Lý Thuyết Đàn Hồi
1
MỞ ĐẦU
Tài liệu được biên soạn nhằm mục đích cung cấp cho học viên những khái niệm cơ sở của lý
thuyết phân tích các kết cấu công trình nói chung và kết cấu tàu thủy nói riêng. Trong tài liệu, các nguyên
tắc cơ bản sau đây cố gắng thể hiện: Nguyên tắc đầu tiên là bảo đảm tính nhất quán, tính logic trong toàn
bộ tài liệu được trình bày, tránh dùng bất cứ một “giả định” mơ hồ nào làm cơ sở cho một phương pháp
tính nào đó. Mọi giả thiết có tính gần đúng luôn được đi kèm bởi những lời giải thích về tính phù hợp của
chúng. Nguyên tắc thứ hai là chấp nhận việc giải thích thêm khi cần thiết. Nguyên tắc này xuất phát từ đặc
điểm của quá trình nhận tcần có sự lặp lại. Tính chất lặp lại là một trong các công cụ quan trọng của quá
trình nhận thức. Việc giải thích thêm có mục đích tránh hiểu vấn đề một cách sai lệch, tránh ngộ nhận.
Nguyên tắc thứ 3 là các chủ đề chính của các nội dung được trình bày luôn được tóm lược, nhờ đó người
đọc có được nhận thức tổng thể với đầy đủ những nội dung chính yếu về những vấn đề đã đọc qua.
Lý Thuyết Đàn Hồi giải các bài toán liên quan đến việc xác định ứng suất và biến dạng, xuất hiện
trong vật thể đàn hồi, dưới tác dụng của lực ngoài. Đây cũng chính là vấn đề đã giải quyết trong môn học
sức bền vật liệu. Tuy nhiên, trong giáo trình sức bền vật liệu, nhiều giả thiết tính toán cụ thể khác nhau đã
được sử dụng, nhằm thu được những lời giải gần đúng cho các bài toán riêng biệt và do đó, chỉ áp dụng
được cho chính các bài toán này thôi. Lý Thuyết Đàn Hồi đặt ra mục tiêu là tìm những lời giải chính xác,
dựa trên các giả thiết chung về tính chất của vật thể khảo sát mà không phụ thuộc gì vào hình dáng vật thể
cũng như tính riêng biệt của tải trọng tác dụng lên vật thể. . .
Vật thể khảo sát trong Lý Thuyết Đàn Hồi được giả thiết là có tính liên tục, tức, vật thể khảo sát
luôn điền đầy không gian mà nó chiếm chỗ, trước cũng như sau khi bị biến dạng. Ta coi là trong mỗi thể
tích bất kỳ, dù nhỏ đến đâu, cũng chứa vô số các phân tử và tác dụng của phần vật thể bị cắt bỏ lên phần
khảo sát có thể đánh giá bằng trị số trung bình của sự thay đổi lực tương tác giữa các phần vật thể nằm về
hai phía của mặt cắt. Các chuyển vị là những hàm liên tục của toạ độ các điểm. Tính chất liên tục cho
phép ứng dụng giải tích các đại lượng vô cùng bé vào việc nghiên cứu biến dạng của vật thể đàn hồi. Sai
số liên quan đến việc sử dụng tính chất nói trên là có thể bỏ qua trong các bài toán thực tế, vì nó chỉ đáng
kể khi xác định ứng suất trên các diện tích với kích thước cỡ của khoảng cách phân tử và khi xác định các
chuyển vị của các điểm mà khoảng cách giữa chúng cũng vào cỡ khoảng cách giữa các phân tử.
Ngoài ra, cũng còn phải giả thiết rằng, có thể áp dụng các định luật của của tĩnh học và động lực
học cho các phân tố nhỏ tuỳ ý, từ vật thể khảo sát.
Các vật thể đàn hồi, là đối tượng nghiên cứu của môn học, còn có nhiều tính chất khác mà ta sẽ đề
cập đến sau này khi thiết lập các phương trình cơ bản của Lý thuyết đàn hồi.
Lý Thuyết Đàn Hồi
2
Chương I
TOÁN HỌC CƠ SỞ
Các ứng dụng của Lý Thuyết Đàn Hồi đòi hỏi sự hiểu biết về nhiều lĩnh vực toán học khác nhau.
Bản thân Lý Thuyết Đàn Hồi được xây dựng trên cơ sở ứng dụng nhiều đại lượng biến đổi (các biến) khác
nhau, trong đó có các biến vô hướng, các vector, các trường tensor và phải sử dụng nhiều đến các phép
tính tensor. Vận dụng các nguyên lý của Cơ Học Các Môi Trường Liên Tục, Lý Thuyết Đàn Hồi được xây
dựng dưới dạng một tập hợp các phương trình đạo hàm riêng mà lời giải của chúng được tìm trong các
miền trùng với không gian mà vật thể khảo sát chiếm chỗ. Để giải các phương trình này, trong nhiều kỹ
thuật khác nhau, thường phải dùng đến phương pháp Fourier, các kỹ thuật biến phân, các phép biến đổi
tích phân, các biến số phức, lý thuyết thế năng, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu
hạn, phần tử biên,... Vì thế cho nên, để nắm được các cơ sở của Lý Thuyết Đàn Hồi, cần có một căn bản
toán học tương xứng. Mục đích của chương này là cung cấp cho người đọc một số chuyên đề toán học
thiết yếu, phục vụ cho việc lĩnh hội các cơ sở của Lý Thuyết Đàn Hồi. Các chuyên đề toán học khác sẽ
được trình bày tóm lược ở các chương, nơi mà chúng được sử dụng.
§1.1 Các định nghĩa về vô hướng, vector, ma trận và tensor.
Trong Lý Thuyết Đàn Hồi thường sử dụng nhiều loại biến khác nhau, trong đó có các loại biến có
các biến vô hướng. Các biến vô hướng chỉ biểu thị về độ lớn (của một đối tượng nào đó) tại mỗi một điểm
riêng biệt trong không gian (mà vật thể khảo sát chiếm chỗ). Các vô hướng thường gặp là: tỉ trọng vật liệu
ρ
, module đàn hồi E, hệ số Poisson
ν
, module trượt G. Một loại biến khác cũng được sử dụng nhiều, đó
là các đại lượng vector. Các biến vector có thể biểu diễn được theo các thành phần của nó trong các hệ tọa
độ 2 hoặc 3 chiều. Ví dụ về các biến vector là: Chuyển vị của một điểm vật chất trong vật thể đàn hồi, góc
xoay của một vật thể… Các công thức của Lý thuyết Đàn Hồi còn được diễn đạt với việc sử dụng các biến
ma trận. Các biến ma trận thường được dùng khi cần biểu thị một đại lượng với nhiều hơn 3 thành phần.
Ma trận ứng suất và ma trận biến dạng là những ví dụ về biến ma trận. Như sẽ thấy trong các chương dưới
đây, để biểu thị ứng suất hoặc biến dạng tại một điểm thuộc không gian 3 chiều, đòi hỏi đồng thời 9 thành
phần (trong đó có 6 thành phần độc lập nhau). Trong trường hợp này, chỉ cần sử dụng một biến dưới dạng
ma trận với 3 hàng và 3 cột là đủ.
Tóm lại, trong hệ tọa độ Đề Các 3 chiều, các biến vô hướng, biến vector, biến ma trận có thể được
biểu diễn (ví dụ) như sau:
Tỉ trọng (vô hướng) =
ρ
;
Vector chuyển vị =
321
eeeu ++= v;
Ma trận ứng suất =
[ ]
==
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σττ
τστ
ττσ
σσ
;
trong
đ
ó,
321
,, eee
là 3 vector
đơ
n v
ị
c
ơ
s
ở
trên 3 tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
Trong vi
ệ
c bi
ể
u
đạ
t các v
ấ
n
đề
c
ủ
a Lý Thuy
ế
t
Đ
àn H
ồ
i, v
ớ
i m
ộ
t bi
ế
n nhi
ề
u khi còn
đ
òi h
ỏ
i s
ố
thành ph
ầ
n nhi
ề
u h
ơ
n th
ế
n
ữ
a. Khi
đ
ó ph
ả
i v
ậ
n dung
đế
n các phép tính tensor v
ớ
i vi
ệ
c s
ử
d
ụ
ng các các ký
hiệu chỉ số (Index Notation).
Đ
i
ề
u này cho phép bi
ể
u th
ị
t
ấ
t c
ả
các bi
ế
n và các phương trình dẫn
1
theo
m
ộ
t s
ơ
đồ
tiêu chu
N
n hóa duy nh
ấ
t. Có th
ể
nói m
ộ
t cách
đơ
n gi
ả
n r
ằ
ng: các bi
ế
n vô h
ướ
ng, bi
ế
n vector,
bi
ế
n ma tr
ậ
n và các bi
ế
n khác c
ấ
p cao h
ơ
n
đề
u có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i các tensor v
ớ
i các c
ấ
p khác nhau.
§1.2 Ký hi
ệ
u ch
ỉ
s
ố
(Tensor) và các phép tính
Ký hi
ệ
u ch
ỉ
s
ố
là s
ơ
đồ
g
ọ
n nh
ấ
t mà nh
ờ
đ
ó m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
(là các ph
ầ
n t
ử
hay các thành ph
ầ
n)
có th
ể
đượ
c bi
ể
u di
ễ
n b
ở
i ch
ỉ
m
ộ
t ký hi
ệ
u có kèm các ch
ỉ
s
ố
. Ví d
ụ
nh
ư
c
ả
3 s
ố
a
1
, a
2
, a
3
có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n
b
ở
i m
ộ
t ký hi
ệ
u ch
ỉ
s
ố
(tensor) a
i
trong
đ
ó, ch
ỉ
s
ố
i bi
ế
n
đổ
i (ch
ạ
y) trong phạm vi 1, 2, 3. C
ũ
ng t
ươ
ng t
ự
,
1
Là các phương trình chủ đạo mà việc giải chúng cho phép tìm được lời giải của một vấn đề (một bài toán) nào đó.
Lý Thuy
ế
t
Đ
àn H
ồ
i
3
ký hi
ệ
u a
ij
bi
ể
u th
ị
cho c
ả
t
ậ
p h
ợ
p 9 s
ố
: a
11
, a
12
, a
13
, a
21
, a
22
, a
23
, a
31
, a
32
, a
33
. Ph
ạ
m vi c
ủ
a các ch
ỉ
s
ố
i
và j
đề
u là 1, 2, 3.
Có nhi
ề
u cách bi
ể
u di
ễ
n khác nhau
đố
i v
ớ
i t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
nói trên, tuy nhiên, cách thông d
ụ
ng nh
ấ
t
là s
ử
d
ụ
ng s
ơ
đồ
có liên h
ệ
đế
n các d
ạ
ng th
ứ
c vector và d
ạ
ng th
ứ
c ma tr
ậ
n nh
ư
sau:
=
3
2
1
a
a
a
i
a
;
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
ij
a
(1.1)
Trong d
ạ
ng th
ứ
c ma tr
ậ
n, a
1i
bi
ể
u di
ễ
n hàng
đầ
u tiên, a
i1
bi
ể
u di
ễ
n c
ộ
t
đầ
u tiên. V
ớ
i các hàng và
c
ộ
t khác c
ũ
ng có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n theo cách t
ươ
ng t
ự
, t
ứ
c ch
ỉ
s
ố
đầ
u tiên th
ể
hi
ệ
n s
ố
th
ứ
t
ự
hàng, ch
ỉ
s
ố
th
ứ
2-
s
ố
th
ứ
t
ự
c
ộ
t.
M
ộ
t cách t
ổ
ng quát, a
ij...k
v
ớ
i N ch
ỉ
s
ố
phân bi
ệ
t bi
ể
u th
ị
đượ
c
đế
n 3
N
s
ố
phân bi
ệ
t. C
ầ
n th
ấ
y rõ r
ằ
ng
a
i
và a
j
cùng bi
ể
u th
ị
3 s
ố
nh
ư
nhau, c
ũ
ng nh
ư
a
ij
và a
kl
cùng bi
ể
u th
ị
m
ộ
t ma tr
ậ
n.
•
Các phép tính cộng, trừ, nhân (tích) hay bằng nhau c
ủ
a hai ký hi
ệ
u ch
ỉ
s
ố
c
ũ
ng
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a
theo cách thông th
ườ
ng. Ch
ẳ
ng h
ạ
n nh
ư
, phép c
ộ
ng và phép tr
ừ
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i:
±
±±
±±
±±
±±
±±
±
±
±±
±±
±±
±±
±±
±
±
±±
±±
±±
±±
±±
±
=
==
=±
±±
±
±
±±
±
±
±±
±
±
±±
±
=
==
=±
±±
±
333332323131
232322222121
131312121111
33
22
11
;
bababa
bababa
bababa
ba
ba
ba
klijii
aaba
. (1.2)
•
Nhân với một vô hướng
đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau:
=
=
333231
232221
131211
3
2
1
;
aaa
aaa
aaa
a
a
a
iji
λλλ
λλλ
λλλ
λ
λ
λ
λ
λ
aa
(1.3)
•
Ngoại tích gi
ữ
a hai ký hi
ệ
u v
ớ
i các ch
ỉ
s
ố
phân bi
ệ
t trong tr
ườ
ng h
ợ
p
đơ
n gi
ả
n
đượ
c xác
đị
nh theo
khuôn m
ẫ
u sau:
=
333313
332312
312111
bababa
bababa
bababa
ji
ba
(1.4)
Các toán t
ử
trên
đ
ây tuân th
ủ
lu
ậ
t k
ế
t h
ợ
p, lu
ậ
t giao hoán và lu
ậ
t phân ph
ố
i. Các
đị
nh lu
ậ
t này
đượ
c
minh h
ọ
a qua các ví d
ụ
sau:
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
;
;
;
;
kijkijkkij
ljkiljki
iiiiii
ijk
cabacba
cbacba
cbacba
abba
abba
+=+
=
++=++
=
+=+
kij
iiii
(1.5)
•
Toán t
ử
“b
ằ
ng” (bi
ể
u th
ị
b
ở
i d
ấ
u "=") ch
ỉ
có th
ể
đặ
t gi
ữ
a hai ký hi
ệ
u có các ch
ỉ
s
ố
phân bi
ệ
t
phù h
ợ
p (d
ồ
ng nh
ấ
t) v
ớ
i nhau và bi
ể
u th
ị
quan h
ệ
b
ằ
ng nhau c
ủ
a các thành ph
ầ
n t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a hai
ký hi
ệ
u.
Ch
ẳ
ng h
ạ
n:
a
i
= b
i
có ngh
ĩ
a là: a
1
= b
1
; a
2
= b
2
; a
3
= b
3 ;
còn quan h
ệ
a
ij
= b
ij
có ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
, là: a
11
= b
11
; a
12
= b
12
; a
13
= b
13
....; a
33
= b
33
.
Đ
i
ề
u
đ
áng chú ý
ở
đ
ây là b
ả
o
đả
m s
ự
gi
ố
ng nhau gi
ữ
a các ch
ỉ
s
ố
t
ươ
ng
ứ
ng
ở
v
ề
hai phía c
ủ
a d
ấ
u
"=". Chính vì th
ế
, các quan h
ệ
có d
ạ
ng nh
ư
: a
i
= b
j
hay a
ij
= b
kl
có ngh
ĩ
a m
ơ
h
ồ
(không rõ ràng)
vì các ch
ỉ
s
ố
t
ươ
ng
ứ
ng không gi
ố
ng nhau. Tóm l
ạ
i là các ch
ỉ
s
ố
phân bi
ệ
t t
ươ
ng
ứ
ng
ở
hai v
ế
trong quan h
ệ
"b
ằ
ng" ph
ả
i
đồ
ng nh
ấ
t.
Lý Thuy
ế
t
Đ
àn H
ồ
i
4
Qui
ướ
c ch
ỉ
s
ố
câm:
Để
cho ti
ệ
n l
ợ
i trong cách di
ễ
n
đạ
t, ta qui
ướ
c r
ằ
ng: n
ế
u nh
ư
m
ộ
t ch
ỉ
s
ố
d
ướ
i nào
đ
ó xu
ấ
t hi
ệ
n hai
l
ầ
n trong m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng thì nó có ngh
ĩ
a là t
ổ
ng l
ấ
y theo ch
ỉ
s
ố
này khi nó ch
ạ
y t
ừ
1
đế
n 3, ví d
ụ
:
∑
++=
∑
++==
=
=
3
1332211
3
1332211
jiii
iiiii
bababa
aaaa
jij
ba
a
(1.6)
C
ầ
n nh
ắ
c l
ạ
i r
ằ
ng, theo qui
ướ
c trên,
..===
mmjjii
aaa
. nên các chỉ số lặp (t
ứ
c xu
ấ
t hi
ệ
n hai l
ầ
n)
có tên là chỉ số câm. Các ch
ỉ
s
ố
không
đượ
c
ấ
n
đị
nh (t
ứ
c không ph
ả
i là m
ộ
t con s
ố
c
ụ
th
ể
) và không l
ặ
p l
ạ
i
đượ
c g
ọ
i là chỉ số tự do ho
ặ
c chỉ số phân biệt. Qui
ướ
c trên
đ
ây
đượ
c g
ọ
i là qui ước chỉ số câm ho
ặ
c qui
ước tổng. Qui
ướ
c t
ổ
ng s
ẽ
không áp d
ụ
ng n
ế
u nh
ư
xu
ấ
t hi
ệ
n d
ấ
u g
ạ
ch d
ướ
i
ở
m
ộ
t trong hai ch
ỉ
s
ố
l
ặ
p
ho
ặ
c,
đơ
n gi
ả
n h
ơ
n, n
ế
u có chú thích "không t
ổ
ng"
ở
bên c
ạ
nh. Vi
ệ
c m
ộ
t ch
ỉ
s
ố
xu
ấ
t hi
ệ
n quá 2 l
ầ
n trong
cùng m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng (ch
ẳ
ng h
ạ
n: a
iii ,
a
ijkl
b
kml
c
lkj
) s
ẽ
có ý ngh
ĩ
a m
ơ
h
ồ
và c
ầ
n tránh s
ử
d
ụ
ng. Trong m
ộ
t ký
hi
ệ
u, tác
độ
ng c
ủ
a qui
ướ
c ch
ỉ
s
ố
câm
đố
i v
ớ
i hai ch
ỉ
s
ố
gi
ố
ng nhau g
ọ
i là phép co. Ch
ẳ
ng h
ạ
n nh
ư
: a
ii
chính là k
ế
t qu
ả
c
ủ
a a
ij
khi co hai ch
ỉ
s
ố
i và j . Phép co
đượ
c s
ử
d
ụ
ng khi th
ự
c hi
ệ
n ngo
ạ
i tích gi
ữ
a hai ký
hi
ệ
u ch
ỉ
s
ố
mà m
ộ
t ch
ỉ
s
ố
trong m
ỗ
i ký hi
ệ
u (tensor) trùng v
ớ
i ch
ỉ
s
ố
c
ủ
a ký hi
ệ
u kia, làm n
ả
y sinh toán t
ử
nội tích; ch
ẳ
ng h
ạ
n, a
ij
b
jk
là n
ộ
i tích thu
đượ
c t
ừ
ngo
ạ
i tích a
ij
b
mk
nh
ờ
phép co th
ự
c hi
ệ
n
đố
i v
ớ
i hai ch
ỉ
s
ố
j và m.
M
ộ
t tensor a
ij...nm...kl
đượ
c g
ọ
i là đối xứng
đố
i v
ớ
i n và m n
ế
u nh
ư
th
ỏ
a m
ả
n
a
ij...m..n..kl
= a
ij..n..m..kl
(1.7)
còn n
ế
u nh
ư
th
ỏ
a mãn
a
ij...m..n..kl
= -a
ij..n..m..kl
(1.8)
thì
đượ
c g
ọ
i là đối xứng lệch ho
ặ
c phản xứng. Có th
ể
th
ấ
y r
ằ
ng, v
ớ
i hai tensor mà m
ộ
t trong hai là
đố
i
x
ứ
ng
đố
i v
ớ
i hai ch
ỉ
s
ố
nào
đ
ó còn tensor kia l
ạ
i là ph
ả
n x
ứ
ng c
ũ
ng
đố
i v
ớ
i hai ch
ỉ
s
ố
này ngo
ạ
i tích c
ủ
a
hai tensor này b
ằ
ng 0. T
ứ
c: n
ế
u a
ij..m..n..k
là
đố
i x
ứ
ng
đố
i v
ớ
i
m và n còn b
pq...m..n..l
là ph
ả
n x
ứ
ng
đố
i v
ớ
i m
và n thì
a
ij..m..n..k
b
pq..m..n..l
=
0. (1.9)
Ta có th
ể
vi
ế
t
đồ
ng nh
ấ
t th
ứ
c thông d
ụ
ng sau
(
)
(
)
( )
[ ]
ij
aaaaaaa
ijjiijjiijij
+=−++=
2
1
2
1
, (1.10)
trong
đ
ó, s
ố
h
ạ
ng th
ứ
nh
ấ
t
( )
(
)
jiijij
aaa +=
2
1
là ph
ầ
n
đố
i x
ứ
ng còn s
ố
h
ạ
ng th
ứ
hai
[ ]
(
)
jiijij
aaa −=
2
1
là
ph
ầ
n ph
ả
n x
ứ
ng. V
ậ
y là: m
ộ
t tensor a
ij
b
ấ
t k
ỳ
có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n b
ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a ph
ầ
n
đố
i x
ứ
ng và ph
ầ
n ph
ả
n
x
ứ
ng. M
ộ
t tensor
đố
i x
ứ
ng
ij
a
ch
ỉ
có 6 thành ph
ầ
n
độ
c l
ậ
p nhau còn n
ế
u
ij
a
là ph
ả
n x
ứ
ng, các thành ph
ầ
n
trên
đườ
ng chéo a
ii
(không t
ổ
ng) c
ủ
a nó b
ằ
ng 0 và nh
ư
v
ậ
y, ch
ỉ
có 3 thành ph
ầ
n
độ
c l
ậ
p. Vì r
ằ
ng
[ ]
ij
a
ch
ỉ
có 3 thành ph
ầ
n
độ
c l
ậ
p nên có th
ể
bi
ể
u th
ị
nó nh
ờ
ký hi
ệ
u v
ớ
i ch
ỉ
s
ố
đơ
n, a
i
, ch
ẳ
ng h
ạ
n.
§1.3 Delta Kronecker
ij
δ
và Ký hiệu hoán vị
ijk
ε
Trong lý thuyết tensor, có một ký hiệu chỉ số đặc biệt thông dụng, đó là Delta Kronecker, được
định nghĩa bởi
=
≠
=
=
100
010
001
khi0
1
ji
jikhi
ij
δ
(1.11)
Lý Thuyết Đàn Hồi
5
Trong lý thuyết ma trận, ký hiệu trên đây chính là ma trận đơn vị. Delta Kronecker là một tensor
đối xứng. Các tính chất làm cho Delta Kronecker được ứng dụng rộng rãi bao gồm:
3
;
;
;13
;
=
==
==
==
=
=
==
==
==
=
=
==
==
==
=
=
==
==
==
=
=
==
=
ijijiiijij
ijikjkikjkij
iijijij
iiii
jiij
δδ ;aaδ
aaδ ;aaδ
aaδ ;aaδ
δ ;δ
δδ
j
(1.12)
Bên c
ạ
nh Delta Kronecker (còn g
ọ
i là ký hi
ệ
u Kronecker), có m
ộ
t ký hi
ệ
u khác,
đượ
c g
ọ
i là
Ký
Hiệu Hoán Vị
( ijk
ε
), c
ũ
ng
đượ
c s
ử
d
ụ
ng r
ấ
t r
ộ
ng rãi. Ký hi
ệ
u hoán v
ị
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a nh
ư
sau:
0
321,,1
321 ,, 1
=
lai con hop truong
cua nghich vi hoan la khi -
cua thuan vi hoan la khi
,,kji
,,kji
ijk
ε
(1.13)
vì th
ế
cho nên, 0 ;1 ;1
322221132312321312231123
==−======
εεεεεεεε
.
Nhận xét:
• Trong tổng số 27 ký hiệu hoán vị khác nhau có 3 ký hiệu nhận giá trị 1, ba ký hiệu nhận giá
trị -1, còn lại là 0;
• Ký hiệu hoán vị là phản xứng đối với một cặp 2 chỉ số bất kỳ của nó.
Ký hiệu đặc biệt này rất tiện lợi trong việc định lượng các định thức và các tích vector. Định thức
của mảng a
ij
có thể được viết dưới hai dạng tương đương:
[ ]
3
333231
232221
131211
det
kijij
aaa
aaa
aaa
aaaεaaaεaa
j2i1ijk3k2j1iijk
====
(1.14)
trong đó, biểu thức đầu tiên theo ký hiệu chỉ số của (1.14) thể hiện khai triển theo hàng trong khi biểu thức
thứ hai là khai triển theo cột.
Vận dụng tính chất
krkqkp
jrjqjp
iriqip
pqrijk
δδδ
δδδ
δδδ
εε =
(1.15),
có thể biểu diễn định thức dưới dạng khác
[
]
krjqippqrijkij
aaaεεa
6
1
det =
(1.14’)
§1.4 Phép biến đổi tọa độ
Trong thực tế, để thuận tiện lợi cho các ứng dụng khác nhau, người ta thường biểu thị các biến đàn
hồi, như chuyển vị, ứng suất, biến dạng, …cũng như phải viết các phương trình theo nhiều hệ tọa độ khác
nhau. Điều này đòi hỏi phải có các qui tắc biến đổi đặc biệt đối với các biến vô hướng, vector, ma trận,
cùng các biến cấp cao hơn khác, tương ứng với việc chuyển đổi hệ tọa độ nói trên. Ý tưởng này gắn liền
với định nghĩa cơ sở của biến tensor và qui luật biến đổi các tọa độ có liên quan đối với các tensor. Ta hạn
chế chỉ thảo luận về phép chuyển hệ giữa các hệ tọa độ Đề-Các (De Cartre) .
Hãy khảo sát hai hệ tọa độ Đề-Các, như biểu diễn trên hình H1.1: