Luyện tập Mệnh đề

Luy n t p

ệ ậ : MÊNH Đ - TÂP H P

Ơ

Ề

Ầ

ọ ặ ặ ừ ộ ữ ụ ị ề ẳ ệ ệ ộ ộ ế ố ọ ể ừ ị ủ ộ ệ ề ứ ế ệ ế ệ ệ ề P (cid:222) Q ủ c g i là m nh đ kéo theo và kí hi u là: ế ệ ệ P . . M nh đ ề ề ủ ị ệ ượ ọ ề ệ ệ ch sai ỉ

Q ườ ạ Q đ . P (cid:222) ệ (cid:222) (cid:222) P (cid:222) đ u đúng ta nói P và Q là hai m nh đ t ng. Khi đó ta kí ề ươ ươ

ng có d ng ề ả ủ P ề ng Q ho c P là đi u ki n c n và đ đ có Q, ho c P khi và ch khi ệ ủ ể ng đ ặ ệ ầ ươ ề ặ ọ ỉ

i m t) hay “ có ít nh t m t “. A. KI N TH C C N NH . Ớ Ứ Ế 1.M nh đ . ề . M t kh ng đ nh ho c đúng ho c sai, không th v a đúng v a sai g i là m t m nh đ . ề . M t m nh đ còn ph thu c vào nh ng giá tr c a bi n s g i là mênh đ ch a bi n. M nh đ ch a ề ứ bi n x kí hi u là: P(x). ệ . M nh đ “ không ph i P” là m nh đ ph đ nh c a m nh đ P và kí hi u là ề ệ ả QP (cid:222) . M nh đ “ N u P thì Q” đ ề khi P đúng và Q sai. Đ nh lí là m t m nh đ đúng và th . ộ ị ệ ề Q (cid:222) P c g i là m nh đ đ o c a m nh đ M nh đ ệ ượ ọ ề ệ ề P QvàQ . N u c hai mênh đ ề ế ả P (cid:219) Q hi u ệ ng đ và đ c là : P t ươ Q. . Kí hi u ệ " . Kí hi u ệ $ đ c là “ v i m i “, nghĩa là t t c . ấ ả ọ ớ đ c là “ có m t “ ( t n t ộ ộ ồ ạ ọ ọ ấ ộ

ề ứ ề ệ ế

ề ủ ị ỗ ệ ệ ề B. BÀI T PẬ 1/ Trong các câu sau đây, câu nào là m nh đ , câu nào là m nh đ ch a bi n. ệ a) 2011 + 1 = 2012 b) x + 10 = 1 10 < c) x + 2y > 0 d) 5 - 2/ N u m nh đ ph đ nh c a m i m nh đ sau và xác đ nh xem m nh đ ph đ nh đó đúng hay sai: ủ ị ệ 2 – x + 1 = 0 có nghi m “ệ “ ố ố ng “ ố ủ ỗ ệ ễ ằ ế ề ủ ị ng trình x a) P: “ Ph ươ b) Q: “ 17 là s nguyên t ố c) R: “ S 963 chia h t cho 3 “ d) S: “ 25 không th bi u di n thành t ng c a hai s chính ph ươ ề ạ ế ể ể ệ ề ữ ậ ằ ng cao b ng nhau là tam giác đ u và ng ề ườ i. ổ ế ữ ố ể ộ ộ ộ ố $ " , đ vi ệ ể ế nhiên chia h t cho 11. ề ố ề ệ ˛ "

˛ $

ơ ả ủ ậ ế ˛ t a ˇ t a c a tâp h p A, ta vi ơ A( đ c là a không ệ ể ỉ ọ ộ ộ ộ ế ọ ọ F ầ ử ủ c a t p h p A, ta vi ợ nào. ầ ử ậ t A ộ ế ủ ợ ế (cid:204) B( đ cọ ˛ (cid:222) ˛ " (cid:219) (cid:204) ả ậ ợ ệ c a A đ u là ph n t ầ ử ủ ề B (cid:204) (cid:204) ˛ (cid:219) ˛ " (cid:219) ( Axx Bx ) ta nói tâp A b ng t p B và vi ằ ậ v a thu c A, v a thu c B đ c g i là giao c a A và B ổ 3/ Phát bi u m i m nh đ sau, b ng cách s d ng khái ni m “ Đi u ki n c n và đ “ ử ụ ủ ệ ầ a) M t hình ch nh t có hai c nh liên ti p b ng nhau là hình vuông và ng i. c l ượ ạ ế c l i. b) M t tam giác có ba đ ằ ượ ạ c l c) M t s có t ng các ch s chia h t cho 3 thì chia h t cho 3 và ng ượ ạ ế t các m nh đ sau: 4/ Dùng kí hi u ệ ề a) Có s t ế ố ự b) M i s nhân v i chính nó đ u là s không âm. ọ ố ớ 5/ L p m nh đ ph đ nh c a các m nh đ sau: ủ ậ ệ ề ủ ị > 3x " xRx 2, a) P: “ + 2 "41 nNn : b) Q: “ A. KI N TH C C N NH . Ế Ớ Ầ Ứ 2. T p h p. ậ ợ . T p h p là m t khái ni m c b n c a toán h c. Đ ch a là m t ph n t ể ỉ ộ ơ A( đ c là a thu c A). Đ ch a không ph i là m t ph n t ầ ử ủ ậ thu c A). T p h p r ng kí hi u là t p h p không ch a ph n t ứ ợ ỗ . N u m i ph n t ầ ử ủ ọ là A ch a trong B). A ứ A BvàB Khi A ậ . T p h p C g m các ph n t ồ ậ c a B thì ta nói A là m t t p h p con c a B và vi ộ ậ Axx Bx ) ( t là: A = B. Nhu v y A = B ế ộ ầ ử ừ ượ ọ ừ ủ ợ ộ

Trang 1

{

}

˛ (cid:236) Ax (cid:219) ˙ ˛ = ˛ ˛ ˙ (cid:237) BAx BA BxvàAxx / ; ˛ Bx (cid:238)

. Tâp h p C g m các ph n t ồ ầ ử ợ thu c A ho c thu c B đ ặ ộ ộ ượ ọ c g i là h p c a A và B. ợ ủ ˛ Ø Ax = (cid:219) ¨ ˛ ˛ ˛ ¨ BA /{ Axx hoăo Bx ;} BAx Œ ˛ Bx º

. T p C g m các ph n t ầ ử ậ ồ thu c A nh ng không thu c B g i là hi u c a A và B. ộ ệ ủ ư ộ ọ ˛ (cid:236) Ax = (cid:219) ˛ ˇ ˛ (cid:237) \ BA /{ BxvàAxx ;} BAx \ ˇ Bx (cid:238)

N / x coù hai chöõ soá vaø chöõ soá haøng chuïc laø 3} N / x laø öôùc cuûa 15} N / x laø soá nguyeân toá khoâng lôùn hôn 17} N* / 3 < n2 < 30} R / (2x – x2)(2x2 – 3x – 2) = 0} Z / 2x2 – 7x + 5 = 0} Q / (x – 2)(3x + 1)(x + 2 ) = 0}

3£x

}

Z / Z / x2 – 3x + 2 = 0 hoaëc x2 – 1 = 0} R / x2 + x – 2 = 0 vaø x2 + 2x – 3 = 0}

A = {x ˛ B = {x ˛ C = {x ˛ D = {x ˛ E = {x ˛ F = {x ˛ G = {x ˛ H = {x ˛ I = {x ˛ J = {x ˛

2/ Xeùt xem hai taäp sau coù baèng nhau khoâng ?

R / (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0}

A = {x ˛ B = {5, 3, 1}

3/ Trong caùc taäp sau taäp naøo laø con taäp naøo ?

2£x

M = {x ˛

Q / 1 £

x £

2}; N = {x ˛

Z /

} P = {x ˛

N / x2 + 3 =

5} 4/ Xaùc ñònh taát caû taäp con cuûa caùc taäp sau :

a/ A = {a} b/ B = {0, 1} c/ C = {a, b, c}

{1, m, 2, a, b, 6}

X (cid:204)

5/ Tìm taát caû taäp hôïp X sao cho : {1, 2, m} (cid:204) 6/ Xaùc ñònh A ˙

B, A ¨

B, A \ B, B \ A trong caùc tröôøng hôïp sau :

a/ A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10} 20}; B = {x ˛ b/ A = {x ˛

N / 10 < x < 30}

N / x £

7/ Xaùc ñònh caùc taäp hôïp sau vaø bieåu dieãn chuùng treân truïc soá :

(-2;+¥ ) c/ (-2;3) \ (0;7)

(0;4] b/ (-¥

a/ [-3;1) ˙ ;1) ¨ d/ (-2;3) \ [0;7) e/ R \ (3;+¥ ) f/ R \ (-¥

;2]

8/ Xaùc ñònh A ¨

B, A ˙

B, A \ B, B \ A :

a/ A = [-2;4], B = (0;5] b/ A = (-¥

;2], B = (0;+¥ ) c/ A = [-4;0), B = (1;3]

B. BÀI T P.Ậ 1/ Haõy lieät keâ caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp sau :

Ấ

Ố Ậ

ệ ậ HÀM S B C NH T VÀ B C HAI.

Ậ

Ế

ợ ỗ ấ c m t s th c y duy nh t D (cid:204) R ộ ộ ố ự ỗ ố ượ ắ ớ ị

ế ố ộ ậ ế ố ố ố ề ậ ậ ị ố ạ ị ộ ủ ố

Luy n t p: A. KI N TH C C NH . Ớ Ứ Ầ 1. Khái ni m hàm s . ố ệ . Cho m t t p h p khác r ng ộ ậ M t hàm s f xác đ nh trên D là m t quy t c, nh đó v i m i s x luôn tìm đ ờ ố ộ g i là giá tr c a hàm s f t i x, kí hi u là y = f(x). ệ ị ủ ọ . T p D g i là t p xác đ nh( hay mi n xác đ nh), x g i là bi n s đ c l p (hay bi n s ) hay đ i s , y g i ọ ọ là bi n s ph thu c c a hàm s f. , Trong m t ph ng t a đ Oxy, khi nói (G) là đ th c a hàm s f xác đ nh trên t p D, ta hi u r ng:

ọ ế ố ụ ặ ồ ị ủ ọ ộ ể ằ ẳ ậ ố ị

Trang 2

= ˛ (cid:219) ˛ xM ( ; y ) G ( ) x yvàD xf ( )

ự ế ủ ị < < (cid:222) ˛ " x ) xf ( ) ố ồ . Hàm s đ ng ồ ố ế xx , 1 xK , 1 xf ( 1 ế < > (cid:222) ˛ " x ) xf ( ) . Hàm số ố ố ọ ồ ị ọ ế ả xx , 1 xK , 1 xf ( 1 ố ị ế ộ ố ố ˛ - (cid:222) ˛ " (cid:236) Dx (cid:219) (cid:237) . f(x) là hàm s ch n trên D ố ẳ 2. S bi n thiên c a hàm s . ố Cho hàm s f xác đ nh trên K. Hàm s f g i là đ ng bi n ( hay tăng) trên K n u ế bi n thì đ th đi lên. Hàm s f g i là ngh ch bi n ( hay gi m ) trên K n u ị ế ngh ch bi n thì đ th đi xu ng. ồ ị 3. M t s tính ch t c b n c a hàm s . ấ ơ ả ủ ố Cho hàm s y = f(x) v i t p xác đ nh D. ị ớ ậ Dx = - f ( x ) xf )( (cid:238)

˛ - (cid:222) ˛ " (cid:236) Dx Dx (cid:219) (cid:237) . f(x) là hàm s l trên D ố ẽ -= - f ( x ) xf )( (cid:238)

2 + bx + c (a

)0„ ồ ị ủ ấ ẳ ng th ng, a g i là h s góc ọ ệ ố ồ g i là hàm s b c nh t. Đ th c a nó là m t đ ọ ố )0„ ị g i là hàm s b c hai. Đ th c a nó là m t parabol. ọ ế ồ ị ủ ố ậ

. Hàm s y = ax + b (a ố ậ ố ộ ườ ng th ng đó. Hàm s này đ ng bi n khi a > 0, ngh ch bi n khi a < 0. c a đ ế ẳ ủ ườ . Hàm s y = ax ộ ố B. BÀI T P. Ậ 1. Tìm mieàn xaùc ñònh (taäp xaùc ñònh) cuûa haøm soá : + + - - - 5 2 = = = = y ; y ; y ; y - - + 1 + - - x 2 1 1 x x 2 + )(1 2 x ( x )3 x x 4 4 x x 10 5 x 3 x 2 x + x 1 = = = - - - - y x ++ 1 x ;35 y x 1 5 x ; y -

x + - - 25 x 1 x x = = = + = - - - 6 x ; y ; ; y x ; y y 3 2 - - 2 2 x + - - 1 x x x 4 x 61)32( x x

+ 2 + - - 4 2 x = = = + y ; y 5 x ++ 3 ; y - - x 2 - 2 + - x ( x 1 )(2 x )3 x x 3 x x 1 + + 5 x 6 2 4 x = = = + - - - - 2 ; ; y ; y x x ;2 y 5 x + - - x 4 1 x 5 x 5

2. Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá :

a/ y = 2x + 5; y = -3x + 2; y = 1/2x – 10 treân R b/ y = 2x2 treân (0;+¥ ); y = x – 2x2 treân (1/4;+¥ )

3. Xeùt tính chaün leû cuûa haøm soá :

a/ y = x2 + 1; y = 3x4 – 4x2 + 3; y = 4x3 – 3x; y = 2x + 1; y = x3 - 1

y = x4 + x + 10; y =

; y = x2 + x ; y =

y = x|x|

3 1 = = = + = = - ; y y ; y x x 2 y ; y ; + - - x -+ 1 x 2 x x 3 1 x 2 + x + 1 1 x

x 2+x 2 x

b/ y =

; y=

; y =

y =

x + - - 21 x 2 x 1 5+x 1 x- 12 + x

- ++ x 1 1 x

Trang 3

4. V đ th hàm s y =

ẽ ồ ị

ố

5. Vieát phöông trình y = ax + b cuûa ñöôøng thaúng :

a/ Ñi qua hai ñieåm A(-3;2), B(5;-4). b/ Ñi qua A(3;1) vaø song song vôùi Ox.

ồ ị ủ

ế ằ

i đi m (0 ; 4).

Veõ caùc ñöôøng thaúng vöøa tìm ñöôïc treân cuøng heä truïc toïa ñoä. 6. Xác đ nh hàm s b c hai y = 2x ườ

2 + bx + c, bi ng th ng x = 1 và c t tr c tung t ẳ

t r ng đ th c a nó ạ

ắ ụ

ể

ố ậ ị a) Có tr c đ i x ng là đ ụ ố ứ b) Có đ nh là I(-1 ; -2) ỉ c) Đi qua hai đi m A(0 ; -1), B(4 ; 0) d) Có hòanh đ đ nh là 2 và đi qua đi m M(1 ; -2)

ể ộ ỉ

ể

2 + 3x – 2 v i các đ

‡ - (cid:236) 2 x 1 voi x 1 (cid:239) (cid:237) + < x 1 voi x 1 (cid:239) (cid:238) 1 2

ng th ng ườ ể ẳ ớ

2 – 2|x| + 1

7. Tìm a, b, c bieát raèng parabol y = ax2 + bx + c caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm A(1;0), B(-3;0) vaø coù hoaønh ñoä ñænh laø -1. Veõ parabol vöøa tìm ñöôïc . 8. Tìm giao đi m c a parabol y = 2x ủ a) y = 2x + 1 b) y = x – 4 c) y = - x – 4 b ng cách gi ng trình và b ng đ th . ồ ị 9. L p b ng bi n thiên và v đ th hàm s y = x ố 10. V đ th hàm s y = |x

ả ằ ươ i ph ế ậ ố ả ẽ ồ ị NG TRINH VÀ H PH NG TRÌNH. ƯƠ Ệ ƯƠ Ầ

2)]

ng trình g i là t ậ ế ng trình. ươ ứ ậ ủ ệ ươ ả ủ = ươ ươ + (cid:219) ộ ằ ẽ ồ ị 2 – 6x + 5| Luy n t p: PH ệ ậ A. KI N TH C C N NH . Ế Ớ Ứ 1. Ph ươ *. Hai ph *Ph ươ * Cho ph *Bình ph ng n u chúng có cùng t p nghi m. ệ ng trình (1) n u t p nghi m c a (2) ch a t p nghi m c a (1). ế ậ ủ ệ )( xh xh )( , y = h(x) là m t hàm s . ố c m t ph ng trình ta đ ệ ộ ng trình h qu . ả ượ ng đ ọ ng trình (2) là h qu c a ph ệ )( xf ng trình f(x) = 0 ng hai v c a m t ph ươ ế ủ ươ ươ ộ ‡ (cid:236) ươ xg )( 0 = (cid:219) (cid:237) xf )( xg )( * Đ i v i ph ố ớ ươ ng trình ch a căn ta có: ứ = xf )( xg ([ (cid:238)

2.Ph ươ ậ ấ ươ ậ

0„ ng trình ax

ng trình b c nh t và ph )0„ * Ph ng trình ax + b = 0, (a . ươ có nghi m x = ệ ng trình b c hai. b- a ệ ươ ươ ố ệ 2 =D - - ng trình có vô s nghi m. ng trình vô nghi m. 4 ac b hoăo =D ' ( b ' ac ) trong đó b = 2b’. .N u a = 0, b = 0 ph ế ph .N u a = 0, b ế 2 + bx + c = 0 có * Ph ươ

0‡

(cid:246) (cid:230) D – - D – - b b ' ' (cid:247) (cid:231) = D hoăo x ph ng trình có nghi m x = . N u ế ươ ệ (cid:247) (cid:231) 2 a a ł Ł

2 + bx + c = 0 thì

1 và x2 là nghi m c a ph

2 – SX + P = 0

c a ng trình : X * N u hai s có t ng là S và tích là P thì chúng là nghi m c a ph ủ ế ệ ố ổ ươ = + (cid:236) ax (cid:237) 3. H ph ng trình b c nh t hai n. ệ ươ ậ ấ ẩ c = by + ybxa ' ' c ' (cid:238)

Trang 4

b a c b a c = = = = = = - - - D ab ' , Dba ' cb ' ' Dbc , ac ' ' ca Ta có: c ' b ' a ' c ' a ' b '

(cid:236) = + + „ (cid:239) ax ( a )0 (cid:237) (cid:239) c = b + „ by + ybxa ' ' c ' a '( b ' )0 (cid:238)

y D

D = : H có m t nghi m duy nh t (x ; y) trong đó x = 1. D 0„ , y ệ ệ ấ ộ D x D

„ „ D 0 D 0 : H vô nghi m 2. D = 0: * ệ ệ

x = x D * y ax + by = c

hoăo 0= D ng trình : H có vô s nghi m, t p nghi m c a h là t p nghi m c a ph ệ ủ ệ ủ ệ ệ ệ ậ ậ ố ươ

- 1

)(

)

+ = = - - B. BÀI T PẬ 1. Giaûi phöông trình : ( 1/ a 5 x x x 6 ;0 ; b / - - x 4 x x 5 1 + + - - x x 15 2 + = + = - c / ; d 1/ ; 4 2 + + - - - - x 1 2 x 3 1 x 2 10 + x 3 2( 50 xx )( )3 x 1 x x 2 + - - - x 3 = + = e / ;0 f / ; 2 + - x 3 2( x x ) x x 2 1 2 x x

- - 1 = 4 + 2 (

)

= +

) 2

- - - / g ;

( xh /

6 x 9 7 x 4 x 3 - + - 1 x x x x x 2 4

= = + - - - - - 3 3 2. Giaûi phöông trình (trò tuyeät ñoái) : x b + 43/ ;2 a x 32/ x 6 x ;0 xc / 5 x 4 += x ;4

- + = = = - - - - - - d 4/ x 3 x 6 x 2 x ;6 xf / 5 x ;011 e / ;1 x 2 + x 3 x 4 + x 2

- x 1 - x -+ 2 x = = =+ h / ;2 g / x ; i / ;01 - - x x 2 x 2 x 5 3

3. Giaûi phöông trình (chöùa caên thöùc) :

+ = - - 5 xj / 1 x 2 ;4 k / x =+ 3 2

(

)(

)

+ = + - - - - - a / x 6 x =+ 4 4 x ; b 1/ 2 x 3 x 5 x ; c / x 4 x 3 -= x ;1

4. Giaûi phöông trình (ñaët aån phuï) : +

4 +++ = = + = - - - - - - d 3/ x 6 x 2(2 x )1 ;0 e / 21 4 x x x ;3 f / 2 x 2 - 2 x

= = + - - - - - xa / 3 x 4 ;0 b 3/ x 5 x 2 ;0 xc / 6 x =+ 9 4 x 6 x ;6

+ + = + = - - - - d (/ x )(5 x + 3)2 xx ( )3 ;0 e 2/ x 8 x 12 x 4 x ;6

+ + x 1 x 1 2 + = + = = - - - - f 3/ x 9 x 8 x 3 x ;4 g / 2 ;3 h / x 3 ; - x x 2

5. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (baäc 1) theo tham soá m :

+ = x + - - i / x -=+ 8 1 3 x ;1 j / 15 x 3 x 6

Trang 5

a/ m(x – m) = x + m – 2; b/ m2(x – 1) + m = x(3m – 2); c/ (m2 + 2)x – 2m = x – 3; d/ m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6

6. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (baäc 1 coù maãu soá) theo tham soá m :

7. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (baäc 2) theo tham soá m :

a/ (m – 1)x2 + 3x – 1 = 0; b/ x2 – 4x + m – 3 = 0; c/ mx2 + (4m + 3)x + 4m + 2 = 0

8. Cho phöông trình ax2 + bx +c = 0 coù hai nghieäm x1, x2. Ñaët S = x1 + x2; P = x1.x2

+ + - - 2( m 2 ( m )2 x = + = + a / m ;1 b / m 2 m + - x )1 2 x )(1 x 2 1

a/ Haõy tính caùc bieåu thöùc sau theo S, P :

2 x 1

2 2

3 x 1

3 2

b/ Aùp duïng : Khoâng giaûi phöông trình x2 – 2x – 15 = 0 haõy tính : _ Toång bình phöông hai nghieäm. _ Bình phöông toång hai nghieäm _ Toång laäp phöông hai nghieäm.

9. Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät thoûa :

2 = 10.

2 + x2

a/ x2 + (m – 1)x + m + 6 = 0 thoûa : x1 b/ (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 thoûa : 4(x1 + x2) = 7x1x2

10. Cho phöông trình (m + 1)x2 – (m – 1)x + m = 0

a/ Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm baèng -3, tính nghieäm coøn laïi b/ Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm gaáp ñoâi nghieäm kia, tính caùc nghieäm.

11. Ñònh m ñeå phöông trình voâ nghieäm :

a/ mx2 - (2m + 3)x + m + 3 = 0; b/ mx2 – 2(m + 1)x +m + 1 = 0

12. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm keùp :

a/ (m + 2)x2 – 2(3m – 2)x + m + 2 = 0 ; b/ x2 – (2m + 3)x + m2 = 0

13. Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät :

a/ (m – 1)x2 – 2(m + 4)x + m – 4 = 0; b/ (m – 2) x2 – 2(m + 3)x + m – 5 = 0

14. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm :

a/ (m + 3)x2 – (2m + 1)x + m – 2 = 0; b/ x2 – 2(m + 2)x + m2 + 7 = 0

15. Ñònh m ñeå phöông trình coù ñuùng moät nghieäm :

a/ mx2 – 2(m + 3)x + m = 0; b/ (m – 1)x2 – 6(m – 1)x + 2m – 3 = 0

16.Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät : 3x2 + 5x + 2m + 1 = 0

17. Gi

ả

+ + + - x ; x ; ; x x 1 1 x 1 x 1

ng trình. i các h ph ệ ươ + y 7 3 =

18. Gi

ả

= + = -= - - - (cid:236) (cid:236) (cid:236) 4 x 5,0 x 4,0 7,0 x 5 (cid:237) (cid:237) (cid:237) y = - - - y 2 6 -=+ y 3 3,0 x 2,0 y 4,0 y 4 2 x (cid:238) (cid:238) (cid:238)

=++ + = - - - (cid:236) (cid:236) (cid:236) x y 7 2 3 y 4 z 3 (cid:239) (cid:239) (cid:239) z + = x + = - - (cid:237) (cid:237) (cid:237) 3 x 2 2 5 x 5 2 i các h ph ng trình: ệ ươ = + x y z 2 3 =+ + z 2 y x 5 x 3 2 (cid:239) (cid:239) (cid:239) y + z = 7 + 5 -= z = - - - 4 x y 3 z 10 y 3 3 7 2 z 2 2 x z (cid:238) (cid:238) (cid:238)

ệ ươ

ệ

ể 9

ể

ệ

y 4 ++ y 4 ng trình sau vô nghi m, = = - (cid:236) (cid:236) x 19. Tìm giá tr c a m đ các h ph ị ủ + x 3 2 y 5 2 (cid:237) (cid:237) = - x my =+ y 2 mx 7 (cid:238) (cid:238)

= + + (cid:236) (cid:236) 5 3 2 x y (cid:237) (cid:237) - 2 y 20. Tìm các giá tr c a a và b đ các h ph ị ủ = ay =+ y x ng trình sau vô nghi m. ệ ươ ax a += b 2 1 4 3 x y (cid:238) (cid:238)

x i các h ph 21.*Gi ng trình sau: b ệ ươ ả

Trang 6

24 y + y 2

2 = y ) = y 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - x (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) = = + - + x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 4 x x 2 = xy = y 3 24 1 x ( x 3 49 84

2 +

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - 2 y - = y + x 2 3 6 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) e) f) = - x 3 xy x 2 xy = + + + + = y y 3 x (cid:0) (cid:0) + = y 4 1 0 + y x 3( ) 9 6 0 3 - = y (cid:0) x x 2 + xy 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g) h) i) + 2 = 2 + = - x 2 2 x - = y + xy 5 + y (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 = y 2 4 7

2 4 + = y x x + - = x y 5 0 2 i và bi n lu n các h ph 22.*Gi ậ ệ ả + = y 6 2 2 = +

ệ ươ (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) = - x x = y x 3 2 2 2 + y x 1 m (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 3 2 x y 3 ng trình sau: + = y m x 2 2 2 = + x x y 2

ng trình sau: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) + = y 2 + 4 + = + + = 2 + - - m y i các h ph 23.*Gi ệ ươ ả + = + xy y 11 2 2 + y x x xy xy x x y xy 2 x y 5 + + = y x y x (cid:0) (cid:0) (cid:0) + x 2( = - y ) 31 13 8

2 2

3 + + + y

3 3 x y xy

3 17 = y 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) = + (cid:0) (cid:0) = 481 (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) e) f) 13 6 + 2 + = + + y = (cid:0) x x (cid:0) x x x y + xy y (cid:0) (cid:0) 37 x y x (cid:0) 6

2 m m

24.*Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) + m 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) y x + = y i và bi n lu n các h ph ậ ả + + y 2 + - - y 1)( + y (cid:0) + x ( xy x ( + = 1) = m ) 4 x x (cid:0) (cid:0) ng trình sau: ệ ươ + + = y m x 1 2 2 = + x y xy 2 3

2 = 2 =

ng trình sau: 25.*Gi 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) = = + + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y y x x y y x (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ = xy m 2 3 2 = - m y i các h ph ệ ươ ả = + x y 2 3 + = x y 3 2 y 2 x 2 + x 2 + y 2 x 2 y 2

2 +

(cid:0) + (cid:0) (cid:0) y 2 = (cid:0) - y 3 x = + y = y 3 4 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) e) f) x 2 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - y = = x 3 4 = + x y 2 x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x y 1 y 1 x (cid:0)

2 = (3 4 ) 2 = (3 4 )

2 (3 4 ) 2 (3 4 )

y ng trình sau: ệ ệ ươ 26.*Gi 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) i và bi n lu n các h ph ậ ả = = + + = = - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y y x x y m m m m xy xy x y (cid:0) (cid:0) (cid:0) m y ( 1) m x 1) (

2 = - 2

ng trình sau: ả 27.*Gi 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) + x my 3 + y mx 3 i các h ph ệ ươ 2 = - 2 = + = - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) + xy + xy + xy + xy y x 4 2 = y (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 3 1 13 x x 3 x 2 x 3 4 2 y y 2 1 7 = xy 3 + xy 4 1

2 = 2 =

2 = y 4 2 = y 3

2 = y 4 2 = y 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) e) f) - - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy xy + xy + xy + xy xy (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 9 38 15 y 3 y 5 9 5 x 3 x 5 8 7 0 0

2 =

ệ ươ x 3 x 5 28.*Gi 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ + = - - m (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) a) c) i và bi n lu n các h ph ậ ả + + + - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) m x x xy 2 x x 2 x 4 ng trình sau: 2 = y 12 + = xy m x y (cid:0) (cid:0) (cid:0) m y xy my 1) mxy m ( 26 + xy 4 = xy 3 y 4

Luy n t p: B T Đ NG TH C VÀ B T PH NG TRÌNH ệ ậ Ứ Ấ Ẳ Ấ ƯƠ

Trang 7

Ầ ứ A. KI N TH C C N NH . Ế Ớ Ứ 1. B t đ ng th c. ấ ẳ a) Tính ch tấ : (cid:222) c a > b và b > c

a > +>+ (cid:219) ca a > b

cb +>+ (cid:222) db a > b và c > d

ca -> (cid:219) a cb a + c > b

> > (cid:236) ac bc khi c 0 (cid:219) (cid:237) a > b khi (cid:238) (cid:222) ‡ ‡ 0 < ac > cvà bc d 0 c ac < 0 > bd a > b

> (cid:222) ˛ ‡ Nnvà a b a > b

> (cid:222) a 0 b

a > b - ‡ ‡ ‡ 0 ‡> b (cid:222)> a b |,0| | x a x x | |, x | x

£ £ - (cid:219) | a x (a > 0) ‡ - £ (cid:219) x | £| x ‡| £ £ - | a a | a x b | | | a a hoăo + ba | x | a + | | | b a

b) B t đ ng th c Cô-si.

= = ‡ " (cid:219) ‡ ab ; ab a b ( ba , )0 * ứ + ba 2

= ‡ " (cid:219) ‡ abc ; abc a == b c ( cba , , )0 * ++ cba 3 ấ ẳ + ba 2 ++ cba 3

3 xy

2. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : Vôùi "

2(a + b + c) b/ a2 + b2 + a2b2 + 1 ‡

4ab

BÀI T P. Ậ 1.V ớ ằ ‡ i x, y, z tùy ý . Ch ng minh r ng: ứ 3 + yx a). x4 + y4 b) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z.

a, b, c ˛ R : a/ a2 + b2 + c2 + 3 ‡ 2 2 b

d/ a3 + b3 ‡

a2b + ab2

e/ a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ‡ g/ (a + b + c)2 £

a(b + c + d + e) f/ a2 + b2 + c2 ‡ 3(a2 + b2 + c2 ) h/ a2 + b2 + 1 ‡

ab + bc + ca ab + a + b

+ (cid:246) (cid:230) a £ (cid:247) (cid:231) ł Ł + ba 2 2

+ + + + ‡ ‡ / a ++ cba b / a c c ++ b b a a b b c c a

+ + + + ‡ ‡ c / d (/ + accbba )( )( ) 8 abc 1 ++ b + + ‡ ca b c ab )(2 1 a + ba ) 1 c 16 ab

3. Vôùi a, b, c > 0 : bc a b ca b )(2 b ab c a bc ae (/ a + + ‡ + ‡ ‡ a b abcd f/ h/ 1 a 1 b 4 + ba +++ dcba 4 b a

Trang 8

2 ba

abc8‡

l/.

+++ + ‡ ‡ 2 a m/. (a + b)(b + c)(c + a) 1 a 1 b 1 d 16 +++ dcba 1 c

)

+ ‡ k/. n/ ( b a (22 + ba ) ab 1 b 1 ‡++ c 1 b 9 ++ cba 1 a 9 + v i 0 < x < 1. 4.. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y = ị ỏ ớ ố ấ ủ - x 1 + - - ỏ ố ủ ố x 1 5 x

Ế

ng n u chúng có cùng t p nghi m. ươ ế ệ ậ < < (cid:219) x )( f ng đ ươ ng trình g i là t ọ ng đ ươ ươ xg )( 1 xg )( 2 ng trình f(x) < g(x) t xf )( 1 ng trình ng đ ng. ươ ng đ ươ ớ 2(x) < g2(x) thì ta vi ng v i f ng v i b t ph ớ ấ ươ t: ế ươ ươ

" " Dx ˛ Dx ˛ < (cid:219) )] )] [ 4 x 5.. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s sau trên TXĐ c a hàm s y = ị ấ ị ớ ầ ủ A. KI N TH C C N NH . Ứ Ớ Ầ ng trình. 2. B t ph ươ ấ a) B t ph ng trình t ươ ấ * Hai b t ph ươ ấ N u fế 1(x) < g1(x) t * B t ph ươ ấ - f(x) + h(x) < g(x) + h(x). - f(x).h(x) < g(x).h(x) n u h(x) > 0 ế - f(x).h(x) > g(x).h(x) n u h(x) < 0 ế xf ( xg ([ f(x) < g(x)

< (cid:219) )] xf ( v i f(x) > 0, g(x) > 0 ớ

[ )] ng trình b c nh t và b c hai . ([ xg ậ ậ ấ f(x) < g(x) b) B t ph ươ ấ * ax + b < 0 (1)

-< (cid:219) x i) N u a > 0 thì (1) ế

-> (cid:219) x ii) N u a < 0 thì (1) ế b a b a -< (cid:219) x b 0

ng trình vô nghi m. ệ ng trình nghi m đúng v i m i x ệ ọ ớ )0„ . Ta có : ấ ¥ - ¥+ iii) N u a = 0 thì (1) ế . b 0‡ b t ph ươ ấ . b < 0 b t ph ươ ấ * Cho nh th c b c nh t f(x) = ax + b ( a ị ứ ậ x x0

2 + bx + c (a

f(x) = ax + b trái d u v i a 0 cùng d u v i a ấ ấ ớ ớ

1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó, f(x) trái d u v i h s a v i m i x

1 < x < x2) và f(x) cùng d u v i h s a

- „ = 0 thì f(x) cùng d u v i h s a v i m i x N u ế D ớ ệ ố ấ ọ ớ b 2 a ˛ ) 0>D thì f(x) có hai nghi m xệ ớ ệ ố ấ ọ

ấ ọ ớ ệ ố v i m i x n m ngòai đ an [x ằ ớ ọ ớ 1 , x2 ] (t c là x < x ứ , x 1 x ( 1 ho c x > ặ

ng ta áp d ng: ể ệ ể ề ặ ươ ụ (cid:236) + ˛ " (cid:237) (cid:219)>+ 0 axRx , bx c N u ế (t c là x ứ x2) * Đ tìm đi u ki n đ tam th c b c hai luôn âm ho c luôn d ứ ậ > a 0

< (cid:236) 0 + ˛ " (cid:237) axRx , bx (cid:219)<+ 0 c a

* Đ gi i b t ph ể ả ấ ươ ng trình b c hai ta áp d ng đ nh lý v d u tam th c b c hai ị ứ ậ ề ấ ụ ậ

Trang 9

2. Giaûi heä baát phöông trình :

- - - - - - B. BÀI T P Ậ 1. Giaûi baát phöông trình : 1 )2 (3 3 x 1 1 4 x > - ‡ - - - a / 1 b 3/ 35 2 x 18 54 9 + - - - - 3 x 8 2 1 x x x x 12 x 3 x 1 < + £ - c / d / x 4 + x 2 3 21 4 21 5 4 3

3. Giaûi vaø bieän luaän baát phöông trình theo tham soá m :

a/ m(x – m) £

x – 1 b/ mx + 6 > 2x + 3m c/ (m + 1)x + m < 3x + 4

4. Xeùt daáu bieåu thöùc sau :

a/ f(x) = 2x – 5; f(x) = -11 – 4x; b/ f(x) = (2x + 1)(x – 5)

- (cid:236) (cid:236) 15 8 £ - (cid:236) + > + 0 x 3 > - 6 x 4 x 7 8 x 5 (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) x 2 (cid:237) (cid:237) (cid:237) a / b / c / 0 2 + 5 7 3 8 (cid:239) (cid:239) (cid:239) > - - + £ 5 ‡+ x 3 >+ 2(2 x )3 5 x 2 x 25 x 01 (cid:238) (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238) 3 4 x 2 + - - (cid:236) (cid:236) 2 3 1 3 5 4 < +< x 3 (cid:239) (cid:239) (cid:239) (cid:239) x 4 x 5 (cid:237) (cid:237) d / e / 8 3 (cid:239) (cid:239) + - ‡ 3 x -< 8 2 x 5 (cid:239) (cid:239) (cid:238) (cid:238) 5 2 x 3 x 7 + x 4

c/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 + x); d/ f(x) =

+ - )3 (

; f/ f(x) =

e/ f(x) =

10 - - 3 + - - 4 3 x x xx )( + 5 x 3 x x 2 2 x 1

- - - 2 > < £ - ‡ ;1 a b / / ;1 c / ; d / 4 + - - - - - 2 + 1 5. Giaûi baát phöông trình : 4 2 x 3 x x 2 2 5 x x 1 5 x 2 1 3 x 1 3 x 2 1

6.Giaûi phöông trình chöùa trò tuyeät doái : 4 ; b/

7. Xeùt daáu bieåu thöùc sau : =

+ = -= - - - 1 3 2 x x 27 x 35 x ++ x 2

-= + = + + - - - xfa )( / ;7 2 x 5 xfb )( / x xfc )( / x 4 x ;5 ;1

)

+ x 2 + - - 2( x x 6 x = = xfd )( / ; ; xfe )( / - - x 9 + x + 2

(

- - - x ( x 4)3 + x 6 7 9 2 x

) 1

= + = f / xf )( ;5 xfg )( / x x 3 x 2 - - x x 2 x 3 -+ x x

)( x 1 6

8. Giaûi caùc baát phöông trình sau :

+ - 1 + < + ‡ £ - - a 1(/ x )( x 5 x )6 ;0 b / x ;2 c / ; - - - x 4 2(4 1 x ) 4 x x 5 x 1

- - - 1 > + > ‡ - - d 1(3/ x ) ; e (/ x 16 x )21 36 x ; f / ; - + - 87 x + x 1 1 x x x 2 4 x x 3 3

9. Giaûi caùc heä sau :

+ - - 3 x x 1 + ‡ - - £ g / -< 1 x ; h / ;0 i 2(/ x 3)(7 x 5 x )2 0 - x 4 23 x -+ x + x x 8

Trang 10

2 (cid:236) (cid:236) (cid:236) + > + ‡ ‡ - - (cid:239) (cid:239) (cid:239) 2 x 12 x x x 11 10 x 0 6 -+ x (cid:237) (cid:237) (cid:237) 0 ; a / b / c / 0 ; (cid:239) (cid:239) (cid:239) 18 < + x < - £ - - - 3 x 20 x 7 0 x 12 x 32 x ; 0 x 4 x 0 (cid:238) (cid:238) (cid:238)

10.Ñònh m ñeå " x ˛

R, ta coù :

a/ x2 – (3m – 2)x + 2m2 – 5m – 2 > 0 b/ (m + 1)x2 – 8x + m + 1 ‡ c/ (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 £

0 0 d/ m(m + 2)x2 + 2mx + 3 < 0

11. Tìm m ñeå baát phöông trình sau voâ nghieäm :

a/ 3x2 + 2(2m – 1)x + m + 4 £

0 b/ (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 > 0

12. Giaûi baát phöông trình :

(cid:236) + < - 6 x 5 x 56 (cid:236) (cid:236) < + - ‡ - - (cid:239) (cid:239) (cid:239) 2( x )(1 x )9 ( x x )10 (cid:237) (cid:237) (cid:237) d / 0 ; e / 0 ; f / 1 (cid:239) (cid:239) + > + £ - x x 20 x x )8 ( <+ 3 x 4 0 (cid:238) (cid:239) (cid:238) 1 + - (cid:238) 1 x 8 x x 1

< > - - - - - xa / 21 x ;0 b 2/ x ‡+ 5 x ;47 c 45/ x 2 x ;1

13. Giaûi baát phöông trình :

- + < ‡ - - - d 4/ x 3 x 6 x 2 x ;6 e / 1 x 2 + x 3 x 4 + x 2

+ > - - - ‡ a / x 18 -< 2 x ; xb / 24 x ;5 c 1/ 13 3 x x ;2

< + - - - - - - e / x 3 x ‡+ 2 2 x 4 f / 32 x x x 1 ;2

b/ (x + 4)(x + 1) -

14. Gi a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 3) 15

d 5/ i b t ph ả ấ -> x x ng trình: ươ ‡ + x 5 <+ 2 6 x

- - + - ‡ - - ( x )3 x 3 £+ 4 x 9 x 4 x 6 2 x 8 x 12

Ch ươ ng V. TH NG KÊ. Ố

c g i là ữ ạ ộ ẫ ượ ọ c trên m u đ ẫ c g i là m t m u. S ph n t ẫ ố ẫ ượ ọ ầ ử ủ ộ c a m t m u đ ộ ẫ ố ệ ị ề ị ủ ấ ị ệ ủ c g i là m t m u s li u. ị A. KI N TH C C N NH . Ầ Ế Ớ Ứ 1. M t s ki n th c c b n. ứ ơ ả ộ ố ế * M t t p con h u h n các đ n v đi u tra đ ộ ậ ượ ọ ơ kích th c m u. Dãy các giá tr c a d u hi u thu đ ệ ượ ướ * S l n xu t hi n c a m i giá tr trong m u s li u đ ỗ ố ầ ẫ ố ệ ượ ọ ấ i là t s gi a t n s n * T n su t f ầ ỉ ố ữ ầ ố i và kích th ấ i c a giá tr x ủ ị c g i là t n s c a giá tr đó. ầ ố ủ c m u N. ướ ẫ

i +

= 1 xn mm

= 1

ni fi = n t kê t n s và t n su t c a đ n vi đi u tra thành b ng, ta đ i ta có th li ề ả ườ ầ ố ấ ủ ơ ượ ả ố ầ c b ng phân b t n ượ ả c b ng phân b t n s t n su t ghép l p. ớ ố ầ ố ầ ầ ớ ấ ế ư + + + x x * Ng ể ệ s , t n su t. N u b ng đó có chia l p, ta đ ấ ả ố ầ 2. Các s đ c tr ng. ố ặ x 1 = = x hay x x . (cid:229) * S trung bình : ố ........ N + 1 N .. xn 11 = = x (cid:229) Đ i v i b ng phân b t n s ta có: ố ớ ả ố ầ ố xn i .......... N 1 N

Trang 11

ố s ta có m t m u g m N s li u đ c s p x p theo th t ẫ ố ệ ồ ị Gi ả ử ẫ ố ố ệ ượ ắ ứ ự ế ộ không gi m. N u N là m t ế ả

thì s li u đ ng th ứ ố ệ ứ s l ố ẽ ấ ( s li u đ ng chính gi a) g i là s trung v . N u N là s ch n, ta l y ố ố ệ ứ ố ẳ ị ế ữ ọ S trung bình dùng làm đ i di n cho m u s li u. ệ ạ * S trung v : ộ 1+N 2

và 1 làm s trung v . S trung v đ s trung bình c ng c a hai s li u đ ng th ứ ủ ố ố ệ ứ ộ ị ố ị ượ ố c kí hi u là m. ệ N 2 +N 2 i d ng b ng phân b t n s . Giá tr có t n s l n nh t đ c g i là ầ ố ớ ố ầ ố ấ ượ ọ ả ị

1, x2, ……xN }. Ph

Đ đo m c đ bi n đ ng, chênh l ch gi a các giá tri c a d u hi u, ng ệ ứ ộ ế ủ ấ ữ ệ ườ ộ i ta đ a ra m t ư ố ủ ươ ng sai: ọ c N là { x ng sai c a m u s li u này, kí hi u là ươ ẫ ố ệ ủ ệ ướ ộ ở

* M t:ố Cho m t m u s li u d ẫ ố ệ ướ ạ ộ o. m t c a m u s li u và kí hi u là m ệ ẫ ố ệ * Ph ộ ể ng sai. ch tiêu g i là ph ỉ ươ s có m t m u s li u kích th Gi ẫ ố ệ ả ử s2, đ c tính b i công th c sau: ứ ượ ( N

)

= 1

= - s x x (cid:229) ẫ ố ệ ủ ố trong đó x là s trung bình c a m u s li u. 1 N

Hay

2 i

(cid:246) (cid:230) = - (cid:247) (cid:231) s x x (cid:229) (cid:229) ł Ł

= 1 ộ ệ )

* Đ l ch chu n: ộ ệ ẩ Căn b c hai c a ph ậ ủ ươ ệ

= 1

= - x x s (cid:229) 1 1 N N = 1 i c g i là đ l ch chu n, kí hi u là s. Ta có: ng sai đ ượ ọ ẩ ( N 1 N

2 i

= 1

(cid:246) (cid:230) = - (cid:247) (cid:231) s (cid:229) (cid:229) xn i xn i ł Ł 1 N 1 2 N

B. BÀI T PẬ

ả ố ệ ờ ộ ả ị ơ

1. Cho các s li u ghi trong b ng sau Th i gian hoàn thành m t s n ph m ẩ ở ộ 42 45 45 50 48 42 45 45 54 48 42 45 45 50 48 42 45 45 54 48 m t nhóm công nhân (đ n v :phút) 44 45 45 48 50 44 45 45 50 48 44 45 45 48 50 44 45 45 48 50 44 45 45 50 48 45 45 54 48 50

ậ ấ ố ầ 45 phút ữ c kh o sát ,nh ng công nhân có th i gian hoàn thành m t s n ph m t ờ ộ ả ả ẩ ừ ầ c li ề đ n 50 phút chi m bao nhiêu ph n trăm? ế 2. Chi u cao c a 30 h c sinh l p 10 đ ượ ở ả ọ ị

a/Hãy l p b ng phân b t n s ,b ng phân b t n su t. ố ầ ố ả ả b/Trong 50 công nhân đ ượ ế ủ 145 150 147 148 t kê ệ 161 165 173 158 ớ 158 160 170 148 b ng sau (đ n v cm): ơ 152 155 159 155 152 155 162 149 167 164 156 152

Trang 12

163 150

150 ố ầ ấ ớ ớ ng g p khúc t n su t ấ ấ ầ ộ 152 ậ ẽ ể ươ c r ng đi m ki m tra h c kì có th làm h c sinh l p 10A (quy ớ ộ ổ ọ ướ ằ ể ể ọ ể c li 160 171 a) Hãy l p b ng phân b t n su t ghép l p v i các l p là: [145; 155); [155; 165); [165; 175]. ớ ả b) V bi u đ t n s , t n su t hình c t, đ ấ ồ ầ ố ầ ườ ng sai và đ l ch chu n c) Ph ẩ ộ ệ 3. Đi m thi h c kì II môn Toán c a m t t ể ủ ọ t kê nh sau: tròn đ n 0,5 đi m) đ ư ế ệ ượ

ể 2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10. ủ ữ ố ậ ỉ ấ ế ộ ể ố ị ủ a) Tính đi m trung bình c a 10 h c sinh đó (ch l y đ n m t ch s th p phân sau khi đã làm tròn). b) Tính s trung v c a dãy s li u trên. 4. Cho các s li u th ng kê ghi trong b ng sau : ọ ố ệ ả ố ệ ố

6.3 6.2 6.5 6.8 6.9 8.2 8.6 6.6 6.7 7.0 7.1

8.5 7.4 7.3 7.2 7.1 7.0 8.4 8.1 7.1 7.3 7.5

8.7 7.6 7.7 7.8 7.5 7.7 7.8 7.2 7.5 8.3 7.6

Thành tích ch y 500m c a h c sinh l p 10A ng THPT C. ( đ n v : giây ) ủ ọ ạ ớ tr ờ ườ ơ ị

a). L p b ng phân b t n s , t n su t ghép l p v i các l p : ố ầ ố ầ ậ ả ấ ớ ớ ớ

[ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]

ng g p khúc v thành tích ch y c a h c sinh. b). V bi u đ t n s hình c t, đ ồ ầ ố ẽ ể ộ ườ ạ ủ ọ ề ấ

c). Tính s trung bình c ng, ph ố ộ ươ ng sai, đ l ch chu n c a b ng phân b . ố ẩ ủ ả ộ ệ

5. S l ng khách đ n tham quan m t đi m du l ch trong 12 tháng đ c th ng kê nh b ng sau: ố ượ ế ể ộ ị ượ ư ở ả ố

c ch n ng u nhiên

ề

ằ

ổ

ượ

ẫ

ọ

ề

1 430 6 515 5 550 8 110 9 520 10 430 11 550 12 880 4 520 ấ ố 7 3 Tháng 2 550 S khách 550 430 ố a). L p b ng phân b t n s , t n su t và tìm s trung bình ố ầ ố ầ ậ ả b). Tìm m t, s trung v , ph ươ ố ố ng sai, đ l ch chu n. ộ ệ ẩ ị

6. Đi u tra v chi u cao c a 36 h c sinh trung h c ph thông (Tính b ng cm) đ ng

ề

ớ

ủ ọ ề i đi u tra viên thu đ c b ng phân b t n s ghép l p sau ố ầ ố ượ ả ườ L p chi u cao ề [160; 162] [163; 165] [166; 168] [169; 171] c ngộ

T n sầ ố 8 14 8 6 N = 36 ể

ổ

ả

ấ

ị

ả ng sai c a m u s li u trên ( ẫ ố ệ ọ

ượ ủ ươ t ề ố ờ ự ọ ủ

ườ

ộ

ở

c b ng phân b t n s , t n su t ghép l p ố ầ ố ầ ớ ) l y g n đúng m t ch s th p phân ữ ố ậ ấ ầ ọ i đi u tra ch n ớ ề nhà trong 10 ngày. t s gi

ớ

c trình bày d

ộ h c c a h c sinh l p 10 nhà.Ng h c t ế ố ờ ự ọ ở ị ả

i d ng b ng phân b t n s ghép l p sau đây ố ầ ố

ớ

a. B sung vào b ng phân b trên đ đ ố b. Tính giá tr trung bình và ph 7. Ti n hành m t cu c thăm dò v s gi ế ộ ng u nhiên 50 h c sinh l p 10 và đ ngh các em cho bi ề ọ ẫ M u s li u đ ướ ạ ượ ẫ ố ệ T n sầ ố

L p ớ

Trang 13

5 9 15 10 9 2 N = 50

[0; 10) [10; 20) [20; 30) [30; 40) [40; 50) [50; 60] C ngộ

ấ

ố ầ ố ầ

(L y g n đúng 3 ch s th p phân).

ng sai c a m u s li u trên

ủ

ươ ồ ể ố ầ ố

ữ ố ậ ấ ộ ổ ứ

ả ả ứ ng (g) Kh i l

a)L p b ng phân b t n s , t n su t ghép l p. ớ ả ậ b) Tính ph ấ ầ ẫ ố ệ c)V hai bi u đ hình c t bi u di n phân b t n s , t n su t. ố ầ ố ầ ộ ễ ễ ẽ 8. Cho b ng phân b t n s kh i l ng 30 qu tr ng gà c a m t r tr ng gà : ủ ố ượ T n sầ ố ố ượ 3 25 5 30 7 35 9 40 4 45 2 50 30 C ngộ

ố ầ ồ ầ ố ườ ng g p khúc t n s và bi u đ t n su t hình qu t. ể ồ ầ ạ ấ ấ ố ủ a)L p b ng phân b t n su t. ậ ả ấ b)V bi u đ t n s hình c t, đ ầ ố ộ ẽ ể c)Tìm s trung bình c ng, s trung v , m t c a m u s li u ẫ ố ệ ố ố d)Tính ph ng sai và đ l ch chu n c a m u s li u. ị ẩ ủ ộ ộ ệ ẫ ố ệ ươ

Trang 14

ọ

ượ

9.Ch n 23 h c sinh và ghi c gi y c a các em ta đ 44 41

40 39

40 43

39 41

c m u s li u sau: ẫ ố ệ 41 42

43 39

42 41

38 41

ỡ ầ ủ 41 43 40 42 ố ầ ố

ậ

ầ

ấ

a. L p b ng phân b t n s và t n su t. b. Tính s trung v và s m t c a m u s li u(

)

ị

ấ ầ

ộ

ố ố ủ ạ ủ

ẫ ố ệ l y g n đúng m t ch s th p phân ế

ữ ố ậ ạ K t qu cho trong 2 b ng sau:

41 42 ả ố ộ ể

i b n 30 viên đ n. ườ ắ ả ả ắ ỗ ộ 10.Trong m t cu c thi b n có 2 x th , m i ng Đi m s c a x th A ố ủ ạ ủ

6 10 10 10 8 10 9 5 8 8 10 5 10 10 9 8 10 6 8 9 10 9 9 9 9 9 7 8 6 8

Đi m s c a x th B ố ủ ạ ủ ể

6 9 9 9 8 8 5 9 10 10 9 6 7 8 10 9 9 10 10 10 7 7 8 8 8 8 7 10 9 9

ươ ng sai và đ l ch chu n c a các s li u th ng kê cho trong hai b ng trên. ố ệ ẩ ủ ả ố b. Xét xem x th nào b n gi a. Tính s trung bình, ph ố ạ ủ ắ ộ ệ i h n? ỏ ơ

NG GIÁC. CÔNG TH C L NG GIÁC ngươ VI. CUNG VÀ GÓC L ƯỢ Ứ ƯỢ Ế Ch A. KI N TH C C N NH . Ớ Ứ 1. Góc và cung l Ầ ng giác. ượ

* Cung tròn có s đo b ng s đo c a đ ng tròn g i là 1 đ và kí hi u ố ằ ố ủ ườ ọ ộ ệ : 10. Cung tròn có đ dàiộ

ọ ng giác là góc đ ng, chi u âm và đ 1 360 ố c g n v i đ ượ ắ t là cung 1 radian. ượ ề ươ ớ ườ ề ộ + a a ạ a a , hòanh b ng bán kính g ilà cung có s đo 1 radian, g i t ằ * Góc l ượ l n tùy ý. Hai góc l ớ ng tròn l * Cho đ ườ p 2k . ộ ủ ố ọ

ươ ươ a a a a cos tan g i là côtang g i là tang , kí hi uệ : , t s ỉ ố , t s ỉ ố ọ ọ , kí hi uệ : ọ a a ọ ắ ng giác có nghĩa là có chi u d ng tròn l và ng giác có chung tia đ u và tia cu i có d ng ầ ố có tia cu i là OM. Khi đó tung đ c a M g i là sin ng giác g c A, góc ố sin cos a cos a sin

a a a a + = + = £ £ - sin 1 a cos( p )2 a sin( p )2 , ; k 1 sin cos cos đ c a M g i là ộ ủ cota Ta có : ;

a a a a a a = = + + = + = . 1; sin tan cot cot cos 1;1 tan;1 a 1 2 sin a t. ặ ủ ữ ị ượ ố ố ị ằ ố ị p ằ ố ị ằ ng giác .

a b –

– – a  sin b sin b sin a cos cos b cos a – = b – a tan( ) b b a k 1 2 cos 2. Giá tr l ng giác c a nh ng góc có liên quan đ c bi ệ * Hai góc đ i nhau thì có cosin b ng nhau còn các giá tr khác đ i nhau. ằ * Hai góc bù nhau thì có sin b ng nhau còn các giá tr khác đ i nhau. thì có sin và cosin đ i nhau còn các giá tr khác b ng nhau. * Hai góc h n kém nhau ơ * Hai góc ph nhau thì có cosin góc này b ng sin góc kia, tan góc này b ng cot góc kia. ằ ụ 3. Công th c l ứ ươ * Công th c c ng. ứ ộ = a b cos( ) cos = a b a sin sin( ) tan  1 tan tan tan

-= a = a - - sin21 2 cos 1 sin a a = 2 2 = a * Công th c nhân đôi. ứ a cos cos sìn sin2 cos a = tan a 2 a -

- a 2 1 a 2 = a a = cos ; sin a 2 a tan2 1 tan * Công th c h b c. ứ ạ ậ + 1 cos 2 cos 2 ứ

+ + = b b a b - * Công th c bi n đ i t ng thành tích. ế ổ ổ ]) [ a cos( a cos( cos cos )

])

b = b + b a - - sin sin a cos( ) a cos(

[

])

b = b + + b a - sin cos a sin( a sin( ) 1 2 1 [ 2 1 2 ứ + + - - * Công th c bi n đ i t ng thành tích. ế ổ ổ x y y x x y x y + = -= - cos x cos y 2 cos cos ; cos x cos y sin2 sin

+ - - 2 + y x x 2 y 2 y x 2 y x + = = - sin x sin y sin2 ; sin x sin y 2 cos cos sin 2 2 2 2

B. BÀI T P.Ậ

p < a < p 1. a) Cho sinα = ; và .Cho Tính cosα, tanα, cotα. 3 5 2

p < a < b) Cho tanα = 2 và Tính sinα, cosα. 3p 2 p a a a < a < p - 2. a) Cho cosα = ; và a . Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2 12 13 2 p a a a a< < b) Cho cotα = 2 và 0 a . Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2 . 4

a a = - sin a cos c) Cho a . Tính sin 2 , cos 2 .

4. Không s d ng máy tính hãy tính

a 1 5 p < a < p - a , cos a , tan a , cot 3. a) Cho sinα = ; và . Tính sin . 2 2 2 a < a < p 2 2 a , cos a , tan a , cot b) Cho cos α = và . Tính sin . 2 2 2 2 2 p 3 2 5 9 5 13

0 )tan105

ử ụ 0 )sin75 p

- b c a

0 )cos( 15 ) p 23 )sin 4

ứ

f d e c ) os )sin p 22 3 12

- = = a A ) b B ) + 2sin 2 2sin 2 a a sin 4 sin 4 a a

5:Rút g n các bi u th c: ọ ể c os2a-cos4a + a a sin 4 sin 2 p

( + +

)

p + - - sin a a - sin 4 = = c C ) d D ) 4 p p a c 2 os4 a sin 3 a - - - sin a a 4 4 � � � � c os � � � � � � � � � � � � c os � � � � � � � � ứ a = + 6. Ch ng minh r ng: ằ ) ( + a ) 1 tan a a 3 sin a 1 tan a cos a sin cos

a + - - sin 1 = = a c ) a 6 tan b ) sin a 2 2 cos a 2 - a sin a 2 cos a tan a cot

)

(

) 2 =

( ) cot

a = - cot + a a - - - a ) cos 4 e sin 4 a 1 2sin 2 a tan d a cot tan 4

+ 3 a - - = = - g 1 a a sin cos f ) a + a a + 1 1 cos cos a a 2 sin cos + a 1 2sin cos a 2 - 4sin a = - = k ) cot a tan a tan a 2 16 cos h ) a a - - a sin ) a sin + a 1 cos 1 cos sin a sin 2 2 - 1 cos

= a l ) tan 2 + a sin +

a cos 7. Ch ng minh r ng trong tam giác ABC ta có: a sin 2 + a 1 cos 2 ằ ứ

(

)

= a )sin + A B sin C b ) sin cos C 2 +� � A B = � � 2 � �

8. Tính giá tr c a các bi u th c sau: ị ủ ứ ể

0 2 2 sin 45

0 cos 60 cot 30 0

(

)

- - 3 tan 30 = a P ) 6 sin 90 .cos 45 sin 60 p - 2 tan p sin p cos p 3cot p 4 + 6 4 = = - b Q ) c R ) 3 cot sin p cos 2 6 3 p 2 3 6 + - p 5 tan 2sin 6 cos 5 6 p 2 3 ứ ằ 6 p 3 4 9. Ch ng minh r ng: p p a a a a = - - a ) cos x cos a cos 3 a b Sin 5 ) 2sin + a cos 4 a cos 2 sin 1 4 3 + 3

ấ

= = c ) d ) a tan 3 a a + + + + 13 6 sin cos a sin 3 a cos 3 a sin 5 a cos 5 + - = a tan e ) + a 3 4 cos 2 a 3 4 cos 2 � � � � = cos � � � � � � � � 0 sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 60 sin 70 0 cos10 cos 50 a cos 4 a + cos 4 ồ

10.Ch ng minh các đ ng nh t th c ứ

ứ

+ sinx sin - x 2 = = a b ) cotx ) tan - + x 1 cos x sin2 x c os2 sinx x 2 + + x c 1 cos ox

2 tan

p - - = - - c d x ) = y )tanx tan + c c x 2 y x ) sin( y x cos .cos

ng giác sau: ẳ

sin x - cos x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx) � � x sin4 � � x 4 sin4 � � 11. Ch ng minh đ ng th c l ứ ượ a) x 2 os2 x 2 os2 ứ sin x + cos x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx) b)

(1 - sinx)(1 + sinx) = sin x.cot x c)

2 cos x

= - 1 + sin x tan x e) = f) cos x + sin x = 1 - 2 sin x.cos x d) sin x.cotx cosx 1 2 cos x