Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

76
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán đưa ra một số kiến thức cơ bản về điều kiện dây chuyền, căn nguyên tố, căn Jacobson và một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: Bùi Tường Trí Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
2 LỜI CẢM ƠN  Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy PSG.TS Bùi Tường Trí, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học cao học và làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và quý thầy cô bộ môn Toán học đã tạo điều kiện học tập và nhiệt tình giảng dạy tôi trong thời gian học cao học, qua đó tôi đã có được những kiến thức rất bổ ích để làm đề tài luận văn. Xin cảm ơn tập thể lớp Đại số khóa 21 đã động viên giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân đã luôn ở bên cạnh động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Học viên thực hiện Nguyễn Quế Thanh
3 MỤC LỤC    LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 2 MỤC LỤC ............................................................................................................. 3 BẢNG KÝ HIỆU .................................................................................................. 4 MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5 Chương 1 : KIẾN THỨC CƠ BẢN ...................................................................... 6 1.1. ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN ..................................................................... 6 1.2. CĂN NGUYÊN TỐ .................................................................................. 14 1.3.CĂN JACOBSON ..................................................................................... 17 Chương 2 : MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN ....................................................................................... 22 2.1. MA TRẬN ................................................................................................ 23 2.2. VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ............................................... 32 2.3. ĐẠI SỐ WEYL ......................................................................................... 38 2.4. CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG ĐỐI XỨNG VÀ ĐA THỨC LAURENT .......................................................................................................................... 45 2.5. VÀNH NHÓM .......................................................................................... 47 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 54
4 BẢNG KÝ HIỆU  MR M là R – môđun phải End(M R ) vành các tự đồng cấu của M R M n (R) vành các ma trận n x n trên vành R N(R) căn nguyên tố của vành R Spec(R) tập tất cả các iđêan nguyên tố của R J(R) căn Jacobson của vành R SMR M là song môđun, M là S – môđun trái và R – môđun phải L(R) tập các môđun con của R II(A) vành iđêan hóa của A với A là iđêan phải của R A n (K) đại số Weyl thứ n trên K
5 MỞ ĐẦU  Trong học phần Đại số giao hoán của chương trình Cao học chúng ta đã được làm quen với những hình ảnh và ví dụ về lớp các vành Noether giao hoán. Như vậy lớp các vành Noether không giao hoán có hình ảnh như thế nào? Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về một số vành Noether không giao hoán bắt nguồn trong những hoàn cảnh đặc biệt đồng thời hệ thống hóa các trường hợp và nêu ra ví dụ về một số hình ảnh cụ thể. Nội dung luận văn gồm các phần sau: Chương 1: Kiến thức cơ bản Trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề dùng trong luận văn. Chương 2: Một số hình ảnh cụ thể của các vành Noether không giao hoán Trong chương 2 này chúng ta sẽ xây dựng lớp các vành Noether không giao hoán dựa trên các vật liệu chính: 1. Ma trận 2. Vành đa thức không đối xứng 3. Đại số Weyl 4. Chuỗi lũy thừa không đối xứng và đa thức Laurent 5. Vành nhóm Vẫn còn một số trường hợp để xây dựng lớp các vành Noether không giao hoán, trong luận văn này chúng ta chỉ khai thác một số trường hợp như trên ở một mức độ cơ bản nhất định.
6 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung của chương là nhắc lại một số vấn đề và kết quả cơ bản làm nền tảng vững chắc cho những phần trong chương sau. Chương này gồm 3 bài: Điều kiện dây chuyền, Căn nguyên tố và Căn Jacobson. 1.1. ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN 1.1.1 Định nghĩa: Cho R là vành có đơn vị.  M được gọi là R - môđun đơn (hay còn gọi là R - môđun bất khả quy) nếu M R ≠ 0 và M có duy nhất hai môđun con là M và 0.  Môđun là tổng trực tiếp của các môđun đơn được gọi là môđun nửa đơn. Trong đó, nếu các môđun đơn đẳng cấu từng đôi một với nhau thì môđun đó được gọi là môđun isotypic.  Tập sắp thứ tự M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (hay còn gọi là điều kiện cực tiểu) khi các điều kiện tương đương sau thỏa mãn: i) Mọi tập con khác rỗng bất kỳ của M đều có phần tử tối tiểu. ii) Bất kỳ một dây chuyền giảm: M1 > M2 > … > Mn > … với M i là các phần tử của M (i ∈ {1,2,…,n,…}), đều dừng sau hữu hạn bước.  Tập sắp thứ tự M được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (hay còn gọi là điều kiện cực đại) khi các điều kiện tương đương sau thỏa mãn: i) Mọi tập con khác rỗng bất kỳ của M đều có phần tử tối đại. ii) Bất kỳ một dây chuyền tăng: M1 < M2 < … < Mn < … với M i là các phần tử của M (i ∈ {1,2,…,n,…}), đều dừng sau hữu hạn bước.
7  Nếu tập các môđun con của môđun M R với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói M R là môđun Noether (Artin).  Nếu tập các iđêan phải (trái) của vành A với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói A là vành Noether (Artin) phải (trái). 1.1.2 Chú ý: Nếu N  M thì M là Noether hay Artin khi và chỉ khi cả N và M/N đều là Noether hay Artin. Do N  M nên ta có đồng cấu nhúng i : N → M và đồng cấu chiếu p : M → M / N tạo thành dãy khớp ngắn: 0→ N →M →M /N →0 Suy ra M là Noether (Artin) khi và chỉ khi N và M/N đều là Noether (Artin). 1.1.3 Định lý Jordan – Holder: a) Môđun M R thỏa hai điều kiện dây chuyền tăng và dây chuyền giảm nếu và chỉ nếu chiều dài của dãy các môđun con của M giới hạn bởi cận trên n. b) Nếu (a) thỏa mãn thì mọi dãy các môđun con của M có thể được làm mịn đến dãy có độ dài n: M = M0 ⊃ M1 ⊃ … ⊃ Mn = 0 (*)  Với i = 0,1,…, n – 1, M i+1 là môđun con tầm thường của M i , khi đó môđun thương M i /M i+1 là đơn.  Các môđun thương: M 0 /M 1 , M 1 /M 2 , …, M n-1 /M n được gọi là môđun thương hợp thành của M và dãy (*) được gọi là dãy hợp thành của M.  Cho: M = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = 0 M = K0 ⊃ K1 ⊃ … ⊃ Kt = 0
8 là hai dãy hợp thành của M thì s = t và các môđun thương hợp thành tương ứng đẳng cấu với nhau, tức là: Kj Hi ≅ K j +1 H i +1 1.1.4 Mệnh đề: Các điều kiện sau trên môđun nửa đơn M R là tương đương: i) M R thỏa điều kiện dây chuyền tăng. ii) M R thỏa điều kiện dây chuyền giảm. iii) M R có độ dài hữu hạn. 1.1.5 Mệnh đề: Các điều kiện sau trên môđun M R là tương đương: i) M R là Noether (Artin). ii) Mỗi môđun con của M R là hữu hạn sinh. iii) Mọi tập khác rỗng của các môđun con của M R có phần tử tối đại (tối tiểu). 1.1.6 Định nghĩa:  Nếu R R là Noether (Artin) thì R là vành Noether (Artin) phải.  Nếu R R là Noether (Artin) thì R là vành Noether (Artin) trái.  Nếu R vừa là vành Noether (Artin) phải vừa là vành Noether (Artin) trái thì R là vành Noether (Artin). 1.1.7 Hệ quả: Các điều kiện sau trên vành R là tương đương: i) R là vành Noether phải. ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng trên các iđêan phải. iii) Mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh. iv) Mỗi tập khác rỗng của các iđêan phải của R có phần tử tối đại. Chứng minh: (i) ⇒ (ii) Do định nghĩa. (ii) ⇒ (iii) R thỏa điều kiện (ii) suy ra R là vành Noether phải (do định nghĩa). Do mệnh đề 1.1.5 suy ra mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh.
9 (iii) ⇒ (iv) Do mệnh đề 1.1.5. (iv) ⇒ (i) Do mệnh đề 1.1.5. 1.1.8 Định nghĩa:  Khi mọi iđêan phải (trái) của R là iđêan chính (hay cyclic) thì R được gọi là vành iđêan chính bên phải (trái) hay còn gọi là pri-ring (pli-ring).  Khi R vừa là pri-ring vừa là pli-ring thì R được gọi là vành iđêan chính. 1.1.9 Bổ đề Schur: Nếu M R là đơn thì End(M R ) là một vành chia. (End(M R ): vành các tự đồng cấu của M R ). Chứng minh: Ta cần chứng minh End(M R ) là vành có đơn vị khác 0 và mọi phần tử khác 0 của End(M R ) đều khả nghịch trong End(M R ).  Ta có: End(M R ) là vành (do định nghĩa) và có đơn vị Id M ≠ 0 . R  ∀ θ ∈ End(M R ).  Ta chứng minh nhận xét: M R = M R θ thì θ là toàn ánh. Thật vậy: θ :M → M a  θ (a ) = aθ Khi đó: ∀b ∈ M, do M R = M R θ nên ∃b 1 ∈ M: b = b 1 θ = θ(b 1 ) hay θ là toàn ánh.  Đặt W = M R θ . Do θ ≠ 0 nên W ≠ 0. ∀r ∈ R := Rθ r Wr M= ( M R r )θ ⊂ M= Rθ W Suy ra W là môđun con khác 0 của M R . Do đó W = M R (do M R là môđun đơn). Vậy M R = M R θ hay θ là toàn ánh. (1)  Ker θ là môđun con của M R mà θ ≠ 0 nên Ker θ ≠ M R ⇒ Ker θ = 0 (do M R là môđun đơn). Suy ra θ là đơn ánh. (2) Từ (1) và (2) suy ra θ là song ánh. Do θ là tự đồng cấu của M R nên θ là tự đẳng cấu. Suy ra θ -1 ∈ End(M R ). Vậy mọi phần tử khác 0 của End(M R ) đều khả nghịch trong End(M R ). Kết luận: End(M R ) là vành chia.
10 1.1.10 Định nghĩa:  R là vành đơn nếu vành R ≠ (0) và R có duy nhất hai iđêan là 0 và R.  Điều này tương đương với khẳng định: 0 là iđêan tối đại duy nhất của R. Nhắc lại: M là iđêan tối đại của vành X nếu: i) M ≠ X. ii) N là iđêan của X và M ⊂≠ N ⊂ X thì N = X. Chứng minh:  Sự tồn tại: Ta có: 0 ≠ R. Giả sử N là iđêan của R và 0 ⊂ N ⊂ R . Suy ra N = R (do R là vành đơn). ≠  Sự duy nhất: Giả sử ∃M là iđêan tối đại của R ⇒ M ≠ R và R là vành đơn ⇒ M = 0 Vậy 0 là iđêan tối đại duy nhất của R. 1.1.11 Định lý: Các điều kiện sau trên vành R là tương đương: i) R là vành Artin phải đơn. ii) R ≅ M n (D) là vành các ma trận n x n trên vành chia D, với n xác định duy nhất và với vành chia D duy nhất sai khác phép đẳng cấu. iii) R ≅ End(M S ), với M là một S - môđun isotypic độ dài n trên vành S bất kỳ. Chứng minh: (i) ⇒(ii) Định lý Wedderburn – Artin. (ii) ⇒(iii) Từ (ii) ta được R là vành Artin phải đơn. Ta có: R ≅ M n (D) với mọi vành chia D. M là S-môđun isotypic nửa đơn độ dài n trên vành S. Suy ra M là không gian vectơ hữu hạn chiều. Khi đó ∃n : M n (D) = EndM S . Vậy R ≅ EndM S . Định lý cũng đúng với phía bên trái nên R là vành Artin.
11 1.1.12 Định nghĩa: Với R là vành Artin, iđêan A của vành R được gọi là iđêan lũy linh nếu An = 0, ∀n. 1.1.13 Định lý: Các điều kiện sau trên R là tương đương: i) R là tổng trực tiếp hữu hạn các vành Artin đơn. ii) R R là nửa đơn. iii) Mọi R môđun phải là nửa đơn. iv) R là Artin phải và không có iđêan lũy linh. v) R là Artin phải và giao của các iđêan tối đại của R là 0. Chứng minh: (i)⇒(ii) Hiển nhiên do định nghĩa. ii)⇒i) Giả sử R R là vành nửa đơn. Gọi A là iđêan tối tiểu của vành R.  Ta chứng minh A là vành đơn. Giả sử B là iđêan của vành A, B ≠ 0. Suy ra ABA là iđêan của R và ABA ⊆ B và ABA ≠ 0. Ta có: 0 ≠ ABA ⊆ B ⊆ A   ABA  R ⇒ ABA = A ⇒ B = A . A  R  min Vậy A là vành đơn.  Ta chứng minh R = A ⊕ R 1 .  Vì A là iđêan của vành Artin nửa đơn nên ∃e là phần tử lũy đẳng: A = eR = Re.  ∀x ∈ R, ta có: x =xe + x (1 − e ) ∈ Re+ R (1 − e ) ⇒ R =Re+ R (1 − e ) =A + R (1 − e ) .  ∀x ∈ A ∩ R(1 – e), ta có:
12 =x ∈ A Re =  x xe  ⇒ ⇒ x = xe − xe = 0 ⇒ A ∩ R (1 − e ) = 0 .  x ∈ R (1 − e )  x =x (1 − e ) =x − xe Đặt R 1 = R(1 – e) ta được R = A ⊕ R 1 , R 1 là vành Artin nửa đơn. Vậy nếu R là vành Artin nửa đơn thì R = A o ⊕ R 1 với A o là vành Artin đơn, R 1 là vành Artin nửa đơn.  Do R 1 là vành Artin nửa đơn nên R 1 = A 1 ⊕ R 2 với A 1 là vành Artin đơn, R 2 là vành Artin nửa đơn. Suy ra R = A o ⊕ A 1 ⊕ R 2 . Tương tự ta được R = ⊕ A i với A i là vành Artin đơn. ∞ ∞ ∞ Giả sử R = ⊕ Ai , đặt B0 = ⊕ Ai , ... ta được dãy giảm vô hạn các iđêan của ⊕ Ai , B1 = i =0 =i 0=i 1 R (vô lý do R là vành Artin). n Vậy ∃n ∈ N * : R =⊕ Ai với A i là các vành Artin đơn. i =0 1.1.14 Định nghĩa:  Căn của vành Artin phải R là giao của các iđêan tối đại của R. Ký hiệu: N(R). Ta có: N(R) = ∩ρ với ρ là các iđêan tối đại của R.  R được gọi là nửa đơn nếu N(R) = 0. Suy ra: ∩ρ = 0 với ρ là các iđêan phải tối đại của R. Từ đó ta chứng minh được (ii) ⇒ (v) của định lý 1.11 như sau: Ta có N(R) = ∩ρ , ρ là các iđêan phải tối đại của R. R là nửa đơn nếu N(R) = 0. 1.1.15 Định lý: Nếu R là vành Artin phải thì N(R) là lũy linh và là iđêan lũy linh lớn nhất của R. Khi đó R/N(R) là vành nửa đơn. Chứng minh:  Ta chứng minh: N(R) là lũy linh. Đặt N = N(R), xét dãy giảm các iđêan phải: N ⊃ N2 ⊃ … ⊃ N n ⊃ …
13 Do R là vành Artin nên ∃n sao cho: J n = J n+1 = … = J 2n = … Do đó nếu: x.N 2n = 0 thì x.N n = 0. Ta chứng minh: N n = 0. Giả sử N n ≠ 0, đặt W = { x ∈ N / x.N n = 0 } là iđêan của R.  Nếu N n ⊂ W thì N nN n = 0. Suy ra 0 = N 2n = N n.  Nếu M n ⊄ W thì ảnh của N n trong R = R / W là N n ≠ 0 . Nếu xN n = 0 thì xN n ⊂ W. Suy ra 0 = x.N nN n = xN 2n = xN n . Ta được x ∈ W ⇒ x = 0 . (*) Vì N n ≠ 0 ⇒ ∃ρ ∈ N n là iđêan phải tối tiểu và ρ ≠ 0 . Khi đó ρ là R - môđun đơn và N ⊂ N ⊂ N ( R) . Suy ra ρ .N = 0 nên ρ = 0 (do (*)) (mâu thuẫn). n n Vậy N n = 0 hay N(R) là lũy linh.  Ta chứng minh: N(R/N(R)) = 0. Đặt R = R / N ( R) và π : R → R là toàn cấu. Lấy ρ là iđêan tối đại chính quy của R, ta được N(R) ⊂ ρ . / N ( R) π ( ρ ) , do ρ tối đại trong R nên ρ là tối đại trong R . có: ρ ρ= Ta= Do ρ chính quy nên ∃a ∈ R để ∀r ∈ R: r – ar ∈ ρ . Suy ra ∀r ∈ R : r − ar ∈ ρ hay ρ là iđêan tối đại chính quy của R . Ta có N ( R) ⊂ ∩ ρ với ρ chạy khắp các iđêan tối đại chính quy của R. Suy ra N ( R) ⊂ ∩ ( ρ / N ( R) ) = ∩( ρ / ∩ ρ ) = 0 Vậy N(R/N(R)) = 0 hay R/N(R) là vành nửa đơn. 1.1.16 Hệ quả: Nếu R là Artin phải thì R là Noether phải. Chứng minh: Giả sử R là Artin phải. Do hệ quả 1.1.7(iii) suy ra mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh. Do hệ quả 1.1.7(i) suy ra R là Noether phải. Vậy nếu R là Artin phải thì R là Noether phải.
14 1.2. CĂN NGUYÊN TỐ 1.2.1 Cho vành R tùy ý và không là vành Artin thì ta có căn nguyên tố và căn Jacobson. Khi R là vành Artin phải thì căn nguyên tố và căn Jacobson trùng nhau, ký hiệu: J(R). Căn nguyên tố là một khái niệm ít được biết đến. Hơn nữa, các kết quả bài này sẽ được áp dụng vào vành không có phần tử đơn vị 1. Trong bài này, các vành liên quan không được đề cập đến vấn đề có phần tử đơn vị 1. 1.2.2 Định nghĩa:  Vành R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác 0 luôn khác 0. a = 0 ∀a, b ∈ R , ab =0 ⇔  . b = 0  Iđêan A của vành R là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/A là miền nguyên. 1.2.3 Mệnh đề: Các điều kiện sau trên vành R là tương đương: i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0. ii) Nếu 0 ≠ A, B  R R thì AB ≠ 0. iii) Nếu 0 ≠ A, B  R thì AB ≠ 0. Chứng minh: i) ⇒ii) Chọn 0 ≠ a ∈ A, 0 ≠ b ∈ B  R R . Do i) ta được aRb ≠ 0, suy ra AB ≠ 0. ii)⇒iii) Do 0 ≠ A, B  R R nên 0 ≠ A, B  R. Suy ra AB ≠ 0 (do (ii)). iii)⇒i) Xét tập C = { c ∈ R / RcR = 0 }. Khi đó: C  R và RCR = 0, do đó: C = 0. Nếu A = RaR và B = RbR thì do A, B  R và A, B ≠ 0 theo (iii) ta có AB ≠ 0 Suy ra (RaR)(RbR) ≠ 0 ⇔ R(aRb)R ≠ 0 ⇔ aRb ≠ 0.
15 Khi đó vành R được gọi là vành nguyên tố. 1.2.4 Định nghĩa:  Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu: a = 0 ∀a, b ∈ R , aRb =0 ⇒  b = 0  Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R/A là vành nguyên tố. Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R được ký hiệu: Spec(R). 1.2.5 Định nghĩa:  Căn nguyên tố của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R. Ký hiệu: N(R).  Nếu R là Artin thì căn nguyên tố trùng với căn Jacobson. Ký hiệu chung: N(R). 1.2.6 Tính chất:  Phần tử a của vành R là lũy linh nếu ∃n ∈ N: an = 0.  Nếu mỗi phần tử của tập con A của R là tập con lũy linh thì tập con A gọi là nil.  Phần tử a được gọi là lũy linh mạnh nếu với mọi dãy a = a 0 , a 1 , a 2 ,… sao cho ai +1 ∈ ai Rai thì tồn tại n với a n = 0.  Mọi phần tử lũy linh mạnh là lũy linh và mỗi phần tử trong iđêan phải lũy linh là lũy linh mạnh. 1.2.7 Định lý: Căn nguyên tố N(R) là tập hợp các phần tử lũy linh mạnh của R. Trong trường hợp đặc biệt N(R) là nil. Chứng minh: ⇒) Giả sử a ∈ R và a không là lũy linh mạnh. Ta có dãy vô hạn S gồm các phần tử a i ≠ 0 với: a o = a, a i = a i-1 ra i-1 . Do bổ đề Zorn, chọn P là iđêan lớn nhất của R với P ∩ S = ∅. Giả sử B, C  R với B ⊃ P, C ⊃ P.
16 Suy ra: B ∩ S ≠ ∅ và C ∩ S ≠ ∅. Với a i ∈ B, a j ∈ C ∀i,j . Đặt k = max{i , j}, ta có: a k+1 ∈ BC và a k+1 ∉ P. Suy ra P là nguyên tố và a ∉ N(R). ⇐) Giả sử a ∈ R và a ∉ N ( R) = P. P∈Spec ( R ) Ta có a ∉ P, ∀P ∈ SpecR. Suy ra aRa ⊄ P nên ara ∉ P, ∀r ∈ R. Cho a o = a, a 1 = ara, a 2 = a 1 ra 1 , … ∉ P. Ta được a i ≠ 0 ∀i ∈ {0,1,2,…}. Vậy a không là lũy linh mạnh. 1.2.8 Hệ quả: Các điều kiện sau trên vành R là tương đương: i) R không có iđêan phải lũy linh khác 0. ii) R không có iđêan lũy linh khác 0. iii) N(R) = 0. Chứng minh: (iii)⇒(ii) Do tính chất N(R) chứa tất cả iđêan lũy linh và N(R) = 0. (ii)⇒(i) Hiển nhiên. ii)⇒iii) Ta có iđêan C = { c ∈ R / RcR = 0 } là lũy linh, nên C = 0 (do (ii)). Với 0 ≠ a ∈ R thì RaR ≠ 0 và không là lũy linh. Do đó aRa ≠ 0, suy ra ara ≠ 0, ∀r ∈ R. Đặt a o = a, a 1 = ara, …, phần tử a không là lũy linh mạnh, ta được J(R) = 0.  Các tính chất này là đặc điểm của vành nửa nguyên tố.  Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu R/A là vành nửa nguyên tố. 1.2.9 Định nghĩa:  Căn nguyên tố của iđêan A là giao của các iđêan nguyên tố chứa A. Ký hiệu: N(A).  N(R/A) = N(A)/A và N(A) là iđêan nửa nguyên tố. Ta có A = J(A) khi và chỉ khi A là nửa nguyên tố.
17 1.3.CĂN JACOBSON 1.3.1 Định nghĩa:  M R là môđun trung thành nếu Mr = 0 suy ra r = 0 với r ∈ R.  Nếu vành R có môđun đơn trung thành M R thì R được gọi là vành nguyên thủy (bên phải).  Một vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu R có môđun đơn trung thành M. 1.3.2 Bổ đề: i) Vành đơn là vành nguyên thủy. ii) Vành nguyên thủy là vành nguyên tố. Chứng minh: (i) Giả sử R là vành đơn. Ta chứng minh R có M là môđun đơn trung thành. Do R là vành đơn nên R có hai iđêan là 0 và R. Xét M = R nên M là môđun đơn. Ta có Mr = Rr = 0, suy ra r = 0 với r ∈ R (do R ≠ 0). Nên M là môđun đơn trung thành. Vậy R là vành nguyên thủy. (ii) Giả sử R là vành nguyên thủy. Suy ra ∃M là R - môđun đơn trung thành. Giả sử aRb = 0, ta chứng minh a = 0 hoặc b = 0. Giả sử a ≠ 0, có 2 khả năng xảy ra: 1) aR ≠ 0: Đặt ρ = aR ta có Mρ là môđun con của M. Suy ra Mρ = 0 hoặc Mρ = M (do M là môđun đơn).  Nếu Mρ = 0 thì ρ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).  Nếu Mρ = M, ta có: Mb = (Mρ)b = M(aR)b = M(aRb) = M.0 = 0. Suy ra b = 0 (do M ≠ 0). (1) 2) aR = 0:
18 Đặt ζ = { r ∈ R : rR = 0 }. Ta có: 0 ≠ a ∈ ζ nên ζ ≠ 0 , và b ∈ R nên ζb = 0. Mζ là môđun con của M suy ra Mζ = 0 hoặc Mζ = M.  Nếu Mζ = 0 thì ζ = 0 do M ≠ 0 (mâu thuẫn).  Nếu Mζ = M, ta có: Mb = (Mζ)b = M(ζb) = 0 suy ra b = 0. (2) Từ (1) và (2) suy ra aRb = 0, nghĩa là a = 0 hoặc b = 0. Vậy R là vành nguyên tố. 1.3.3 Định nghĩa:  Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên thủy nếu R/A là vành nguyên thủy.  Iđêan tối đại là iđêan nguyên thủy và iđêan nguyên thủy là iđêan nguyên tố. Chứng minh:  Giả sử A là iđêan tối đại. Khi đó R/A là trường và R/A có duy nhất hai iđêan là 0 và R/A. Suy ra R/A là vành đơn hay R/A là vành nguyên thủy (do bổ đề 1.3.2). Vậy A là iđêan nguyên thủy.  Giả sử A là iđêan nguyên thủy. Khi đó R/A là vành nguyên thủy. Suy ra R/A là vành nguyên tố (do bổ đề 1.3.2). Vậy A là iđêan nguyên tố. 1.3.4 Định nghĩa:  Cho E = End( D V) là vành các phép biến đổi D - tuyến tính của V và cho R là vành con của E. R là trù mật trên E nếu: ∀α ∈ E , ∃r ∈ R : W(α - r) = 0 ⇒ r ≡ α. với W là không gian con hữu hạn chiều của V.  Nếu V hữu hạn chiều thì R = E. 1.3.5 Định lý trù mật: Cho R là vành nguyên thủy, M R là môđun đơn trung thành và D = EndM R . Khi đó M là không gian D – vectơ trái và R là trù mật trên E = End D M. Chứng minh:
19  Chứng minh bổ đề: Với V là không gian con hữu hạn chiều của M trên D và m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0. Chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của V.  dimV = 0: hiển nhiên. Giả sử đúng với dimV = n. Ta chứng minh đúng với dimV = n + 1. Đặt V = V o + WD với dimV o = n và W ∉ V o . Do dimV o = n nên y ∉ V o . Khi đó ∃r ∈ R : V o r = 0 và yr ≠ 0 hay y ∉ V o . Suy ra ∃r ∈ A(V o ) : yr ≠ 0 với A(V o ) = {x ∈ R / V o x = 0}. Nghĩa là mA(V o ) = 0 thì m ∈ V o . Với W ∉ V o ta có WA(V o ) ≠ 0, trong đó WA(V o ) là R – môđun con của M và M là môđun đơn. Ta được WA(V o ) = M. Với m ∈ M và m ∉ M, ta chứng minh: ∃r ∈ R, Vr = (0) và mr ≠ 0. Giả sử ∀r ∈ R: Vr = 0. Ta được mr = 0.Xét quy tắc τ: M → M x  ma (Trong đó, x ∈ M = WA(V o ) = { wa / a ∈ A(V o ) }⇒ x = wa. Ta đặt xτ = ma).  Ta chứng minh τ là ánh xạ. Giả sử x = wa 1 = wa 2 , với a 1 , a 2 ∈ A(V o ) Ta được w(a 1 – a 2 ) = 0, suy ra (a 1 – a 2 ) linh hóa V o và W. Vì vậy (a 1 – a 2 ) linh hóa V. Do đó a 1 – a 2 ∈ A(V) hay m(a 1 – a 2 ) = 0 nên ma 1 = ma 2 .  τ là đồng cấu.  τ ∈ ∆, tức là ∀r ∈ R, Tr  τ = τ  Tr. Thật vậy: ∀x ∈ M, ∀r ∈ R, ta có x ∈ M = WA(V o ) ⇒ x = wa , a ∈ A(V o ), xTr  τ = (war)τ = mar = (ma)r = (xτ)Tr. Khi đó: ∀a ∈ A(V o ), ma = (wa)τ = (wτ)a. Suy ra (m - wτ)a = 0,∀a∈A(V o ) hay m - wτ ∈ V o . Do đó m ∈ wτ + V o ∈ W∆ +V o = V (trái với m ∉ V). Vậy nếu m ∈ M\V thì ∃r ∈ R : Vr = 0 và mr ≠ 0.  Trở lại với định lý trù mật.