zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Cơ khí - Chế tạo máy

Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 5

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

301
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

THIẾT LẬP BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI §5.1 Các phương trình cơ sở tổng quát của lý thuyết đàn hồi Trạng thái vật lý tại điểm vật chất trên vật thể đàn hồi được xác định bởi các đại lượng: 6 thành phần ứng suất, 6 thành phần biến dạng và 3 thành phần chuyển vị. Các đại lượng nói trên được gọi là các biến cơ bản của bài toán lý thuyết đàn hồi. Các biến cơ bản tại một điểm bên trong vật thể phải chịu sự ràng buộc bởi các quan hệ đã được thiết lập được...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 5

Lý Thuyết Đàn Hồi Chương V THIẾT LẬP BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI §5.1 Các phương trình cơ sở tổng quát của lý thuyết đàn hồi Trạng thái vật lý tại điểm vật chất trên vật thể đàn hồi được xác định bởi các đại lượng: 6 thành phần ứng suất, 6 thành phần biến dạng và 3 thành phần chuyển vị. Các đại lượng nói trên được gọi là các biến cơ bản của bài toán lý thuyết đàn hồi. Các biến cơ bản tại một điểm bên trong vật thể phải chịu sự ràng buộc bởi các quan hệ đã được thiết lập được từ các chương II, chương III và chương IV, bao gồm: ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fx = 0; ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fy = 0; • hệ các phương trình cân bằng: (5.1) ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fz = 0. ∂z ∂y ∂z 1  ∂v ∂u  ∂u γ xy =  + ; εx = 2  ∂x ∂y  ;   ∂x ∂v 1  ∂w ∂v  εy = ; γ yz =  + ; • các quan hệ ứng suất-biến dạng : (5.2) 2  ∂y ∂z  ∂y   ∂w 1  ∂u ∂w  εz = γ zx =  + ; . ∂z 2  ∂z ∂x  ∂  ∂e yz ∂e zx ∂e xy  ∂ 2 ex ∂ e y ∂ 2 e xy ∂ 2 ex 2 = − + + ; + =2 ; ∂y∂z ∂x  ∂x ∂z  ∂y ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2   ∂ e y ∂ ez ∂ e yz ∂ ey ∂e xy ∂e yz  ∂  ∂e 2 2 2 2 + =2 • =  − zx + + ; (5.3) hệ phương trình các tương thích: ; ∂z∂x ∂y  ∂y ∂x  ∂y∂z ∂z 2 ∂y 2 ∂z   ∂ ez ∂ ex ∂ e zx ∂  ∂e xy ∂e yz ∂e zx  2 2 2 ∂ ez 2 + 2 =2 = − + + . ; ∂x∂y ∂x  ∂z ∂y  ∂z∂x ∂x ∂z 2 ∂x   σ x = c11ε x + c12ε y + c13ε z + c14 γ xy + c15γ yz + c16 γ zx ; σ y = c 21ε x + c 22 ε y + c 23ε z + c 24 γ xy + c 25γ yz + c 26 γ zx ; σ z = c31ε x + c32 ε y + c33ε z + c34 γ xy + c35γ yz + c36 γ zx ; • định luật Hooke tổng quát: (5.4). τ xy = c 41ε x + c 42 ε y + c 43ε z + c 44γ xy + c 45γ yz + c 46 γ zx ; τ yz = c51ε x + c52 ε y + c53ε z + c54 γ xy + c55γ yz + c56 γ zx ; τ x = c61ε x + c62 ε y + c63ε z + c64 γ xy + c65γ yz + c66 γ zx . Trong 6 phương trình tương thích (5.3) trên đây, chỉ có 3 phương trình độc lập nhau và là các điều kiện cần và đủ để cho các thành phần chuyển vị là đơn trị và liên tục (cho vật thể đơn liên), khi các thành phần biến dạng xác định trước. Các phương trình trên đây được gọi là các phương trình cơ sở chung của lý thuyết đàn hồi. Về thực chất, các phương trình cơ sở chung bao gồm 15 phương trình vi phân và các quan hệ đại số, độc lập nhau, giữa các thành phần ứng suất, các tp biến dạng và các tp chuyển vị. Để hoàn tất việc thiết lập bài toán còn phải thiết lập các điều kiện biên. Các điều kiện biên được xác định tùy theo điều kiện vật lý, hình học tại từng điểm trên mặt bao vật thể khảo sát. Trong khi các phương trình cơ sở là như nhau thì các điều kiện 70
Lý Thuyết Đàn Hồi biên lại khác nhau, tùy thuộc vào từng bài toán. Để có được lời giải của các bài toán, cần biết cách xác định đúng các điều kiện biên. Các phương trình cơ sở kết hợp với các điều kiện biên sẽ hình thành các bài toán giá trị biên cơ bản (gọi tắt là bài toán biên) của lý thuyết đàn hồi. Có hai hình thức bài toán biên thường gặp, đó là: bài toán theo chuyển vị và bài toán theo ứng suất. Vì, nói chung, rất khó tìm lời giải của bài toán biên nên đã có khá nhiều các chiến thuật giải quyết vấn đề được đề ra phục vụ cho mục đích này. Trước khi thảo luận về các bài toán biên cơ bản, ta thảo luận thêm về các điều kiện biên và cách xác định đúng các điều kiện biên. Phần cuối chương nêu ra các chiến thuật thường sử dụng và giới thiệu các nguyên lý tổng quát được ứng dụng rộng rãi khi giải quyết các bài toán lý thuyết đàn hồi. Các quan hệ đề cập đến trong chương này và về sau chủ yếu được mô tả dưới dạng vô hướng hoặc ma trận. §5.2 Điều kiện biên Nếu như các giá trị các biến bên trong vật thể chỉ chịu sự ràng buộc của các phương trình cơ sở thì các biến cơ bản tại các điểm trên mặt biên còn phải tuân thủ thêm các các điều kiện biên. Về mặt vật lý, các điều kiện biên phản ảnh tương tác trên biên giữa vật thể với môi trường còn về mặt toán học, các điều kiện biên kết hợp với các phương trình cân bằng tạo để nên các bài toán biên hoàn chỉnh. Thông thường, điều kiện biên cho biết vật thể được giữ cân bằng trong không gian bằng cách nào và chịu tác dụng thế nào từ các đối tượng bên ngoài. Các điều kiện này được xác định, về mặt toán học, thông qua việc chỉ định (cho biết trước) các chuyển vị hoặc lực mặt tại các điểm trên mặt bao vật thể. Nếu ký hiệu bề mặt cho trước chuyển vị là Su (gọi tắt là mặt biên chuyển vị ) còn bề mặt cho trước lực mặt, (mặt biên lực), là ST thì bề mặt toàn bộ của vật thể, S , bằng tổng của mặt biên chuyển vị và mặt biên lực: S = Su + ST. Nếu chuyển vị biết trước là bằng 0, thì mặt biên được gọi là biên cố định. Nếu trên mặt biên không có lực tác dụng và chuyển vị cũng không biết trước, ta có điều kiện biên tự do. Nói chung, trên mỗi mặt biên tồn tại một điều kiện biên: hoặc là biên lực hoặc là biên chuyển vị. Tuy nhiên, theo hai hướng khác nhau trên cùng một mặt biên có thể tồn tại điều kiện biên chuyển vị theo hướng này và điều kiện biên lực còn theo hướng kia. Trong ví dụ về tấm chữ nhật chịu kéo đối xứng trên hình H5.2, hai cạnh song song với trục y là các biên lực, còn hai cạnh kia là các biên không chịu lực, cũng vẫn thuộc loại biên lực. Tuy nhiên, nếu sử dụng tính chất đối xứng của bài toán, chỉ cần khảo sát một nửa tấm, như trên hình, và trục đối xứng trở thành một "biên". Các điểm trên trục đối xứng không có chuyển vị đường theo phương x (là điều kiện biên chuyển vị) và không chịu lực mặt (là điều kiện biên không chịu lực) theo phương y, do đó, trục đối xứng vừa là biên lực vừa là biên chuyển vị. Tất nhiên các yếu tố chuyển vị và lực của loại điều kiện biên này phải tương ứng với nhau. Thiết lập các điều kiện biên là bước rất quan trọng trong quá trình lập bài toán và giải quyết bài toán lý thuyết đàn hồi. Việc xác định sai các điều kiện biên có thể biến bài toán này thành bài toán khác hoặc làm cho lời giải sai lệch và nhiều khi là không giải được. Kỹ năng thiết lập đúng các điều kiện biên cần được rèn luyện kỹ thông qua thực hành giải các bài tập. 71
Lý Thuyết Đàn Hồi Việc xác lập điều kiện biên chuyển vị có thể thực hiện một cách trực tiếp và, nói chung, là đơn giản hơn so với điều kiện biên lực. Việc áp đặt điều kiện biên lực tại một điểm trên biên có nghĩa là áp đặt điều kiện cân bằng của tứ diện phân tố tại điểm nói trên (xem §2.2). Dựa trên kết quả thu được từ chương II, điều kiện cân bằng của tứ diện phân tố được biểu diễn (dưới dạng vô hướng) bởi phương trình : Txn = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z ; T yn = τ xy n x + σ y n y + τ zy n z ; (5.5) Txn = τ xz n x + τ yz n y + σ z n z , trong đó, n x , n y , n z là các cosine chỉ phương pháp tuyến ngoài của điểm trên biên trong hệ tọa độ khảo sát; Txn , T yn , Tzn là các thành phần của vector lực mặt đơn vị tại điểm khảo sát; σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx là các thành phần ứng suất tại điểm khảo sát. Công thức (5.5) cho thấy, để thỏa mãn điều kiện cân bằng trên biên, lực mặt đơn vị phải có quan hệ xác định với các thành phần ứng suất tại các điểm trên biên. Việc xác lập điều kiện biên lực cho một bài toán cụ thể chính là việc xác định các cosine chỉ phương n x , n y , n z cùng với các thành phần lực mặt Txn , T yn , Tzn tại các điểm trên biên để từ đó xác lập được các quan hệ dạng (5.5), mà các thành phần ứng suất tại điểm trên biên phải thỏa mãn. H5.3 là các ví dụ đơn giản, cụ thể về các điều kiện biên. 72
Lý Thuyết Đàn Hồi §5.3 Các bài toán biên Giải một bài toán lý thuyết đàn hồi cụ thể là việc xác định phân bố ứng suất, biến dạng và \ hoặc chuyển vị thỏa mãn các phương trình cơ sở (5.1) cùng các điều kiện biên cụ thể của bài toán. Như trên đây đã đề cập đến, các phương trình cơ sở kết hợp với một loại điều kiện biên xác định sẽ hình thành một bài toán giá trị biên tương ứng. Ta gọi tắt bài toán giá trị biên là bài toán biên. Có 3 bài toán biên biên cơ bản, được xác định như sau: 1. Bài toán biên lực: Xác định sự phân bố của các ứng suất, chuyển vị và biến dạng tại các điểm trên vật thể đàn hồi cân bằng khi cho trước các lực khối và sự phân bố của các lực tác dụng lên bề mặt được mô tả bởi: () () T jn xiS = f j xiS (5.6) () trong đó, xiS biểu thị điểm trên mặt biên (chịu lực) còn f j xiS biểu thị giá trị của lực mặt tại điểm trên biên nói trên. 2. Bài toán biên chuyển vị: Xác định sự phân bố của các ứng suất, chuyển vị và biến dạng tại các điểm trên vật thể đàn hồi cân bằng khi cho trước các lực khối và sự phân bố của chuyển vị trên bề mặt được mô tả bởi: () () u j xiS = g j xiS (5.7) () trong đó, x biểu thị điểm trên mặt biên (chịu lực) còn g j xiS biểu thị giá trị của chuyển vị tại S i điểm trên biên nói trên. 3. Bài toán biên hỗn hợp: Xác định sự phân bố của các ứng suất, chuyển vị và biến dạng tại các điểm trên vật thể đàn hồi cân bằng khi cho trước các lực khối và sự phân bố của các lực tác dụng lên bề mặt chịu lực ST được mô tả bởi (5.6) và sự phân bố của chuyển vị trên bề mặt Su được mô tả bởi (5.7). §5.4 Tính duy nhất nghiệm của bài toán biên Ta xét bài toán với điều kiện biên hỗn hợp, tức tồn tại đồng thời cả mặt biên cv, Su lẫn mặt biên chịu lực ST. Tính chất duy nhất nghiệm bài toán gía trị biên được chứng minh bằng phương pháp phản { } { } chứng. Giả sử tồn tại đồng thời nghiệm phân biệt nhau hai: σ ij1) eij1) u i(1) và σ ij2 ) eij2 ) u i(2 ) , cho ( ( ( ( 73
Lý Thuyết Đàn Hồi cùng một bài toán với lực mặt, lực khối cũng như các điều kiện biên hệt như nhau. Hiệu của hai nghiệm trên được biểu diễn bởi: σ ij = σ ij1) − σ ij2 ) ' ( ( eij = eij1) − eij2 ) ; ( ( (5.8) u i = u i(1) − u i(2 ) . Vì hai nghiệm (1) và (2) thỏa mãn điều kiện cân bằng với cùng một lực khối như nhau nên hiệu của chúng sẽ phải thỏa mãn điều kiện cân bằng không lực khối, tức: σ ij , j = 0 (5.9) Cũng như vậy, hiệu hai nghiệm sẽ phải thỏa mãn điều kiện biên 0, tức điều kiện không có lực mặt trên mặt chịu lực ST cũng như không có chuyển vị trên mặt biên cv, hay: Ti n = σ ij n j = 0 trên ST (5.10) và cả điều kiện không chuyển vị trên biên chuyển vị Su : u i = 0 trên Su (5.11) Ta có thể biến đổi biểu thức thế năng vật thể ứng trạng thái hiệu của hai nghiệm như sau: 2 ∫ WdV = ∫ σ ij eij dV = ∫ σ ij (u i , j − ω ij )dV V V V = ∫ σ ij u i , j dV = ∫ (σ ij u i )dV − ∫ σ ij , j u i dV (5.12) V V V = ∫ σ ij n j u i dS − ∫ σ ij , j u i dV S V trong đó, ω ij = (u i , j − u j , i ) là tensor xoay [xem công thức (3.8)mục §3.1]. Để có kết quả trên, đã vận 1 2 dụng định lý divergent để chuyển tích phân trên thể tích về tích phân mặt tương ứng. Ngoài ra, cần nhớ rằng ngoại tích của một tensor đối xứng với một tensor phản xứng luôn bằng 0, nên có σ ij ω ij = 0 . Với lưu ý rằng mặt biên bao gồm hai phần: biên chịu lực và biên cv, tức S = S T + S u , trên cơ sở (5.9)÷(5.12) ta có 2 ∫ WdV = 0 . (5.13) V Vì thế năng W là hàm xác định dương nên từ (5.13) ta có W = 0 trên toàn miền V và từ đó, suy ra rằng các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng đều triệt tiêu, tức σ ij = eij = 0 , trên toàn miền. Vì eij = 0 trên toàn miền nên vật khảo sát không bị biến dạng mà chỉ có thể chuyển vị như vật rắn. Nhưng vì trên biên chuyển vị phải thỏa mãn điều kiện u i = 0 nên suy ra rằng, chuyển vị cũng triệt tiêu, tức, u i = 0 trên toàn miền V. Nói cách khác, hai nghiệm cho trước phải đồng nhất, hay, nghiệm bài toán là duy nhất. Lưu ý rằng, nếu như không tồn tại mặt biên chuyển vị thì u i(1) và u i( 2 ) sai khác nhau bởi chuyển vị của vật rắn. §5.4 Dạng chuyển vị và dạng ứng suất của các phương trình cơ sở chung Việc tìm lời giải bất kỳ một trong 3 bài toán biên trên đây đều hết sức phức tạp. Để phục vụ cho việc tìm các lời giải này, ta tiếp tục rút gọn, biến đổi các phương trình cơ sở (5.1)÷(5.4) về dạng thích hợp với từng bài toán biên nêu trên. Các phương trình cơ sở (5.1)÷(5.4) chứa 15 Nn số cơ bản, bao gồm các thành phần ứng suất, các thành phần biến dạng và các thành phần chuyển vị. Bằng cách sử dụng định luật Hooke để biểu diễn các thành phần ứng suất và dùng quan hệ ứng suất- biến dạng loại trừ các thành phần biến dạng, ta thu được hệ 3 phương trình chỉ với 3 Nn số là các thành phần chuyển vị. Đó là dạng chuyển vị của các phương trình cơ sở. Dạng chuyển vị của các phương trình cơ sở chung được sử dụng rất rộng rãi và đặc biệt thích hợp cho các bài toán biên chuyển vị, khi mà các điều kiện biên chỉ chứa chuyển vị. Một 74
Lý Thuyết Đàn Hồi cách khác, cũng dùng các quan hệ ứng suất- biến dạng nhưng để loại trừ các thành phần chuyển vị rồi dùng định luật Hooke để biểu diễn các thành phần biến dạng theo các thành phần ứng suất, các phương trình cơ sở sẽ trở thành các phương trình chỉ chứa các Nn số cơ bản là các thành phần ứng suất.Ta có dạng ứng suất của các phương trình cơ sở. Trong hai dạng của phương trình cơ sở trên đây, dạng ứng suất ít thông dụng hơn và chỉ tỏ ra thích hợp với bài toán biên lực, trong đó, các điều kiện biên chỉ chứa các thành phần ứng suất. Dưới đây ta tiến hành biến đổi các ứng suất tổng quát về hai dạng nói trên, chỉ hạn chế trong trường hợp vật thể đàn hồi đàn hồi đẳng hướng. 5.4.1 Dạng chuyển vị của các phương trình cơ sở chung Để đưa các ứng suất về dạng chuyển vị, trước tiên, sử dụng quan hệ ứng suất- biến dạng để biểu diễn các thành phần biến dạng trong quan hệ Hooke (cho vật thể đàn hồi đẳng hướng) dưới dạng (4.43)  ∂u ∂v ∂w  ∂u σ x = λ + +  ∂x ∂y ∂z  + 2G ∂x ;     ∂u ∂v ∂w  ∂v σ y = λ + +  ∂x ∂y ∂z  + 2G ∂y ;    (5.14)  ∂u ∂v ∂w  ∂w σ z = λ + + ∂x ∂y ∂z  + 2G ∂z ;     ∂u ∂v   ∂v ∂w   ∂w ∂u  τ xy = G  + ; τ yz = G  +  ∂z ∂y ; τ zx = G  ∂x + ∂z .  ∂y ∂x         Tiếp đến, thay các kết quả này vào các phương trình cân bằng (5.1), biểu diễn tất cả các thành phần ứng suất theo các thành phần chuyển vị, ta thu được hệ 3 phương trình cân bằng viết theo các thành phần chuyển vị. Hệ phương trình kết quả có thể viết gọn dưới dạng ký hiệu chỉ số như sau: Gu i , kk + (λ + G ) u k , ki + Fi = 0 . (5.15) Phương trình (5.15) được biết đến dưới tên gọi phương trình Lame’ hoặc phương trình Navier. Hay, nếu sử dụng toán tử Del và Laplacian đối với vector, có thể viết phương trình (5.15) dưới dạng G∇ 2 u + (λ + G )∇ (∇.u ) + F = 0 , (5.16) trong đó, u = u(u, v, w) và F = F (Fx , F y , Fz ) . Phương trình (5.16) có thể viết dưới dạng vô hướng như sau: ∂  ∂u ∂v ∂w  G∇ 2 u + (λ + G )  + +  + Fx = 0; ∂x  ∂x ∂y ∂z    ∂  ∂u ∂v ∂w  G∇ 2 v + (λ + G )  + +  + Fy = 0; (5.17) ∂y  ∂x ∂y ∂z    ∂  ∂u ∂v ∂w  G∇ 2 w + (λ + G )  + +  + Fz = 0. ∂z  ∂x ∂y ∂z    ∂2 ∂2 ∂2 Toán tử Laplacian được xác định bởi: ∇ 2 = + 2 + 2 . (xem §1.8) ∂x 2 ∂y ∂z Phương trình Navier là dạng phù hợp với bài toán biên chuyển vị. Thực chất, đây là hệ 3 phương trình cân bằng với 3 Nn là 3 thành phần chuyển vị. Các phương trình cơ sở còn lại đều đã được sử dụng trong quá trình biến đổi để hình thành được kết quả trên. Tuy dạng thức của phương trình Navier là khá đơn giản nhưng việc tìm nghiệm của bài toán biên chuyển vị trên sơ sở của phương trình này vẫn không hề đơn giản. Để giải bài toán loại này, người ta đã phải phát triển thêm các kỹ thuật toán học bổ sung. Một trong các phương pháp thông dụng nhất là sử dụng hàm thế chuyển vị. 75
Lý Thuyết Đàn Hồi 5.4.2 Dạng ứng suất của các phương trình cơ sở chung Để có được các ứng suất dưới dạng chỉ chứa Nn là các thành phần ứng suất, cũng xuất phát từ quan hệ Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng để thay thế các thành phần biến dạng trong phương trình tương thích bởi các thành phần ứng suất rồi kết hợp với các phương trình cân bằng sẽ thu được các phương trình có thể viết gọn theo các ký hiệu chỉ số như sau: ν 1 σ ij , kk + σ kk , ij = δ ij Fk , k − Fi , j − F j , i . (5.18) 1 +ν 1 −ν Phương trình (5.18) có tên là phương trình tương thích Beltrami-Michell. Trong trường hợp không có lực khối, các quan hệ trên có thể biểu diễn dưới dạng vô hướng sau đây: (1 + ν )∇ 2σ x + ∂ 2 (σ x + σ y + σ z ) = 0; 2 ∂x (1 + ν )∇ 2σ y + ∂ 2 (σ x + σ y + σ z ) = 0; 2 ∂y (1 + ν )∇ 2σ z + ∂ 2 (σ x + σ y + σ z ) = 0; 2 ∂z (5.19) ∂2 (σ x + σ y + σ z ) = 0; (1 + ν )∇ τ xy + 2 ∂x∂y (1 + ν )∇ 2τ yz + ∂ (σ x + σ y + σ z ) = 0; 2 ∂y∂z (1 + ν )∇ 2τ zx + ∂ (σ x + σ y + σ z ) = 0. 2 ∂z∂x Lưu ý rằng, trong 6 phương trình trên chỉ có 3 quan hệ độc lập nhau (xem §2.). Vì thế cho nên, để có được đủ số phương trình xác định 6 thành phần ứng suất, cần kết hợp (5.19) với các phương trình 3 cân bằng (5.1). Phương trình Beltrami-Michell, với các Nn số là các thành phần ứng suất, phù hợp với bài toán biên lực, trong đó các điều kiện biên chứa các thành phần ứng suất trên biên. Sau khi giải bài toán biên lực bằng phương trình Beltami-Michell, xác định được trực tiếp các thành phần ứng suất. Với các thành phần ứng suất tìm được, sử dụng định luật Hooke (4.40), dễ dàng tìm được các thành phần biến dạng, trong khi các thành phần chuyển vị sẽ là kết quả của việc tích phân phương trình (5.2). Tuy rằng phương trình Beltrami-Michell đơn giản hơn nhiều so với dạng ban đầu của các phương trình cơ sở chung của lý thuyết đàn hồi, nhưng việc tìm lời giải của bài toán biên lực vẫn còn hết sức khó khăn. Một công cụ toán học bổ trợ cho công việc này là hàm ứng suất. Khái niệm này tạo nên một phương thức biểu thị các thành phần ứng suất mà theo đó các phương trình cân bằng tự động được thỏa mãn. Trong bài toán 2D, với khái niệm này, các thành phần ứng suất được xác định qua duy nhất một hàm số của hai biến không gian và bài toán ban đầu dẫn đến chỉ một phương trình đạo hàm riêng (phương trình điều hòa kép) của hàm ứng suất. Nhờ quá trình đơn giản hóa này mà ta có thể giải bài toán bằng các phương pháp giải tích. Vấn đề này sẽ được thảo luận tiếp sau này khi giải quyết bài toán phẳng. Với bài toán biên lực, phương trình dạng ứng suất thường được sử dụng và ta nói bài toán lý thuyết đàn hồi được thiết lập dưới dạng ứng suất, còn với bài toán biên chuyển vị, phương trình dạng chuyển vị thường được sử dụng, và khi đó ta nói là bài toán lý thuyết đàn hồi được thiết lập theo chuyển vị. §5.5 Hai nguyên lý thông dụng Hai trong số các công cụ hữu dụng để giải quyết các bài toán đàn hồi trong kỹ thuật là nguyên lý cộng tác dụng và nguyên lý Saint-Venant. 76
Lý Thuyết Đàn Hồi 5.5.1 Nguyên lý cộng tác dụng Nguyên lý cộng tác dụng là kỹ thuật khá phổ biến, áp dụng cho các bài toán được dẫn bới các phương trình tuyến tính. Với giả thiết biến dạng bé, các ứng suất chuyển vị và ứng suất ứng suất đều là tuyến tính. Hơn nữa, các điều kiện biên (5.6) và (5.7) thường cũng là tuyến tính. Và như vậy, với tất cả các phương trình dẫn đều là tuyến tính, có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, đã được chứng minh và phát biểu bởi Chou PC và Pagano NJ,1967, như sau [3]: { } Nguyên lý cộng tác dụng: Với một bài toán biên cho trước, nếu như trạng thái σ ij1) , eij1) , u i(1) là ( ( lời giải của các phương trình đàn hồi cơ sở, ứng với lực khối Fi (1) và lực mặt Ti (1) và trạng thái {σ ( ) , } eij2 ) , u i(2 ) là lời giải của các phương trình đàn hồi cơ sở, ứng với lực khối Fi (2 ) và lực mặt Ti (2 ) ( 2 ij { } thì trạng thái σ ij1) + σ ij2 ) , eij2 ) + eij2 ) , u i(2 ) + u i(2 ) là lời giải của các phương trình đàn hồi cơ sở, ứng với ( ( ( ( lực khối Fi (1) + Fi (2 ) và lực mặt Ti (1) + Ti ( 2 ) Hình (H5.4) minh họa cho việc áp dụng nguyên lý trên vào bài toán 2D khi không có lực khối. 5.5.2 Nguyên lý Saint-Venant Một nguyên lý khác, được xây dựng trên cơ sở thực nghiệm, nhưng cũng hữu dụng và phổ biến không kém nguyên lý cộng tác dụng là nguyên lý Saint-Venant. Nguyên lý có thể được phát biểu như sau: Nguyên lý Saint-Venant: Hai hệ lực khác nhau nhưng tương đương tĩnh học với nhau, gây ra các trạng thai ứng suất, biến dạng và chuyển vị gần giống nhau tại vùng xa vị trí tác dụng lực. Trong phát biểu của nguyên lý Saint-Venant chứa các cụm từ và từ mang tính định tính như: “gần giống”, “xa” mà không đề cập đến các định lượng phân biệt nào đối với hai trạng thái trên. Nghiên cứu định lượng về vấn đề này là đề tài đã được rất nhiều nhà khoa học thực hiện [4]. §5.6 Phương pháp thuận, phương pháp ngược và phương pháp nửa ngược Để giải các bài toán lý thuyết đàn hồi phải vận dụng nhiều chiến thuật (phương pháp) khác nhau. Ở đây ta chỉ nêu ra 3 phương pháp giải tổng quát là phương pháp thuận, phương pháp ngược và phương pháp nửa ngược. 5.6.1 Phương pháp thuận Phương pháp thuận tìm lời giải bài toán lý thuyết đàn hồi thông qua tích phân trực tiếp hệ phương trình cơ sở (5.1)÷(5.4) hoặc các dạng chuyển vị và dạng ứng suất tương đương với hệ này, với việc thỏa mãn một cách chính xác các điều kiện biên. Phương pháp này gặp phải những khó khăn toán học nghiêmtrọng và chi vì thế chỉ hạn chế cho các bài toán với các dạng hình học đơn giản. 77
Lý Thuyết Đàn Hồi Ví dụ 5.1: Phương pháp tích phân trực tiếp. Kéo dầm lăng trụ dưới tác dụng của tải trọng bản thân Để minh họa cho phương pháp tích phân trực tiếp, ta xét một ví dụ đơn giản, khảo sát trường hợp một thanh lăng trụ bị kéo dưới tác dụng của trọng lượng bản thân (H5.5). Trong trường hợp khảo sát, lực khối là Fx = Fy = 0; Fz = − ρg , trong đó ρ - là tỉ trọng còn g là gia tốc trọng trường. Trên cơ cở giả thiết rằng mỗi một tiết diện đều chịu lực của phần dầm phía dưới, kéo phân bố đều, có thể xác định các thành phần ứng suất như sau: σ x = σ y = τ xy = τ yz = τ zx = 0; σ z = σ z ( z ) (5.20) Khi đó, phương trình cân bằng sẽ là ∂σ z = − Fz = σg (5.21) ∂z Với điều kiện biên không chịu lực tại tiết diện dưới cùng σ z = 0 , bằng việc tích phân trực tiếp phương trình trên, ta có kết quả σ z ( z ) = ρgz . (5.22) Để xác định các thành phần biến dạng, cần sử dụng định luật Hooke, việc này dẫn đến kết quả sau: ρgz νρgz ez = ; ex = e y = − e xy = e yz = e zx = 0 (5.23) ; E E Tiếp đến, các thành phần chuyển vị được xác định nhờ tích phân quan hệ chuyển vị- biến dạng (5.2), ứng với điều kiện biên không chuyển vị và điều kiện không xoay tại điểm A (x = y = 0; z = l ), được kết quả cuối cùng như sau: νρgxz νρgyz ρg 2 [ ] z + v (x 2 + y 2 ) − l 2 . u=− ; v=− ; w= (5.24) E E 2E 5.6.2 Phương pháp ngược Theo chiến thuật ngược, các thành phần chuyển vị hoặc ứng suất cụ thể được chọn trước. Vấn dề còn lại là xác định xem các thành phần chuyển vị hoặc ứng suất trên là nghiệm của bài toán nào. Thực chất là tìm dạng hình vật thể, các điều kiện biên cũng như lực khối mà các thành phần chuyển vị hoặc ứng suất trên nghiệm đúng. Và như vậy nghiệm của một bài toán được chỉ ra trước còn bản thân bài toán được xác định sau. Trở ngại chính của việc áp dụng kỹ thuật này khó xác lập nghiệm của các bài toán cụ thể mà thực tế công nghệ đặt ra. Ví dụ 5.2: Phương pháp ngược: Uốn thuần túy dầm Xét trường hợp của bài toán đàn hồi không lực khối, với các thành phần ứng suất cho bởi: 78
Lý Thuyết Đàn Hồi σ x = Ay; σ y = σ z = τ xy = τ yz = τ zx = 0 , (5.25) trong đó, A là hằng số. Với trường ứng suất tuyến tính như trên, các phương trình tương thích và phương trình cân bằng tự thỏa mãn và trường ứng suất này chính là nghiệm của một bài toán đàn hồi nào đó. Vấn đề đặt ra là bài toán nào nhận trường ứng suất trên làm nghiệm? Cách thức chung để trả lời câu hỏi trên là khảo nghiệm các dạng hình khác nhau cùng các điều kiện biên thực tế khác nhau, tìm hiểu xem trường hợp nào thì xuất hiện trường ứng suất cho trước trên đây. Vì thế, ta khảo sát không gian 2D dạng hình chữ nhật như trên H5.6 Để thỏa mãn trường ứng suất (5.25), hệ lực trên các mặt biên bên trái và trên mặt biên bên phải cần phải có vector chính bằng 0 và ứng suất pháp phải biến đổi tuyến tính như trên H5.6. Dễ thấy rằng các điều kiện biên này là điều kiện của bài toán uống thuần túy dầm, khi mà hợp lực tại hai biên đầu dầm không có vector chính mà chỉ có hai momen chính . Đây chính là điều kiện uốn thuần túy đối với vật thể dạng dầm lăng trụ. 5.6.3 Phương pháp nửa ngược Một trong các phương pháp, cho phép thu được lời giải của bài toán Lý thuyết đàn hồi trong một số trường hợp riêng, là phương pháp nửa ngược St. Venan. Nội dung của phương pháp này là: một phần của nghiệm bài toán được gán trước, trong khi phần còn lại tìm được bằng cách tích phân phương trình vi phân, là phương trình đã được đơn giản hoá nhiều nhờ thay vào đó phần nghiệm đã gán trước nói trên. Định lý về tính duy nhất nghiệm chính là cơ sở cho phương pháp này. Nhờ áp dụng nguyên lý Saint- Venant, phương pháp nửa ngược có khả năng thay nhiều bài toán phức tạp bằng các bài toán với điều kiện biên đơn tương đương tĩnh hoc, giản hơn. Ví dụ 5.3: Phương pháp nửa ngược: Xoắn dầm lăng trụ Bài toán xoắn dầm lăng trụ sẽ được trình bày chi tiết trong phần dưới đây để minh họa cho phương pháp nửa ngược. Trong ví dụ này, ta chỉ trích dẫn các kết quả chính mà không đi vào chi tiết. Bắt đầu với trường chuyển vị được cho trước như sau: u = −αyz; v = αxz; w = w( x, y ) , (5.26) trong đó, α là hằng số. Mặt phẳng tiết diện dầm song song với mặt phẳng tọa độ x-y còn trục z song song với trục dầm. Sử dụng quan hệ ứng suất- biến dạng và định luật Hooke, có các thành phần ứng suất tương ứng với các thành phần chuyển vị (5.26): σ x = σ y = σ z = 0;  ∂w  τ zx = G − αy ; (5.27)  ∂x   ∂w  τ yz  ∂y − αx . = G    79
Lý Thuyết Đàn Hồi Thay kết quả trên vào phương trình cân bằng, thu được phương trình thuộc dạng Navier cho trường hợp khảo sát: ∂2w ∂2w + = 0. (5.28) ∂x 2 ∂y 2 Đây chính là phương trình giúp ta xác định phần còn lại của nghiệm bài toán ban đầu. Điều kiện chuyển vị tại hai mặt biên cũng phải được xác định thuận theo qui luật (5.26). Cần nhận ra rằng, điều kiện biên trên, dù có bị áp đặt miễn cưỡng cũng không làm sai lệch kết quả đi bao nhiêu, đặc biệt là ở những vùng xa hai biên, tức ở vùng giữa dầm. Như vậy là, nhờ ấn định ngay từ đầu các chuyển vị dưới dạng (5.26), bài toán đã được đơn giản hóa rất nhiều. Việc giải phương trình Laplace (5.28) thỏa mãn điều kiện biên tự do ở mặt bên của dầm là không mấy khó khăn. §5.7 Các phương pháp giải phương trình bài toán đàn hồi Có rất nhiều các phương pháphương pháp toán học khác nhau phục vụ cho việc giải các hệ phương trình của bài toán đàn hồi. Một số trong đó cho phép thu được các lời giải chính xác, số còn lại cho các lời giải gần đúng. Nhóm thứ 3, ngày càng phát triển mạnh mẽ, đó là các phương pháp số. Dưới đây là sơ lược về một số trong các phương pháp này. 5.7.1 Các phương pháp giải tích Các phương pháp thuộc loại giải tích bao gồm: 1. Phương pháp chuỗi lũy thừa: Giải bài toán 2D, thông qua việc biểu diễn hàm ứng suất φ (x, y ) dưới dạng chuỗi lũy thừa φ ( x, y ) = ∑ ∑ Cmn x m y n n m Các hệ số C mn được xác định theo các điều kiện biên. 2. Phương pháp Fourier: Nhiều bài toán đàn hồi lớn, trong đó, các phương trình dẫn là phương trình đạo hàm riêng, được giải nhờ kỹ thuật tách biến số, cộng tác dụng và chuỗi Fourier hoặc tích phân Fourier. Trong nhiều nội dung của tài liệu này, phương pháp Fourier được sử dụng. 3. Phương pháp biến đổi tích phân: Là công cụ toán học hữu dụng trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng, dựa trên kỹ thuật biến hình tích phân. Nhờ phép biến đổi tích phân tuyến tính, một số dạng vi phân được đơn giản hóa hoặc bị loại trừ. Điều này cho phép tìm được lời giải đơn giải cho các biến số biến đổi. Sau khi thực hiện tiếp phép biến đổi ngược, tìm được các biến số ban đầu. Các phép biến đổi thông dụng bao gồm: phép biến đổi Laplace, Phép biến đổi Fourier và Phép biến đổi Hankel. 4. Phương pháp biến số phức: Nhiều bài toán đàn hồi như bài toán phẳng, bài toán xoắn và một số bài toán bài toán nhiệt đàn hồi có thể thiết lập được dưới dạng sử dụng các hàm biến phức. Đây là một công cụ mạnh và hữu dụng ngay cả trong những bài toán được coi là hết sức khó khăn, nếu theo các kỹ thuật khác. Các nhà khoa học Nga là những người có nhiều đóng góp trong lĩnh vực này [5]. 5.7.2 Các phương pháp xấp xỉ Nhiều phương pháp xấp xỉ được phát triển, phục vụ cho việc giải các bài toán đàn hồi, có lẽ vì tính phức tạp của việc giải các bài toán này khi dùng các phương pháp chính xác. Đa số các phương pháp xấp xỉ là các phươngpháp biến phân , nói riêng, và phương pháp năng lượng, nói chung. Phương pháp này hình thành nhờ việc tìm ra mối liên hệ giữa việc giải các phương trình dẫn của bài toán đàn hồi với việc cực trị hóa một một phiếm hàm tích phân. Một trong những đại diện của phương pháp hàm xấp xỉ là phương pháp Ritz. Trong phương pháp Ritz, một nhóm các hàm xấp xỉ được dùng để giải gần đúng bài toán đàn hồi, thông qua viêc tìm giá trị dừng của một tích phân năng lượng cụ thể nào đó. Các hàm xấp xỉ 80
Lý Thuyết Đàn Hồi được chọn sao cho điều kiện biên được thỏa mãn còn tích phân năng lượng chỉ đạt xấp xỉ cực trị. Số hàm xấp xỉ chọn càng nhiều, độ chính xác của lời giải, nói chung, càng được cải thiện. Do khó khăn trong việc chọn các hàm xấp xỉ thỏa mãn các điều kiện biên trong các bài toán có dạng hình học phức tạp nên hiện nay, phương pháp biến phân hàm xấp xỉ ít được sử dụng. Tuy vây, Các phương pháp biến phân nói chung đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc áp dụng vào phương pháp phần tử hữu hạn, là một trong những kỹ thuật tính toán mạnh nhất hiện nay, đặc biệt là trong việc giải các bài toán đàn hồ 5.7.3 Các phương pháp số Lịch sử phát triển của phương pháp số không lâu đời bằng các phương pháp khác nhưng, ngược lại, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, vai trò của các phương pháp này trong thực tế hiện nay không phương pháp nào so sánh được. Các phương pháp số đặc biệt hữu hiệu trong các bài toán đàn hồi với dạng hình học phức tạp. Chính các phương pháp số là cơ sở cho việc lập trình của các chương trình tính toán thông dụng hiện nay. Ta chỉ điểm qua mọt cách ngắn gọn một số phương pháp quan trọng nhất hiện nay. 1. Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM): Phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên việc thay thế các đạo hàm trong các phương trình dẫn bằng các bước nhảy tương đối của các hàm tại các điểm lưới rời rạc hóa không gian khảo sát. Kết quả của việc thay thế này dẫn đến hệ phương trình đại số theo các giá trị tại các điểm lưới của hàm cần tìm. Phương pháp này được thiết lập từ hơn một thế kỷ trước đây. Đây cũng là một công cụ được ứng dụng giải các bài toán đàn hồi [6]. Phương pháp sai phân hữu hạn thường gặp phải khó khăn trong việc giải các bài toán đàn hồi với dạng hình học phức tạp, tuy kỹ thuật biến đổi hệ tọa độ đã khắc phục được một phần khó khăn này. 2. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM): Là một phương pháp số thông dụng nhất hiện nay, phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên ý tưởng thay thể không gian khảo sát liên tục bằng một tập hợp hữu hạn các không gian con, gọi là các phần tử có kích thước nhỏ nhưng hữu hạn. Giá trị các hàm cần tìm tại các điểm nút của các phân tử và các hàm dạng, xác định trong phạm vi của từng phần tử, được dùng thay thể xấp xỉ hàm cần tìm. Bằng kỹ thuật thay thế này, phiếm hàm năng lượng trở thành hàm nhiều biến, là giá trị của hàm Nn tại các điểm nút. Áp dụng điều kiện cực trị của hàm nhiều biến, tương ứng với giá trị dừng của phiếm hàm, tìm được các giá trị trên biên của hàm Nn. Kết quả , với bài toán đàn hồi tuyến tính, dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính mà việc giải không còn là vấn đề đáng quan tâm. Bản thân các hàm Nn tìm được qua quá trình thay ngược dựa vào các giá trị tại nút của hàm Nn có được nhờ giải hệ phương trình đại số tuyến tính và các hàm dạng nói trên. 3.Phương pháp phần tử biên (BEM) Phương pháp phần tử biên dựa trên việc thay thế các phương trình dẫn của lý thuyết đàn hồi bằng một phương trình tích phân với Nn số xác định trên mặt biên của miền khảo sát. Phương trình tích phân biên có thể giải trên cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn, theo đó, mặt biên được rời rạc hóa ra thành một tập hợp các phần tử hữu hạn rồi áp dụng khái niệm xấp xỉ nội suy để biểu diễn các hàm cần tìm. Quá trình thực hiện lại dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính cho phép giải ra các giá tri trên biên của hàm cầm tìm. Bằng khái niệm tích phân biên, có thể giải bài toán đàn hồi ban đầu với số Nn ít hơn nhiều so với việc giải bài toán ban đầu theo phương pháp phần tử hữu hạn. Nhờ tránh được việc rời rạc hóa bên trong vật thể, phương pháp phần tử biên tỏ ra có nhiều ưu thế so với phương pháp phần tử hữu hạn trong các bài toán liên quan đến các không gian lớn, tới các miền vô hạn hoặc trong các trường hợp chỉ cần các thông tin trên biên [7]. 81

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.