intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Thể tích hình chóp - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST
Báo xấu
275
lượt xem 83
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Thể tích hình chóp. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Thể tích hình chóp - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P1 Th y ng Vi t Hùng D NG 1. KH I CHÓP CÓ C NH BÊN VUÔNG GÓC V I ÁY Ví d 1: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và B v i AD = 3a; BC = a ; AB = 2a . C nh bên SA vuông góc v i áy. Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD bi t a) Góc gi a SC và áy b ng 600. b) Góc gi a SB và áy b ng 300. a c) kho ng cách t B t i m t ph ng (SCD) b ng . 2 d) kho ng cách gi a hai ư ng th ng AB và SD b ng 2a. Ví d 2: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình bình hành v i AB = a; AD = 2a; BAD = 600 . C nh bên SC vuông góc v i áy, góc gi a SA và áy b ng 450. Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai ư ng th ng SA và BD. Ví d 3: Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác u c nh a, I là trung i m c a BC. G i D là i m i x ng c a A qua I, SD vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i K là hình chi u vuông góc c a I lên SA, bi t a IK = . Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách t D n m t ph ng (SBC) theo a. 2 BÀI T P T LUY N: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân t i A, BC = 2a 3; BAC = 1200 , c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng áy và SA = 2a. Tính th tích kh i chóp S.ABC và d(A, (SBC)) Bài 2: (Trích thi T t nghi p THPT 2009) Cho hình chóp S.ABC có m t bên SBC là tam giác u c nh a, c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng áy. Bi t góc BAC = 1200 , tính th tích c a kh i chóp S.ABC theo a và d(A,(SBC)) Bài 3: (Trích thi T t nghi p THPT 2010) Cho hình chóp S.ABCD có c nh áy a, c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng áy, góc gi a mp(SBD) và m t ph ng áy b ng 600 .Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. Bài 4: (Trích thi T t nghi p THPT 2011) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D v i AD = CD = a ; AB = 3a . C nh bên SA vuông góc v i áy và c nh bên SC t o v i m t áy m t góc b ng 450 . Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD theo a. Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân t i B v i BA = BC = a, SA ⊥ (ABC) và SB h p v i (SAB) m t góc 300. Tính th tích hình chóp ã cho. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! https://www.facebook.com/LyHung95
  2. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian a3 2 /s: V = . 6 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân t i B v i AC = a, bi t SA ⊥ (ABC) và SB h p v i áy m t góc 600. a) Ch ng minh các m t bên c a kh i chóp là tam giác vuông. b) Tính th tích kh i chóp S.ABC. a3 6 /s: V = . 24 Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác u c nh a bi t SA ⊥ (ABC) và (SBC) h p v i (ABC) m t góc 600. Tính th tích kh i chóp S.ABC. a3 3 /s: V = 8 Bài 7: Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D. Bi t AD = AB = a, CD = 2a, c nh bên SD vuông góc v i m t ph ng áy và SD = a. Tính th t di n SABC theo a. a3 /s: VSABC = . 6 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD), áy ABCD là hình thang cân áy l n AD = 2a, AB = BC = CD = a, kho ng cách t A n m t ph ng (SCD) b ng a 2 . Tính th tích c a kh i chóp ã cho. 3 2a 3 /s: VABCD = . 4 Bài 9: Cho hình t diên ABCD có BCD là tam giác u c nh a. G i O là trung i m c a BD, E là i m i 3a x ng c a C qua O. Bi t AE vuông góc v i m t ph ng (ABD) và kho ng cách t AE n BD b ng . Tính 4 th tích c a kh i t di n ABCD. a3 3 /s: VABCD = . 32 Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t; SA ⊥ (ABCD); AB = SA = 1; AD = 2 . G i M, N l n lư t là trung i m c a AD và SC; I là giao i m c a BM và AC. Tính th tích kh i t di n ANIB. 2 /s: VAINB = 36 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! https://www.facebook.com/LyHung95
  3. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P2 Th y ng Vi t Hùng D NG 1. KH I CHÓP CÓ C NH BÊN VUÔNG GÓC V I ÁY (ti p theo) Ví d 1: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi tâm O. G i M là trung i m c a SC. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai ư ng th ng SA và BM bi t SO = 2a 2; AC = 4a; AB = 5a. Ví d 2: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là n a l c giác u c nh a, áy l n là AD = 2a và SA vuông góc v i áy. Bi t kho ng cách t A n m t ph ng (SCD) b ng a 2. G i I là trung i m c a AD. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và kho ng cách gi a hai ư ng th ng BI và SC theo a. Ví d 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, BAD = 900 , c nh SA = a 2 và SA vuông góc v i áy, tam giác SCD vuông t i C. G i H là hình chi u c a A trên SB. Tính th tích c a t di n SBCD và kho ng cách t i mH n m t ph ng (SCD). Ví d 4: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi c nh a, BAD = 600 , SA vuông góc m t ph ng (ABCD), SA = a. G i C′ là trung i m c a SC. M t ph ng (P) i qua AC′ và song v i BD, c t các c nh SB, SD c a hình chóp l n lư t t i B′, D′. Tính th tích c a kh i chóp S.AB′C′D′. Hư ng d n gi i: SC Ta có ∆SAC vuông t i A ⇒ SC = SA2 + AC 2 = 2a ⇒ AC′ = = a ⇒ ∆SAC′ u Vì (P) ch a AC′ và (P) // BD ⇒ 2 B′D′ // BD. G i O là tâm hình thoi ABCD và I là giao i m c a AC′ và B′D′ ⇒ I là tr ng tâm c a ∆SBD. Do ó: 2 2 B′ D′ = BD = a . 3 3 M t khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ D′B′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′ 1 a2 Do ó: SAB'C'D' = AC ′ .B′ D′ = . 2 3 a 3 ư ng cao h c a kh i chóp S.AB′C′D′ chính là ư ng cao c a tam giác u SAC′ ⇒ h = . V y th tích c a kh i 2 1 a3 3 chóp S. AB′C′D′ là V = h.S AB ' C ' D ' = . 3 18 BÀI T P T LUY N: Bài 1: (Kh i A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c ch a. G i M, N l n lư t là trung i m c a các c nh AB và AD, H là giao i m c a CN và DM. Bi t SH vuông góc (ABCD) và SH = a 3. Tính th tích c a kh i chóp SCDNM và kho ng cách gi a hai ư ng th ng DM và SC theo a. 5 3a 3 2 3a /s: V = ;d = . 14 19 Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, áy ABC là tam giác vuông t i B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc v i m t ph ng (ABC), SA = 2a. G i M, N l n lư t là hình chi u vuông góc c a i m A trên các c nh SB và SC. Tính th tích c a kh i chóp A.BCNM. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! https://www.facebook.com/LyHung95
  4. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian a3 3 /s: V = 5 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là m t hình vuông tâm O. Các m t bên (SAB) và (SAD) vuông góc v i áy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2. G i H, K l n lư t là hình chi u c a A trên SB, SD. Tính th tích kh i chóp O.AHK theo a. a3 2 /s: V = 27 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. SA ⊥ (ABCD) và SA = a. G i M, N l n lư t là trung i m AD và SC. Tính th tích t di n BDMN và kho ng cách t D n mp(BMN). a3 a 6 /s: VBMND = ;d = . 24 6 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i áy, SA = a. G i M, N l n lư t là trung i m c a SB, SD, I là giao i m c a SC và (AMN). Ch ng minh r ng SC vuông góc v i AI và tính th tích kh i t di n MBAI. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, BAD = ABC = 90 0 , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc v i áy ABCD, SA = 2a. G i M, N l n lư t là trung i m các c nh SA, SD. Ch ng minh BCNM là hình ch nh t. Tính th tích kh i chóp S.BCNM theo a. a3 /s: VBMND = 3 Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có m t áy (ABC) là tam giác u c nh a. Chân ư ng vuông góc h t S xu ng m t ph ng (ABC) là m t i m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai ư ng th ng BC và SA bi t SA=a và SA t o v i m t ph ng áy m t góc b ng 300. a 3 /s: d = . 4 S G i chân ư ng vuông góc h t S xu ng BC là H. Xét ∆SHA(vuông t i H) a 3 AH = SA cos 300 = 2 K a 3 Mà ∆ABC u c nh a, mà c nh AH = 2 A => H là trung i m c a c nh BC C => AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH) T H h ư ng vuông góc xu ng SA t i K H => HK là kho ng cách gi a BC và SA AH a 3 => HK = AH sin 300 = = B 2 4 a 3 V y kho ng cách gi a hai ư ng th ng BC và SA b ng 4 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! https://www.facebook.com/LyHung95
  5. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P3 Th y ng Vi t Hùng DANG 2. KH I CHÓP CÓ M T BÊN VUÔNG GÓC V I ÁY Ví d 1: Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác u c nh a. G i I là m t i m trên c nh BC sao cho 2 IB + IC = 0 . Hình chi u vuông góc c a nh S lên m t ph ng (ABC) là trung i m H c a AI. Tính th tích khói chóp S.ABC bi t a) góc gi a SC và m t ph ng (ABC) b ng 600 a 3 b) kho ng cách t A t i (SBC) b ng . 6 Ví d 2: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi c nh tâm O, bi t AC = 2a; BD = 2a 3. Hình chi u c a nh S lên m t ph ng (ABCD) là trung i m H c a OB. Tính th tích khói chóp S.ABCD bi t a) góc gi a SD và m t ph ng (ABCD) b ng 600 b) góc gi a (SCD) và m t ph ng (ABCD) b ng 450 a 2 c) kho ng cách t A t i (SBC) b ng . 4 a 3 d) kho ng cách gi a hai ư ng th ng CD và SB b ng . 4 Ví d 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang cân có hai áy AD và BC. M t ph ng SAD vuông góc v i m t áy c a hình chóp, cho bi t AB = BC = CD = a, SA = SD = AD = 2a. a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD. b) Tính th tích kh i chóp S.ABC. L i gi i a) K SH vuông góc AD do (SAD)⊥(ABCD) nên SH⊥(ABCD) v y SH là ư ng cao c a S kh i chóp. M t khác SA = SD = AD nên H là trung i m c a AD và SH = . N i HB, HC t giác ABCH là hình bình hành do AH song song và b ng BC ta l i có AB = BC nên AHBC là hình thoi v y AB=HC=a hay tam giác HCD u H D A V y ABCD là n a l c giác u. B C . b) Kh i chóp S.ABC có chi u cao SH và di n tích tam giác ABC b ng v i di n tích tam giác ABH và b ng Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! https://www.facebook.com/LyHung95
  6. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian V y . BÀI T P T LUY N: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông có c nh a, m t bên SAB là tam giác u và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy ABCD. a) Ch ng minh r ng chân ư ng cao kh i chóp trùng v i trung i m c a c nh AB. b) Tính th tích kh i chóp S.ABCD. a3 3 /s: V = . 6 Bài 2: Cho t di n ABCD có ABC là tam giác u, BCD là tam giác vuông cân t i D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD h p v i (BCD) m t góc 600. Tính th tích t di n ABCD. a3 3 /s: V = . 9 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, ∆SAB u c nh a và n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABCD). Bi t r ng (SAC) h p v i (ABCD) m t góc 300. Tính th tích kh i chóp S.ABCD. a3 3 /s: V = . 4 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình ch nh t có AB = 2a, BC = 4a, (SAB) ⊥ (ABCD), hai m t bên (SBC) và (SAD) cùng h p v i áy ABCD m t góc 300. Tính th tích kh i chóp S.ABCD. 8a 3 3 /s: V = . 9 Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c nh a, SA ⊥ (ABCD), góc gi a (SBC) và m t áy 1 là 300, g i M thu c SA sao cho SM = SA. 3 a) Ch ng minh r ng BD ⊥ (SAC). b) Tính th tích c a S.ABCD theo a. c) Tính th tích c a kh i chóp SMBD theo a. Bài 6: (Kh i B – 2008) Hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh 2a; SA = a; SB = a 3 và (SAB) vuông (ABCD). G i M, N l n lư t là trung i m c a các c nh AB, BC. Tính th tích kh i chóp S.BMDN và tính cosin c a góc gi a hai ư ng th ng SM, DN. Bài 7: (Kh i A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân t i B, AB = BC = 2a, hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M là trung i m c a AB, m t ph ng qua SM và song song v i BC, c t AC t i N. Bi t góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng 600. Tính th tích kh i chóp S.BCNM và kho ng cách gi a hai ư ng th ng AB và SN theo a. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! https://www.facebook.com/LyHung95
  7. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian 2a 39 /s: V = a 3 3; d = . 13 Bài 8: (Kh i A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 600. G i I là trung i m c a c nh AD. Bi t hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i (ABCD), tính th tích kh i chóp SABCD theo a. 3a 3 15 /s: V = . 5 Bài 9: Cho hình chóp S. ABC có áy là tam giác ABC u c nh a, tam giác SAC cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABC). Tính VS.ABC trong các trư ng h p: a) SB = a 3. b) SB t o v i m t áy m t góc 300. Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, AB = 2AD = 2a. Tam giác SAD cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABCD). Tính VS . ABCD bi t SB t o vơi áy m t góc 300. Bài 11: (Kh i A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác u và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy. G i M, N, P l n lư t là trung i m c a các c nh SB, BC, CD. Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CMNP. Hư ng d n gi i: S S M M A B A B T H H N N D P C D P C  BP ⊥ (SHC ) T là trung i m c a HB thì MT ⊥ ( ABCD ) Ch ng minh  ⇒ BP ⊥ ( AMN ) (SHC ) //( AMN ) 1 a3 3 VCMNP = MT .S ∆CNP = ⇒ BP ⊥ AM 3 96 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình ch nh t, AB = a 3, AD = a, ( SAC ) ⊥ ( ABCD), SA = a tam giác SAC vuông t i S. Tính VS . ABCD . Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông c nh a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) , tam giác SAB cân t i S, M là trung i m c a CD, m t ph ng (SBM) t o v i m t áy (ABCD) góc 600 . Tính VS . ABCD . Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! https://www.facebook.com/LyHung95
  8. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P4 Th y ng Vi t Hùng DANG 2. KH I CHÓP CÓ M T BÊN VUÔNG GÓC V I ÁY (ti p theo) Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB = 2a; AD = a. Trên c nh AB l y i m a M sao cho AM = , gi s AC ∩ MD = H . Bi t SH ⊥ ( ABCD ) và SH = a. Tính th tích kh i chóp S.HCD 2 và kho ng cách gi a hai ư ng th ng SD và AC theo a. Ví d 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A, B v i BC là áy nh , tam giác SAB u c nh 2a và n m trong m t ph ng vuông góc v i áy, bi t SC = a 5 và kho ng cách t D t i m t ph ng (SHC) b ng 2a 2 (v i H là trung i m c a AB). Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành và AD =a, AB = 2a ( a > 0 ), BAD = 600 , ∆SBD u, ∆SAC cân t i S. Tính th tích c a kh i chóp SABCD và tính kho ng cách gi a hai ư ng th ng AB và SC. Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD áy ABCD là hình thang áy l n AB = 2a, tam giác ACB vuông t i C, các tam giác SAC và SBD là các tam giác u c nh b ng a 3. Tính th tích c a hình chóp S.ABCD theo a. Hư ng d n gi i: Vì tam giác SAC và SBD u c nh a 3 nên AC = BD hay t giác ABCD là hình thang cân. L i có góc ACB vuông nên hình thang ABCD n i ti p ư ng tròn ư ng kính AB G i H là trung i m AB khi ó SH vuông góc (ABCD) hay SH là ư ng cao c a hình chóp. Ta có BC = 4a 2 − 3a 2 = a nên SH = SB 2 − HB 2 = a 2 S 3 3a 2 L i có S ABCD = (do ABCD là n a l c giác u) 4 1 3 3a 2 a3 6 V y VS . ABCD = . .a 2 = ( vtt) A H B 3 4 4 D C BÀI T P T LUY N: Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi v i AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân t i S, ∆SAD n m trong m t ph ng vuông góc v i ABCD. Tính th tích kh i chóp SABCD theo a. a3 5 /s: V = 12 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  9. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi; hai ư ng chéo AC = 2a 3; BD = 2a và c t nhau t i O; hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Bi t kho ng cách t i mO a 3 n m t ph ng (SAB) b ng . Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. 4 a3 3 /s: VS . ABCD = 3 a Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình bình hành, BC = và ABC = 1200 . M t bên SAB là 2 tam giác u c nh a; góc gi a m t bên (SCD) và m t áy b ng α. Bi t hình chi u vuông góc c a S trên m t 1 áy n m trong hình bình hành ABCD và cos α = , tính th tích kh i chóp SABCD theo a. 2 2 Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình bình hành SA = SB = AB = 2CD = 2a, BAD = 1200 , g i 3 H là trung i m AB , K là hình chi u c a H lên (SCD), K n m trong tam giác SCD, bi t HK = a . Hãy tính 5 th tích kh i chóp S.ABCD. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD áy là hình vuông c ch a, m t bên SAB là tam giác u và n m trong mp vuông góc v i áy. G i E, F l n lư t là tr ng tâm các tam giác ABD và SBC. Tính th tích c a kh i t di n CDEF và ch ng minh (SAF) vuông góc (SDE). a3 3 /s: V = . 54 Bài 6. (Kh i D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông t i B, BA = 3a, BC = 4a, m t ph ng (SBC) vuông góc v i m t ph ng (ABC). Bi t SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t i mB n m t ph ng (SAC) theo a. 6a /s: V = 2a 3 3; d = . 7 Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có áy là ∆ABC vuông cân t i A, AB = AC = a. M t bên qua c nh huy n BC vuông góc v i m t áy, hai m t bên còn l i u h p v i m t áy các góc 600. Tính th tích c a kh i chóp S.ABC. 1 a3 3 /s: VS . ABC = SH .S ABC = . 3 12 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  10. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P5 Th y ng Vi t Hùng DANG 3. KH I CHÓP U Là hình chóp có áy là a giác u và có các c nh bên b ng nhau. S S H H A C A D O E O E B B C • SO = h là chi u cao c a hình chóp. • SO = h là chi u cao c a hình chóp. • SAO là góc gi a SA v i m t áy (ABCD) • SAO là góc gi a SA v i m t áy (ABCD) • SEO là góc gi a m t bên (SAB) v i m t áy. • SEO là góc gi a m t bên (SAB) v i m t áy. • dài o n OH là kho ng cách t H n (SBC) • dài o n OH là kho ng cách t H n (SBC) Các tính ch t cơ b n: - áy là a giác u - Các m t bên là các tam giác cân và b ng nhau. - Các c nh bên h p v i áy các góc b ng nhau. - Các m t bên h p v i áy các góc b ng nhau. Ví d 1. Cho hình chóp tam giác u S.ABC có áy là tam giác u c nh a 3. Tính th tích c a kh i chóp S.ABC bi t a) ( SC ; ABC ) = 600 b) ( SAB; ABC ) = 450 a 3 a 2 c) d ( A; SBC ) = d) d ( AB; SC ) = 6 4 Ví d 2. Cho hình chóp t giác u S.ABCD có áy là hình vuông c nh a, tâm O. Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD bi t a) ( SD; ABCD ) = 600 b) ( SBC ; ABCD ) = 450 a 3 a 2 c) d ( A; SBD ) = d) d ( B; SCD ) = 4 4 a 2a e) d ( CD; SB ) = f) d ( AB; CI ) = , v i I là trung i m c a SD. 3 5 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  11. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Ví d 3. (Trích thi i h c kh i B năm 2012) Cho hình chóp tam giác u S.ABC v i SA = 2a, AB = a . G i H là hình chi u vuông góc c a A lên trên SC. Ch ng minh SC ⊥ ( ABH ) . Tính th tích kh i chóp S . ABH . 7 a 3 11 /s: VSABH = . 96 BÀI T P T LUY N: Bài 1: Cho chóp tam giác u S.ABC c nh áy b ng a và c nh bên b ng 2a. Ch ng minh r ng chân ư ng cao k t S c a hình chóp là tâm c a tam giác u ABC. Tính th tích chóp u S.ABC. a 3 11 /s: V = . 12 Bài 2: Cho hình chóp u S.ABC có c nh bên b ng a và nghiêng u v i áy ABC m t góc 600. Tính th tích c a kh i chóp. 3a 3 /s: V = . 16 Bài 3: Cho hình chóp tam giác u S.ABC có c nh bên a, góc áy c a m t bên là 450. a) Tính dài chi u cao SH c a chóp S.ABC. b) Tính th tích hình chóp SABC. a 3 a3 /s: a) SH = . b) V = . 3 6 Bài 4: Cho hình chóp tam giác u S.ABC có ư ng cao SH = h và h p v i m t m t bên m t góc 300. Tính th tích hình chóp ã cho theo h. h3 3 /s: V = . 3 Bài 5: Cho hình chóp tam giác u S.ABC có ư ng cao SH = h và m t bên có góc nh b ng 600. Tính th tích hình chóp ã cho. h3 3 /s: V = . 8 Bài 6: Cho hình chóp t giác u S.ABCD có chi u cao h, góc nh c a m t bên b ng 600. Tính th tích kh i chóp ã cho theo h. 2 h3 /s: V = . 3 Bài 7: Cho hình chóp t giác u có m t bên h p v i áy m t góc 450 và kho ng cách t chân ư ng cao c a hình chóp n các m t bên b ng a. Tính th tích kh i chóp ã cho. 8a 3 3 /s: V = . 3 Bài 8. Cho hình chóp u S.ABC có AB = a, SA = a 3 . Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  12. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian a) Tính VS.ABC. b) Tính kho ng cách t O n m t ph ng (SBC). a3 2 2a 198 /s: V = ;d = 6 99 Bài 9. Cho hình chóp u S.ABC, có AB = a, góc gi a SA v i m t áy (SBC) b ng 300. a) Tính VS . ABC . b) Tính kho ng cách gi a SA và BC. a3 3 3a /s: V = ;d = 12 4 Bài 10. Cho hình chóp u S.ABC, có AB = a. Góc gi a (SBC) và (ABC) b ng 300. Tính VS . ABC . Bài 11. Cho hình chóp t giác u S.ABCD, có AB = a, SA = a 3 a) Tính VS . ABCD b) Tính kho ng cách t tâm c a ABCD n m t ph ng (SCD). Bài 12. Cho hình chóp t giác u S.ABCD, có ABCD là hình vuông tâm O, kho ng cách t O n (SCD) b ng a, góc gi a (SCD) v i m t áy b ng 600. Tính VS . ABCD . Bài 13. Cho hình chóp u S.ABCD có kho ng cách t tâm O c a áy n m t bên là a, góc gi a m t bên và ư ng cao b ng 300. a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD. b) G i E, F l n lư t là trung i m c a các c nh SB, SC. M là i m trên c nh SD sao cho SM = 2MD. M t ph ng (MEF) c t SA t i N. Tính th tích kh i chóp S.EFMN. 32a3 /s: a) V = 9 Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a, ∆SAD cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABCD). M t ph ng (SBC) t o v i m t áy m t góc 300. Tính VS . ABCD Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân t i A và BC = a, tam giác SAB cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABC), góc gi a (SAC) v i m t áy (ABC) b ng 450. Tính VS . ABC Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  13. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P6 Th y ng Vi t Hùng DANG 3. KH I CHÓP U (ti p theo) Ví d 1. Cho hình chóp u S.ABCD có AB = a, SA = a 2. G i M, N và P l n lư t là trung i m c a SA, SB, CD. Ch ng minh MN ⊥ SP . Tính th tích c a kh i tư di n AMNP Ví d 2. Cho hình chóp t giác u S.ABCD có áy là hình vuông c nh a. G i E là i m i x ng c a D qua trung i m c a SA, M là trung i m c a AE, N là trung i m c a BC. Ch ng minh MN vuông góc v i BD và tính (theo a) kho ng cách gi a hai ư ng th ng MN và AC. Ví d 3. Cho hình chóp l c giác u S.ABCDEF v i SA = a, AB = b. Tính th tích c a hình chóp ó và kho ng cách gi a các ư ng th ng SA, BE theo a, b. BÀI T P T LUY N: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có áy là tam giác ABC u c nh a. G i H là chân ư ng cao c a t di n h t a nh S và H cách u các nh A, B, C. Kho ng cách t H n (SBC) b ng . 2 a) Ch ng minh S.ABC là kh i chóp u. b) Tính VS.ABC Hư ng d n: a) Do H cách u các nh nên ta d dàng có ư c ∆SHA = ∆SHB = ∆SHC ⇒ SA = SB = SC ⇒ kh i chóp ã cho là kh i chóp tam giác u. a a 10 a 3 30 b) G i I là trung i m c a BC. H HK ⊥ SI ⇒ HK = d ( H ; SBC ) =  SH = →  V = → 2 5 60 Bài 2: Cho hình chóp t giác u S.ABCD, có AB = a , góc gi a SC v i m t áy b ng 600. a) Tính VS . ABCD b) Tính kho ng gi a BD và SC. Bài 3: Cho hình chóp t giác u S.ABCD, có SA = a 3 , góc gi a (SCD) v i m t áy b ng 600. a) Tính VS . ABCD b) Tính kho ng gi a SA và CD. Bài 4: Cho t di n u S.ABC có c nh b ng a. D ng ư ng cao SH. a) Ch ng minh SA ⊥ BC . b) Tính th tích kh i chóp và di n tích toàn ph n c a t di n. c) G i O là trung i m c a SH. Ch ng minh OA, OB, OC ôi m t vuông góc v i nhau. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  14. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Bài 5: Cho hình chóp tam giác u S.ABC có c nh áy b ng a, c nh bên b ng 2a. G i I là trung i m c a c nh BC. a) Ch ng minh SA vuông góc v i BC. b) Tính th tích kh i chóp S.ABI theo a. Bài 6: Cho hình chóp tam giác u S.ABC có c nh áy b ng a 3 , c nh bên b ng 2a. Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a. a3 3 /s: V = 4 Bài 7: Cho hình chóp t giác u S.ABCD có c nh áy b ng 2a, c nh bên b ng a 3 . Tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. 4a 3 /s: V = 3 Bài 8: Cho hình chóp t giác u S.ABCD có dài c nh áy b ng a, các m t bên t o v i m t áy góc 600. M t ph ng (P) ch a AB và i qua tr ng tâm c a tam giác SAC c t SC, SD l n lư t t i M, N. Tính th tích kh i chóp S.ABMN theo a. Hư ng d n gi i: G i I, J l n lư t là trung i m cúa AB và CD; G là tr ng tâm SAC SIJ u c nh a nên G cũng là tr ng tâm SIJ. IG c t SJ t i K là trung i m cúa SJ; M, N là trung i m cúa SC, SD 3a 1 3 3a 2 IK = ; S ABMN = ( AB + MN ) IK = 2 2 8 a 1 3a 3 Ta có SK ⊥ ( ABMN ); SK = ⇒ VSABMN = S ABMN .SK = . 2 3 16 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  15. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P7 Th y ng Vi t Hùng DANG 4. PHƯƠNG PHÁP T S TH TÍCH Ví d 1. Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác cân t i A, AB = a; BC = a 3. C nh SA vuông góc v i áy. G i H là hình chi u vuông góc c a A lên SB, K là trung i m c a SC. Tính th tích kh i chóp AHKBC bi t a) ( SB; ABC ) = 600 a 2 b) d ( A; SBC ) = . 3 Ví d 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB = a; AD = a 2. Hình chi u vuông góc c a nh S lên m t áy là tr ng tâm c a tam giác ABC. G i M là i m thu c c nh SD sao cho 1 a 2 SM = MD; và O là tâm áy. Bi t kho ng cách t O t i m t ph ng (SBC) b ng . Tính 2 3 a) th tích kh i chóp S.ABCD b) th tích kh i chóp AMCD c) th tích kh i chóp SABM. BÀI T P T LUY N: Bài 1: Cho hình chóp tam giác u S.ABC có c ch AB = a, các c ch bên SA, SB, SC t o v i áy m t góc 600. G i D là giao i m c a SA v i mp (α) qua BC và vuông góc v i SA. a) Tính t s th tích c a hai kh i chóp S.DBC và S.ABC. b) Tính th tích c a kh i chóp S.DBC V 5 5a 3 3 /s: a) 1 = ; b) V = . V2 8 96 Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy là tam giác u c ch a, SA = 2a và SA vuông góc (ABC). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các ư ng th ng SB và SC. Tính VA.BCNM. 3a 3 3 /s: V = . 50 Bài 3: Cho hình chóp t giác u S.ABCD, m t ph ng (P) qua A và vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n lư t SB ' 2 t i B '; C '; D ' . Bi t r ng AB = a; = . SB 3 a) Tính t s th tích c a hai kh i chóp S . A ' B ' C ' D ' và S.ABCD. b) Tính th tích c a kh i chóp S . A ' B ' C ' D ' . Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  16. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian V 1 a3 6 /s: a) 1 = ; b) V = . V2 3 18 Bài 4: Cho t di n ABCD có th tích b ng V. G i B’ và D’ l n lư t là trung i m c a AB và AD. (CB’D’) chia kh i t di n thành hai ph n. Tính t s th tích hai ph n ó. V1 1 /s: = V2 3 Bài 5: Cho hình chóp t giác u S.ABCD, có áy là hình vuông tâm O c ch a, có m t bên t o v i áy m t góc 600. a) Tính th tích c a t giác S.ABCD và tính kho ng cách t t O n (SCD). b) M là trung i m c a c nh SB, m t ph ng (α) qua CD và trung i m M c a SB chia kh i chóp thành hai ph n. Tính t s th tích hai ph n ó. a3 3 a 3 V1 3 /s: V = , d= , = 6 4 V2 5 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân t i A và AB = a. Trên ư ng th ng qua C và vuông góc v i (ABC) l y i m D sao cho CD = a. M t ph ng qua C vuông góc v i BD, c t BD t i F và c t AD t i E. Tính th tích kh i t di n CDEF và t s th tích gi a CDEF và DABC. a 3 VCDEF 1 /s: VCDEF = , = 36 VD. ABC 6 a 2a Bài 7: Cho t di n u ABCD có c nh a. L y các i m B '; C ' trên AB và AC sao cho AB = ; AC ' = . 2 3 Tính th tích t diên AB ' C ' D. a3 2 /s: V = . 36 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  17. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u bài gi ng: 07. TH TÍCH KH I CHÓP – P8 Th y ng Vi t Hùng D NG 4. PP T S TH TÍCH (ti p theo) Ví d 1: Cho hình chóp t giác S.ABCD có áy là hình ch nh t v i SA vuông góc v i áy, G là tr ng tâm tam giác SAC, m t ph ng (ABG) c t SC t i M, c t SD t i N. Tính th tích c a kh i a di n MNABCD bi t SA = AB = a và góc h p b i ư ng th ng AN và m t ph ng (ABCD) b ng 300. 3 5 5 3a 3 /s: VMNABCD = VS . ABCD − VS . ABMN = V − V = V = . 8 8 24 Ví d 2: Cho kh i t di n ABCD. Trên các c nh BC, BD, AC l n lư t l y các i m M, N, P sao cho BC = 4BM, BD = 2BN và AC = 3AP. M t ph ng (MNP) chia kh i t di n ABCD làm hai ph n. Tính t s th tích gi a hai ph n ó. 7 13 /s: T s th tích c n tìm là ho c . 13 7 Ví d 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi v i BAD = 1200 , BD = a > 0. C nh bên SA vuông góc v i áy. Góc gi a m t ph ng (SBC) và áy b ng 600. M t m t ph ng (α) i qua BD và vuông góc v i c nh SC. Tính t s th tích gi a hai ph n c a hình chóp do m t ph ng (α) t o ra khi c t hình chóp. Hư ng d n gi i: G i V, V1 và V2 là th tích c a hình chóp S.ABCD, K.BCD và ph n còn l i c a hình chóp S.ABCD. V S ABCD .SA SA Ta có = = 2. = 13 . V1 S BCD .HK HK V V1 + V2 V V Suy ra = = 1 + 2 = 13 ⇔ 2 = 12 V1 V1 V1 V1 Ví d 4: Cho hình chóp u S.ABCD có c nh áy b ng a, c nh bên h p v i áy góc 600. G i M là i m i x ng v i C qua D, N là trung i m c a SC. M t ph ng (BMN) chia kh i chóp thành hai ph n. Tính t s th tích c a hai ph n ó. Hư ng d n gi i: G i P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P là tr ng tâm ∆SCM, Q là trung i m c a MB. VMDPQ MD MP MQ 1 2 1 1 5 • = . . = . . = ⇒ VDPQCNB = VMCNB VMCNB MC MN MB 2 3 2 6 6 • Vì D là trung i m c a MC nên d ( M ,(CNB)) = 2d ( D,(CNB)) 1 ⇒ VMCNB = 2VDCNB = VDCSB = VS . ABCD 2 5 7 V 7 ⇒ VDPQCNB = VS. ABCD ⇒ VSABNPQ = VS . ABCD ⇒ SABNPQ = ⇒ ⇒. 12 12 VDPQCNB 5 Ví d 5: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thoi, c nh a, ABC = 600 , chi u cao SO c a hình chóp a 3 b ng , trong ó O là giao i m c a hai ư ng chéo AC và BD. G i M là trung i m c a AD, m t ph ng 2 (P) ch a BM và song song v i SA, c t SC t i K. Tính th tích kh i chóp K.BCDM. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  18. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Hư ng d n gi i: G i N = BM ∩ AC ⇒ N là tr ng tâm c a ∆ABD. 1 K NK // SA (K ∈ SC). K KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD). V y VK .BCDM = KI .S BCDM 3 KI CK CK CN Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒ = (1), ∆KNC ~ ∆SAC ⇒ = (2) SO CS CS CA 1 CO + CO KI CN CO + ON 3 2 2 a 3 T (1) và (2) ⇒ = = = = ⇒ KI = SO = SO CA 2CO 2CO 3 3 3 a 3 1 3 3 2 Ta có: ∆ADC u ⇒ CM ⊥ AD và CM = ⇒ S BCDM = ( DM + BC ).CM = a 2 2 8 1 a3 ⇒ VK .BCDM = KI .S BCDM = 3 8 BÀI T P T LUY N: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i áy hình chóp. Cho AB = a; SA = a 2 G i H, K l n lư t là hình chi u c a A trên SB, SD. Ch ng minh SC ⊥ ( AHK ) và tính th tích hình chóp OAHK. a3 2 /s: 27 Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có áy ABC là tam giác u c nh a, SA = 2a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). G i M và N l n lư t là hình chi u vuông góc c a A trên các ư ng th ng SB và SC. Tính th tích c a kh i chóp A.BCNM. 3 3a 3 /s: 50 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a, c nh SA vuông góc v i a áy, c nh SB t o v i m t ph ng áy m t góc 600. Trên c nh SA l y i m M sao cho AM = . M t ph ng 3 (BCM) c t c nh SD t i N. Tính th tích kh i chóp S.BCNM. a 310 3 /s: 27 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD = a 3 , SA = 2a và SA ⊥ ABCD. M t m t ph ng i qua A và vuông góc v i SC, c t SB, SC, SD l n lư t t i H, I, K. Hãy tính th tích kh i chóp S.AHIK theo a. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình vuông c nh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a. G i B’, D’ là hình chi u c a A trên SB, SD.M t ph ng AB’D’ c t SC t i C’. Tính th tích kh i chóp S. AB’C’D’. Bài 6: Cho hình chóp t giác u S.ABCD. G i M, N, P l n lư t là trung i m c a AB, AD, SC. Tính t s th tích c a hai ph n hình chóp ư c phân chia b i m t ph ng (MNP). Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
  19. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông t i B; SA = a 3 vuông góc v i (ABC). Bi t AB = BC = a. K AH ⊥ SB và AK ⊥ SC. a) Ch ng minh r ng các m t bên hình chóp S.ABC là các tam giác vuông b) Tính th tích kh i chóp S.ABC. c) Ch ng minh r ng SC ⊥ (AHK) d) Tính VS.AHK Bài 8: Cho hình chóp t giác u S.ABCD áy là hình vuông c nh a, c nh bên t o v i áy m t góc 60o ; g i M là trung i m c a SC. M t ph ng (P) i qua AM và song song v i BD, c t SB t i E và SD t i F. a) Ch ng minh r ng AM ⊥ EF. b) Tính th tích kh i chóp S.AEMF. c) Tính chi u cao c a hình chóp S.AEMF. Bài 9: Cho hình chóp SABCD có th tích b ng 27a3 .L y A ' trên SA sao cho SA = 3SA ' . M t ph ng qua A ' và song song v i áy hình chóp c t SB, SC, SD l n lư t t i B ', C ', D '. Tính th tích hình chóp SAB ' C ' D ' . /s: V = a3 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có áy là hình vuông c nh a, chi u cao SA = h. G i N là trung i m SC. M t ph ng ch a AN và song song v i BD l n lư t c t SB, (SDF) t i M và P. Tính th tích kh i chóp SAMNP. a2h /s: V = 9 SM Bài 11: Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình bình hành và l y M trên SA sao cho = x . Tìm x SA m t ph ng (MBC) chia hình chóp thành 2 ph n có th tích b ng nhau. 5 −1 /s: x = 2 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! Facebook: https://www.facebook.com/LyHung95
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2