intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 4

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST
Báo xấu
426
lượt xem 71
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

VẬT LIỆU - ĐNNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT - THẾ NĂNG BIẾN DẠNG Lý thuyết ứng suất và Lý thuyết biến dạng cho phép thu được ba hệ phương trình cơ bản của Lý thuyết đàn hồi, bao gồm: • 3 phương trình cân bằng (2.16); • 3 quan hệ biến dạng-chuyển vị (3.14); • 6 quan hệ tương thích (3.23). Đây là những phương trình nghiệm đúng cho mọi môi trường liên tục, không phụ thuộc gì vào tính chất cơ học của vật liệu mô hình tính toán. Hệ 3 phương trình đầu tiên thực chất...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 4

  1. Lý Thuyết Đàn Hồi Chương IV VẬT LIỆU - ĐNNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT - THẾ NĂNG BIẾN DẠNG Lý thuyết ứng suất và Lý thuyết biến dạng cho phép thu được ba hệ phương trình cơ bản của Lý thuyết đàn hồi, bao gồm: • 3 phương trình cân bằng (2.16); • 3 quan hệ biến dạng-chuyển vị (3.14); • 6 quan hệ tương thích (3.23). Đây là những phương trình nghiệm đúng cho mọi môi trường liên tục, không phụ thuộc gì vào tính chất cơ học của vật liệu mô hình tính toán. Hệ 3 phương trình đầu tiên thực chất là các phương trình cân bằng về hình chiếu, còn điều kiện cân bằng về momen dẫn đến các quan hệ tương đồng ứng suất tiếp, mà nhờ đó số thành phần ứng suất chưa, biết độc lập nhau, giảm từ 9 xuống còn 6. Trong 6 phương trình tương thích, thực chất, cũng chỉ có 3 phương trình độc lập nhau. Như vậy là, trong tổng số 15 phương trình cơ bản chỉ có 9 phương trình là độc lập nhau, và như vậy, không đủ cho tổng số 15 Nn số (bao gồm 6 tành phần ứng suất, 6 thành phần biến dạng và 3 thành phần chuyển vị) của bài toán đàn hồi . Điều này cũng dễ hiểu vì, cho đến lúc này, ta chưa hề xem xét gì đến tính chất cơ học của mô hình khảo sát, cụ thể là về cách thức ứng xử của vật liệu mô hình dưới tác dụng của lực ngoài. Các phương trình còn thiếu nói trên sẽ được bổ sung nhờ việc khảo sát đặc tính cơ học của vật liệu mô hình. §4.1 Đặc trưng cơ học của vật liệu Ứng xử cơ học của vật liệu thường được mô tả bởi quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. Một cách tổng quát, ứng suất là hàm của biến dạng, của tỉ số giữa các biến dạng, của tiến trình biến dạng, tốc độ biến dạng, nhiệt độ và của đặc trưng vật liệu. Tuy nhiên, ta chỉ chọn mô hình tương đối đơn giản, là mô hình vật thể đàn hồi liên tục, không đề cập đến các yếu tố tốc độ, của tiến trình biến dạng... Có thể hình dung mô hình này như một môi trường bị biến dạng một cách liên tục khi chịu lực tác dụng và bao giờ cũng sẽ trở về với cấu hình ban đầu của nó khi các lực tác dụng bị dỡ bỏ. Về sau ta còn giả thiết thêm rằng quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính. Tuy các giả thiết này đã đơn giản hóa đáng kể mô hình nghiên cứu nhưng chúng lại phù hợp với các số liệu thực nghiệm và là cơ sở cho nhiều phương pháp ứng dụng trong phân tích kết cấu. Với điều kiện biến dạng bé, nhiều vật liệu kết cấu thực tế như: kim loại, chất dẻo, gỗ, đá, bêtông cót thép, …. luôn tuân thủ qui tắc tuyến tính trong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. Như đã nêu trên, việc xác định tính chất cơ học của vật liệu thực tế thường được tiến hành theo con đường thực nghiệm. Một trong những kỹ thuật thí nghiệm truyền thống là kỹ thuật kéo đơn giản mẫu thí nghiệm hình trụ hoặc hình dẹt (H4.1), chịu tải trọng theo một trục (đơn trục), trên các thiết bị kéo. Kết quả nghiên cứu thực nghiệm đối với ba loại vật liệu điển hình (thép carbon thường, nhôm và gang) được giới thiệu trên H4.2. Thép và nhôm có tính dẻo nên mẫu thử có khả năng chịu biến dạng lớn còn gang thì dòn và do đó mẫu thử bị đứt ngay khi biến dạng còn chưa lớn mấy. Có thể nhận xét thấy, trong giai đoạn đầu, khi biến dạng còn là bé, ứng xử của các vật liệu là tuyến tính. Giai đoạn tiếp theo có ứng xử phi tuyến, thường là tương ứng với biến dạng lớn. (Thiếu hình 4.1: Hai mẫu thử kéo) 52
  2. Lý Thuyết Đàn Hồi Với vật liệu dẻo, quá trình biến dạng (đã lý tưởng hóa) được thể hiện trên hình H4.3. Điểm kết thúc của giai đoạn tuyến tính gọi là giới hạn tỉ lệ. Trong giai đoạn ứng xử đàn hồi, nếu bỏ lực tác dụng ngoài, vật thể trở về với cấu hình không biến dạng ban đầu và khi đó, không còn biến dạng. Điểm bắt đầu của giai đoạn ứng xử không đàn hồi của vật liệu gọi là giới hạn đàn hồi. Với nhiều loại vật liệu, giới hạn đàn hồi và giới hạn tỉ tệ là khác nhau, tuy nhiên, một cách gần đúng có thể coi hai giới hạn này là như nhau. Điểm dẻo là một điểm khác trên đường cong quan hệ ứng suất-biến dạng, là điểm bắt đầu biến dạng dẻo lớn (H4.3). 53
  3. Lý Thuyết Đàn Hồi §4.2 Định luật Hooke tổng quát. Từ các phân tích ở đầu chương ta thấy rằng, trạng thái ứng suất và biến dạng của vật thể không thể mô tả được chỉ nhờ các phương trình cơ bản, đã dẫn ra trên đây. Cụ thể là, để xác định 6 thành phần của tensơ ứng suất, 6 thành phần của tensor biến dạng và 3 thành phần chuyển vị, với tổng cộng là 15 Nn, hiện chỉ có 9 phương trình độc lập nhau. Vì thế cho nên, để giải quyết các bài toán Lý thuyết đàn hồi, cần xác định thêm quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu mô hình tính toán. Nếu như điều này được thực hiện, có thể biểu diễn, chẳng hạn như, các thành phần ứng suất trong 3 phương trình cân bằng (2.16) qua các thành phần biến dạng, rồi dùng (3.14) chuyển các thành phần biến dạng qua 3 thành phần chuyển vị u, v, w và bằng cách này, có thể thay 3 phương trình (2.16) bằng 3 phương trình vi phân chứa 3 hàm chưa biết là các chuyển vị u, v và w. Vai trò của các phương trình tương thích (3.23) cùng với các điều kiện biên sẽ là các điều kiện mà nghiệm của bài toán đàn hồi phải thỏa mãn. Ta sẽ khảo sát vật thể đàn hồi có tính chất đặc biệt là công tiêu tốn làm biến dạng nó không phụ thuộc vào cách thức thực hiện các chuyển vị của các điểm từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối của sự biến dạng. Vì thế cho nên, khi bỏ đi tải trọng đã gây ra biến dạng của vật thể, vật thể sẽ trở về trạng thái không biến dạng ban đầu và toàn bộ công tiêu tốn cho quá trình biến dạng trước đó sẽ được hoàn trả đầy đủ. Vật thể có tính chất nói trên được gọi là vật thể đàn hồi lý tưởng. Vật thể đàn hồi mà quan hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng là tuyến tính, được gọi là vật thể đàn hồi tuyến tính. Trên thực tế tồn tại những vật liệu có tính chất đàn hồi lý tưởng nhưng không phải là tuyến tính. Định luật xác lập quan hệ tuyến tính giữa các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng là tuyến tính có tên là Định luật Hooke. Định luật có tầm quan trọng hết sức to lớn này đã được Rober Hooke (Anh) và E. Maroitte (Pháp) đặt nền móng đầu tiên khi, một cách độc lập nhau, hai ông phát hiện ra sự phụ thuộc tỉ lệ thuận giữa các đại lượng mà ngày nay chúng ta gọi là ứng suất và biến dạng, vào giữa thế kỷ 18 (chính xác hơn là vào năm 1860). Biểu thức toán học (dưới dạng vô hướng) của định luật Hooke nêu ra trên đây là như sau: σ x = c11ε x + c12ε y + c13ε z + c14 γ xy + c15γ yz + c16 γ zx ; σ y = c 21ε x + c 22 ε y + c 23ε z + c 24 γ xy + c 25γ yz + c 26 γ zx ; σ z = c31ε x + c32 ε y + c33ε z + c34 γ xy + c35γ yz + c36 γ zx ; (4.1) τ xy = c 41ε x + c 42 ε y + c 43ε z + c 44γ xy + c 45γ yz + c 46 γ zx ; τ yz = c51ε x + c52 ε y + c53ε z + c54 γ xy + c55γ yz + c56 γ zx ; τ x = c61ε x + c62 ε y + c63ε z + c64 γ xy + c65γ yz + c66 γ zx . Đảo lại, có thể biểu diễn các thành phần biến dạng theo các thành phần ứng suất như sau ε x = a11σ x + a12σ y + a13σ z + a14τ xy + a15τ yz + a16τ zx ; ε y = a 21σ x + a 22σ y + a 23σ z + a 24τ xy + a 25τ yz + a 26τ zx ; ε x = a31σ x + a 32σ y + a33σ z + a 34τ xy + a 35τ yz + a 36τ zx ; (4.2) γ xy = a 41σ x + a 42σ y + a 43σ z + a 44τ xy + a 45τ yz + a 46τ zx ; γ yz = a51σ x + a 52σ y + a53σ z + a 54τ xy + a 55τ yz + a 56τ zx ; γ zx = a 61σ x + a 62σ y + a 63σ z + a 64τ xy + a 65τ yz + a 66τ zx . trong đó, các hệ số aij có thể biểu diễn qua các hệ số cij. Các quan hệ (4.1) và (4.2) chính là các biểu thức của định luật Hooke tổng quát (viết dưới dạng vô hướng). Dưới dạng ma trận, có thể biể diễn (4.1) và (4.2) như sau: {σ } = [c]{ε } (4.1*) {ε } = [a]{σ } (4.2*) trong đó, 54
  4. Lý Thuyết Đàn Hồi {σ } = [σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ] ;T (4.3) {ε } = [ε x ε y ε z γ zx ]T ; γ xy γ yz (4.4) [c ] = [cij ], i − 1 ÷ 6; j = 1÷ 6 ; (4.5) [a ] = [aij ], i − 1 ÷ 6; j = 1÷ 6 . (4.6) Từ (4.1) và (4.2) ta có: [c ] = [a ]−1 (4.7) Các hệ số aij và cij , trong (4.1) và (4.2), đặc trưng cho tính chất đàn hồi của vật thể tại điểm khảo sát và không phụ thuộc gì vào giá trị của các thành phần biến dạng hoặc của các thành phần ứng suất. Các hệ số này được gọi là các hằng số (module) đàn hồi. Nếu như các hệ số aij và cij không phụ thuộc vào toạ độ của điểm trên vật thể, thì vật thể được gọi là đồng nhất (hoặc đồng chất). Về sau, ta sẽ chỉ khảo sát vật thể đồng chất. Ma trận ứng suất và ma trận biến dạng của vật thể đàn hồi tuyết tính là đói xứng, tức các hệ số trong các quan (4.1) và (4.2) phải thỏa mãn tính chất tương đồng như sau: cij = c ji (4.8) và a ij = a ji (4.9) Bên cạnh tính đồng chất, một tính chất cơ bản khác của vật liệu là tính định hướng. Tính định hướng phản ảnh sự khác nhau của các đặc trưng đàn hồi theo các hướng khác nhau (của hệ tọa độ). Một số vật liệu như pha lê, gỗ, composite có các module đàn hồi khác nhau theo các hướng khác nhau. Đó là những vật liệu dị hướng. Tuy nhiên với đa số các vật liệu kỹ thuật như thép, hợp kim nhôm và đa phần các chất dẻo có cấu trúc vi mô tinh thể với định hướng phân bố một cách ngẫu nhiên khiến cho các tính chất đàn hồi vĩ mô của chúng là như nhau theo các hướng. Các loại vật liệu này được gọi là đẳng hướng. Các công thức (4.1) chứa 36 hằng số đàn hồi, tuy nhiên, không phải tất cả chúng là độc lập nhau. Để xác lập quan hệ giữa các hằng số đàn hồi ta hãy đề cập đến một khái niệm quan trọng, đó là thế năng biến dạng. §4.3 Thế năng biến dạng đàn hồi Dưới tác dụng của các lực mặt và lực khối, vật thể đàn hồi bị biến dạng. Trong quá trình biến dạng này, các lực nói trên thực hiện công cơ học. Nếu quá trình biến dạng là chậm, không kèm theo các hiệu ứng quán tính và không phát nhiệt thì, trên cơ sở của nguyên lý bảo toàn năng lượng, toàn bộ công này được tích lũy vào vật thể dưới dạng thế năng biến dạng. Với vật thể đàn hồi, khi bỏ lực ngoài, toàn bộ thế năng này được hoàn trả trọn vẹn. Công và thế năng là các khái niệm hết sức quan trọng mà nhờ sử dụng chúng mới có thể có được những thông tin bổ ích cũng như các qui tắc và phương pháp hữu hiệu trong viêc giải quyết các bài toán cơ học vật thể biến dạng nói chung và các bài toán đàn hồi nói riêng. Có thể nói, khái niệm năng lượng (công và thế năng) đã tạo ra cách nhìn mới, một cơ sở mới để giải các bài toán đàn hồi cũng như cho phép có được nhiều lời giải mới, ưu việt hơn, cho nhiều vấn đề đã được giải quyết trước đây bằng các công cụ khác. Trong thời gian gần đây, các phương pháp dựa trên khái niệm năng lượng (có tên chung là các phương pháp năng lượng) đã được vận dụng hết sức rộng rãi trong việc phát triển các phương pháp phần tử biên cũng như phương pháp phần tử hữu hạn. Dưới đây ta chỉ có thể thảo luận một cách ngắn gọn về đề tài nói trên mà thôi. Xét một phân tố hình khối chữ nhật, có các cạnh dx, dy, dz vô cùng ngắn, trong vật thể đàn hồi, cân bằng dưới tác dụng của các lực ngoài. Giả sử trên bề mặt phân tố này chỉ tồn tại thành phần ứng suất σx phân bố đều, còn các thành phần ứng suất khác đều bằng 0. Đồng thời, cũng không tồn tại các lực khối (H4.3). 55
  5. Lý Thuyết Đàn Hồi Khi lực tác dụng lên phân tố σxdydz được bổ sung một lượng d(σxdydz), thì các cạnh cùng phương ∂u với trục x của hình khối phân tố sẽ có độ giãn dài bổ sung d ( dx ) = dε x dx . Công (phân tố) của lực tác ∂x dụng σxdydz lên hình hộp, lấy chính xác đến đại lượng bé cấp 2, bằng σ x dε x dxdydz . Nếu giả thiết rằng trên mặt bên của hình hộp phân tố chỉ tác dụng của ứng suất cắt τxy (H4.4), thì,  ∂u ∂v   ∂y + ∂x  = γ xy , có thể thu được biểu thức gia số công do ứng lực cắt cũng với lập luận như trên, lưu ý là     gây ra: τ xy dγ xy dxdydz Khi phân tố chịu tác dụng của tất cả các thành phần ứng suất, gia số công sẽ bằng tổng công do từng ứng lực thành phần (tương ứng với các thành phần ứng suất) tạo ra: [ ] dA = σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ zx dγ zx dxdydz , (4.10) và công cho một đơn vị thể tích sẽ là: dA = σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ zx dγ zx . dW = (4.11) dxdydz Trên cơ sở của công thức (4.11) có thể coi các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng là các lực suy rộng và các chuyển vị suy rộng tương ứng, theo định nghĩa quen thuộc của khái niệm này. Ta giả thiết rằng quá trình biến dạng xảy ra chậm và với nhiệt độ không đổi, đồng thời, toàn bộ công tiêu tốn cho sự biến dạng đều tập trung vào việc làm tăng thế năng của vật thể. Khi đó, công thức (4.11) chính là công thức xác định thế năng của đơn vị thể tích vật thể. Cần lưu ý một điều là khi thiết lập các công thức (4.10) và (4.11) ta không cần viện dẫn đến một tính chất vật lý xác định nào của vật thể, do đó, chúng nghiệm đúng cho mọi vật thể liên tục. Có thể chứng minh được rằng, công đơn vị thể tích của các lực nội lực không phụ thuộc vào việc chọn hướng của hệ toạ độ, nghĩa là có thể viết σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ zx dγ zx = (4.12) = σ x ' dε x ' + σ y ' dε y ' + σ z ' dε z ' + τ x ' y ' dγ x ' y ' + τ y ' z ' dγ y ' z ' + τ z ' x ' dγ z ' x ' . trong đó, σ x ' , σ y ' , σ z ' , τ x ' y ' , τ y ' z ' , τ z ' x ' và ε x ' , ε y ' , ε z ' , γ x ' y ' , γ y ' z ' , γ z ' x ' - là các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ (x’,y’, z’). 56
  6. Lý Thuyết Đàn Hồi Tích phân công thức (4.11), thu được biểu thức tính thế năng biến dạng trên một đơn vị thể tích (gọi tắt: thế năng đơn vị, hay, gọn hơn: thế năng) như sau ε i ,γ ij ∫ (σ dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ zx dγ zx ). W= (4.13) x ε i =0 γ =0 ij Mặt khác, đối với vật thể đàn hồi lý tưởng, giá trị của thế năng không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, nên biểu thức dưới dấu tích phân phải là một vi phân toàn phần, tức, ∂W ∂W ∂W ∂W ∂W ∂W dε x + dε y + dε z + dγ xy + dγ yz + dγ zx dW = (4.14) ∂ε x ∂ε y ∂ε z ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx và trong trường hợp này, việc tính tích phân (4.14) có thể tiến hành theo công thức sau εx εy γ xy γ yz γ zx εz W = ∫ σ x dε x + ∫ σ y dε y + ∫ σ z dε z + ∫ τ xy dγ xy + ∫ τ yz dγ yz + ∫ τ zx dγ zx . (4.15) 0 ε x =ε y = 0 0 ε x =..=γ yz = 0 0 ε x =0 0 ε x =..=ε z =0 0 ε x =..=γ xy = 0 0 Để có công thức (4.15) ta đã giả thiết rằng, khi giá trị của các biến dạng bằng 0, giá trị của thế năng biến dạng cũng bằng 0. Cũng có nghĩa là vật thể không có ứng suất ban đầu. Với vật liệu đàn hồi tuyến tính, công thức (4.13) cho ta kết quả: 2W = σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx . (4.16). Các quan hệ (4.16) có thể chứng minh trực tiếp từ định lý Lagrange. Các quan hệ này đúng cho mọi môi trường liên tục chứ không chỉ riêng cho vật thể đàn hồi mà ta đang khảo sát. Trên cơ sở của định luật Hooke tổng quát và công thức (4.15) có thể kết luận rằng thế năng biến dạng đàn hồi là hàm đẳng cấp bậc 2 của các thành phần ứng suất (và cũng là hàm đẳng cấp bậc 2 của các thành phần biến dạng). Ngoài ra, thế năng biến dạng đàn hồi còn là bất biến khi xoay hệ tọa độ. Thực hiện đạo hàm riêng hai vế của (4.16) theo các thành phần biến dạng, có kết quả sau: ∂W ∂W ∂W = σ x; = σ y; = σz; ∂ε x ∂ε y ∂ε z (4.17) ∂W ∂W ∂W = τ xy ; = τ yz ; = τ zx . ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx Tương tự, lấy đạo hàm theo các thành phần ứng suất, có: ∂W ∂W ∂W = εx; = εy; = εz; ∂σ x ∂σ y ∂σ z (4.18) ∂W ∂W ∂W = γ xy ; = γ yz ; = γ zx . ∂τ xy ∂τ yz ∂τ zx Thế năng biến dạng thể tích đơn vị có thể biểu thị qua các thành phần ứng suất: Thay (4.2) vào (4.16), sử dụng tính chất đối xứng mà các module đàn hồi phải thỏa mãn để bảo đảm tính chất đối xứng của ma trận ứng suất và ma trận biến dạng (xem công thức 4.8), ta có kết quả sau: 57
  7. Lý Thuyết Đàn Hồi 1 a11σ x + a12σ x σ y + a13σ x σ z + a14σ xτ xy + a15σ xτ yz + a16σ xτ zx + W= 2 2 1 + a 22σ y + a 23σ yσ z + a 24σ yτ xy + a 25σ yτ yz + a 26σ yτ zx + 2 2 1 + a33σ z2 + a34σ zτ xy + a 35σ zτ yz + a36σ zτ zx + 2 (4.19) 1 + a 44τ xy + a 45τ xyτ yz + a 46τ xyτ zx + 2 2 1 + a55τ yz + a56τ yzτ zx + 2 2 1 + a 66τ zx . 2 2 §4.3 Tính chất của các module đàn hồi. Các hằng số kỹ thuật Như vậy, trong số 36 hằng số đàn hồi chỉ còn lại 21 hằng số là độc lập nhau. Ta có thể xác định ý nghĩa vật lý của các hằng số này thông qua các phân tích đơn giản sau đây, với lưu ý rằng giá trị của các module đàn hồi không phụ thuộc gì vào các thành phần ứng suất cũng như các thành phần biến dạng. Xét một trạng thái ứng suất đặc biệt, trong đó, chỉ có ứng suất pháp theo phương trục x là tồn tại, còn các thành phần ứng suất khác đều bằng 0, tức σ x ≠ 0; σ y = σ z = τ xy = τ yz = τ zx = 0, hay dưới dạng vector: {σ } = [σ x 0 0 0 0 0] , T khi đó, từ phương trình (4.2) suy ra  ε x   a11 a16  σ x  a12 a13 a14 a15  ε  a a 26   0  a 22 a 23 a 24 a 25  y   21    ε  a a36   0  {ε } =  z  =  31  a32 a33 a34 a35    γ xy  a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46   0  γ yz  a51 a56   0  a52 a53 a54 a55    γ zx  a 61 a66   0  a 62 a63 a64 a 65    hay ε x = a11σ x , γ xy = a 41σ x , ε y = a 21σ x , γ yz = a51σ x , (4.20) ε z = a31σ x , γ zx = a 61σ x . Vì biến dạng đường theo hướng tác dụng của ứng suất được đặc trưng bởi module Young, E , còn độ co ngang được đặc trưng bởi hệ số Poisson, ν, nên ta có thể viết ν xy εx ν xz 1 a11 = = a 21 = − a31 = − ; ; , (4.21) σ x Ex Ex Ex E x − là module Young theo phương x; trong đó, 58
  8. Lý Thuyết Đàn Hồi ν xy ,ν xz − là các hệ số Poisson, đặc trưng cho độ co theo các phương, tương ứng, y và z khi bị kéo theo phương x. Các hệ số còn lại, là tỉ số giữa các thành phần biến dạng góc và ứng suất pháp σ x , được tính theo tỉ số giữa các biến dạng góc và biến dạng đường theo phương x, như sau: γ xy γ yz γ η x , xy = ; η x , yz = ; η x , zx = zx , (4.22) εx εx εx và trên cơ sở sử dụng quan hệ (4.20), có các biểu thức xác định các hằng số đàn hồi còn lại sau đây η x , xy η x , yz η x , zx a 41 = ; a 51 = ; a 61 = . (4.23) Ex Ex Ex Bây giờ, chỉ cho ứng suất σ y khác 0, ta có thể tìm được các kết quả sau ν yx ν yz 1 a22 = a12 = − ; a32 = − ; ; Ey Ey Ey (4.24) η y , xy η y , yz η y , zx a42 = ; a52 = a62 = ; . Ey Ey Ey trong đó, E y − module đàn hồi pháp tuyến (gọi tắt: module đàn h ồi, moduleYoung ), theo phương y; ν yx ,ν yz − các hệ số Poisson, đặc trưng cho độ co ngang theo các phương, tương ứng, x và z khi chịu kéo-nén theo phương y; γ xy γ yz γ η y , xy = ; η y , yz = ; η y , zx = zx . εy εy εy Nếu như cho τ xy ≠ 0; σ x = σ y = σ z = τ yz = τ zx = 0, ta có η xy , x η xy , y 1 a 44 = a14 = a 24 = ; ; ; G xy G xy G xy (4.25) η xy , z ν xy , yz ν xy , zx a 43 = ; a 54 = ; a 64 = , G xy G xy G xy τ xy trong đó, G xy = − là module trượt trong mặt phẳng x-y; γ xy εy γ yz εx ε γ η xy , x = ; η xy , y = ; η xy , z = z ; ν xy , yz = ; ν xy , zx = zx . γ xy γ xy γ xy γ xy γ xy Bằng cách tương tự như trên, có thể xác định được tất cả các công thức biểu thị ý nghiã vật lý của các hằng số đàn hồi aij. Các hệ số E x ,..., G xy ,...,ν xy ,...,η x , xy ,...,ν xy , zx có tên là các hằng số kỹ thuật. Có thể viết lại biểu thức của định luật Hooke tổng quát (4.2) theo các hằng số kỹ thuật dưới dạng ma trận: 59
  9. Lý Thuyết Đàn Hồi − ν xy η x , xy η x , yz η x, zx  − ν xz 1    Ex Ex Ex Ex Ex Ex   − ν yx − ν yz η y , xy η y , yz η y , zx  1  ε x   Ey E y  σ x  Ey Ey Ey Ey ε    η z , zx  σ y  − ν zy η z , xy η z , yz  y   − ν zx 1   ε z   Ez E z  σ z    Ez Ez Ez Ez   = η   (4.26) η xy , y η xy , z η xy , yz η xy , zx  τ xy γ xy   xy , x 1  γ yz   G xy G xy  τ yz  G xy G xy G xy G xy   η  ν yz , zx  τ  η yz , y η yz , z ν yz , xy γ zx   yz , x  zx  1    G yz  G yz G yz G yz G yz G yz   η zx, y ν zx, xy ν zx, yz  η zx , x η zx, z 1  G zx G zx  G zx G zx G zx G zx   Như có thể thấy từ (4.8), không phải tất cả các hằng số kỹ thuật đều độc lập nhau. Nói riêng, giữa các hằng số Poisson và module đàn hồi tồn tại quan hệ sau ν xy E y = ν yx E x ; ν xz E z = ν zx E x ; ν yz E z = ν zy E y . (4.27) §4.4 Tính chất đàn hối đối xứng Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (4.1), với 21 hằng số đàn hồi độc lập nhau là cho trường hợp tổng quát nhất. Nếu như trong vật thể tồn tại các mặt phẳng mà, theo các hướng đối xứng qua mặt phẳng này, các hằng số đàn hồi là như nhau, thì phương trình biểu thị định luật Hooke được đơn giản hoá, và một số trong các hằng số 21 đàn hồi nói trên bằng 0, trong khi số khác có các quan hệ ràng buộc xác định với nhau. Mặt phẳng nói trên gọi là mặt phẳng đàn hồi đối xứng. Để xác định quan hệ giữa các hằng số đàn hồi, ta dựa vào một nguyên tắc đã biết là, giá trị của thế năng biến dạng đơn vị thể tích không phụ thuộc vào việc chọn hướng của hệ toạ độ. Cần lưu ý rằng, khi thay đổi hệ toạ độ, giá trị các thành phần ứng suất và các hằng số đàn hồi nói chung thay đổi theo. Các hằng số đàn hồi theo các hướng đối xứng nhau là bảo toàn (tức không thay đổi giá trị). 60
  10. Lý Thuyết Đàn Hồi Nếu ta chọn mặt đàn hồi phẳng đàn hồi đối xứng làm mặt phẳng x-y (H4.5), khi thay đổi hướng trục z bởi trục z’ ngược lại (hướng đàn hồi đối xứng), thì với hệ tọa độ mới, trong số các thành phần ứng suất, chỉ có ứng suất tiếp tuyến τzx và τyz thay đổi dấu. Trong trường hợp này, các ứng suất tiếp τzx và τyz liên hệ với các ứng suất tiếp τz’x và τz’y nhờ các đẳng thức τz’x = -τzx ; và τz’y = -τzy. Giá trị của các thành phần ứng suất còn lại (trong hệ toạ độ mới) không thay đổi. Để cho thế năng biến dạng đơn vị thể tích không thay đổi, các hệ số bên cạnh các ứng suất τzx và τyz trong công thức (4.19) phải phải bằng 0. Như vậy, ta có a15 = a16 = a 25 = a 26 = a35 = a36 = a 45 = a 46 = 0 và, số các hằng số đàn hồi giảm xuống còn 13. Đối với vật thể mà tại mỗi điểm có 3 mặt phẳng đàn hồi đối xứng (H4.6) thì số các hằng số đàn hồi giảm xuống còn 9. Thực vậy, để cho thế năng biến dạng đơn vị không thay đổi khi thay một trục toạ độ vuông góc với một mặt phẳng đàn hồi đối xứng, các hệ số bên cạnh các ứng suất tiêp tương ứng trong biểu thức tính thế năng biến dạng thể tích đơn vị phải bằng 0, tức ta có a14 = a15 = a16 = a 24 = a 25 = a 26 = a 34 = a 35 = a 36 = a 45 = a 46 = a 56 = 0. (4.28) Vật thể có 3 mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc nhau có tên là vật thể trực hướng. Trong thực tế, gỗ và một số loại chất dẻo có thể coi là vật thể đàn hồi trực hướng. Đối với vật thể đàn hồi trực hướng, nếu như các chọn mặt toạ độ trùng với các mặt phẳng đàn hồi đối xứng (H4.6), thì hàm W sẽ được xác định nhờ biểu thức: 1 1 1 a11σ x + a12σ xσ y + a13σ xσ z + a 22σ y + a 23σ yσ z + a 33σ z2 W= 2 2 2 2 2 (4.29) 1 1 1 + a 44τ xy + a 55τ yz + a 66τ zx , 2 2 2 2 2 2 còn quan hệ giữa biến dạng và ứng suất sẽ có dạng ma trận: 61
  11. Lý Thuyết Đàn Hồi  ε x   a11 0  σ x  a12 a13 0 0  ε  a 0  σ y  a 22 a 23 0 0  y   21    ε z  a31 0  σ z    a32 a33 0 0  =   (4.30) γ xy   0 0  τ xy  0 0 a 44 0 γ yz   0 0  τ z  0 0 0 a55    γ zx   0 a 66  τ zx  0 0 0 0    hay, dạng vô hướng: ε x = a11σ x + a12σ y + a13σ z ; γ xy = a 44τ xy ; ε y = a 21σ x + a 22σ y + a 23σ z ; γ yz = a55τ yz ; (4.30*) ε z = a 31σ x + a 32σ y + a33σ z ; γ zx = a 66τ zx . Các phương trình (4.30) nếu được biểu diễn qua các hằng số kỹ thuật sẽ có dạng quen thuộc hơn: − ν yx − ν zx 1  0 0 0   Ex Ex Ex   − ν xy − ν zy  1 ε x   E 0  σ  0 0 Ey Ey x ε   y    σ y  − ν yz  y   − ν xz 1 0 0 0   ε z   E σ z   Ey Ez  = y   (4.31) γ xy   0 τ 0   xy  1 0 0 0 γ yz   τ  G xy   z  γ zx   0 0  τ zx  1   0 0 0   G yz  1 0  0 0 0 0  G zx    hay, dưới dạng vô hướng: σ x ν yx ν zx 1 εx = σy − σ z; γ xy = τ xy ; − Ex Ey Ez Gxy ν xy σ y ν zy 1 εy = − σx + σ z; γ yz = τ zy ; − (4.31*) Ex Ey Ez G yz ν yz ν xz σz 1 εz = − σx − σy + γ zx = τ zx ; ; Ex Ey Ez Gzx Ngoài ra, như đã nói trên đây, giữa các hệ số Poisson và các module đàn hồi pháp tồn tại quan hệ (4.27). Ta khảo sát vật thể đàn hồi trực hướng, mà tính chất đàn hồi của nó là như nhau đối với cả 3 mặt phẳng đối xứng đàn hồi. Trong trường hợp này, khi thay , ví dụ như, trục z bởi trục x, trục x bởi trục y, còn trục y bởi trục z, thì thế năng biến dạng đơn vị W vẫn phải bảo toàn giá trị. Điều này đòi hỏi thoả mãn các điều kiện sau 62
  12. Lý Thuyết Đàn Hồi a11 = a22 = a33 ; a44 = a55 = a66 ; (4.32) a12 = a23 = a13 . Biểu thức thế năng đơn vị khi đó có dạng ( ) ( ) a11 σ x + σ y + σ z2 + a12 (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) + 44 τ xy + τ yz + τ zx . 1 a W= 2 2 2 2 2 (4.33) 2 2 Từ phương trình (4.31) suy ra rằng ứng suất tiếp bằng 0 khi và chỉ khi biến dạng trượt bằng 0. Nhưng vì các phương trình này được viết (và chỉ đúng) trong hệ toạ độ mà các mặt phẳng toạ độ là các mặt đàn hồi đối xứng, nên ta có thể rút ra kết luận sau đây: Nếu như ở vật thể đàn hồi trực hướng mà các hướng chính của ứng suất song song với giao tuyến giữa các mặt phẳng đàn hồi đối xứng thì các hướng này cũng là các hướng chính của biến dạng. §4.5 Vật thể đàn hồi đẳng hướng. Vật thể mà mọi mặt phẳng bất kỳ đi qua điểm khảo sát đều là mặt phẳng đối xứng đàn hồi, được gọi là vật thể đẳng hướng. Ta tiến hành xác định số lượng các hằng số đàn hồi, đặc trưng cho tính chất của vật thể đẳng hướng. 4.5.1 Các công thức định luật Hooke và thế năng đơn vị cho vật thể đàn hồi đẳng hướng Giả sử, các trục toạ độ x, y, z trùng với các trục chính của ứng suất (Xem §2.5). Khi đó, với ký hiệu các hằng số đàn hồi là Aij , có biểu thức thế năng đơn vị (được biểu diễn qua các ứng suất chính) như sau 1 1 1 A11σ 12 + A22σ 2 + A33σ 3 + A12σ 1σ 2 + A23σ 2σ 3 + A13σ 1σ 3 . W= 2 2 (4.34) 2 2 2 Đối với vật thể đẳng hướng thì biểu thức trên đây sẽ phải bảo toàn trị số khi thay vai trò của một trục ứng suất chính chính bằng một trục ứng suất chính khác. Điều này đòi hỏi các hằng số đàn hồi phải thỏa mãn: 1 Ai i = a = const ; 2 Aij = b = const (i ≠ j ). Như vậy, đối với vật thể đẳng hướng, biểu thức (4.34) có dạng ( ) W = a σ 12 + σ 2 + σ 3 + b(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ). 2 2 (4.35) Biếu thức (4.35) còn có thể viết dưới dạng tương đương sau đây W = A(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) + B(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ), 2 (4.36) trong đó, A và B là những hằng số. Vì các biểu thức trong ngoặc của (4.36) chính là các bất biến I1 và I2 của tensơ ứng suất, cho nên, đối với vật thể đẳng hướng, có thể viết (trong hệ tọa độ thường) ( ) W = A(σ x + σ y + σ z ) + B σ xσ y + σ y σ z + σ z σ x − τ xy − τ yz − τ zx , 2 2 2 2 (4.37) 63
  13. Lý Thuyết Đàn Hồi và từ đó, trên cơ sở của công thức (4.18), suy ra ε x = 2 A(σ x + σ y + σ z ) + B (σ y + σ z ); γ xy = −2 Bτ xy ;  ε y = 2 A(σ x + σ y + σ z ) + B (σ z + σ x );  γ yz = −2 Bτ yz ; (4.38) ε z = 2 A(σ x + σ y + σ z ) + B (σ x + σ y ); γ zx = −2 Bτ zx .   Để xác định các hằng số A và B theo các hằng số kỹ thuật, ta phân tích theo phương pháp đã sử dụng bên trên, với các trạng thái ứng suất đặc biệt. Sau khi thay σ y = σ z = 0 vào công thức (4.38), ta thu được ε x = 2 Aσ x ; γ xy = −2 Bτ xy ; ε y = (2 A + B )σ x ; γ yz = −2 Bτ yz ; ε z = (2 A + B )σ x ; γ zx = −2 Bτ zx . Từ đó, 1 1 2A = ; - 2B = ; E G Ngoài ra còn có: (2 A + B ) = − ν 1 +ν E 1 ; ⇒ G= ⇒ −B= = . 2(1 + ν ) E E 2G Kết quả, đối với vật thể đẳng hướng, biểu thức thế năng đơn vị thể tích có dạng [ )] ( σ x2 + σ y + σ z2 − 2ν (σ xσ y + σ yσ z + σ z σ x + ) + 2(1 + ν ) τ xy + τ yz + τ zx ; 1 W= 2 2 2 2 (4.39) 2E còn định luật Hooke tổng quát sẽ là: −ν −ν 1  0 0 0 E E E    ε x   −ν −ν 0  σ x  1 0 0 ε   E  σ  E E  y   −ν −ν  y 0  σ  1 0 0 ε z   E   z  E E  =  τ  (4.40) γ xy   0 1 0   xy  0 0 0 γ yz   τ z  G   1 0  τ zx  γ zx   0 0 0 0    G  1 0  0 0 0 0  G hay, dưới dạng vô hướng, 64
  14. Lý Thuyết Đàn Hồi [ ] σ x − ν (σ y + σ z ) ; 1 1 εx = γ xy = τ xy ; E G [ ] ε y = σ y − ν (σ x + σ z ) ; 1 1 (4.40*) γ yz = τ yz ; E G [ ] ε z = σ z − ν (σ x + σ y ) ; 1 1 γ zx = τ zx . E G Công thức (4.40)/ (4.40*) cho phép tính các thành phần biến dạng theo các thành phần ứng suất. Trong nhiều trường hợp, cần đến các công thức, mà trong đó, các thành phần ứng suất được biểu diễn qua các thành phần biến dạng. Với mục đích này, đảo công thức (4.40), có kết quả: 3ν   σ x = 2G ε x + ε ; τ xy = Gγ xy ; 1 − 2ν   3ν   σ y = 2G ε y + ε ; τ yz = Gγ yz ; (4.41) 1 − 2ν   3ν   σ z = 2G ε z + ε ; τ zx = Gγ zx , 1 − 2ν   (ε x + ε y + ε z ). 1 trong đó, như đã biết, ε = 3 Công thức (4.41) cho phép ta viết biểu thức thế năng đơn vị thể tích theo các thành phần biến dạng: 9ν ( ). 2 12 W = G ε x + ε y + ε z2 + ε 2 + γ xy + γ yz + γ zx 2 2 2 (4.42)  1 − 2ν   2 Phương trình (4.41) còn có thể viết lại dưới dạng σ x = 2Gε x + λϑ; τ xy = 2Gγ xy ; σ y = 2Gε y + λϑ; τ yz = 2Gγ yz ; (4.43) σ z = 2Gε z + λϑ , τ zx = 2Gγ zx ; 2Gν trong đó, λ = - có tên là hằng số Lame', còn 1 − 2ν ϑ = 3ε - là hệ số giãn nở thể tích (xem §3.4). Từ công thức (4.43), có thể thu được các quan hệ sau: σ x − σ y = 2G (ε x − ε y ); σ y − σ z = 2G (ε y − ε z ); (4.44) σ z − σ x = 2G (ε z − ε x ), và σ x −σ y εx − ε y σ y −σ z εy −εz = = ; ; σ y −σ z ε y −εz σ z − σ x ε z − ε xz Trên cơ sở của (4.44), tổng của 3 ứng suất pháp bằng 65
  15. Lý Thuyết Đàn Hồi (ε x + ε y + ε z ), E σ x +σ y +σ z = 1 − 2ν hay E σ= ε = kϑ , (4.45) (1 − 2ν ) trong đó, ( ) 1 ε= εx + εy + εz 3 ; E k= 3(1 − 2ν ) (σ x + σ y + σ z ). 1 σ= 3 Công thức (4.45) cho thấy rằng, độ co giãn thể tích tương đối tỉ lệ với ứng suất trung bình (còn gọi là ứng suất thuỷ tĩnh). Hệ số tỉ lệ trong công thức (4.45), tức hệ số k, được gọi là module đàn hồi thể tích. Thực nghiệm cho thấy biểu thức (4.45) nghiệm đúng cho cả khi ứng suất trung bình rất lớn (ví dụ với σ = 15000 kG / cm 2 ) và vì thế có thể nói rằng, biến đổi về thể tích luôn là tuyến tính. Lưu ý đến (4.45), có thể viết lại (4.41) dưới dạng 1  σ x − σ = 2G (ε x − ε ); τ xy = 2G  γ xy ; 2  σ y − σ = 2G (ε y − ε ); 1  τ yz = 2G γ yz ; (4.46) 2  1  σ z − σ = 2G (ε z − ε ); τ zx = 2G γ zx . 2  Chú ý thấy rằng, vế bên trái của (4.46) chính là các thành phần của tensơ ứng suất lệch, còn vế bên phải tỉ lệ với các thành phần của tensơ biến dạng lệch, viết dưới dạng các biến dạng kỹ thuật. Và như vậy, có thể viết σ = 2G ~ ~ (4.47) e ij ij tức, tensơ ứng suất lệch tỉ lệ với tensor biến dạng lệch (xem §2.6 và §3.5). Dễ nhận thấy một điều là, trong trạng thái ứng suất một trục, công thức (4.45) sẽ biến đổi về dạng quan hệ Hooke quen thuộc. Thật vậy, với trạng thái ứng suất kéo-nén, ví dụ như, theo trục x, tức với ( σ x ≠ 0; σ y = σ z = τ xy = τ yz = τ zx = 0 ), có: (1 + ν )ε x 2 σi = σ x; ei = 3 và biểu thức (4.45) biến đổi thành σ x = Eε x . Các công thức (4.46) cũng như (4.47) biểu thị qui luật của sự thay đổi hình dáng – vì như đã chỉ ra trên đây, sự biến đổi thể tích gắn liền với ứng suất trung bình (tức với các thành phần của tensơ ứng suất cầu). 66
  16. Lý Thuyết Đàn Hồi Các công thức (4.41) và (4.44) cho phép ta xác lập quan hệ giữa cường độ ứng suất và cường độ biến dạng, là những đại lượng được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết dẻo. Muốn thế, chỉ cần thay hiệu số của các thành phần ứng suất theo công thức (4.44) và quan hệ giữa các ứng suất tiếp với các biến dạng trượt (4.46) vào công thức xác định cường độ ứng suất, σ i : ( ) (σ − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 τ xy + τ yz + τ zx . 1 σi = 2 2 2 2 2 2 (4.48), x 2 ta thu được công thức ( ) (ε − ε y ) + (ε y − ε z ) + (ε z − ε x ) + E2 32 σi = γ xy + γ yz + γ zx . 2 2 2 2 2 (4.49) 2(1 + ν ) x 2 Cường độ biến dạng, ei , được định nghĩa bởi ( ) (ε − ε y ) + (ε y − ε z ) + (ε z − ε x ) + 2 32 γ xy + γ yz + γ zx . ei = 2 2 2 2 2 (4.50) x 2 32 Từ đó, có thể viết công thức biểu thị mối quan hệ giữa cường độ ứng suất và cường độ biến dạng: 3E σi = (4.51) ei . 2 1 +ν 4.5.2 Giá trị giới hạn của các hằng số kỹ thuật Giá trị giới hạn biến đổi của các hằng số kỹ thuật có thể được xác lập qua việc nghiên cứu biểu thức thế năng đơn vị trong các trạng thái biến dạng đặc biệt. 1. Trạng thái kéo một trục: Trong trạng thái này, các thành phần ứng suất được cho bởi: σ 0 0 σ ij =  0 0 0 . (4.52)    0 0 0   Tương ứng, công thức thế năng đơn vị của trạng thái kéo một trục sẽ là: 1 +ν 2 ν 2 σ 2 σ− σ= W= (4.53) 2E 2E 2E Vì W luôn dương nên từ (4.53) suy ra E>0 (4.54) 2. Trạng thái cắt thuần túy: Trong trạng thái cắt phẳng thuần túy, các thành phần ứng suất được xác định bởi 0 τ 0 σ ij = τ 0 0 (4.55)   0 0 0   Công thức thế năng biến dạng sẽ là: 1 +ν τ2 () (1 + ν ) . (4,56) 2τ = W= 2 2E E Sử dụng tính chất thế năng dương và kết quả E > 0 bên trên, từ (4.56) ta có 1 + ν > 0 ⇒ ν > −1 . (4.57) 67
  17. Lý Thuyết Đàn Hồi 3. Trạng thái nén thủy tĩnh: Trong trạng thái nén đều theo mọi phương (gọi là nén thủy tĩnh), các thành phần ứng suất cho bởi − p 0 0 σ ij =  0 − p 0  .   0 − p 0   Thế năng đơn vị trong trạng trhái này được xác định bởi 1 +ν ν 2 (− 3 p )2 = 3 p (1 − 2ν ) . W= 3p2 − (4.58) 2E 2E 2E Sử dụng một lần nữa tính chất thế năng dương và E > 0 , từ (4.58) có: 1 1 − 2ν > 0 ⇒ ν < . (4.59) 2 Kết hợp (4.59) với (4.57) ta xác định được giới hạn của hệ số Poisson: 1 −1 0, > 0. (4.66) E E 68
  18. Lý Thuyết Đàn Hồi Vì E > 0 , ta có : 1 − 2ν > 0, 1 + ν > 0. Từ đó suy ra, hệ số Poisson chỉ có thể biến đổi trong giới hạn 1 −1
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2