ =

2 22

3 ziziz--- =

2 0

)( 2 zizmzm +-+-

0 a) b) z 0 d) Baøi 13. Giaûi caùc phöông trình sau bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo: )

22 m =

coù ít nhaát moät nghieäm thöïc

z i

) ( ( 234444 iziz i = +-+--+ ) Baøi 14. Tìm m ñeå phöông trình sau: ( a) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm phöùc b) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm thöïc c) Coù ba nghieäm phöùc Baøi 15. Tìm m ñeå phöông trình sau: 3 2 (3)3() 0 zizzm i ++--+ = Baøi 16. Tìm taát caû caùc soá phöùc z sao cho (2)( + laø soá thöïc. ) z - Baøi 17. Giaûi caùc phöông trình truøng phöông:

4 ziz

2 i =

2 241308144 =

( --+-

) iz

a) 0 b) 0 z i

4 ziz

) ( 816316 --+- 2 i 6(1)56 = ++++

c) 0

2 ziz

z laø hai nghieäm cuûa phöông trình: i 1223 0 . Tính giaù trò -++- =

Baøi 18. Cho 1

2,z

(

)

cuûa caùc bieåu thöùc sau:

2 z 1

2 z+ 2

2 z zz z+ 121 2

a) b) c)

3 z zz z+ 211 2

3 z 1 z 1 z 2

3 z+ 2 z 2 z 1

2 d) e) f) ++ + z 1 zz z + 2 z (cid:230)(cid:246)(cid:230) 121 (cid:231)(cid:247)(cid:231) (cid:231)(cid:247)(cid:231) z ŁłŁ 211 (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

2,z

z laø hai nghieäm cuûa phöông trình: . Tính giaù trò cuûa caùc bieåu 1 0 x x-+ =

Baøi 19. Cho 1 thöùc sau:

20002000 x+ x 1 2

19991999 x+ x 1 2

n x 1

n xn N 2 ,

a) b) c) + ˛

Baøi 20. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá phöùc thoaû maõn heä

thöùc sau:

Trang 109

VNMATHS.TK - Free Ebooks

Soá phöùc Traàn Só Tuøng

z -

z a) b) z z+ = c) 1 = 1 z

z i .

Baøi 21. Haõy tính toång

23 +

bieát raèng = + Szzz z 1... =+++ 2 p cossin n 2 p n

Baøi 22. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau:

43 iii

2 i+++ +

a) b) c) (1)(2 i - + ) i 1 2 1 i i + -

d) i e) i f) cot a ap a 1sincos, 0 aa < -+< - + i+< < , p 3cossin 6 p 6 p 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

g) sin(1cos), 0 aa i+-< a < p 2 p 2

Baøi 23. Tìm moâñun vaø moät acgumen cuûa caùc soá phöùc sau:

(

8 ) )

(

)

n ) 3 ++ -

8 )

4 )

i 1 i 232(1 + + b) c) ( i 131 i a) + + (1 i i 6 ) - (1) - + ( i i 23 2 - +

( p 8

( p 4

e) i f) d) - i- 22 3 i - + p sincos + 8

10 ) 323 2 i - p cossin 4 1cossin aa + 1cossin a -

i h) i) g) -+< 1sincos, 0 < aa a a < 4 3i- p 2 i i p , 0 < 2 + + a

Baøi 24. Tìm moâñun vaø moät acgumen cuûa caùc soá phöùc sau:

(

8 ) )

(

)

n ) 3 ++ -

8 )

(

4 )

10 ) 323 2 i -

i i 1 232(1 + + b) c) ( a) i 131 i + + i 6 ) (1 i - (1) - + ( i i +

( 23 2 - Baøi 25. Chöùng minh caùc bieåu thöùc sau coù giaù trò thöïc:

(

7 )

7 ) 5 -

b) i a) 252 i ++ i i + +

6 (cid:246) 3 + (cid:247) ł

n (cid:246) (cid:230)(cid:246)(cid:230) 19720 5 i + + (cid:247) (cid:231)(cid:247)(cid:231) 97 6 i - ł ŁłŁ 5 (cid:246) 3 + (cid:247) ł

d) c) i 131 -+- - 2 i 2 i 131 -+- - 2 i 2 (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ

6 (cid:246) + (cid:247) ł

3 3 i e) - 2 (cid:230)(cid:246)(cid:230) i + (cid:231)(cid:247)(cid:231) 2 ŁłŁ

Baøi 26. Trong caùc soá phöùc z thoaû maõn ñieàu kieän

z . Tìm soá phöùc z coù moâñun -+ i 2 3 = 3 2

nhoû nhaát.

Baøi 27. Xeùt caùc ñieåm A, B, C trong maët phaúng phöùc theo thöù töï bieåu dieãn caùc soá phöùc sau:

; (1)(12); i + -

42 6 i 1 -

+ 3 -

i a) Chöùng minh ABC laø tam giaùc vuoâng caân. b) Tìm soá phöùc bieåu dieãn bôûi ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình vuoâng. Baøi 28. Giaûi caùc phöông trình sau, bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo:

2 (22)(54)10 iziz =

2 iziz (1)(1) +++-- =

a) z 0 i b) z i 0 +-+--

3 ziziz

c) i (45)(820)40 +-+-- =

Baøi 29. Cho ña thöùc

Pzziziz . 0 3 i ()(36)(1018)30 =+-+- +

Trang 110

Traàn Só Tuøng Soá phöùc

Giaûi b) trình () 0 a) Tính P z = . i- (3 )P phöông 2

Baøi

, bieát laø moät nghieäm cuûa phöông trình. z = z i 3 4 = +

phöông trình trình (cid:246)+ 1 (cid:247) 7 - ł

Baøi

(cid:230) z 2 -(cid:231) z Ł sau:

)

43 zzz d) 43 zzz

2221 0 z ---+ = 246415 0 z = -+--

b) ( )

Baøi

phöông Giaûi 30. caùc Giaûi 31. 2221 0 a) 43 zzz z +-++ = ( ( ) 2 43 z zzz 1222121 0 c) -+++-++ = 21314131 0 e) 6543 z zzzzz -+ + = +-- trình phöông caùc Giaûi 32. sau:

222 (36)2(36)3 zzzzz +++++-

3 (cid:246)+ i (cid:247) i ł 3

b) a) z 8 0 = = (cid:230) z (cid:231) z -Ł

24222 zzzzz (1)6(1)5

4 -+--++

1 0 d) c) 0 z = i - +++ = i + (cid:230)(cid:246)(cid:230)(cid:246)(cid:230) ziziz -- (cid:231)(cid:247)(cid:231)(cid:247)(cid:231) ziziz ++ ŁłŁłŁ (cid:246) (cid:247) ł

Baøi

1 thì 1 . raèng: neáu z £

minh Chöùng 33. Cho caùc 34.

soá z i 2 - £ 2 iz + minh: z . Chöùng z z , 3

Baøi

a) + , phöùc 12 222 222 zzzzzzzzzz z +++++=++++ 3 z 12233112312

2 zzzzz ++-=+ 12121

22 z + 2

b) 11 1

222 1

( (

)( )(

) )

2 zzz ++- 2

11 zzzzz ---=- 12121 z - 2 c) thì c c 4 . d) = = = z 121 z Neáu 1 z 1

Trang 111

Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng

CHÖÔNG I ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM ÑEÅ KHAÛO SAÙT VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

I. TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ

Baøi 1. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:

Baøi 2. Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau:

Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc

Baøi 2. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh (hoaëc

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân ñoàng bieán treân taäp xaùc ñònh (hoaëc töøng khoaûng xaùc

Baøi 4. Tìm m ñeå haøm soá:

Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá:

Baøi 2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

Baøi 3. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

Baøi 4. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

Baøi 5. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau:

Baøi 3. Giaûi caùc baát phöông trình sau:

Baøi 4. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

II. CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ

Baøi 1. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

Baøi 2. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

Baøi 3. Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau:

Baøi 1. Chöùng minh raèng caùc haøm soá sau luoân coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu:

Baøi 2. Tìm m ñeå haøm soá:

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau khoâng coù cöïc trò:

Baøi 4. Tìm a, b, c, d ñeå haøm soá:

Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá :

Baøi 6. Tìm m ñeå haøm soá :

Baøi 7. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :

Baøi 8. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :

Baøi 9. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá :

Baøi 1. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá :

Baøi 2. Khi haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu, vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc

Baøi 3. Tìm m ñeå haøm soá:

III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 3

Baøi 2. Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau:

Baøi 1. Giaû söû

Baøi 2. Cho D =

Baøi 3. Cho D = {

Baøi 4. Cho D = {

Baøi 1. Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau:

Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:

Baøi 3. Tìm m ñeå caùc baát phöông trình sau nghieäm ñuùng vôùi moïi x ˛ R:

IV. ÑIEÅM UOÁN CUÛA ÑOÀ THÒ

Baøi 2. Tìm m, n ñeå ñoà thò cuûa haøm soá sau coù ñieåm uoán ñöôïc chæ ra:

Baøi 3. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán:

Baøi 4. Chöùng minh ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù 3 ñieåm uoán thaúng haøng:

V. ÑÖÔØNG TIEÄM CAÄN CUÛA ÑOÀ THÒ

Baøi 2. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

Baøi 3. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau:

Baøi 4. Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: x -- e 2

Baøi 5. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù ñuùng hai tieäm caän ñöùng:

Baøi 6. Tìm m ñeå ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau coù tieäm caän xieân: 2

Baøi 7. Tính dieän tích cuûa tam giaùc taïo bôûi tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau chaén

Baøi 8. Tìm m ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau taïo vôùi caùc truïc toaï ñoä moät tam

Baøi 9. Chöùng minh raèng tích caùc khoaûng caùch töø moät ñieåm baát kì treân ñoà thò cuûa caùc haøm

VI. KHAÛO SAÙT SÖÏ BIEÁN THIEÂN VAØ VEÕ ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ

I

I

0

x

0

x

y

y

I

x

0

x

0 I

y

y

I

I

0

0

x

x

y

2. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ • Cô sôû cuûa phöông phaùp: Xeùt phöông trình: • Ñeå bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình F(x, m) = 0 () baèng ñoà thò ta bieán ñoåi () veà