zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Kỹ thuật giải hệ phương trình và bất phương trình: Phần 2 - GV. Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Vu Hoang Xuan Thanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

86
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 tài liệu "Kỹ thuật giải hệ phương trình và bất phương trình" tổng hợp những bài toán hay có kèm lời giải chinh phục 9 điểm liên quan đến phương trình, hệ phương trình trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật giải hệ phương trình và bất phương trình: Phần 2 - GV. Đặng Việt Hùng

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN PHẦN 2. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Điều kiện các căn thức xác định. x = y Phương trình thứ nhất tương đương ( x − y ) ( x 2 + y 2 + 1) = 0 ⇔  2 ⇒x= y.  x + y = −1 2 2x + 7 7 x − 3 Phương trình thứ hai trở thành 6 + = 12 . x−2 x−2 2x + 7 Điều kiện ≥ 0; x ≠ 2 . Phương trình đã cho tương đương với x−2 2 x − 4 + 11 7 x − 3 11 11 11 11 6 + −7 = 5 ⇔ 6 2+ + = 5 ⇔ 6 2+ +2+ = 7. x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 11 Đặt 2 + = t , t ≥ 0 ta thu được x−2 t ≥ 0 t ≥ 0 t ≥ 0 11  ⇔ ⇔ ⇔ t =1⇔ 2 + =1  6t + t 2 = 7  ( t − 1)( t + 7 ) = 0  t ∈ {− 7;1} x − 2 11 11 ⇔ 2+ =1⇔ = −1 ⇔ x − 2 = −11 ⇔ x = −9 x−2 x−2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất x = −9 nên hệ có nghiệm duy nhất x = y = −9 . Câu 2. Điều kiện x > 0; y > 0 . Phương trình thứ nhất tương đương với x = y 2 x 2 + xy + x − 2 xy − y 2 − y = 0 ⇔ ( x − y )( 2 x + y + 1) = 0 ⇔  ⇒x= y.  2 x + y = −1 Phương trình thứ hai trở thành 6 x2 + 5x + 6 6 6 Phương trình đã cho tương đương với x + + 2 + = 15 ⇔ x + + 2 + x + + 2 = 12 . x x x x 6 Đặt x+ + 2 = t , t ≥ 0 ta thu được x t ≥ 0 t ≥ 0 t ≥ 0 2 ⇔ ⇔ ⇔t =3 t + t − 12 = 0 ( t − 3)( t + 4 ) = 0 t ∈ {−4;3} 6 6 ⇔ x+ + 2 = 3 ⇔ x + = 7 ⇔ x 2 − 7 x + 6 = 0 ⇔ x ∈ {1;6} x x Kết luận hệ có 2 nghiệm x = y = 1; x = y = 6 . Câu 3. Điều kiện các căn thức xác định. Phương trình thứ hai của hệ tương đương Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x− y x − y + 2( x − y) y = 0 ⇔ + 2( x − y) y = 0 x+ y  1  ⇔ ( x − y) +2 y=0⇒ x= y  x+ y    ( x + 1) + 4 = 3 . Điều kiện 2 8 Phương trình thứ nhất tương đương với x−2+ + x+3 x+3 8 x ≠ −3; x − 2 + ≥0. x+3 Phương trình đã cho tương đương với x−2+ 8 + x2 + 2x + 5 =3⇔ ( x + 3)( x − 2 ) + 8 + x 2 + 2 x + 5 − 1 = 2 ⇔ x2 + x + 2 x2 + x + 2 + = 2. x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x2 + x + 2 Đặt = t , t ≥ 0 ta thu được x+3 t ≥ 0 t ≥ 0 t ≥ 0 2 ⇔ ⇔ ⇔ t =1 t + t = 2 ( t − 1)( t + 2 ) = 0 t ∈ {−2;1} x2 + x + 2 ⇔ = 1 ⇔ x 2 + x + 2 = x + 3 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x ∈ {−1;1} x+3 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = y = 1 . Câu 4. Điều kiện căn thức xác định. Phương trình thứ nhất tương đương 2 x 2 − xy − y 2 − x − 2 y − 1 = 0 ⇔ 2 x 2 + xy + x − 2 xy − y 2 − y − 2 x − y − 1 = 0  x = y +1 ⇔ ( x − y − 1)( 2 x + y + 1) = 0 ⇔  ⇒ x = y +1 2 x + y + 1 = 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với phương trình thứ 2 2x + y − 1 + 1 2x2 + y + 2 2x + y −1 + 2 ( 2x + y ) ≤ 2 + = x2 + x + y + 1. 2 2 2 x + y − 1 = 1 2 x − 2 x = 0 2   Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 x 2 + y = 2 ⇒ 2 x + y − 1 = 0 ⇔ x = 0; y = −1 . x = y +1 x = y +1   Kết luận hệ có nghiệm duy nhất. Câu 5. Phương trình thứ nhất tương đương ( x + y ) = 2 x ( ) 3 ⇔ x+ y = 2 x ⇔ y = 2 x − x. 3 Phương trình thứ hai trở thành 2 x3 − x + 2 x − x = x3 + x + 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thu được 2 x3 − x + 1 2 x − x + 1 2 x3 − x + 2 x − x ≤ + = x3 + x + 1 . 2 2 2 x 3 − x = 2 x − x = 1  x = 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi  ⇔  y = 2 x − x y =1 Kết luận hệ có nghiệm duy nhất. Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x > 0  Câu 6. ĐK:  y > 0 (*) 4 x − 3 y > 0  Khi đó (1) ⇔ 4 x − 3 y + 2 xy = 2 x . 4 x − 3 y + y . 4 x − 3 y ⇔ 4x − 3 y ( ) 4x − 3y − 2 x − y ( ) 4x − 3y − 2 x = 0 ⇔ ( 4x − 3 y − 2 x )( 4x − 3y − y = 0 )  4x − 3 y = 2 x 4 x − 3 y = 4 x  y = 0 ⇔ ⇒ ⇒  4 x − 3 y = y 4 x − 3 y = y x = y x2 + 3 Kết hợp với (*) ta được x = y, thế vào (2) ta được x + x + 3 = 3 + 2 ( x − 1) 2 x ⇔ ( x −1 + ) ( ) x 2 + 3 − 2 = 2 ( x − 1) x2 + 3 x x −1 x2 + 3 − 4 x2 + 3 ⇔ + = 2 ( x − 1) x +1 x2 + 3 + 2 x x − 1 ( x − 1)( x + 1) x2 + 3 ⇔ + = 2 ( x − 1) 1 + x 2 + x2 + 3 x x = 1  ⇔ 1 x +1 x2 + 3 (3)  + = 2 1 + x 2 + x + 3 x 2 1 x +1 1 x +1 Với x > 0 ⇒ + < + < 1 + 1 = 2. 1+ x 2 + x + 3 1+ 0 2 + x 2 x2 + 3 2  1  11 Lại có x + 3 − x =  x −  + > 0 ⇒ x 2 + 3 > x > 0 ⇒ 2 2 >2  2 4 x 1 x +1 x2 + 3 ⇒ + 0 ⇒ x > 0 ⇒ y ≥ 0. Khi đó (1) ⇔ 2 x − y + xy = x . 2 x − y + y . 2 x − y ⇔ 2x − y ( ) 2x − y − x − y ( 2x − y − x = 0 ) Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ ( 2x − y − x )( 2x − y − y = 0 )  2x − y = x 2 x − y = x ⇔ ⇒ ⇒ x = y.  2 x − y = y 2 x − y = y Thế vào (2) ta được ( x3 + x − 1) 3 x + 1 = x + 3 (3) x+3 x+3 Với x > 0 thì (3) ⇔ x 3 + x − 1 = ⇔ x3 + x − 1 − = 0. 3x + 1 3x + 1 x+3 Xét hàm số f ( x ) = x3 + x − 1 − với x ∈ ( 0; +∞ ) có 3x + 1 1 −8 4 3x + 1 f ' ( x ) = 3x 2 + 1 − . = 3x 2 + 1 + > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) . x + 3 ( 3 x + 1) ( 3 x + 1) x + 3 2 2 2 3x + 1 Kết hợp với f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) . Do đó trên ( 0; +∞ ) phương trình f ( x ) = 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất. 1 ∈ ( 0; +∞ ) Mặt khác  ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của f ( x ) = 0 ⇒ y = 1 thỏa mãn (*)  f (1) = 0 Đ/s: ( x; y ) = (1;1)  2 3 3  y2 − 3 y + 3 ≥ 0  y −  + ≥ 0  2 Câu 8. ĐK:  ⇔  2 4 ⇔ y≥− (*) 7 y + 2 ≥ 0  2 7  y ≥ − 7 Khi đó (1) ⇔ 4 ( x 2 + 3 y 2 ) + ( x + 3 y ) − 4 ( x + 3 y ) x 2 + 3 y 2 = 0 2 ( ) 2 ⇔ 2 x2 + 3 y 2 − x − 3 y = 0 ⇔ x + 3 y = 2 x2 + 3 y 2  x + 3 y ≥ 0 x + 3y ≥ 0 ⇔ ⇔ 2 ( x + 3 y ) = 4 ( x + 3 y ) 2 3 x − 6 xy + 3 y = 0 2 2 2  x + 3 y ≥ 0 x + 3y ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ x = y ≥ 0. 3 ( x − y ) = 0 x = y 2 Kết hợp với (2) ta được x 2 + 2 x + 4 x 2 − 3x + 3 = 4 + x 7 x + 2 ( x ≥ 0) ( ⇔ x x + 2 − 7x + 2 + 4 ) ( ) x2 − 3x + 3 − 1 = 0 ( x + 2 ) − ( 7 x + 2 ) 4 ( x − 3 x + 3 − 1) 2 2 ⇔ x. + =0 x + 2 + 7x + 2 x 2 − 3x + 3 + 1 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x ( x 2 − 3x + 2 ) 4 ( x 2 − 3x + 2 ) ⇔ + =0 x + 2 + 7x + 2 1 + x 2 − 3x + 3   ⇔ ( x 2 − 3x + 2 )  x 4 + =0 (3)  x + 2 + 7 x + 2 1 + x − 3x + 3  2 x 4 Với x ≥ 0 ⇒ + > 0. x + 2 + 7x + 2 1 + x − 3x + 3 2 x = 1⇒ y = 1 Do đó (3) ⇔ x 2 − 3 x + 2 = 0 ⇔  thỏa mãn hệ đã cho. x = 2 ⇒ y = 2 Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )} Câu 9. ĐK: y 2 − y + 1 ≥ 0 (*) Đặt a = x 2 + 3 y 2 ≥ 0 ⇒ (1) thành a 2 − y 2 = xy + xa ⇔ ( a + y )( a − y ) − x ( a + y ) = 0 a = − y  x2 + 3 y 2 = − y ⇔ ( a + y )( a − y − x ) = 0 ⇔  ⇒  a = x + y  x 2 + 3 y 2 = x + y − y ≥ 0 y ≤ 0 • TH1. x2 + 3 y2 = − y ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ x = y = 0. x + 3y = y x + 2 y = 0 2 2 2 Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại. x + y ≥ 0  x + y ≥ 0   x ≥ 0, y = 0 • TH2. x2 + 3 y2 = x + y ⇔  2 ⇔  y = 0 ⇔   x + 3 y = x + 2 xy + y x = y ≥ 0 2 2 2  x = y  1 +) Với x ≥ 0, y = 0 kết hợp với (2) ta được 7 − 3 x = 6 ⇔ x = thỏa mãn hệ đã cho. 3 +) Với x = y ≥ 0 kết hợp với (2) ta được 2 x 3 − 3 x + 7 = 6 x 2 − x + 1 (3) Áp dụng BĐT Côsi ta có ( x 2 − x + 1) + 1 ≥ 2 x 2 − x + 1 ⇒ 6 x 2 − x + 1 ≤ 3 x 2 − 3 x + 6 Lại có 2 x 3 + 1 − 3x 2 = ( x − 1) ( 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1) ( 2 x + 1) ≥ 0, ∀x ≥ 0 ⇒ 2 x 3 + 1 ≥ 3x 2 2 ⇒ 6 x 2 − x + 1 ≤ 2 x3 + 1 − 3x + 6 = 2 x3 − 3x + 7 ⇒ VT ( 3) ≥ VP ( 3) . Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ⇒ y = 2 thỏa mãn hệ đã cho.   1  Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,  ;0   .   3  Câu 10. Điều kiện: x ≥ 0; 5 − 2 y ≥ 0 . Từ phương trình đầu của hệ, chúng ta có: ( ) ( x (3 − y ) + y − 2x = 1 ⇔ y 1 − x − 2x − 3 x + 1 = 0 ) Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x =1 x = 1 ( ⇔ y 1− x − ) ( )( x −1 2 x −1 = 0 ⇔ ) ( x −1 y + 2 x −1 = 0 ⇔  )( ⇔ )  y + 2 x − 1 = 0  y = 1− 2 x Với x = 1 ⇒ y = 2 suy ra ( x; y ) = (1; 2 ) là một nghiệm của hệ phương trình. Với y = 1 − 2 x thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: x2 − ( ( x − 2 1− 2 x )) x = ( ) 5 − 2 1 − 2 x + 3 ⇔ x2 − 5x x + 2x − 3 = 4 x + 3 (i ) Đặt t = x ≥ 0 , khi đó ( i ) ⇔ t 4 − 5t 3 + 2t 2 − 3 = 4t + 3 ⇔ t 4 − 5t 3 + 2t 2 − t − 3 + t − 4t + 3 = 0 ( ) t − 4t − 3 2   ⇔ ( t 2 − 4t − 3)( t 2 − t − 1) + = 0 ⇔ ( t 2 − 4t − 3)  t 2 − t − 1 + 1  =0⇔ t = 2+ 7 (t ≥ 0) t + 4t + 3  t + 4t + 3   x = 2 + 7  x = 11 + 4 7 Từ đó suy ra  = − ⇔ = − − ( ⇒ ( x; y ) = 11 + 4 7; −3 − 2 7 là nghiệm của hệ phương )  y 1 2 x  y 3 2 7 trình. Câu 11. Điều kiện: y ≥ x; 2 x + y ≥ 0; x + 4 y ≥ 0 . Phương trình một của hệ tương đương với: 2 x 2 − 3 xy + y 2 + 5 x − 3 y + 2 − ( 2 x − y + 1) y − x = 0 ⇔ ( 2 x − y + 1)( x − y + 2 ) − ( 2 x − y + 1) y − x = 0 ⇔ ( 2 x − y + 1) x − y + 2 − y − x = 0 ( )  y = 2x + 1 ( ) ⇔ ( 2 x − y + 1)  2 − y − x − y − x  = 0 ⇔ ( 2 x − y + 1) y − x − 1 ( )( ) 2 y−x +2 =0⇔    y = x +1 • Với y = x + 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 4 x 2 + x + 4 − 2 x + x + 1 − x + 4 ( x + 1) = ( x + 1) ⇔ 3x 2 − x + 3 − 3 x + 1 − 5 x + 4 = 0 2 ( x + 1) − 3x − 1 ( x + 2) − 5x − 4 2 2 2 ( ) ( ⇔ 3x − 3x + x + 1 − 3x + 1 + x + 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ 3 ( x − x ) ) x + 1 + 3x + 1 2 x + 2 + 5x + 4 =0 + + x2 − x x2 − x   ⇔ 3 ( x2 − x ) + = 0 ⇔ ( x2 − x )  3 + 1 1 + + =0 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4  x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4  x = 0 ⇒ y = 1 1 1 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔  vì 3 + + > 0; x ≥ − . x = 1 ⇒ y = 2 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4 3 • Với y = 2 x + 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 4 x 2 + x + 4 − 2 x + 2 x + 1 − x + 4 ( 2 x + 1) = ( 2 x + 1) ⇔ 3x − 3 + 4 x + 1 + 9 x + 4 = 0 2 ⇔ 3x + ( 4x + 1 − 1 + ) ( ) 4x 9 x + 4 − 2 = 0 ⇔ 3x + 4x + 1 + 1 + 9x 9x + 4 + 2 =0  4 9  4 9 1 ⇔ x3 + +  = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 vì 3 + + > 0; ∀x ≥ − .  4x + 1 + 1 9x + 4 + 2  4x + 1 + 1 9x + 4 + 2 4 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 0;1) , (1; 2 )} . Câu 12. Điều kiện: 8 x + 5 ≥ 0; 6 x + 4 xy − x 2 ≥ 0 . Phương trình một của hệ tương đương với: ( x − y + 3) 2 x 2 + y 2 + 1 − ( x − y + 3)( x + y ) + x 2 − 2 xy + 1 = 0 ⇔ ( x − y + 3) ( ) 2 x 2 + y 2 + 1 − x − y + ( 2 x 2 + y 2 + 1) − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = 0 ⇔ ( x − y + 3) ( +1 − x − y) + ( ) − ( x + y) 2 2 x2 + y 2 2 x2 + y2 + 1 =0 2 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ ( x − y + 3) ( ) ( 2x2 + y2 + 1 − x − y + 2 x2 + y2 + 1 + x + y )( ) 2 x2 + y 2 + 1 − x − y = 0 ( ⇔ 2 x + 3 + 2 x2 + y2 + 1 )( ) x + y ≥ 0 2 x2 + y 2 + 1 − x − y = 0 ⇔ 2 x2 + y2 + 1 = x + y ⇔  2 xy = x + 1 2 Vì điều kiện 8 x + 5 ≥ 0 → 2 x + 3 > 0 ⇒ 2 x + 3 + 2 x 2 + y 2 + 1 > 0 . Với 2 xy = x 2 + 1 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 = x 2 + 4 x + 3 ⇔ ( x + 1) ( x + 2 − ) ( 8x + 5 + x + 1 − 6 x + 2 = 0 ) ( x + 1) ( x 2 − 4 x − 1) x2 − 4 x − 1  x +1  = 0 ⇔ ( x − 4 x − 1)  1 ⇔ + 2 + =0 x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6x + 2  x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6 x + 2  x = 2 + 5 ⇒ y = 5 x +1 1 1 ⇔ x2 − 4 x − 1 = 0 ⇔  vì + > 0; ∀x ≥ − .  x = 2 − 5 ⇒ y = − 5 x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6 x + 2 3 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 2 + )( 5; 5 , 2 − 5; − 5 )} . Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.