Dạy học vị trí tương đối hình học không gian bằng GeoGebra: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN

CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN

CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TĂNG MINH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS. Tăng Minh Dũng, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng

như giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp thắc

mắc, dẫn dắt chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi niềm say

mê đối với chuyên ngành Didactic Toán. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các giáo sư

Pháp: TS. Annie Bessot và TS.Hamid Chaachoua đã gợi mở và định hướng đề tài luận

văn cho chúng tôi.

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học, Khoa Toán – Tin trường

Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt

khóa học.

- Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Chu Văn An,

Ninh Thuận đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại

trường ĐHSP TP.HCM cũng như hỗ trợ tôi trong phần thực nghiệm.

- Ban giám hiệu và cô Nguyễn Thị Minh Đào trường THPT Châu Thành,

Bà Rịa Vũng Tàu đã giúp đỡ tôi trong phần thực nghiệm.

- Vợ chồng bạn Nguyễn Thị Minh Yến giáo viên trường THPT Nam Kỳ

Khởi Nghĩa TP.HCM, bạn Lê Đình Nhân giáo viên trường THPT Bác Ái tỉnh

Ninh Thuận đã có nhiều ý kiến đóng góp cho tôi trong phần thực nghiệm.

Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng khóa 27 đã cùng tôi chia sẻ

những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập. Đặc biệt là nhóm của tôi:

anh Trần Văn Học, chị Nguyễn Thị Minh Đào, em Trần Thị Vân, những người đã động

viên tinh thần, hỗ trợ và góp ý cho luận văn của tôi.

Cuối cùng, tôi xin dành tấm lòng biết ơn của mình cho gia đình mình: bố mẹ, chị

gái. Những người đã luôn động viên tinh thần và là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt.

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ “Dạy học vị trí tương đối giữa các đối tượng

cơ bản của hình học không gian trong môi trường GeoGebra” là công trình nghiên

cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Tăng Minh Dũng.

Mọi số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và chưa được

công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào trước đây. Tất cả những tham khảo và

kế thừa đều được trích dẫn và tham chiếu đầy đủ.

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2018

Người cam đoan

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ .......................................................................................... 1

1.1. Câu hỏi xuất phát ............................................................................................ 1

1.2. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2

1.3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu ........................................................................... 3

1.4. Cơ sở lý thuyết ............................................................................................... 3

1.4.1. Khái niệm mô hình trực quan ................................................................... 3

1.4.2. Danh mục thiết bị dạy học của bộ Giáo dục ............................................. 5

1.4.3. Hình nổi: một mô hình trực quan mô phỏng ............................................. 6

1.4.4. Ứng dụng hình nổi trong dạy học HHKG ................................................. 8

1.4.5. Giới thiệu về Geogebra ............................................................................ 9

1.5. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 13

1.6. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 13

1.7. Giả thuyết nghiên cứu ................................................................................... 13

1.8. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 14

Chương 2. NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG

ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN .............................. 15

2.1. Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB ..... 15

2.2. Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB ........................................... 17

2.2.1. Phân tích chi tiết nhóm T .......................................................................... 17

2.2.2. Phân tích chi tiết nhóm T’ ......................................................................... 20

2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 27

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG

THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH ..................... 29

3.1. Giới thiệu thực nghiệm 1 ................................................................................. 29

3.2. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................... 29

3.2.1. Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm .................................................... 29

3.2.1.1. Biến tình huống .................................................................................. 30

3.2.1.2. Biến didactic ...................................................................................... 30

3.2.2. Các chiến lược .......................................................................................... 31

3.3. Phân tích hậu nghiệm ...................................................................................... 34

3.3.1. Lời giải theo chiến lược S1 ........................................................................ 35

3.3.2. Lời giải theo chiến lược S2 ........................................................................ 40

3.3.3. Các lời giải khác ....................................................................................... 42

3.3.4. Lời giải chưa đi đến kết quả ...................................................................... 44

3.4. Kết luận chương 3 ........................................................................................... 45

Chương 4. DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA

MÔ HÌNH TRỰC QUAN ........................................................................................ 47

4.1. Nghiên cứu việc sử dụng mô hình trực quan của giáo viên .............................. 47

4.1.1. Mục đích nghiên cứu................................................................................. 47

4.1.2. Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn ....................................... 47

4.1.3. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................ 49

4.1.4. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................ 52

4.2. Thực nghiệm 2 ................................................................................................ 55

4.2.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................. 55

4.2.2. Giới thiệu thực nghiệm ............................................................................. 55

4.2.3. Tiến trình thực nghiệm .............................................................................. 55

4.2.4. Phân tích tiên nghiệm:............................................................................... 58

4.1.5. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................ 62

4.1.5.1. Phân tích phiếu A ............................................................................... 62

4.1.5.2. Phân tích phiếu B ............................................................................... 64

4.1.5.3. Phân tích phiếu C ............................................................................... 68

4.3. Kết luận chương 4 ........................................................................................... 71

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 74

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt Từ đầy đủ

BTKG Biểu tượng không gian

CB Cơ bản

CNTT Công nghệ thông tin

HHKG Hình học không gian

HHP Hình học phẳng

KNV Kiểu nhiệm vụ

MHTQ Mô hình trực quan

NC Nâng cao

NXB Nhà xuất bản

PTTQ Phương tiện trực quan

SGK Sách giáo khoa

SGV Sách giáo viên

THPT Trung học phổ thông

TP.HCM Thành phố Hồ Chí Minh

TTTKG Trí tưởng tượng không gian

VTTĐ Vị trí tương đối

Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1. Câu hỏi xuất phát

Trí tưởng tượng không gian (TTTKG) có vai trò trong nhiều hoạt động của con

người như: định hướng di chuyển trong một thành phố lớn không quen biết hay trên

biển; biểu diễn những cái mình nhìn thấy;… (Lê Thị Hoài Châu, 2008). Đồng thời,

những sáng tạo mới trong khoa học, kỹ thuật, hội họa,…đều là sản phẩm của TTTKG

(Vũ Thị Thái, 2001).

Theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT của Bộ Giáo dục ban hành chương trình

giáo dục phổ thông yêu cầu một trong những phẩm chất tư duy cần bồi dưỡng cho học

sinh là phát triển TTTKG. Trong khi đó, “đối tượng của TTTKG là các biểu tượng

không gian (BTKG). Đó là những biểu tượng phản ánh những đặc tính của không gian

gồm những tính chất không gian (hình dạng, kích thước) và những quan hệ không gian

(vị trí).” (Vũ Thị Thái, 2001, trang 4). Như vậy, vị trí của các vật thể trong không gian

nói chung và vị trí tương đối (VTTĐ) giữa các đối tượng cơ bản trong không gian nói

riêng là thành phần của TTTKG, do đó rất được quan tâm trong giáo dục Toán học:

“Ngay từ những giờ học đầu tiên thầy giáo cần phải tập cho học sinh biết cách

biểu diễn đường thẳng, mặt phẳng và vị trí tương đối của chúng trong không gian sau

khi giới thiệu hình ảnh của chúng trong thực tế.” (SGV Hình học 11 CB, trang 8)

Tuy nhiên, trong dạy học hình học không gian (HHKG), học sinh gặp nhiều khó

khăn khi nghiên cứu VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của HHKG (điểm, đường thẳng,

mặt phẳng). Chẳng hạn, trong bài toán (Bùi Đức Tước Hoàn, 2012):

“Xét bài toán: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi có các cạnh đối

không song song. Gọi E là điểm bất kì thuộc cạnh SB. Tìm giao điểm của DE và (SAC).

Có học sinh đưa ra lời giải như sau:

.”

Sai lầm này có thể được giải thích: “trong hình học phẳng ta luôn luôn có thể thực

hiện một hình vẽ chính xác đúng với cái mà ta tưởng tượng…..Với HHKG thì không

phải như vậy – chẳng hạn hai đường thẳng cắt nhau trên hình biểu diễn lại có thể là

hai đường thẳng chéo nhau trên hình thực” (Lê Thị Hoài Châu, 2008, trang 206). Từ

đó, chúng tôi thấy việc tưởng tượng VTTĐ giữa các đối tượng của HHKG là điều cần

thiết phải rèn luyện cho học sinh.

Tuy nhiên, theo VuiBert (1912, trang 7) “một trong những khó khăn của việc dạy

hình học đến từ thực tế là không phải ai cũng có thể “nhìn hình không gian”. Một số

học sinh hoàn toàn bị bỏ lại bởi chướng ngại này: hình học đóng lại với chúng. Một số

khác có thể “nhìn” một cách khó khăn và không đầy đủ, họ có thể hiểu và nhớ các định

nghĩa nhưng không thể quen với những hình trong không gian, đặc biệt là khi chúng

phức tạp.” Theo SGV Hình học 11 NC (trang 43): “Trong học HHKG, hình vẽ là những

hình phẳng không phản ánh trung thành các quan hệ như vuông góc, bằng nhau… của

các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn cho học sinh. Vì thế, khi giảng những bài đầu

tiên, giáo viên cần chuẩn bị nhiều mô hình trực quan (MHTQ), sau đó mới chú ý rèn

luyện tư duy logic cho học sinh.”

Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát:

CH1: Việc dạy học VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của HHKG đang diễn ra như

thế nào?

CH2: MHTQ là gì? Giáo viên có sử dụng MHTQ trong giảng dạy VTTĐ giữa các

đối tượng cơ bản của HHKG hay không?

1.2. Phạm vi nghiên cứu

Đối tượng cơ bản của HHKG gồm điểm, đường thẳng và mặt phẳng. VTTĐ giữa

các đối tượng này tương đối nhiều và phức tạp. Trong phạm vi của một luận văn thạc

sĩ, chúng tôi chỉ nghiên cứu về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình HHKG

lớp 11 Chuẩn hiện hành.

1.3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Với phạm vi nghiên cứu như trên, chúng tôi sẽ sử dụng lý thuyết nhân chủng học

trong Didactic Toán. Lý thuyết này giúp chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế đối

với VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGV, SGK lớp 11 CB hiện hành.

Đồng thời, có những sai lầm của học sinh mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức

nhưng cũng có những sai lầm của học sinh khiến chúng ta phải quan tâm vì nó không

phải ngẫu nhiên được sinh ra. Những sai lầm này thuộc về kiến thức và là biểu hiện của

kiến thức. Chúng tôi sử dụng lý thuyết tình huống mà công cụ là quy tắc hành động để

nghiên cứu sai lầm và khó khăn của học sinh khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong

không gian, nhằm tìm cách hỗ trợ, khắc phục những chướng ngại này.

1.4. Cơ sở lý thuyết

Các công cụ lý luận của Didactic toán như thuyết nhân học, lý thuyết tình huống,..

là các yếu tố đã khá quen thuộc; do đó, trong mục này chúng tôi chỉ trình bày những cơ

sở lý thuyết mới, cần được làm rõ.

1.4.1. Khái niệm mô hình trực quan

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Dự thảo ngày 19/1/2018)

phương tiện học toán có 2 loại là: phương tiện trực quan (PTTQ) thông thường (bảng

phụ, mô hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay,…) và phương tiện khoa học

công nghệ.

Theo Trần Trung (2013) để “học sinh biết nhìn hình thực và VTTĐ của các yếu tố

hình thực qua hình biểu diễn” “giáo viên cần sử dụng một dạng của phương tiện dạy

học đó là MHTQ để giúp học sinh dễ dàng chuyển tư duy từ cái cụ thể, cảm tính sang

tư duy trừu tượng, khái quát hóa.” (trang 52). Trong đó, MHTQ được khai thác trong

giảng dạy HHKG có 2 loại là: mô hình hình thật và mô hình được thiết kế từ các máy

tính điện tử.

Như vậy, trong luận văn này, chúng tôi cũng hiểu PTTQ dùng trong giảng dạy

HHKG gồm có hai loại là: PTTQ thông thường như các hình vẽ, mô hình, vật thật,… và

PTTQ khoa học công nghệ. Trong đó, MHTQ là một dạng của PTTQ, gồm 2 loại là:

MHTQ ở dạng vật thật và MHTQ mô phỏng được thiết kế từ các phần mềm hình học

động trên máy tính điện tử (Hình 1.1)

Hình 1.1. PTTQ trong dạy học HHKG

Trong đó:

 Vật thật:

Vật thật là “các mô hình hình học có thể làm bằng nhựa hoặc làm bằng gỗ, bằng

bìa cứng, bìa cát tông,… với yêu cầu tương thích với các hình hình học” (Dương Văn

Kiên, 2006, trang 16) hay những hình ảnh trực quan trong thực tế. Theo SGV Hình học

11 NC “để giúp học sinh dễ hiểu, trong khi giảng bài, giáo viên cần dùng nhiều hình ảnh

trực quan và sử dụng các thiết bị dạy học do Bộ Giáo dục và Đào tạo trang bị” (trang

41). Do đó, chúng tôi sẽ tìm hiểu những mô hình, đồ dùng trong danh mục thiết bị dạy

học của bộ Giáo dục quy định.

 MHTQ mô phỏng:

MHTQ mô phỏng được tạo ra từ các phần mềm hình học động. Đây là một loại

phương tiện dạy học tích hợp nhiều tính năng, chương trình được lập trình sẵn và cài

đặt vào máy tính để người dùng điều khiển tạo ra những hình ảnh hai, ba chiều. Trong

dạy học HHKG có khá nhiều phần mềm hình học động như: Cabri, Geospace,

Sketchpad, Geogebra, …

1.4.2. Danh mục thiết bị dạy học của bộ Giáo dục

Theo thông tư số 01/2010 của bộ Giáo dục Việt Nam ban hành Danh mục thiết bị

dạy học tối thiểu cấp Trung học phổ thông – môn Toán có hai bộ dụng cụ được sử dụng

trong dạy HHKG

Bảng 1.1. Bộ dụng cụ dạy học HHKG trong danh mục thiết bị dạy học của Bộ

STT Tên thiết bị Dùng cho lớp

Hộp chân đế

Bộ khung

Bản phẳng hình chữ nhật

Bản phẳng hình tam giác vuông Bộ dụng cụ

1 Bản phẳng nửa hình tròn 12 tạo mặt

Bản phẳng nửa hình lọ hoa, tròn xoay

Khung hình chữ nhật

Khung hình tam giác vuông

Khung hình nửa đường tròn

Lăng trụ

Hình hộp xiên

Hình hộp chữ nhật

Tứ diện; Bát diện Bộ mô hình

2 Thập nhị diện đều 12 khối hình

Nhị thập diện đều không gian

Khối tròn xoay

Khối lăng trụ hình chữ nhật

Khối lăng trụ tam giác

Hình 1.2. Bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay Hình 1.3. Bộ mô hình khối không gian

Tuy nhiên, cả hai bộ đều được chỉ định cho dạy học HHKG lớp 12. Một số dụng

cụ trong bộ mô hình khối không gian có thể sử dụng để dạy HHKG lớp 11 như tứ diện,

lăng trụ, hình hộp chữ chữ nhật…và để giảng dạy VTTĐ giữa hai đường thẳng cần phải

bổ sung và thiết kế thêm một số thiết bị dạy học khác.

1.4.3. Hình nổi: một mô hình trực quan mô phỏng

Chương trình hình học động Geogebra là một người bạn đồng hành hữu ích cho

việc hình dung các quan hệ hình học trên mặt phẳng và trong không gian. Để hình

dung các hình dạng trong không gian chúng ta có thể sử dụng hai công cụ. Thứ

nhất là phép chiếu song song được sử dụng rộng rãi cho các đối tượng 3D đã cho

(…). Thứ hai là khả năng mới nhất để hình dung các đối tượng không gian trong

Geogebra là chọn Anaglyph. Chương trình tạo ra hai hình ảnh chiếu trong một

bức hình là một hình màu đỏ và màu xanh. Sử dụng bộ lọc kính 3D chúng ta có thể

nhìn thấy vật thể không gian trong một phần phía trước và phía sau màn hình. Đây

là một công cụ hoàn hảo để rèn luyện khả năng HHKG, chủ yếu cho những học

sinh có TTTKG hạn chế.

Theo Kmeťová (2015, trang 86):

Như vậy, Anaglyph là gì?

Theo Nguyễn Văn Khôn (1984) Anaglyph có nghĩa là đồ chạm, khắc nổi.

Theo Neufeldt & Guralnik (1997) Anaglyph có hai nghĩa: một là, vật trang trí như

là đá chạm được khắc nổi; hai là, một bức ảnh được tạo thành từ hai góc nhìn khác nhau

về màu khi cùng nhìn một thứ: khi nhìn qua một cặp bộ lọc màu tương ứng tạo ra hình

ảnh ba chiều.

Theo Kmeťová (2015) Anaglyph có nguồn gốc từ tiếng Hy lạp “ana” có nghĩa là

“một lần nữa” và “glyphẽ” có nghĩa là “điêu khắc”. Anaglyph chứa hai hình ảnh được

lọc màu khác nhau, mỗi hình ảnh cho mỗi mắt. Phương pháp này bao gồm việc xuất ra

hai hình tương phản để tạo thành một bức hình Anaglyph trong cùng một tờ giấy, một

cái màu xanh lam (hoặc xanh lá cây), một cái màu đỏ. Người xem sau đó sẽ dùng kính

có màu đỏ (cho mắt trái) và xanh (cho mắt phải). Mắt trái sẽ nhìn hình ảnh màu xanh

thành màu đen, nhưng lại không thấy màu đỏ; tương tự mắt phải sẽ thấy màu màu đỏ

thành màu đen. Não chúng ta sẽ tạo ra hình ảnh không gian 3 chiều.

Hình 1.4. Cơ chế của kính 3D Hình 1.5. Hình Anaglyph qua kính 3D

Như vậy:

 Từ “Anaglyph” không phải là một từ thông dụng nó hầu như không có mặt trong

các từ điển nhỏ và vừa.

 Xuất hiện từ thế kỷ 16 và được hiểu nhiều nhất theo nghĩa 1 (Đồ chạm, khắc nổi).

 Đến thế kỷ 19 xuất hiện nghĩa 2 (Hình ảnh tạo hiệu ứng ba chiều khi được xem

qua bộ lọc màu của kính 3D xanh – đỏ) và hiện nay được sử dụng nhiều với nghĩa

này.

 Trong luận văn này, chúng tôi sẽ dịch “anaglyph” là hình nổi theo nghĩa thứ 2.

1.4.4. Ứng dụng hình nổi trong dạy học HHKG

Theo Kmeťová (2015) hình nổi được phát minh đầu tiên vào năm 1852 bởi

Wilhelm Rollman ở Leipzig, Đức. Năm 1858, Joseph D'Almeida đã sử dụng kỹ thuật

này để chiếu những chiếc đèn lồng hình nổi lên màn hình rạp hát. William Friese-Green

đã tạo ra những hình nổi chuyển động 3D đầu tiên vào năm 1889. Năm 1953, truyện

tranh 3D được phát hành và phân phối cùng với “kính không gian” màu đỏ và xanh lá

cây. Sau đó, hình nổi không chỉ được sử dụng trong lĩnh vực giải trí, một số sách giáo

khoa hình học họa hình với hình minh họa hình nổi đã ra đời. Một trong số đó là sách

giáo khoa xuất bản năm 1961 của Hungary.

Trước đó, VuiBert (1912) đã đưa ra một số ứng dụng của hình nổi trong trường

hợp những hình khối như hình chóp, hình trụ, hình cầu, hình lập phương, … mà những

đường, mặt bên trong chúng khá phức tạp và khó thấy đối với những học sinh có TTTKG

Không có điều gì làm học sinh bối rối hơn so với một khối lượng các đường giao

nhau, nhằm biểu lộ những mặt phẳng có hướng khác nhau khi nghiên cứu HHKG.

Tuy nhiên, bằng hình nổi, những mặt phẳng khác nhau sẽ nổi bật trong vị trí tự

nhiên của chúng, chính xác như thể chúng được làm bằng những tấm kính mỏng

với những khung dây tốt và do đó có thể nhìn thấy qua các mặt phẳng gần hơn và

có được ấn tượng rất rõ ràng về toàn bộ bố cục, hoặc sắp xếp.

hạn chế. Hay theo Judge (1926, trang 171):

Kmeťová (2015) đã trình bày một ví dụ về ứng dụng hình nổi của chương trình

Geogebra để trình chiếu hình học trong phép chiếu trực giao (Monge projection – một

trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc) và đường

cong (curves), bề mặt (surfaces).

“Ví dụ: Xác định giao tuyến của hai tam giác ABC và MNP. Biết tọa độ của

A[-1, 0, 6], B[-4.5, 4.5, 0], C[2, 7, 1.5], M[0.5, 1, 0.5], N[3.5, 3, 4.5], P[-2.5, 7, 5].”

(trang 89)

Trong trường hợp xác định giao tuyến này “sau khi sử dụng chức năng xoay hình

và hình nổi, chúng tôi nhận được trải nghiệm không gian đầy đủ với các đối tượng hình

học phía trước và phía sau màn hình.” (Kmeťová, 2015, trang 89)

Như vậy, chúng tôi nhận thấy có thể tạo ra hình nổi trong Geogebra để hỗ trợ học

sinh có TTTKG hạn chế giải quyết bài toán xác định giao tuyến nói riêng và nghiên cứu

VTTĐ giữa hai đường thẳng hay HHKG nói chung.

1.4.5. Giới thiệu về Geogebra

Markus Hohenwarter và Judith Preiner (Đại học Florida Atlantic, Hoa Kì) là những

người đã sáng tạo ra phần mềm GeoGebra. Ban đầu, nó được thiết kế là một chương

trình động kết hợp giữa hình học và đại số. Theo thời gian, các mô-đun mới được bổ

sung như là bảng tính, hệ thống đại số máy tính (CAS), đặc biệt là mô-đun 3D cho phép

biểu diễn các đối tượng trong hệ tọa độ ba chiều trong phiên bản 5.0. (Lindner, 2013)

Theo Bùi Minh Đức (2018) ở phiên bản này trên thanh công cụ xuất hiện dòng các

nhóm lệnh: hồ sơ, chỉnh sửa, hiển thị ....Với các nhóm lệnh này ta có thể lưu trữ, chỉnh

sửa, hiện thị (dạng 2D hoặc 3D ...), tùy chọn (ngôn ngữ, thiết lập định dạng hiển thị theo

đơn vị độ dài, độ lớn góc ...), thêm hoặc bớt các nút công cụ ....Khi hiển thị dạng 3D,

trên thanh công cụ xuất hiện các nút sau đây: nút di chuyển, xác định điểm (dựng điểm

mới, giao điểm, trung điểm ...), dựng đường thẳng (hoặc dựng tia, đoạn thẳng ...), dựng

đường vuông góc (hoặc đường song song, các tiếp tuyến ...), dựng đường tròn hoặc

đường cô-nic, dựng giao của hai mặt, dựng mặt phẳng (qua ba điểm ...), dựng các hình

đa diện hoặc trải hình, dựng mặt cầu, tính các đại lượng hình học (góc, khoảng cách,

diện tích, thể tích), dựng ảnh của một điểm qua một phép biến hình, chèn chữ, thay đổi

góc nhìn 3D. (Hình 1.6)

Hình 1.6. Thanh công cụ của mô-đun đồ họa 3D

Không những vậy, GeoGebra còn hỗ trợ kết nối Hình học phẳng, HHKG, Đại số,

Xác suất, Thống kê, Bảng tính điện tử và các yếu tố toán học khác một cách khá chặt

chẽ. Ngoài ưu điểm nổi bật của GeoGebra là vẽ hình trực quan, có thể xoay hình biến

đổi hình theo nhiều góc nhìn khác nhau, GeoGebra còn có thể xử lý biến số, vectơ và

điểm, tìm đạo hàm và tích phân của hàm số.... Hình bên dưới minh họa cho khả năng

phối hợp các mô-đun cùng một lúc.

Hình 1.7. Geogebra với mô-đun đại số, mô-đun đồ họa 2D và mô-đun đồ họa

3D (Lindner, 2013)

Như vậy, chỉ xét riêng những tính năng trong mô-đun đồ họa 3D thì Geogebra

không khác gì những phần mềm hình học động khác như Cabri 3D, Geospace, hay

Sketchpad,.. Đồng thời, khi dùng để nghiên cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng trong

HHKG lớp 11, Geogebra đáp ứng các tính năng tương tự các phần mềm hình học động

khác. Tuy nhiên, theo Christou et al. (2006) các chương trình hình học động có thể xây

dựng cảm giác hình học 3D từ hình ảnh 2D nhưng các tính năng này chưa đủ để giúp

học sinh phát triển khả năng hình dung các vật thể 3D: Ví dụ, một người có kinh nghiệm

không gian có thể dễ dàng nhận ra rằng hình dạng phẳng trên màn hình máy tính là một

đối tượng 3D, còn đối với người học một biểu diễn của hình ảnh không gian 3D có thể

không có được “chiều sâu” không gian hỗ trợ việc học và điều này có thể cản trở việc

học HHKG.

Để hỗ trợ tạo ra “chiều sâu” này, trên thanh thiết kế trong mô-đun đồ họa 3D của

Geogebra 5.0 đã thêm công cụ Projection for glasses (Phép chiếu cho kính) để tạo hình

nổi. (Hình 1.8)

Hình 1.8. Thanh thiết kế của mô-đun đồ họa 3D

Trong đó, các yếu tố trong thanh thiết kế:

Xoay: trình diễn xoay quanh trục z với tốc độ không đổi

Xem theo hướng mp xy: xoay cấu trúc theo chiếu nganh

Xem theo hướng mp xz: xoay cấu trúc theo chiếu dọc

Xem theo hướng mp yz: xoay cấu trúc theo chiếu bên

Phép chiếu trực giao (phép chiếu song song)

Phép chiếu phối cảnh

Phép chiếu cho kính (Hình nổi)

Phép chiếu xiên

Bằng cách thay đổi phép chiếu một đối tượng có thể được hiển thị theo những

cách khác nhau.

Phép chiếu song song (trên cùng bên trái), Phép chiếu Phối cảnh (trên cùng bên phải),

Hình nổi (dưới cùng bên trái), chiếu xiên (phía dưới bên phải) (Lindner, 2013)

Hình 1.9. Các phép chiếu khác nhau trong GeoGebra 3D

Như vậy, với chức năng hình nổi trong Geogebra, giáo viên có thể tạo ra một môi

trường “gần” với thực tế khi giảng dạy HHKG và hỗ trợ học sinh giải quyết những bài

toán không gian.

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt tên đề tài luận văn của mình là: “Dạy học

VTTĐ giữa các đối tượng cơ bản của hình học không gian trong môi trường

Geogebra” với đối tượng tri thức được nhắm đến là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong

không gian được giảng dạy trong môi trường Geogebra trên tính năng hình nổi.

1.5. Câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nói trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi xuất phát:

Q1: Trong chương trình, SGV Hình học 11 CB, khái niệm VTTĐ giữa hai

đường thẳng được yêu cầu giảng dạy như thế nào?

Q2: Các tổ chức toán học nào có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

được thể hiện trong SGK Hình học 11 CB? Trong đó, tổ chức toán học nào cần sử

dụng MHTQ?

Q3: Giáo viên đã sử dụng MHTQ trong giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai

đường thẳng như thế nào?

Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học kiểu nhiệm vụ “Tìm hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?

1.6. Phương pháp nghiên cứu

 Để đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 chúng tôi sẽ:

- Nghiên cứu những tài liệu, tóm tắt các kết quả đã nghiên cứu có liên quan đến

vấn đề xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng trong HHKG.

- Tiến hành phân tích chương trình, SGV, SGK Hình học 11 CB có liên quan đến

đối tượng tri thức đang nghiên cứu.

 Để trả lời cho câu hỏi Q3, Q4 chúng tôi sẽ:

- Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến MHTQ.

- Điều tra, phỏng vấn thực hành của giáo viên.

- Tiến hành thực nghiệm trên học sinh.

1.7. Giả thuyết nghiên cứu

Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2 chúng tôi đi tìm hiểu các sách giáo khoa

(SGK), sách bài tập, sách giáo viên (SGV) cơ bản (CB) và nâng cao (NC) trong chương

trình lớp 11 do nhà xuất bản (NXB) Giáo dục phát hành. Chúng tôi gọi chung những tài

liệu dùng trong nhà trường như SGK, SGV, sách bài tập, giáo án của giáo viên, vở ghi

chép của học sinh,v.v là tài liệu học đường. Khi nghiên cứu SGK Hình học 11 CB đối

với vấn đề tìm hai đường thẳng cắt nhau trên hình biểu diễn của học sinh chúng tôi đặt

ra các giả thuyết nghiên cứu sau:

H1: Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm

chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm

trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.i

H2: Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ -

mô hình của đối tượng hình học phẳng (HHP) trong trường hợp hai đường thẳng

cắt nhau.ii

1.8. Mục đích nghiên cứu

Thông qua đề tài, chúng tôi hy vọng sẽ tìm ra được những nguyên nhân chủ yếu

dẫn đến những sai lầm của học sinh khi giải bài toán có liên quan đến VTTĐ giữa hai

đường thẳng trong không gian, từ đó thiết kế được tình huống dạy học khắc phục những

khó khăn này trong môi trường Geogebra. Thành công của đề tài sẽ tạo tiền đề cho việc

ứng dụng hình nổi của phần mềm Geogebra vào trong giảng dạy HHKG, đặc biệt dành

i Giả thuyết H1 được đặt ra từ kết quả của chương 2 ii Giả thuyết H2 được đặt ra trong chương 3 khi lý giải cho giả thuyết H1

cho những đối tượng học sinh có TTTKG hạn chế.

Chương 2. NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong chương này, chúng tôi sẽ đi phân tích thể chế trong chương trình HHKG

lớp 11 Chuẩn hiện hành. Do đó, các tài liệu học đường được chúng tôi sử dụng để nghiên

cứu là SGK, SGV Hình học 11 CB.

2.1. Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB

VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào bài 2: “Hai đường thẳng chéo nhau

và hai đường thẳng song song” sau bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng”

trong chương II: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song”

Theo SGV Hình học 11 CB:

Về kiến thức:

- Biết khái niệm hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo

nhau trong không gian.

- Biết (không chứng minh) định lý: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt

chứa hai đường thẳng song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song

(hoặc trùng) với một trong hai đường đó.”

Về kỹ năng:

- Xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng.

- Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song.

- Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong

một số trường hợp đơn giản

Thời lượng dành cho nội dung này trong chương là 2/16 tiết cả lý thuyết và bài tập.

Trong đó, SGV nhấn mạnh tầm quan trọng phải sử dụng hình ảnh trực quan trước

khi định nghĩa chính thức:

“Trước khi xét VTTĐ của hai đường thẳng trong không gian, cần giới thiệu cho

học sinh quan sát hình ở đầu §2 SGK và tham gia Hoạt động 1 nhằm tìm hiểu về hình

ảnh của đường thẳng và VTTĐ của chúng trong thực tế, tìm được hình ảnh cụ thể của

hai đường thẳng song song và chéo nhau trong không gian.” (trang 61)

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng chỉ có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau

còn trong không gian giờ đây xuất hiện thêm quan hệ “chéo nhau” giữa hai đường thẳng.

Do đó, SGV nhấn mạnh, trang 61 – 62:

“Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm mới và khó đối với học

sinh. Trước hết cần giới thiệu lại những hình ảnh cụ thể của hai đường thẳng chéo nhau

có xung quanh chúng ta, hoặc bằng giáo cụ trực quan để minh họa cho khái niệm này.

Sau đó giáo viên giới thiệu một vài hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau a và

b để cho học sinh bắt chước vẽ theo, chẳng hạn như:

Cuối cùng có thể cho học sinh phân biệt hai đường thẳng song song với nhau và

hai đường thẳng chéo nhau để khắc sâu thêm những khái niệm vừa mới học.”

Như vậy, chúng ta thấy một trong những khó khăn của học sinh khi học HHKG

nói chung và VTTĐ giữa hai đường thẳng nói riêng là: “là phải biết biểu diễn các hình

không gian đơn giản trên mặt phẳng và biết đọc các hình biểu diễn đó để hình dung

được các hình thực trong không gian.” (SGV Hình học 11 CB, trang 8). Do đó, chương

trình và SGV yêu cầu giảng dạy là: “cần biết kết hợp việc dùng các mô hình cụ thể

(bằng giấy, bằng tre, bằng nhựa v.v…) với việc rèn luyện trí tưởng tượng về không gian

để chuyển từ tư duy trực quan sang tư duy logic trừu tượng” (trang 8 – 9). Bởi vì, những

quan hệ trên hình có thể không phản ánh đúng tính chất hình học của nó (Lê Thị Thùy

Trang, 2010).

2.2. Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB

Chúng tôi thống kê các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong

chương II của SGK Hình học 11 CB qua bảng sau:

Bảng 2.1. Các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

KNV Nhóm T gồm các KNV liên quan trực tiếp (cấp độ 1) Số lượng hoạt

đến VTTĐ giữa hai đường thẳng động, bài tập SGK

T1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất 1

T2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn 1

T3 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 1

T4 Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau 1

T5 Chứng minh hai đường thẳng song song 2

TỔNG CỘNG 6

KNV Nhóm T’ gồm các KNV liên quan gián tiếp (cấp độ 2)

đến VTTĐ giữa hai đường thẳng

T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 10

T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 14

T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 3

TỔNG CỘNG 27

Như vậy, các KNV liên quan trực tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng (nhóm T)

không nhiều, đa số chỉ có một nhiệm vụ được SGK nêu tường minh. Trong khi đó, các

KNV liên quan gián tiếp đến VTTĐ giữa hai đường thẳng (nhóm T’) chiếm số lượng

tương đối lớn. Hai KNV có số lượng nhiều nhất là KNV T’1, T’2. Đây là những KNV

được SGK chú trọng do những KNV này sẽ góp phần giải quyết các KNV khác như:

dựng thiết diện, chứng minh ba điểm thẳng hàng, xác định góc giữa hai mặt phẳng,…

2.2.1. Phân tích chi tiết nhóm T

Khi xem xét các KNV ở nhóm T, chúng tôi chia chúng làm 2 loại:

L1: Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất hoặc hình biểu

diễn. (gồm T1, T2)

L2: Chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn. (gồm T3, T4, T5)

Kỹ thuật để giải quyết L2 rất rõ ràng và tường minh:

Bảng 2.2. Kỹ thuật – công nghệ của loại L2

KNV Kỹ thuật  Công nghệ 

- Tính chất thừa nhận 1, định : Chứng minh phản chứng  Chứng minh

hai đường nghĩa tứ diện, định nghĩa hai Giả sử hai đường thẳng đã cho thẳng chéo đường thẳng chéo nhau cùng nằm trong một mặt phẳng rồi nhau - Các quy tắc phản chứng rút ra mâu thuẫn

- Định nghĩa hai đường thẳng : Chứng minh phản chứng  Chứng minh

hai đường cắt nhau Giả sử hai đường thẳng đã cho cắt thẳng không - Quy tắc phản chứng ở trên nhau. Từ đó, chứng minh dẫn đến cắt nhau mâu thuẫn.

- Định lý Talet đảo, tính : Chứng minh a, b đồng phẳng  Chứng minh

hai đường chất đường trung bình của và sử dụng các phương pháp đã

thẳng song tam giác, hình thang, tính biết trong HHP như:

song chất hình bình hành,… - Chứng minh a, b là hai cạnh một

hình bình hành, hình thang,… - Tính chất 2: Hai đường

- Chứng minh a là đường trung thẳng phân biệt cùng song

bình của tam giác, hình thang song với một đường thẳng

thứ ba thì song song : Chứng minh hai đường thẳng

cùng song song v ới đường thẳng { ⟹ 𝑎 ∥ 𝑏 𝑎 ∥ 𝑐 𝑏 ∥ 𝑐 thứ ba

: Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật

Thế nhưng, kỹ thuật để giải quyết L1 thì lại khó diễn đạt và dựa vào quan sát.

a) Kiểu nhiệm vụ T1

chất

(Hoạt động 1 trong bài 2, trang 55 SGK)

Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là hình ảnh của đường

thẳng. Hãy chỉ ra một số cặp đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nhận xét: KNV này được giải quyết dựa vào quan sát và các tính chất không gian

của đối tượng vật chất. Đối với KNV này học sinh sẽ có biểu tượng không gian ban

đầu về hai đường thẳng chéo nhau. Do đó, loại bài tập này sẽ giúp học sinh rèn luyện

TTTKG. Tuy nhiên, số lượng bài tập rất ít (1 bài) cho nên chúng tôi tự hỏi học sinh đã

: Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn

đủ hình thành BTKG của VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian hay chưa?

b) Kiểu nhiệm vụ T2

(Hoạt động 2 trong bài 2, trang 56 SGK)

Cho tứ diện ABCD. Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau của tứ diện này (h.2.29)

Nhận xét: Đối với KNV này, SGV hướng dẫn “Hoạt động 2 nhằm tập cho học

sinh biết vận dụng phương pháp phản chứng để chứng minh một bài toán HHKG” (trang

62). Như vậy, SGV chỉ quan tâm đến việc chứng minh hai đường thẳng chéo nhau bằng

kỹ thuật phản chứng mà không chỉ ra kỹ thuật để tìm hai đường thẳng chéo nhau. SGV

cũng cho rằng hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm khó và giáo viên nên đưa ra

một mô hình để học sinh quan sát.

: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

2.2.2. Phân tích chi tiết nhóm T’

a) Kiểu nhiệm vụ T’1

Bảng 2.3. Kỹ thuật – công nghệ (thứ nhất) của KNV T’1

Kỹ thuật Công nghệ

- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng 𝝉′𝟏.𝟏:

- Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường - Tìm điểm chung của

thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước 2 mặt phẳng.

- Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa trong mặt - Đường thẳng qua

phẳng: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt hai điểm chung đó là

của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều giao tuyến của hai mặt

nằm trong mặt phẳng đó phẳng.

Ví dụ 1/SGK/ trang 49

𝐴𝑀

𝐴𝑁

Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm

𝐵𝑀

𝑁𝐶

M và N sao cho = 1 và = 2. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với

(BCD) (h.2.20).

𝐴𝑀

𝐴𝑁

Lời giải trong SGK:

𝑀𝐵

𝑁𝐶

Trong mặt phẳng (ABC), vì nên đường thẳng MN và ≠

BC cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là E. Vì D, E cùng thuộc

hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) nên (𝐷𝑀𝑁) ∩ (𝐵𝐶𝐷) = 𝐷𝐸.

Nhận xét: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng, ngoài điểm chung có sẵn do

điểm cùng thuộc hai mặt phẳng, ta thường tìm hai đường thẳng cắt nhau lần lượt nằm

trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm của hai đường thẳng này chính là điểm chung của

hai mặt phẳng. Kỹ thuật giải quyết làm xuất hiện KNV mới T’’1: Tìm hai đường thẳng

cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn.

Chúng tôi bổ sung KNV T’’1 vào L1 của nhóm T.

Kỹ thuật để giải quyết KNV này không được SGK hay SGV đề cập đến mà hai

đường thẳng cần tìm thường xuất hiện “đột ngột” trong lời giải của sách.

Bảng 2.4. Các bài tập của T’1 - 𝝉′𝟏.𝟏 trong SGK

6a/ trang 54

7a/trang 54 Bài tập điểm chung đã có sẵn 8a/trang 54

10d/trang 54

7b/trang 54

10b/trang 54 Bài tập điểm chung có được nhờ 2c/trang 71 thực hiện KNV T’’1 1a/trang 77

3a/trang 77

Trong bảng 2.4, KNV T’’1 tuy không xuất hiện tường minh nhưng số lượng bài

tập cần dùng đến nó tương đối nhiều. Tuy nhiên, khi phân tích các bài tập trong SGK,

chúng tôi nhận thấy các đường thẳng cần tìm đều có sẵn ngay trong tên mặt phẳng.

Chẳng hạn:

Bài tập 3a/ trang 77: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB

là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Lời giải trong SGV:

Ngoài điểm chung S có sẵn, để tìm điểm chung thứ hai thì hai đường thẳng cắt

nhau cần tìm là AD và BC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng.

Trong trường hợp tên mặt phẳng chưa có ngay đường thẳng cần tìm (bài

10b/trang 77) thì SGK đã chuẩn bị câu a để học sinh dễ dàng tìm ra hai đường thẳng:

Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc

miền trong của tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

Lời giải trong SGV:

Nhờ câu a) mặt phẳng (SBM) trùng với (SBN) và hai đường thẳng cần tìm ở câu

b) là BN và AC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng.

Từ đó, chúng tôi dự đoán đối với học sinh mặt phẳng là các tam giác có các đỉnh

trong tên mặt phẳng và để tìm điểm chung của hai mặt phẳng học sinh sẽ kéo dài cho

các cạnh của tam giác cắt nhau.

Bảng 2.5. Kỹ thuật – công nghệ (thứ hai) của KNV T’1

Kỹ thuật Công nghệ

- Định nghĩa giao tuyến hai mặt 𝝉′𝟏.𝟐:

phẳng - Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

- Hệ quả: “Nếu hai mặt phẳng - Tìm phương của giao tuyến (tức là tìm

phân biệt lần lượt chứa hai đường hai đường thẳng song song nằm trong hai

thẳng song song thì giao tuyến mặt phẳng)

của chúng (nếu có) cũng song song - Giao tuyến là đường thẳng qua điểm

với hai đường thẳng đó hoặc trùng chung và song song với hai đường thẳng ấy

với một trong hai đường thẳng đó” hoặc trùng với một trong hai đường thẳng

đó.

Ví dụ 1/SGK/trang 58

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của

mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Lời giải trong SGK:

Các mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và

lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AD, BC

nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và

song song với AD, BC (h.2.35).

Nhận xét: Để tìm phương của giao tuyến dẫn đến KNV mới T’’2: Tìm hai đường

thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn.

KNV T’’2 được chúng tôi thêm vào loại L1 của nhóm T. Cũng giống như KNV

T’’1, kỹ thuật giải quyết cũng không được nêu tường minh, hai đường thẳng đó thường

được chỉ rõ trong lời giải và chỉ cần chứng minh chúng song song. Tuy nhiên, SGK

không chú trọng kỹ thuật này để giải quyết của KNV T’1. SGK chỉ có một bài tập của

: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

KNV T’1 - 𝝉′𝟏.𝟐 (bài 2a/trang 63)

b) Kiểu nhiệm vụ T’2

Bảng 2.6. Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’2

Kỹ thuật  Công nghệ 

𝝉′𝟐: Tìm đường thẳng b chứa trong (P) Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa

sao cho d cắt b tại A. Suy ra A  d  P trong mặt phẳng

Ví dụ 4/SGK/trang 51

Cho BCD và điểm A không thuộc (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD và

G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng

(BCD).

Lời giải trong SGK:

Nhận xét: Phương pháp được trình bày rõ trong SGK: “Để tìm giao điểm của một

đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó

với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.” (trang 51) tức là nảy sinh KNV

mới T’’3: Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho cắt với đường thẳng có sẵn

trên hình biểu diễn. KNV này được bổ sung vào L1 của nhóm T.

Bảng 2.7. Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’’3

Kỹ thuật  Công nghệ 

- Nếu đường thẳng cần tìm có sẵn Dấu hiệu nhận biết đường thẳng chứa

trong mặt phẳng trên hình biểu diễn thì trong mặt phẳng

ta cho đường thẳng này cắt với đường

thẳng đề bài cho. (𝝉′′𝟑.𝟏)

- Nếu đường thẳng cần tìm không có - Định nghĩa giao tuyến hai mặt

sẵn trong mặt phẳng thì dùng kỹ thuật phẳng

𝝉′′𝟑.𝟐 - Điều kiện xác định đường thẳng 𝝉′′𝟑.𝟐: Chọn mp  chứa d và cắt  P theo chứa trong mặt phẳng giao tuyến d’

- Gọi I  d '  d. Khi đó I  d  P

Bảng 2.8. Các bài tập của KNV T’’3 trong SGK

Kỹ thuật 𝝉′′𝟑.𝟏 𝝉′′𝟑.𝟐

6a/trang 54 5a/trang 53

9a/trang 54 8b/trang 54

10a/trang 54 10c/trang 54

3a/trang 60 10d/trang 54 Bài tập

2b/trang 71 1a/trang 71

2d/trang 71 2b/ trang 77

1b/trang 77 3b/trang 78

Ví dụ bài tập 5a/SGK/ trang 53

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (𝛼) có hai cạnh AB và CD không song

song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (𝛼) và M là trung điểm đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)

Lời giải trong SGV:

Nhận xét: Ngoại trừ trường hợp đường thẳng cần tìm có sẵn ngay trong mặt

phẳng, thông thường, kỹ thuật giải bài toán đưa về KNV T’1: “Xác định giao tuyến của

hai mặt phẳng”, trong đó mặt phẳng phụ chứa đường thẳng của đề bài. Tuy nhiên, việc

lựa chọn mặt phẳng phụ sao cho dễ tìm giao tuyến lại phụ thuộc vào kinh nghiệm của

người giải. Chẳng hạn, như bài tập 5a trên nếu ta chọn mặt phẳng phụ là (SAD) thì việc

giao tuyến của (SAD) và (MAB) không phải đơn giản với học sinh vì theo như phân

tích ở kiểu nhiệm vụ T’1, học sinh thường kéo dài các cạnh của tam giác trong hai mặt

phẳng cắt nhau để tìm điểm chung nhưng hai cạnh SD và MB lại không đồng phẳng.

: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

c) Kiểu nhiệm vụ T’3

Bảng 2.9. Kỹ thuật – công nghệ của KNV T’3

Kỹ thuật Công nghệ

Định lý 1: Nếu đường thẳng a không nằm trên   và 𝝉′𝟑: Chứng minh a song

song với một đường thẳng song song với một đường thẳng nào đó nằm trên )

b nằm trong   thì a song song với  

Hoạt động 2/SGK 61

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các

đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không?

Nhận xét: SGV đưa vào hoạt động 2 với mục đích củng cố cho định lý 1. Kỹ thuật

giải quyết KNV này là trước khi đưa về KNV T5: Chứng minh hai đường thẳng song

song phải thực hiện của KNV T’’4: Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho

song song với với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn. Cũng giống như các KNV

T2, T’’1, T’’2, T’’3; KNV T’’4 được xếp vào loại L1 của nhóm T, kỹ thuật của T’’4 không

được SGK, SGV nêu rõ, đường thẳng cần tìm được chỉ thẳng trong lời giải của sách.

SGK có hai bài tập cho KNV T’3 (bài 1a, 1b/SGK 63)

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF.

Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng

minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).

Lời giải trong SGV:

Trên hình biểu diễn, đường thẳng cần tìm đã có sẵn và học sinh chỉ cần chứng

minh nó song song với đường thẳng đề bài cho.

2.3. Kết luận chương 2

Sau khi phân tích các tổ chức toán học, ngoài các KNV thuộc L2 (T3, T4, T5):

“Chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn” với kỹ thuật rất rõ ràng và

không sử dụng đến mô hình (bằng giấy, bằng tre, bằng nhựa v.v…), chúng tôi thống kê

các hoạt động và bài tập trong SGK Hình học 11 CB của các KNV của L1 (T1, T2, nhóm

T’’): “Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất và hình biểu

diễn”.

Bảng 2.10iii. Số lượng hoạt động, bài tập của loại L1

KNV Kỹ thuật Nhóm T’’ phát sinh từ kỹ thuật của nhóm T’ Kỹ thuật Số lượng

T1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất T2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn

T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

𝝉′𝟏.𝟏 T’’1 Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn

𝝉′𝟏.𝟐 T’’2 Tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn

7 𝝉′′𝟑.𝟏

7 𝝉′′𝟑.𝟐 T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

iii Những ô gạch chéo là những kiểu nhiệm vụ có kỹ thuật không được mô tả tường minh trong SGK, kỹ thuật dựa vào quan sát trên mô hình hoặc hình biểu diễn.

𝝉′𝟐 T’’3 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho cắt với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn 𝝉′𝟑 T’’4 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho song song với với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn

Qua bảng 2.10, chúng tôi nhận thấy trừ KNV T1 được xây dựng trên đối tượng vật

chất nên kỹ thuật dựa vào quan sát trực quan trên các hình ảnh thực tế hay mô hình, các

KNV còn lại của L1 trong SGK Hình học 11 CB đều được thực hiện trên hình biểu diễn.

Như vậy, chỉ có một KNV (T1) là cần dùng đến giáo cụ trực quan còn 7 KNV còn lại

của cả hai nhóm T và T’ đều không sử dụng đến mô hình.

Trong các KNV của L1, ngoại trừ kỹ thuật của KNV T’’3 được SGK và SGV mô

tả, kỹ thuật của các KNV khác đều không được nêu rõ trong SGK hay SGV. Tuy nhiên,

ngay KNV T’’3 thì chỉ có kỹ thuật 𝝉′′𝟑.𝟏 có thể dễ dàng thực hiện khi quan sát trên hình

còn kỹ thuật 𝝉′′𝟑.𝟐 lại phải quy về KNV T’1 tức là phải thực hiện KNV T’’1 (6 bài) hay

T’’2 (1 bài). Số lượng những bài tập có kỹ thuật không được SGK và SGV mô tả khá

nhiều (17 bài). Trong số đó, chiếm số lượng nhiều nhất là những bài liên quan đến KNV

T’’1 (11 bài). Tuy nhiên, khi phân tích chi tiết các bài tập này chúng tôi nhận thấy SGK

đã gợi mở hoặc lựa chọn những trường hợp mà đường thẳng cần tìm “dễ thấy” trên hình

(trong 11 bài của kiểu nhiệm vụ T’’1 có 10 bài là đường thẳng có sẵn trong tên của mặt

phẳng còn 1 bài thì đường thẳng cần tìm xuất hiện sau gợi ý của câu phía trước). Từ đó,

về việc xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng trên hình biểu diễn của học sinh khi giải

quyết bài toán “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng” (T’1), chúng tôi nêu lên giả thuyết

nghiên cứu về quy tắc hành động của học sinh như sau:

H1: Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm

chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm

trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.

Chẳng hạn, điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) sẽ được học sinh xác

định theo sơ đồ sau:

Hình 2.1. Ví dụ về giả thuyết H1

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG

THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH

Những phân tích trong chương 2 đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết về sự tồn tại của quy

tắc hành động H1: “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh

tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm

giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.” Trong

chương này, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm 1 để hợp thức giả thuyết đã đưa ra.

3.1. Giới thiệu thực nghiệm 1

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các học sinh đã học xong chương “Quan hệ

song song” trong chương trình HHKG bằng một câu hỏi điều tra.

Học sinh làm việc cá nhân và có 15 phút để trả lời bài toán sau:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song

song. Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB. Tìm giao tuyến của (SAE) và

(MBC).

3.2. Phân tích tiên nghiệm

3.2.1. Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm

Lựa chọn đầu tiên của thực nghiệm là tạo ra các điều kiện để kiểm chứng giả thuyết

H1. Về kiểu nhiệm vụ, chúng tôi lựa chọn T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”

vì giả thuyết H1 được xây dựng trên KNV này. Trong tình huống thực nghiệm, chúng

tôi xem xét hệ thống các biến sau:

3.2.1.1. Biến tình huống

- V1: cách cho mặt phẳng (mặt phẳng được cho bởi ba điểm không thẳng hàng,

một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó,….). Để phù hợp với H1, chúng tôi

lựa chọn mặt phẳng được gọi tên theo ba điểm không thẳng hàng.

- V2: kỹ thuật để giải quyết KNV T’1 ( 𝝉′𝟏.𝟏, 𝝉′𝟏.𝟐). Chúng tôi lựa chọn kỹ thuật 𝝉′𝟏.𝟏

để dẫn đến KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho

trên hình biểu diễn.” bằng cách không cho các cặp đường thẳng song song trong đề bài

và hình vẽ.

- V3: Đặc điểm của các đường thẳng trên hai mặt phẳng. Trong thực nghiệm này

chúng tôi sẽ cho trước hình biểu diễn có hai đường thẳng trên hai mặt phẳng chéo

nhau nhưng trên hình biểu diễn thì cắt nhau. Chẳng hạn, SA và MC, SB và MC là các

cặp đường thẳng chéo nhau có thể kéo dài cắt nhau trên hình vẽ; SA và MB không thể

cắt nhau trên hình vẽ. Với việc cho trước hình biểu diễn, học sinh sẽ không mất thời

gian vẽ hình và cho ra nhiều lời giải khác nhau do khác cách vẽ. Đồng thời, tất cả học

sinh sẽ cùng nhìn trên một hình duy nhất tức là cùng đối diện với một tình huống là các

đường thẳng cắt nhau được trên hình vẽ nhưng không cắt nhau trong thực tế.

3.2.1.2. Biến didactic

- V4: Hai mặt phẳng có điểm chung có sẵn hay chưa.

 Hai mặt phẳng có hai điểm chung có sẵn trong tên mặt phẳng hoặc trên hình biểu

diễn sẽ không kiểm chứng được giả thuyết.

Chẳng hạn bài tập 7/SGK trang 54: “Cho bốn điểm A, B, C và D không

đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm

giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).”

Lời giải trong SGV:

Ở câu a, điểm chung I, K đã có sẵn trong tên mặt phẳng hay ở câu b, điểm

chung E, F đã có sẵn trên hình biểu diễn đều không tạo điều kiện để kiểm chứng

giả thuyết. Bởi vì, điểm chung đã nằm sẵn trên các cạnh của tam giác có trong

tên của mặt phẳng.

 Hai mặt phẳng có sẵn một điểm chung trong tên mặt phẳng thì mặc dù vẫn có thể

kiểm chứng giả thuyết nhưng sẽ ảnh hưởng đến tính tổng quát của giả thuyết do

làm hạn chế số lượng đường thẳng học sinh có thể lựa chọn, vì điểm chung còn

lại chỉ có thể tìm trên hai đường thẳng không đi qua điểm chung đã có sẵn.

 Hai mặt phẳng không có sẵn điểm chung sẽ tạo điều kiện tốt nhất để kiểm chứng

giả thuyết. Tuy nhiên, khi hai mặt phẳng có một điểm chung “dễ tìm” sẽ tiết kiệm

thời gian mà không làm mất đi ý nghĩa của thực nghiệm đồng thời tạo động lực

cho học sinh do giảm bớt số lượng đường thẳng mà học sinh phải lựa chọn. Do

đó, ở đây chúng tôi cho hai mặt phẳng trong thực nghiệm có một điểm chung “dễ

tìm” là điểm B.

3.2.2. Các chiến lược

 Chiến lược 1 (S1): Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn.

Học sinh sẽ kéo dài các cạnh của hai tam giác trong tên mặt phẳng. Học sinh có thể nối

AE và BC để tìm ra điểm B hoặc học sinh sẽ kéo dài các cặp cạnh khác cho cắt nhau.

Ví dụ: SE với MB, SA với MC, SE với MC,… Giao tuyến sẽ là đường thẳng đi qua 2

giao điểm đã nối.

Ở đây, chúng tôi chỉ quan tâm đến các trường hợp các giao điểm khác B vì giao

điểm B không cho thấy rõ giả thuyết H1.

Hình 3.1. Các cách thể hiện của chiến lược 1

Có rất nhiều nguyên nhân cho việc học sinh kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu

diễn. Theo Lê Thị Thùy Trang (2010), các đối tượng HHKG vốn ba chiều được thể hiện

bằng các hình vẽ trên tờ giấy hai chiều trên gây ra tình trạng thất thoát thông tin, dẫn

đến việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian không còn dựa vào sự

hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trong HHP.

Từ đó, chúng tôi trình bày mối quan hệ đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ trong

dạy học bằng sơ đồ dưới đây:

Hình 3.2. Mối quan hệ giữa đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ

Trong dạy học HHP, đối tượng HHP được biểu diễn bằng hình vẽ - mô hình của

đối tượng HHP, trong đó hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, cắt nhau trên

hình vẽ thì hai đường thẳng đó cắt nhau.

Trong dạy học HHKG, đối tượng HHKG được biểu diễn bằng hình vẽ - mô hình

của đối tượng HHKG, trong đó hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, cắt nhau

trên hình vẽ thì hai đường thẳng đó có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Dẫn đến, để giải thích cho cách làm của học sinh ở chiến lược này, chúng tôi đề

xuất giả thuyết H2 như sau:

“Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô

hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”

Tức là, trong HHKG hai đường thẳng chéo nhau được biểu diễn bằng hai đoạn

thẳng có điểm chung trên hình vẽ sẽ được học sinh đồng nhất với hai đoạn thẳng, biểu

diễn cho hai đường thẳng cắt nhau trong HHP.

Chiến lược này sẽ cho phép chúng tôi hợp thức được giả thuyết H1.

 Chiến lược 2 (S2): Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng.

Học sinh nối AE và BC để tìm được điểm chung là B, điểm chung còn lại là giao

điểm của hai đường thẳng đồng phẳng không đi qua B nằm trên hai mặt phẳng. Do tam

giác có trong tên của hai mặt phẳng không còn cặp cạnh nào đồng phẳng nên ta sẽ giữ

lại một đường trong mặt phẳng này và mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng kia để tìm

đường thẳng đồng phẳng với đường thẳng đó. Tức là, ta có thể tìm đường thẳng trong

mặt phẳng (MBC) đồng phẳng với đường thẳng SA của (SAB). Để tìm đường thẳng này

học sinh sẽ mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng (MBC) bằng cách học sinh kéo dài

cho AD và BC cắt nhau tại N, ta sẽ có (𝑀𝐵𝐶) ≡ (𝑀𝑁𝐶). Điểm chung cần tìm là giao

điểm F của MN và SA.

Để thực hiện được chiến lược này học sinh phải thấy được hình vẽ là mô hình của

đối tượng không gian. Do đó, học sinh sẽ nhận ra VTTĐ giữa các đường thẳng trên hình.

Đồng thời, khi quan sát mặt phẳng (SAE) hay (MBC) thì không bị bó buộc vào hai tam

giác SAE và MBC nên sẽ mở rộng hai tam giác khi cần để tìm kiếm hai đường thẳng

đồng phẳng.

Hình 3.3. Cách thể hiện của chiến lược 2

3.3. Phân tích hậu nghiệm

Do thời điểm tiến hành thực nghiệm học sinh lớp 11 chưa học xong chương II nên chúng

tôi thực nghiệm trên 126 học sinh lớp 12 vào giai đoạn đầu năm học. Trong đó, 43 học

sinh lớp 12B5 của trường THPT Châu Thành, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu và 41 học sinh

lớp 12A1, 42 học sinh lớp 12A15 của trường THPT Chu Văn An, tỉnh Ninh Thuận.

Chúng tôi cho rằng sự thay đổi này không làm ảnh hưởng đến kết quả vì kiến thức

của học sinh về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian không có sự thay đổi.

Từ đó, chúng tôi thu được bảng thống kê số lượng các lời giải được sử dụng như

Bảng 3.1. Số lượng các lời giải của học sinh

Các lời giải 12B5 12A1 12A15 Số lượng

S1: Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn. 22 21 20 63

(Hợp thức giả thuyết H1)

S2: Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai 2 1 0 3

mặt phẳng

K1: Giao tuyến là SB 3 6 6 15 Các lời

giải K2: Giao tuyến là ME 1 1 2 4

khác K3: Kẻ đường thẳng song song 1 2 3 6

Chỉ tìm ra được điểm B 4 4 5 13

Chưa đi Hai đường thẳng được biểu diễn

đến kết bằng hai đoạn thẳng có điểm chung 3 3 6 12

quả thì cắt nhau

Hai đường thẳng được biểu diễn

bằng hai đoạn thẳng không có điểm 0 3 2 5

chung thì song song

0 4 1 Bỏ trống 5

43 41 42 126 Tổng cộng

Như vậy, một nửa học sinh (63/126) sử dụng chiến lược S1 cho phép chúng tôi hợp

thức giả thuyết H1 “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh

tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm

giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.”

Chỉ có 3/126 học sinh sử dụng chiến lược S2 có nghĩa là rất ít học sinh có thể giải

quyết được bài toán này.

Số lượng lời giải khác (25/126) hay chưa đi đến kết quả (30/126) khá nhiều sẽ

được chúng tôi phân tích chi tiết ở phía dưới.

Đối với các học sinh bỏ trống (5/126) hoặc chỉ tìm được điểm B nhưng chưa đi

đến kết quả (13/126), chúng tôi cho rằng do thời điểm thực nghiệm các em đã học giao

tuyến của hai mặt phẳng quá lâu nên dẫn đến nhiều em quên định nghĩa và phương pháp

giải. Đây cũng là hạn chế đáng tiếc của thực nghiệm.

Dưới đây chúng tôi phân tích chi tiết các lời giải của học sinh.

3.3.1. Lời giải theo chiến lược S1

Sau khi xác định được giao điểm đầu tiên của (SAE) và (MBC) là B. Học sinh đã

kéo dài các cạnh của tam giác trong tên mặt phẳng bằng nhiều cách. Trong đó,

- Kéo dài cạnh SA và CM:

Hình 3.4. Bài làm của học sinh A15-04

- Kéo dài cạnh SE và MC:

Hình 3.5. Bài làm của học sinh A15-09

- Kéo dài cạnh AE và MC:

Hình 3.6. Bài làm của học sinh A15-14

- Kéo dài cạnh SE và MB:

Hình 3.7. Bài làm của học sinh B5-12

- Kéo dài cạnh SE và BC:

Hình 3.8. Bài làm của học sinh A1-12

- Kéo dài SA và BC:

Hình 3.9. Bài làm của học sinh A1-15

Có nhiều học sinh khi có được giao điểm B thì (SAE) sẽ trở thành (SAB) nên học

sinh kéo dài cạnh SB và MC.

Hình 3.10. Bài làm của học sinh B5-14

Một số học sinh khác không quan tâm đến điểm B và các em kéo dài cả hai cặp cạnh:

Hình 3.11. Bài làm của học sinh A15-08

Điều này chứng tỏ khi gặp bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng học sinh tìm

điểm chung bằng cách cho hai đường thẳng chứa cạnh tam giác trong tên gọi của mặt

phẳng cắt với nhau mà không quan tâm đến vị trí tương đối thực sự giữa chúng. Thậm

chí, có học sinh còn coi mặt phẳng được gọi tên bởi ba điểm đồng nhất với tam giác

được tạo bởi ba điểm đó:

Hình 3.12. Bài làm của học sinh B5-13

Lời giải của học sinh trong chiến lược này đã cho thấy sự tồn tại của giả thuyết H2

khi học sinh xem hình biểu diễn như một đối tượng 2D: “Học sinh đồng nhất hình vẽ

- mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong

trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.” (Sơ đồ Hình 3.2, trang 30)

3.3.2. Lời giải theo chiến lược S2

Chỉ có 3/126 học sinh đưa ra được kết quả phủ nhận giả thuyết H1 khi đã nhìn được

hình biểu diễn như một đối tượng 3D. Ở đây, khi hai tam giác trong tên mặt phẳng không

tìm được các đường thẳng đồng phẳng, học sinh đã mở rộng tam giác bằng cách kéo dài

các cạnh. Trong đó, 2 học sinh mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng bằng cách kéo dài

cạnh AD và BC:

Hình 3.13. Bài làm của học sinh B5-40

Sau khi tìm được điểm chung thứ nhất là B, học sinh B5-40 không tìm được điểm

chung thứ hai nên kẻ thêm đường d đi qua M và song song với BC nhưng do không xác

định được giao điểm của đường thẳng d với (SAE) nên học sinh đã mở rộng tam giác

trong tên của mặt phẳng bằng cách kéo dài các đường AD và BC cho cắt nhau tại K.

MK cắt SA tại I. I là giao điểm thứ hai cần tìm.

Học sinh A1-36 cũng mở rộng tam giác nhưng theo một cách khác:

Hình 3.14. Bài làm của học sinh A1-36

Học sinh A1-36 cho hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lúc này, SO và

MB cùng mặt phẳng nên gọi I là giao điểm của SO và MB. Học sinh mở rộng tam giác

MBC bằng cách kéo dài CI cho cắt SA tại K. K là giao điểm thứ hai cần tìm.

3.3.3. Các lời giải khác

- K1: Giao tuyến là SB

Hình 3.15. Bài làm của học sinh B5-31

Học sinh xem (MBC) nằm trong (SBC) dẫn đến xem S là điểm chung của (MBC)

và (SAE). Mặc dù chiến lược này không góp phần hợp thức giả thuyết H1 nhưng chiến

lược này đã bổ sung cho khẳng định ở chiến lược S1 là một số học sinh nhìn hình biểu

diễn như một đối tượng 2D.

- K2: Giao tuyến là ME

Hình 3.16. Bài làm của học sinh B5-25

Trường hợp này đối với học sinh giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng

nằm giữa hai mặt phẳng. Điều này có lẽ là do học sinh chịu ảnh hưởng khi giáo viên lấy

ví dụ về giao tuyến giữa hai mặt phẳng là cạnh của quyển sách mở.

- K3: Kẻ đường thẳng song song

Một số học sinh đã mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng (MBC) bằng cách kẻ

đường thẳng đi qua M và song song với BC và cho đường thẳng này cắt SA:

Hình 3.17. Bài làm của học sinh A1-41

Những học sinh làm theo kiểu này cũng giúp chúng tôi thấy được sự hiện diện của

giả thuyết H2 khi “Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với

hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”

3.3.4. Lời giải chưa đi đến kết quả

- Có 13/126 học sinh chỉ tìm được điểm B.

Những lời giải này chưa cho phép chúng tôi có kết luận cụ thể, vì không biết học

sinh đang định đi theo chiến lược nào.

Hình 3.18. Bài làm của học sinh B5-27

Một số lời giải chưa đi đến kết quả khác mặc dù không tìm được điểm chung nào

của hai mặt phẳng nhưng cũng cho chúng tôi nhiều điều đáng quan tâm.

- Có 12/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có

điểm chung thì cắt nhau

Ví dụ: học sinh A15-22 viết AD cắt MB tại O, học sinh A1-23 viết K là giao điểm

của SB và ME,..

- Có 5/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng

không có điểm chung thì song song

Ví dụ: học sinh A15-24 viết MB//SA,…;hay như học sinh A1-26 đã mở rộng tam

giác trong tên mặt phẳng bằng cách kéo dài AD và CD cho cắt nhau tại F. Lúc này, CM

và SF dường như song song nhưng do không đủ dữ kiện nên học sinh này không đưa ra

kết luận. Nhưng khi được hỏi tại sao nối SF, em này trả lời SF và MC song song nhưng

không biết chứng minh.

Hình 3.19. Bài làm của học sinh A1-26

3.4. Kết luận chương 3

Các kết quả thu được ở thực nghiệm cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết về việc tìm

điểm chung trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, cụ thể là:

H1: “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm

chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm

trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.”

Đồng thời, đối với đa số học sinh (105/126 học sinh theo chiến lược S1 và các

chiến lược khác như giao tuyến là SB,…) thì hình biểu diễn chỉ là một mô hình của đối

tượng 2D chứ chưa phải là một mô hình của đối tượng 3D. Trong đó, có 96 trường hợp

đã cho thấy sự tồn tại của quan niệm: “Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối

tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường

thẳng cắt nhau.” (giả thuyết H2)

Thực nghiệm này đã bộc lộ một trong những khó khăn của học sinh khi nghiên

cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng trên hình biểu diễn, đó là: trong bài toán tìm giao tuyến

của hai mặt phẳng, rất nhiều học sinh không thể tưởng tượng được VTTĐ giữa hai

đường thẳng nếu chỉ dựa vào hình vẽ.

Do đó, để học sinh có thể phân biệt hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và

hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP, dựa trên yêu cầu của SGV về sử dụng MHTQ

trong dạy học HHKG nói chung và VTTĐ giữa hai đường thẳng nói riêng, chúng tôi đề

xuất giả thuyết công việc sau: “MHTQ có thể giúp học sinh phân biệt hình vẽ - mô

hình của đối tượng HHKG và hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP.” Dẫn đến,

chúng tôi đặt ra câu hỏi:

Q3: Giáo viên đã sử dụng MHTQ trong giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai

đường thẳng như thế nào?

Đồng thời, để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” thay

vì chỉ làm trên KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã

cho trên hình biểu diễn” chúng tôi đề xuất tăng cường KNV mới T’’’1: “Tìm hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ”

Khi đó, chúng tôi cần giải quyết câu hỏi:

Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’1: “Tìm hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?

Chương 4. DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

QUA MÔ HÌNH TRỰC QUAN

HHKG là một môn học quan trọng của toán học. Khả năng giải quyết các vấn đề

hình học được kết nối chặt chẽ với TTTKG. Hiện nay, chúng ta thấy rằng học sinh và

sinh viên ở nhiều cấp học khó khăn hơn trong việc giải quyết các vấn đề không gian:

chúng không thể hình dung hay tạo ra những hình ảnh không gian trong tâm

trí.(Jančařík, 2016).

Do đó, các nhà giáo dục toán học đã nhấn mạnh sự cần thiết phải tăng cường sử

dụng các yếu tố trực quan như là một phần của giáo dục nguyên thủy của toán học ở

các cấp học khác nhau, đặc biệt là trong các trường trung học và đại học. Nhiều nghiên

cứu chỉ ra rằng việc sử dụng các biểu diễn trực quan trong giảng dạy các khái niệm có

thể hỗ trợ hoặc cản trở học sinh trong quá trình hình thành các khái niệm. Trong chương

trình phát triển giáo dục, nhiều giáo viên và các nhà viết sách đã chú ý sử dụng hơn đến

việc sử dụng các hình vẽ, sơ đồ, hình ảnh trực quan v.v trong lớp học toán. Đặc biệt,

cuộc cách mạng công nghệ đã xảy ra trong thập kỷ vừa qua, với sự phổ biến của máy

tính và các công cụ đa phương tiện khác đã cung cấp cho giáo viên và các nhà nghiên

cứu những yếu tố mới để thay đổi phương pháp giảng dạy HHKG. (Gutiérrez, 1996)

Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm hiểu việc sử dụng của một loại PTTQ là

MHTQ trong giảng dạy của giáo viên đối với tri thức VTTĐ giữa hai đường thẳng và

thiết kế tình huống dạy học tìm hai đường thẳng cắt nhau trên MHTQ.

4.1. Nghiên cứu việc sử dụng mô hình trực quan của giáo viên

4.1.1. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng của giáo

viên.

4.1.2. Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn

Chúng tôi tiến hành điều tra bằng bảng câu hỏi trên các giáo viên đã giảng dạy lớp

11 ở các lớp đã làm thực nghiệm 1 (ở chương 3) về việc sử dụng MHTQ trong dạy học

VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian.

Phiếu 1: Khi dạy học “Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian”

(Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song), các thầy cô sử dụng

phương tiện trực quan nào để biểu diễn vị trí tương đối giữa hai đường thẳng?

(các thầy cô đánh dấu X vào các lựa chọn, các thầy cô có thể chọn nhiều lựa chọn)

a) Hình biểu diễn phẳng (trên bảng, sách giáo khoa, v.v) 

b) Đồ vật, hình ảnh thực tế 

c) Mô hình các khối hình không gian như: tứ diện, lăng trụ, hình hộp chữ nhật v.v 

d) Hình biểu diễn 3 chiều từ các phần mềm hình học động 

e) Khác: ........................................................................................................................

Sau khi thu từng phiếu, chúng tôi sẽ căn cứ trên từng lựa chọn của giáo viên để

tiến hành phỏng vấn trực tiếp.

Phiếu 2: Câu hỏi phỏng vấn

Lựa chọn 1b

Phiếu 2.1

Lựa chọn 1c

Phiếu 2

Phiếu 2.2

Lựa chọn 1d

Phiếu 2.3

Lựa chọn 1e

Sử dụng các phiếu phỏng vấn tương ứng theo sơ đồ sau:

Phiếu 2.1: Thầy/ cô sử dụng đồ vật, mô hình, hình ảnh thực tế gì để biểu diễn VTTĐ

giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng

nhau, chéo nhau)?

Phiếu 2.2: Thầy/ cô sử dụng phần mềm hình học động nào để biểu diễn VTTĐ giữa hai

đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau,

chéo nhau)?

Phiếu 2.3: Thầy/cô biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian trong

trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau) như thế nào?

Phiếu 3: Câu hỏi phỏng vấn

Thầy/ cô hướng dẫn học sinh bài tập sau như thế nào?

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song.

Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB. Tìm giao tuyến của (SAE) và (MBC).

Thầy/ cô có sử dụng PTTQ đã dùng ở trên khi hướng dẫn bài tập này không? Vì sao?

4.1.3. Phân tích tiên nghiệm

 Mục đích phiếu 1: Tìm hiểu loại MHTQ được giáo viên sử dụng khi dạy

VTTĐ giữa hai đường thẳng.

Chúng tôi mô hình hóa các lựa chọn vào trong sơ đồ PTTQ trong dạy HHKG

qua hình 4.1:

Hình 4.1: Vị trí của các lựa chọn trong PTTQ

 Theo hình 4.1, lựa chọn a không phải MHTQ. Do đó, chúng tôi đưa ra lựa chọn

này chỉ nhằm hạn chế việc giáo viên sẽ ghi mục này vào mục e) Khác:…Chúng

tôi cũng dự đoán đây là mục sẽ được tất cả giáo viên lựa chọn, do hình vẽ luôn

là lựa chọn sư phạm quen thuộc khi biểu diễn đối tượng HHKG.

 Lựa chọn b và c là lựa chọn do SGV gợi ý – “hình ảnh thực tế/mô hình”. Hai lựa

chọn này có thể gộp chung trong vật thật nhưng chúng tôi tách riêng hai lựa chọn

này để tăng tính phong phú cho câu lựa chọn và không gây hiểu nhầm cho giáo

viên. Tuy nhiên, chúng tôi dự đoán lựa chọn b sẽ có nhiều giáo viên chọn do giáo

viên sử dụng những vật thật có sẵn trong lớp học như cạnh tường, bút,

thước,…còn lựa chọn c có thể ít được chọn do sự thiếu đa dạng và cồng kềnh

trong di chuyển và sử dụng.

 Lựa chọn d là do những năm gần đây với sự khuyến khích và đẩy mạnh sử dụng

công nghệ thông tin (CNTT) trong dạy học của Bộ Giáo dục và Đào tạo nên việc

sử dụng phần mềm hình học động trong dạy học HHKG được rất nhiều quan tâm

của giới nghiên cứu và giáo viên. Có rất nhiều sáng kiến kinh nghiệm, luận văn,

luận án, tài liệu hướng dẫn sử dụng phần mềm trong dạy học cho giáo viên như

“bộ sách “ Khám phá Hình học 10 với The Geometer’s Sketchpad”,“ Khám phá

Hình học 11 với The Geometer’s Sketchpad”, “ Khám phá Hình học 12 với The

Geometer’s Sketchpad” do Trần Vui chủ biên (2007, 2008, 2009) đã giới thiệu

nhiều hoạt động khám phá Hình học ở trường THPT với phần mềm Geometer’s

Sketchpad”(Bùi Minh Đức, 2018). Do đó, đây là mục mà chúng tôi dự đoán sẽ

có giáo viên lựa chọn.

 Lựa chọn e chủ yếu để chúng tôi có thể biết thêm những MHTQ khác mà chúng

tôi chưa tìm hiểu hết.

 Mục đích phiếu 2: Tìm hiểu phương thức biểu diễn VTTĐ giữa hai đường

thẳng được giáo viên sử dụng cho từng MHTQ. Từ đó, có thể biết được những ưu

tiên sư phạm khi sử dụng MHTQ.

 Phiếu 2.1 nhằm tìm hiểu giáo viên sử dụng những vật thật nào và như thế nào?

Chúng tôi dự đoán giáo viên sẽ sử dụng những vật thật có sẵn trong lớp như cạnh

tường lớp học hay hai cây bút, hai cây thước để minh họa cho VTTĐ của hai

đường thẳng. Khi cần biểu diễn những VTTĐ này trên những hình mang tính

chất “khối” thì giáo viên lại sử dụng hình biểu diễn phẳng chứ ít sử dụng những

mô hình hình khối không gian do kích thước cố định không thay đổi được của

các mô hình và sự cồng kềnh trong di chuyển và sử dụng chúng. Tuy nhiên, học

sinh lại làm việc thường xuyên trên những hình mang tính chất “khối” (như khối

chóp, lăng trụ, hình hộp,…). Như vậy, chúng tôi tự hỏi học sinh có thể liên hệ

được VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế với VTTĐ của hai đường thẳng

trên hình khối hay không?

 Phiếu 2.2 giúp chúng tôi tìm hiểu những phần mềm hình học động được giáo viên

sử dụng. Mặc dù, có khá nhiều phần mềm hình học động nhưng chúng tôi dự

đoán ngoài các tính năng biểu diễn hình phẳng 2D, các tính năng tạo hình biểu

diễn 3D được giáo viên sử dụng là tính năng xoay, tính năng “trải” một khối đa

diện lên mặt phẳng. Trong đó, tính năng xoay hình sẽ được giáo viên ưu tiên để

học sinh có thể nhìn VTTĐ của hai đường thẳng dưới nhiều góc độ. Từ đó, học

sinh có thể hình thành BTKG đúng đắn của VTTĐ giữa hai đường thẳng và hình

dung VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế thông qua hình biểu diễn.

 Phiếu 2.3 với mục đích tìm hiểu sâu hơn những MHTQ mà chúng tôi chưa biết.

 Mục đích phiếu 3: So với bài toán trong thực nghiệm đối với học sinh,

chúng tôi không vẽ sẵn hình biểu diễn với mục đích tìm hiểu giáo viên sẽ sử dụng

phương thức biểu diễn bài toán HHKG nào. Tương ứng với các phương tiện trực

quan trong phiếu 1, chúng tôi dự đoán sẽ có ba chiến lược được giáo viên sử dụng

để biểu diễn bài toán này.

 Chiến lược 1: Dùng hình biểu diễn phẳng.

Giáo viên sẽ dùng những hình vẽ trên bảng hoặc hình biểu diễn 2 chiều trên máy

chiếu để hướng dẫn học sinh.

Hình 4.2. Hình biểu diễn phẳng

Chúng tôi dự đoán đây là chiến lược sẽ được đa số giáo viên lựa chọn do hình biểu

diễn phẳng là yêu cầu trong thể chế khi giải bài toán HHKG.

 Chiến lược 2: Dùng vật thật

Chúng tôi dự đoán chiến lược này sẽ không xảy ra vì khó tìm được vật thật tương

ứng cho bài toán.

 Chiến lược 3: Dùng hình biểu diễn ba chiều.

Giáo viên sẽ biểu diễn hình vẽ của bài toán trên phần mềm hình học động và dùng

tính năng dựng mặt phẳng, xoay hình để hướng dẫn cho học sinh.

Hình 4.3. Hình biểu diễn ba chiều trên phần mềm Geogebra

Chúng tôi dự đoán sẽ có rất ít giáo viên lựa chọn chiến lược này vì hình biểu diễn

ba chiều thường được giáo viên dùng để trình chiếu, minh họa chứ ít dùng để hỗ trợ giải

toán HHKG (theo Bùi Minh Đức, 2018)

4.1.4. Phân tích hậu nghiệm

Chúng tôi đã điều tra trên ba giáo viên đã giảng dạy năm lớp 11 ở các lớp trong

thực nghiệm 1:

Giáo viên A: có kinh nghiệm giảng dạy 14 năm, đã dạy lớp 12B5.

Giáo viên B: có kinh nghiệm giảng dạy 17 năm, đã dạy lớp 12A1.

Giáo viên C: có kinh nghiệm giảng dạy 15 năm, đã dạy lớp 12A15.

Chúng tôi tóm tắt lựa chọn của ba giáo viên qua bảng sau:

Bảng 4.1. Lựa chọn của giáo viên

Giáo Lựa chọn Giải thích lựa chọn ở Giải thích phiếu 3

viên ở phiếu 1 phiếu 2

A a, b, d Sử dụng những vật có sẵn Biểu diễn bằng hình vẽ trên

trong lớp như những cột bảng.

phòng học,.. Nếu có thời gian sẽ trình chiếu

Đôi khi trình chiếu bằng bằng phần mềm Geogebra.

phần mềm Geogebra

B a, b, c Sử dụng những vật có sẵn Biểu diễn bằng hình vẽ trên

trong lớp như hai cây thước bảng.

hoặc các cạnh phòng học,..,

Đôi khi cho học sinh làm

những mô hình khối tứ diện,

hình chữ nhật,…

C a, b Sử dụng những vật có sẵn Biểu diễn bằng hình vẽ trên bảng

trong lớp như cạnh bảng, hoặc hình vẽ hai chiều trên phần

phòng học. mềm Sketchpad hoặc Geogebra.

Giải thích chi tiết:

Qua phỏng vấn, chúng tôi nhận thấy cả ba giáo viên khi giảng dạy khái niệm VTTĐ

giữa hai đường thẳng trong không gian đều có sử dụng hình phẳng (lựa chọn a) và sử

dụng MHTQ là những vật thật sẵn có trong lớp (lựa chọn b). Giáo viên B có sử dụng

mô hình hình khối nhưng giải thích rất ít sử dụng vì học sinh mất thời gian làm và kích

thước mô hình không thể thay đổi nên chỉ dùng để minh họa. Giáo viên A có sử dụng

trình chiếu bằng phần mềm Geogebra nhưng chỉ dừng ở việc dựng mặt phẳng qua ba

điểm. Giáo viên C khi được hỏi có sử dụng CNTT trong giảng dạy khái niệm này hay

không đã trả lời là không cần thiết vì các vật thật có sẵn trong lớp đủ để minh họa.

Tất cả giáo viên khi biểu diễn bài toán đều sử dụng hình vẽ phẳng trên bảng và đều

khẳng định không thể sử dụng được vật thật do không có vật thật phù hợp với yêu cầu

bài toán. Giáo viên C sử dụng hình vẽ phẳng trên phần mềm Sketchpad hoặc Geogebra

để thuận tiện cho việc di chuyển điểm, thay đổi kích thước hình và tô màu những mặt

phẳng cần tìm. Giáo viên này còn giải thích khi giảng dạy về khái niệm giao tuyến của

hai mặt phẳng, giáo viên có thể sử dụng một quyển sách mở để minh họa cho hai mặt

phẳng và cạnh quyển sách là giao tuyến. Giáo viên A sử dụng hình vẽ trên phần mềm

Geogebra để tiện cho việc “mở rộng” mặt phẳng bằng tính năng dựng mặt phẳng qua ba

điểm để học sinh dự đoán giao tuyến.

Đối chiếu với kết quả của học sinh các lớp tương ứng trong thực nghiệm 1 ta nhận

thấy ở những lớp giáo viên sử dụng mô hình hình khối (12A1) hay hình biểu diễn 3D

(12B5) đã xuất hiện học sinh sử dụng chiến lược S2. Chiến lược giao tuyến là ME xuất

hiện có lẽ do giáo viên minh họa giao tuyến bằng cạnh của một quyển sách mở nên học

sinh hiểu giao tuyến là đường thẳng nào đó nằm giữa hai mặt phẳng.

Như vậy, khi giảng dạy khái niệm VTTĐ cả ba giáo viên đều sử dụng MHTQ là

vật thật để minh họa nhưng khi biểu diễn trong bài toán thì tất cả các giáo viên đều sử

dụng hình vẽ do vật thật có kích thước không đổi, không tương ứng trong từng bài toán.

Có giáo viên ứng dụng CNTT trong giảng dạy bài toán nhưng chỉ dừng ở những tính

năng hai chiều trên phần mềm hình học hoặc khai thác rất ít tính năng ba chiều của nó.

Điều này là do phần lớn giáo viên đều cho rằng ứng dụng chủ yếu của CNTT trong dạy

học môn Toán là hỗ trợ trình chiếu bài giảng, vẽ hình và minh họa; ít thấy sử dụng

CNTT hỗ trợ giải toán (Bùi Minh Đức, 2018)

Qua thực nghiệm 1 và điều tra giáo viên, chúng tôi nhận thấy trong giảng dạy KNV

T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” việc giáo viên chỉ sử dụng hình biểu diễn

hai chiều là chưa đủ để hỗ trợ cho một số học sinh giải quyết vấn đề này hay hình dung

VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế nên chúng tôi dự định sẽ xây dựng KNV mới

trên một dạng của MHTQ mô phỏng là hình nổi của phần mềm Geogebra với KNV

T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi

của phần mềm GeoGebra”.

Khi đó, chúng tôi đặt lại câu hỏi Q4:

Q’4: Để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” có thể

thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’2:“Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm

trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra” như thế nào?

4.2. Thực nghiệm 2

4.2.1. Mục đích thực nghiệm

Để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”, chúng tôi thiết

kế một tình huống dạy học KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai

mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra” nhằm hỗ trợ cho những

học sinh không thực hiện được KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”.

4.2.2. Giới thiệu thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên những học sinh gặp khó khăn khi làm thực

nghiệm 1 (40 học sinh ở lớp 12A1 trường THPT Chu Văn An, Ninh Thuận; học sinh

A1-36 sẽ không tham gia thực nghiệm 2 do em này đã giải quyết được nhiệm vụ ở thực

nghiệm 1). Chúng tôi phát phiếu thực nghiệm kèm theo kính 3D và biểu diễn hình nổi

trên phần mềm Geogebra.

Hình 4.4. Kính 3D xanh – đỏ

Hình 4.5. Biểu diễn hình nổi

4.2.3. Tiến trình thực nghiệm

Thực nghiệm được chia làm 2 pha.

Pha 1: Làm quen với kính 3D và hình nổi Anaglyph.

Học sinh có 10 phút làm việc cá nhân trên phiếu A

Phiếu A: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh

nào song song. Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB.

Học sinh đeo kính 3D, nhìn vào màn hình có sẵn file hình và đánh dấu X vào vị

trí tương đối giữa các đường thẳng sau:

Vị trí tương đối STT Hai đường thẳng Song song Cắt nhau Chéo nhau

1 SA và MC

2 SE và MB

3 AE và MC

4 SE và MC

5 SE và BC

6 SB và MC

7 SA và BC

8 SA và MB

9 AD và MB

10 ME và SB

Sau đó, chúng tôi thu phiếu A và tiếp tục thực hiện pha 2.

Pha 2: Giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” với sự trợ

giúp của hình nổi trong GeoGebra.

Chia lớp thành 10 nhóm mỗi nhóm 4 học sinh được trang bị một máy tính có phần

mềm GeoGebra (chỉ được thiết lập nút: Vẽ đường thẳng qua hai điểm ) có sẵn file hình

chóp (hình 4.6)

Hình 4.6. Biểu diễn hình chóp trong chế độ hình nổi trên GeoGebra

Pha 2.1: Thực hiện KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai

mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra”

Học sinh sử dụng kính 3D quan sát hình chóp trong chế độ hình nổi.

Đầu tiên, giáo viên yêu cầu học sinh chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau nằm trên hai

mặt phẳng (SAE) và (MBC) (trong đó, mỗi đường thẳng nằm trên một mặt phẳng). Giáo

viên có thể lấy ví dụ cặp đường thẳng đó là AE và BC hoặc AE và MB, v.v. Sau đó, yêu

cầu học sinh tìm cặp đường thẳng không đi qua B lần lượt nằm trên từng mặt phẳng

(SAE) và (MBC) sao cho chúng cắt nhau. Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ đường thẳng

trên phần mềm GeoGebra.

Học sinh có 10 phút để làm việc nhóm, thao tác trên phần mềm và trình bày kết

quả vào phiếu B.

Nhóm: ...................................................................................................................

Phiếu B: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh

nào song song. Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB.

Hãy tìm hai đường thẳng cắt nhau (không đi qua B) nằm trong hai mặt phẳng

(SAE) và (MBC)

Bài làm

.........................................................................................................................

Chúng tôi thu phiếu B và yêu cầu học sinh tắt màn hình máy tính để thực hiện pha 2.2

Pha 2.2: Thực hiện KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” trong môi

trường giấy – bút.

Học sinh làm việc cá nhân trong 5 phút để thực hiện phiếu C.

Phiếu C: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào

song song. Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB.

Vẽ giao tuyến của (SAE) và (MBC) trên hình bên dưới.

Tên giao tuyến là:

Nháp

.........................................................................................................................

Sau thời gian này, chúng tôi thu bài của những học sinh đã làm được. Đối với, học

sinh chưa thực hiện được thì cho phép học sinh mở màn hình máy tính để quan sát file

hình chóp bằng kính 3D của nhóm mình và làm trong 5 phút.

4.2.4. Phân tích tiên nghiệm:

 Mục đích pha 1: Nhằm kiểm tra học sinh “nhìn thấy” gì về mối quan hệ

giữa các đối tượng trên hình nổi, chúng tôi lựa chọn hình thức làm việc cá nhân.

Ở đây, chúng tôi lựa chọn những cặp đường thẳng mà học sinh đã mắc sai lầm

trong thực nghiệm 1 để kiểm tra xem những sai lầm đó còn tái hiện khi học sinh nhìn

trên hình nổi hay không.

Bảng 4.2. Lời giải đúng của phiếu A

Vị trí tương đối STT Hai đường thẳng Song song Cắt nhau Chéo nhau

X 1 SA và MC

X 2 SE và MB

X 3 AE và MC

X 4 SE và MC

X 5 SE và BC

X 6 SB và MC

X 7 SA và BC

X 8 SA và MB

X 9 AD và MB

X 10 ME và SB

 Mục đích pha 2: Kiểm tra xem học sinh có thể giải quyết được KNV T’1:

“Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” được hay không?

Chúng tôi thiết kế pha này thành hai pha nhỏ. Trong đó, pha 2.1 được thiết kế để

giải quyết KNV T’’’2:“Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho

trên hình nổi của phần mềm GeoGebra”

Ở đây, chúng tôi xây dựng tùy chọn trên thanh công cụ trong môi trường Geogebra

như sau:

- Nút (Vẽ đường thẳng): Dùng để vẽ đường thẳng đi qua hai điểm.

Học sinh đeo kính 3D, quan sát trên file hình chóp có sẵn ở chế độ hình nổi và thao

tác vẽ đường thẳng trên phần mềm. Với hình nổi, chúng tôi tạo ra một môi trường “gần”

với môi trường thật để học sinh dễ quan sát. Đồng thời, chúng tôi khóa hầu hết các chức

năng hiển thị 3D trong GeoGebra nhằm tạo ra một môi trường tương tự với môi trường

giấy bút nơi học sinh chỉ có thể “mở rộng” mặt phẳng bằng cách kéo dài các cạnh của

tam giác trong tên mặt phẳng. Chúng tôi lựa chọn hình thức là làm việc nhóm để học

sinh có thể hỗ trợ, khắc phục những sai lầm của nhau sau pha 1. Do hai đường thẳng

không đi qua B của (SAE) và (MBC) là SA và MC chéo nhau dẫn đến việc học sinh

phải mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng. Chúng tôi dự đoán học sinh sẽ mở rộng tam

giác theo các cách sau:

- Dựng đường thẳng AD và BC:

Hình 4.7. Dựng đường thẳng AD và BC trên hình chóp

Đặt F là giao điểm của đường thẳng AD và BC. Hai đường thẳng cắt nhau cần tìm

là MF và SA.

- Dựng đường thẳng AB và CD:

Hình 4.8. Dựng đường thẳng AB và CD trên hình chóp

Đặt F là giao điểm của đường thẳng AB và CD. Hai đường thẳng SF và MC gần

như song song nên học sinh phải đổi sang dựng đường thẳng khác.

- Dựng đường thẳng AC và BD

Hình 4.9. Dựng đường thẳng AC và BD trên hình chóp

Đặt O là giao điểm của AC và BD. Gọi I là giao điểm của SO và BM. Hai đường

thẳng cắt nhau cần tìm là CI và SA.

Pha 2.2: Sau khi học sinh làm xong pha 2.1. Chúng tôi sẽ yêu cầu học sinh tắt màn

hình và làm việc cá nhân để hoàn thành phiếu C trong môi trường giấy bút. Mục đích

của pha này là để kiểm tra sau khi có sự hỗ trợ của hình nổi trong pha 2.1 học sinh có

thể giải quyết được vấn đề trong môi trường giấy bút quen thuộc hay không? Chúng tôi

dự đoán nếu học sinh thực hiện được pha 2.1 thì sẽ thực hiện được pha 2.2.

Hình 4.10. Một cách giải của phiếu C

4.1.5. Phân tích hậu nghiệm

4.1.5.1. Phân tích phiếu A

Chúng tôi so sánh câu trả lời của 40 học sinh lớp 12A1 ở thực nghiệm 1 và phiếu A qua

bảng 4.3. Học sinh A1-36 không gặp khó khăn trong thực nghiệm 1 nên không tham gia

trong thực nghiệm 2.

Bảng 4.3. Kết quả về VTTĐ giữa các đường thẳng qua hình biểu diễn phẳng và

hình nổi

Phân tích chi tiết:

- Trong thực nghiệm 2 ở phiếu A, chúng tôi lựa chọn những trường hợp được xem xét

đều là các đường thẳng chéo nhau. Qua quan sát bảng 4.3, chúng tôi nhận thấy đa số

học sinh đã xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng trong trường hợp chéo nhau

bằng kính 3D trên hình nổi (374/400 câu trả lời chính xác). Trong đó, có 29/40 học

sinh trả lời đúng tất cả các câu.

- Một số học sinh sai khá nhiều câu (A1-03, A1-31 sai 4 câu; A1-15, A1-16 sai 3 câu;

A1-04, A1-09, A1-22, A1-27, A1-32 sai 2 câu). Trong đó, học sinh sai khá nhiều ở

câu số 5: SE và BC (5/40), câu số 7: SA và BC (6/40), câu số 8: SA và MB (5/40),

câu số 10: ME và SB (3/10). Điều này cho thấy việc dùng kính 3D để quan sát trên

hình nổi vẫn chưa hoàn toàn giúp học sinh xác định được VTTĐ giữa hai đường

thẳng. Tuy nhiên, vẫn có một số chuyển biến đáng chú ý, ví dụ: học sinh A1-03 đã

không mắc lại sai lầm ở thực nghiệm 1.

- So sánh với câu trả lời của học sinh trong thực nghiệm 1, chúng tôi nhận thấy với

việc quan sát trên hình nổi bằng kính 3D đa số các em (38/40) đã khắc phục được

sai lầm đã làm ở thực nghiệm 1. Tuy nhiên, trong đó có 9 em vẫn mắc phải một số

sai lầm khác cho thấy việc nhìn trên hình nổi vẫn còn khó quan sát ở một số vị trí

đối với những học sinh này. Chỉ có 2/40 học sinh vẫn bị tác động của hình biểu diễn

phẳng ở thực nghiệm 1 và giữ nguyên kết quả.

Hình 4.11. Bài làm của học sinh A1-06 ở thực nghiệm 1 (bên trái) và

phiếu A ( bên phải)

Như vậy, nhìn chung việc quan sát hình nổi bằng kính 3D có tác động tích cực cho

học sinh trong việc xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng trong trường hợp chéo nhau.

4.1.5.2. Phân tích phiếu B

Chúng tôi thống kê lời giải của các nhóm qua bảng sau.

Bảng 4.4. Lời giải của các nhóm ở phiếu B

Nhóm Học sinh Lời giải phiếu B

1 A1-10, A1-12, Kẻ 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = 𝑂. Suy ra SO cắt BM tại H. Nối CH.

A1-13, A1-31 CH giao với SA tại K. CK và SA cắt nhau.

2 A1-15, A1-17, SA và MC

A1-32, A1-15

3 A1-08, A1-16, Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với SA tại K.

A1-19, A1-40 Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với SA tại K.

Vậy BK cắt CK tại K. CK và SA cắt nhau

4 A1-14, A1-20, Nối AC và BD cắt nhau tại O, nối SO.

A1-25, A1-26 Ta có: SO cắt MB tại K, kéo dài CK cắt SA tại I.

5 A1-02, A1-06, Nối 2 đường chéo đáy. 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐷 = {𝑂}.

A1-11, A1-30 Kẻ 𝐵𝑀 ∩ 𝑆𝑂 = {𝐾}. Nối 𝐶𝐾 ∩ 𝑆𝐴 = {𝑄}.

6 A1-05, A1-09, Nối 𝐴𝐵 ∩ 𝐶𝐷 = {𝐹}. SF//MC

A1-37, A1-41 Kẻ đường thẳng d qua B và song song với MC.

Đường thẳng d cắt SA tại K. EK cắt MK.

7 A1-01, A1-04, Nối AD và BC cắt tại I.

A1-23, A1-27 Suy ra MI cắt SA tại K

8 A1-21, A1-24, 𝐴𝐷 ∩ 𝐵𝐶 = 𝑂.

A1-28, A1-38 SO và SA cắt nhau.

9 A1-07, A1-18, Gọi 𝐺 ∈ 𝑆𝐴 sao cho 𝐶𝐺 ⊥ 𝑆𝐴 tại G. Nối GM.

A1-22, A1-33 𝐺𝑀 ∩ 𝑆𝐴

10 A1-03, A1-29, SA và BC

A1-34, A1-39

Phân tích chi tiết:

- 5/10 nhóm thực hiện đúng dự đoán của chúng tôi và tìm được hai đường thẳng

cắt nhau.

Hình 4.12. File hình của nhóm 4

Hình 4.13. File hình của nhóm 8

Một số nhóm phải thao tác vẽ khá nhiều đường trước khi cho ra kết quả:

Hình 4.14. File hình của nhóm 7

Hình 4.15. File hình của nhóm 1

Hình 4.16. File hình của nhóm 5

- 2/10 nhóm chọn 2 đường thẳng chéo nhau nằm trên hai cạnh của hai tam giác

trong tên mặt phẳng cho cắt nhau. Đối chiếu lại với phiếu A, chúng tôi nhận thấy

có nhiều học sinh trong hai nhóm này mắc cùng sai lầm ở phiếu A. Quan sát trên

màn hình, chúng tôi nhận thấy 2 nhóm này không vẽ thêm bất kỳ đường thẳng

nào trên hình. Điều này cho thấy những học sinh này vẫn chịu ảnh hưởng của giả

thuyết H1 và chỉ tìm đường thẳng cắt nhau trên những cạnh sẵn có của tam giác

trong tên mặt phẳng.

- 2/10 nhóm trong lời giải dựng đường thẳng vuông góc với SA mặc dù trên phần

mềm không có nút lệnh dựng đường vuông góc. Quan sát trên màn hình, chúng

tôi nhận thấy học sinh nối AB và CD cho cắt nhau tại F. Và do thấy SF và MC

“hình như” song song nên học sinh lấy một điểm G trên SA sao cho BG “nhìn”

song song với MC. Ở đây, chúng tôi thấy sự hiện diện của giả thuyết học sinh

xem hai đường thẳng là song song khi hình biểu diễn của chúng là những đoạn

thẳng song song. 1/10 nhóm trong lời giải dựng đường song song, khi quan sát

trên màn hình cũng có cách làm tương tự. Mặc dù, không tìm ra kết quả đúng

nhưng những nhóm này đã dự đoán được phương của giao tuyến.

Hình 4.17. File hình của nhóm 9

Hình 4.18. File hình của nhóm 3

Hình 4.19. File hình của nhóm 6

4.1.5.3. Phân tích phiếu C

Việc quan sát và thao tác trên hình nổi ở phiếu B đã tác động lên kết quả của phiếu

C. Cụ thể, chúng tôi thống kê kết quả của phiếu C qua bảng sau:

iv Những dòng có màu xám trong bảng là những học sinh thuộc nhóm (in đậm) đã thực hiện được phiếu B

Bảng 4.4iv. Kết quả ở phiếu C

Phân tích chi tiết:

- Có 12/40 học sinh thực hiện được phiếu C ngay lần đầu tiên. Đồng thời tất cả 12

em đều là thành viên của 5 nhóm đã thực hiện được phiếu B (12/20).

- Sau khi cho các học sinh không thực hiện được xem lại hình nổi của nhóm mình

đã thực hiện ở phiếu B có 7/40 em đã làm đúng. Đặc biệt trong 7 em này có học

sinh A1-35 của nhóm làm sai phiếu B đã thực hiện được. Đối chiếu lại phiếu A

của học sinh A1-35, chúng tôi nhận thấy học sinh này đã xác định chính xác tất

cả VTTĐ giữa hai đường thẳng trong phiếu A. Như vậy, dưới sự hỗ trợ của hình

nổi học sinh này đã hình dung được VTTĐ giữa hai đường thẳng nói chung và

vẽ được giao tuyến của hai mặt phẳng nói riêng; việc không thực hiện được phiếu

B có lẽ do sự tác động của nhóm.

- Có 5/40 học sinh vẫn làm sai dù được xem lại hình nổi. Trong đó, có học sinh

A1-21 của nhóm làm đúng ở phiếu B. Điều này cho thấy đối với một số học sinh

việc quan sát trên hình nổi bằng kính 3D vẫn chưa hỗ trợ được các em. Học sinh

A1-21 vẫn chưa kết nối được hình nổi với hình biểu diễn phẳng của vật thể, tức

là mặc dù đã thực hiện được phiếu A và phiếu B trên hình nổi nhưng học sinh

này vẫn không thực hiện được phiếu C trên hình biểu diễn phẳng.

- Có 7/40 học sinh bỏ trống bài. Trong đó ngoại trừ hai học sinh A1-37, A1-40 là

bỏ trống ở cả thực nghiệm 1, còn 5 học sinh còn lại đã từ bỏ lời giải sai lầm ở

thực nghiệm 1.

- Có 9/40 học sinh mặc dù vẫn chưa đưa ra được lời giải chính xác nhưng các em

đã hình dung được phương của giao tuyến.

Hình 4.20. Bài làm của học sinh A1-05

Như vậy, chúng tôi nhận thấy hình nổi đã có hiệu quả tích cực lên đa số học sinh:

19/40 học sinh đã có thể giải quyết được một phần KNV T’1: “Xác định giao tuyến của

hai mặt phẳng” bằng kỹ thuật 𝝉′𝟏.𝟏 là thực hiện KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt

nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”, 9/40 mặc dù chưa thực

sự giải quyết được KNV T’1 nhưng đã bước đầu hình dung được phương của giao tuyến,

5/40 đã từ bỏ lời giải sai lầm khi cho những đường thẳng chéo nhau cắt nhau. Chỉ có

7/40 học sinh là vẫn không giải quyết được KNV T’1, cho thấy hình nổi trên GeoGebra

với kính 3D vẫn chưa đủ để hỗ trợ cho một số học sinh.

4.3. Kết luận chương 4

Qua điều tra giáo viên, chúng tôi nhận thấy khi giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa

hai đường thẳng giáo viên có sử dụng nhiều loại MHTQ (vật thật, MHTQ mô phỏng)

nhưng khi hướng dẫn học sinh kiểu nhiệm vụ T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt

phẳng” thì giáo viên chỉ sử dụng hình biểu diễn phẳng mà không sử dụng MHTQ.

Từ đó, chúng tôi thiết kế một tình huống dạy học hai đường thẳng cắt nhau trên

một dạng của MHTQ là hình nổi trong chương trình Geogebra và kết quả thực nghiệm

đã cho thấy được tính hữu ích của hình nổi để giảng dạy VTTĐ giữa hai đường thẳng:

- Hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm mới, khó và hay gây ra sai lầm nhất

ở học sinh. Nhưng với sự hỗ trợ của hình nổi học sinh đã trả lời đúng 93,5% câu

hỏi liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong trường hợp chéo nhau.

- KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” bằng kỹ thuật 𝝉′𝟏.𝟏 là KNV

được SGK quan tâm hàng đầu và gây ra không ít khó khăn cho học sinh (97,6%

học sinh không giải quyết được KNV này ở thực nghiệm 1) nhưng nhờ sự hỗ trợ

của hình nổi 47,5% học sinh giải quyết được một phần của KNV này là vẽ giao

tuyến, 22,5% học sinh đã hình dung được phương của giao tuyến.

- Có 17,5% học sinh vẫn không hình dung được VTTĐ giữa hai đường thẳng mặc

dù có sự hỗ trợ của hình nổi. Dẫn đến, chúng tôi thiết nghĩ có lẽ đối với một số

học sinh cần có thời gian tiếp xúc với hình nổi lâu hơn, thường xuyên hơn đồng

thời cần kết hợp một số tính năng khác của phần mềm GeoGebra như xoay

hình,… để hỗ trợ những học sinh này.

KẾT LUẬN

Việc tổng hợp các tài liệu, phân tích chương trình, SGK, SGV Hình học 11 CB

cũng như kết quả thu được từ các thực nghiệm đã cho phép chúng tôi trả lời những câu

hỏi đặt ra trong luận văn. Cụ thể, các kết quả chính mà chúng tôi thu được gồm có:

1. Trong chương 2, nhờ vào việc phân tích thể chế dạy học VTTĐ giữa hai đường

thẳng chúng tôi đã nêu ra được một sai lầm thường gặp của học sinh khi giải

quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” bằng công cụ quy tắc

hành động. Cụ thể là: “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”,

học sinh tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác

bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên

cạnh tam giác” (H1) và “Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng

HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường

thẳng cắt nhau” (H2). Những phân tích từ bài toán thực nghiệm trong chương 3

đã kiểm chứng H1 và cho thấy sự tồn tại của H2.

2. Từ những sai lầm của học sinh ở chương 3, dựa trên sự gợi ý của SGV, chúng tôi

đề xuất sự hỗ trợ từ MHTQ. Chúng tôi đã tìm hiểu và hệ thống hóa những MHTQ

trong giảng dạy HHKG. Từ đó, chúng tôi tiến hành điều tra, phỏng vấn giáo viên

trong việc giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng và bài toán xác định

giao tuyến của hai mặt phẳng. Kết quả điều tra cho thấy rằng giáo viên đã sử

dụng nhiều loại MHTQ trong giảng dạy khái niệm nhưng khi hướng dẫn học sinh

kiểu nhiệm vụ T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” thì giáo viên chỉ sử

dụng hình biểu diễn phẳng mà không sử dụng MHTQ. Điều này cho thấy việc sử

dụng MHTQ trong giảng dạy HHKG còn nhiều hạn chế, chưa phát huy được hết

những thế mạnh của nó. Đa phần giáo viên mới chỉ sử dụng MHTQ để minh họa,

trình chiếu, giải thích chứ chưa dùng nó trong giải toán hay cho học sinh thao tác.

Từ đây, chúng tôi đề xuất sự tăng cường sử dụng MHTQ trong giải quyết KNV

T’1.

3. Trong chương 4, với những tiềm năng của CNTT nói chung và phần mềm hình

học động GeoGebra nói riêng, chúng tôi đã xây dựng một tình huống giải quyết

một phần KNV T’1 là vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng dưới sự hỗ trợ của hình

nổi. Các kết quả thu được từ thực nghiệm trong chương này đã cho thấy sự tác

động tích cực của hình nổi và kính 3D lên hình dung VTTĐ giữa các đường thẳng

của học sinh. Phần lớn học sinh đã có thể xác định được VTTĐ giữa hai đường

thẳng trên hình vẽ, đặc biệt trong trường hợp dễ gây nhầm lẫn là hai đường thẳng

chéo nhau. Trong số đó, một nửa số học sinh đã có thể vẽ được giao tuyến mà

trước đó hầu hết là không giải quyết được.

Do hạn chế về mặt thời gian nên trong luận văn này, chúng tôi chỉ mới tiến hành

nghiên cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng và một KNV T’1 bằng kỹ thuật 𝝉′𝟏.𝟏. Đồng

thời, với thời điểm làm thực nghiệm là vào đầu năm học không sát với thời điểm giảng

dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng nên đối tượng chúng tôi làm thực nghiệm

chưa bộc lộ được hết tính chất của đối tượng cần nghiên cứu. Bên cạnh đó, khi nghiên

cứu MHTQ trong giảng dạy HHKG, chúng tôi mới chỉ tiến hành trên một tập hợp khá

nhỏ giáo viên ở một số ít trường cho nên chưa có một cái nhìn khái quát về việc sử dụng

MHTQ trong giảng dạy HHKG của giáo viên. Chúng tôi cũng chỉ mới khai thác một

tính năng nhỏ của phần mềm GeoGebra: hình nổi, còn rất nhiều tính năng ba chiều khác

không được khai thác hay phối hợp như xoay hình, trải hình, chuyển đổi giữa các mô-

đun,…. Những hạn chế của luận văn này đồng thời cũng mở ra những hướng nghiên

cứu mới trong tương lai. Chẳng hạn:

- Để nghiên cứu MHTQ, chúng tôi đề nghị phỏng vấn giáo viên trên quy mô lớn

hơn đồng thời thực hiện trên nhiều khái niệm và KNV khác của HHKG.

- Do thời gian thực nghiệm trên hình nổi quá ngắn nên chưa phát huy hết tính hữu

ích của hình nổi. Chúng tôi đề nghị cho học sinh tiếp xúc với hình nổi từ những

bài đầu tiên của HHKG lớp 11. Đồng thời, kết hợp những tính năng khác của

phần mềm GeoGebra nhằm tăng thêm hiệu quả trong hoạt động dạy học HHKG.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến. (2009). Những yếu tố cơ

bản của Didactic Toán. NXB Đại học Quốc gia TP.HCM.

Bùi Đức Tước Hoàn. (2012). Một số nghiên cứu về đọc hình biểu diễn trong HHKG.

Luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM.

Bùi Minh Đức. (2018). Dạy học hình học không gian ở trường trung học phổ thông với

sự hỗ trợ của công nghệ thông tin. Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội.

Christou, C., Jones, K., Mousoulides, N., & Pittalis, M. (2006). Developing the 3DMath

dynamic geometry software: theoretical perspectives on design. International

Journal for Technology in Mathematics Education, 13(4), 168–174.

Dương Văn Kiên. (2006). Sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad làm phương tiện

trực quan trong việc dạy học hình học không gian 11 (thể hiện qua chương 3 -

quan hệ vuông góc). Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Vinh.

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên). (2012). Sách giáo viên Hình

học 11 Nâng cao. NXB Giáo dục Việt Nam.

Gutiérrez, A. (1996). Visualization in 3-dimensional geometry: In search of a

framework (Vol 1, tr 1–3). Được trình bày tại PME CONFERENCE, THE

PROGRAM COMMITTEE OF THE 18TH PME CONFERENCE.

Jančařík, A. (2016). Dynamic Models Using 3D Projection, 296–304.

Judge, A. (1926). The educational value of the stereoscope. Stereoscopic photography.

Its application to science, industry and education.

Kmeťová, M. (2015). Rediscovered Anaglyph in Program GeoGebra. Acta

Mathematica Nitriensia, 1(1), 86 – 91.

Lê Thị Hoài Châu. (2008). Phương pháp dạy – học hình học ở trường Trung học phổ

thông. NXB Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM.

Lê Thị Hoài Châu. (2018). Thuyết nhân học trong Didactic Toán. NXB Trường Đại học

Sư Phạm TP.HCM.

Lê Thị Thùy Trang. (2010). Một nghiên cứu didactic về VTTĐ giữa hai đường thẳng

trong không gian. Luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM.

Lindner, A. (2013). GeoGebra 3D, 21(1), 47–58.

Neufeldt, V., & Guralnik, D. B. (1997). Webster’s New World college dictionary.

Nguyễn Văn Khôn. (1984). Từ điển Anh – Việt. Từ điển Anh – Việt.

Trần Trung. (2013). Khai thác mô hình trực quan, nâng cao hiệu quả dạy học HHKG ở

THPT. Tạp chí Giáo dục, số 308 (kì 2).

Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên). (2007). Sách giáo khoa

Hình học Cơ bản 11. NXB Giáo dục Việt Nam.

Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên). (2009). Sách giáo viên

Hình học 11 Cơ bản. NXB Giáo dục.

Vũ Thị Thái. (2001). Bước đầu hình thành và phát triển TTTKG cho học sinh tiểu học

thông qua các yếu tố hình học. Luận án tiến sĩ trường Đại học Sư Phạm Hà Nội.

VuiBert, H. (1912). Les Anaglyphes Géométriques. Paris.

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học vị trí tương đối giữa các đối tượng cơ bản của hình học không gian trong môi trường GeoGebra

Chủ đề:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc

DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN

CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Bùi Thị Minh Trâm Ngọc DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN

CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

TRONG MÔI TRƯỜNG GEOGEBRA

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TĂNG MINH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi