Mô hình hóa môi trường-04 Phương trình cân bằng khối lượng

CHÖÔNG III

PHÖÔNG TRÌNH CAÂN BAÈNG KHOÁI LÖÔÏNG

1

I. Phöông trình caân baèng khoái löôïng cho heätroän toát

(cid:216) Söïbieán ñoåi vaät chaát. (cid:216) Caùc nguoàn taûi naïp. (cid:216) Doøng ra. (cid:216) Phaûn öùng. (cid:216) Laéng ñoïng.

II.

Lôøi giaûi cho heäoån ñònh

(cid:216) Haøm chuyeån ñoåi vaøthôøi gian toàn taïi.

(cid:216) Haøm soáchuyeån ñoåi. (cid:216) Thôøi gian toàn taïi.

(cid:216) Söïbieán ñoåi chaát oâ nhieãm theo thôøi gian.

2

III. Nghieäm rieâng

(cid:216) Taûi naïp xung. (cid:216) Taûi naïp baäc thang. (cid:216) Taûi naïp tuyeán tính. (cid:216) Taûi naïp muõ. (cid:216) Taûi naïp hình sin. (cid:216) Nghieäm toång coäng. (cid:216) Chuoãi Fourie.

3

Phöông trình caân baèng khoái löôïng cho heätroän toát

•Moät heäthoáng troän toát laø1 heäthoáng ñôn giaûn nhaát

maøcoùtheåmoâ phoûng heäthoáng nöôùc thöïc teá

Chuyeån taûi + khueách taùn

Nguoàn ra Nguoàn vaøo

Phaûn öùng (Reaction)

Laéng ñoïng

4

Sô ñoàcuûa moät heäthoáng

•Trong moät khoaûng thôøi gian, söïcaân baèng khoái löôïng

cuûa heäñöôïc moâ taûbaèng phöông trình (neáu boûqua söï

chuyeån taûi vaøkhueách taùn)

•Söïtích t ụ = nguoàn naïp–doøng ra–phản ứng–laéng ñoïng (3.1)

(Söïbieán ñoåi)

•(A)

(L)

(O)

(R)

(S)

5

A

=

(3.2)

.

M CMV C =(cid:222) = V

Söïtích t ụ (söïbieán ñoåi) Laøsöïbieán ñoåi khoái löôïng M c ủa heätrong 1 khoaûng thôøi gian t M D t D

•Giaûsöûlaøth ể tích của heäkhoâng ñoåi

A (cid:222) =

V C D t D

(3.3)

t

nhoû

thì

D

VA =

6

dC dt

(3.4)

0

> (cid:222) A taêng.

•Neáu taêng noàng ñoä

0 < (cid:222)

A giaûm. •Giaûm noàng ñoä

0 = (cid:222)

dC dt dC dt dC dt

A khoâng taêng khoâng •Heäcaân baèng

7

giaûm

(3.5)

Nguoàn taûi naïp: L = W(t) W : taûi löôïng

(3.6) L = Q.C hay L = Q*Cinf (t)

Q: löu löôïng nguoàn vaøo [L3/T] Cinf (t): noàng ñoätrung bình cuûa nguoàn naïp vaøo[ML-3]

C (t) = inf

W(t) Q

8

(3.7)

Doøng ra (out flow) Oouput = Q * Cout

(3.8) •Vìheäthoáng troän laãn raát toát neân: • Cout = C (cid:222) Oouput = Q * C

Phaûn öùng

Ñöôïc moâ taûbaèng ñoäng hoïc phaûn öùng baäc 1

R = K*M (3.9)

9

K : haèng soáphaûn öùng baäc 1 (T -1) Phöông trình (3.9) coøn coùtheåvieát laïi laø : (3.10) R = KVC

Laéng ñoïng

•Ñöôïc moâ taûlaødoøng vaät chaát laéng ñoïng treân

dieän tích maët cuûa beàmaët lôùp ñaùy.

•S = v * AC * C (3.11)

v: vaän toác laéng

AC

v: vaän toác laéng ñoïng. AC: dieän tích beàmaët tích tuï. C: noàng ñoä.

10

Sô ñoàdoøng laéng ñoïng

Theåtích coät nöôùc V = AC*H

* *

=(cid:222)

v SV C H

k

=

(3.12)

s

haèng soátoác ñoälaéng ñoïng baäc 1 [T -1]

Hay S = ks* V*C v H

( )

VWtQCKVCkVC - =--

s

( )

VWtQCKVCvA C - =--

s

dC dt dC dt

11

(cid:222) (3.13)

0=

Lôøi giaûi cho heäoån ñònh

dC dt

C (cid:222) =

(3.14)

W QkVvA +

+

s

C

=

W a

(3.15)

(a : taùc nhaân ñoàng nhaát)

(3.16)

12

•a = Q + kV +vA s

Haøm soáchuyeån ñoåi:

in

C

=

•Trong heäcaân baèng thì: W = Q*C

=b

Haøm chuyeån ñoåi (cid:222)

+

s

C inC

Q

(3.17) W QkVvA +

b(cid:219)==

C CQkVvAQkVvA

W C in = +++

+

ins

s

1442443

a

(3.18)

13

β<< 1 (Cin >> C) : tính cô hoïc taåy röûa hoàseõ laøm giaûm noàng ñoäcuûa doøng vaøo lôùn (naêng suaát ñoàng nhaát lôùn) βfi 1 tính cô hoïc taåy röûa hoàseõ laøyeáu.

=

Thôøi gian toàn taïi: Laøkhoaûng thôøi gian toái ña maø1 chaát E coùmaët trong heävôùi giaûthieát laøheäcaân baèng vaøcoùtheå tích khoâng ñoåi (Stumm and Morgan 1981)

t E

E dE dt

–

(3.19)

•E : löôïng vaät chaát E trong theåtích (coùtheålaøkhoái

löôïng hay noàng ñoä)

14

dE –dt

: giaùtrò tuyeät ñoái cuûa nguoàn hay boàn chöùa

Thôøi gian toàn taïi cuûa nöôùc trong hồ

W =t

V Q

•Thôøi gian toàn taïi cuûa chaát oâ nhieãm(trong heäñôn giaûn)

QckVcvA

=+

+

(3.20)

s

dE dt –

MaøM =V * C neân

t = C

QCkVCvA C +

+

S

MVC = dM dt

=

15

V QkVvA +

+

S

(3.21)

Söïbieán ñoåi chaát oâ nhieãm theo thôøi gian

( )

VWtQCkVCvA C - =--

s

•Giaûsöûheäkhoâng ôûtraïng thaùi caân baèng:

C

(cid:219)=--

( ) -

v CKC H

C

(cid:219)+

(3.22)

dC dt dCWtQ dtVV dCW t = l dt

( ) V

(3.23)

K +

Q l =+ V

v H

16

giaùtrò ñaëc tröng c ủa (3.23)

•Neáu tham soá(Q,V,k,v,H) laøkhoâng ñoåi, (3.23) laø phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 1 vaønghieäm cuûa noùseõ laø:

C = Cg + Cp

(3.24) •Cg: nghieäm tổng quaùt cuûa (3.23) öùng vôùi W(t) = 0 •Cp: nghieäm rieâng cuûa (3.23) öùng vôùi daïng ñaëc bieät cuûa W(t).

17

Tìm nghieäm toång quaùt cuûa pt (3.23) khi W(t) = 0. Giaûsöûkhi t = 0, C = C 0. (ñieàu kieän ban ñaàu)

C

l= -

dC dt

t l-

Giaûi phöông trình vôùi C = C0. khi t =0

CC e =

0

18

Ñoàthò C = Coe-λt öùng vôùi caùc λ khaùc nhau

(3.25) •Ta coùnghieäm

–Neáu λ lôùn thìnoàng ñoäC giaûm nhanh. –Neáu λ nhoûthìnoàng ñoäC giaûm chaäm.

l

-

SOt

•Nhaän xeùt:

CC e = 0

0

-

t l 50

2

e

(cid:219)

t (cid:219) = l

50

t (cid:219)=

50

19

= ln 2 ln20.693 = l

l

Thôøi gian töông öùng”(thôøi gian thu hoài noàng ñoä) töùc laøchæxeùt ñeán thôøi ñieåm t 0 naøo ñoùmaøC(t 0) chæbaèng 0.5C 0 0.5

Thôøi gian thu hoài noàng ñoäcô baûn tf : nghóa laøkhi tf = f% laøthôøi gian ta thu ñöôïc (1- f% ) noàng ñoä ban ñaàu

1100 ln

100

tf l =

-

f

20

(3.26)

21

Ñoàthò bieåu dieãn C/Co theo 1/λ

C

=

dCW t l+ dt

( ) V

Nghieäm rieâng (3.27)

•Nghieäm cuûa phöông trình treân coùdaïng

nghieäm cuûa phöông trình khi W(t) =0

nghieäm rieâng cuûa pt öùng vôùi caùc daïng (ñaët bieät) cuûa W(t)

(3.28) C = Cg + Cp

22

Ta tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình (3.27) vôùi W(t) ñöôïc xeùt laøhaøm xung, haøm baäc, haøm tuyeán tính, haøm muõ, haøm sin

t

t

W(t W(t

23

0 Haøm xung 0 Haøm baäc thang

24

Ñoàthò caùc haøm taûi naïp

Taûi naïp xung (Impulse loading)

•Moâ taûtaûi naïp xaûy ra roäng nhöng xaûy ra trong moät thôøi gian ngaén (chaúng haïn nhösöïtraøn chaát phoùng xaï, söïcoátraøn daàu). 1. Haøm xung (hay coøn goïi laøhaøm Delta-Dirac)

)(t

s

=

vôùi t „ (0) vôùi

0 t

0

=

0 (cid:236) (cid:237) s (cid:238)

¥

(3.29)

tdtd ()

1 =

(3.30)

(cid:242)

-¥

25

Haøm taûi naïp W(t) = md(t)

( )

=

•m: khoái löôïng chaát oâ nhieãm naïp vaøo •Phöông trình (3.27) ñöôïc vieát laïi:

dCm t C l+ dt

d V

(3.31)

Nghieäm rieâng cuûa phöông trình:

C

=

tm l- e V

26

(3.32)

27

Ñoàthò haøm taûi naïp W(t) vaønoàng ñoäC(t)

Taûi naïp baäc (step loading)

-

•Nghieäm trong tröôøng hôïp naøy

(3.33)

C

(1

e

)t l

=

-

W V l

28

(3.34)

Ñoàthò haøm taûi naïp W(t) vaønoàng ñoäC(t)

C

=

t

=

95

W Vl 3 l

Noàng ñoägiôùi haïn

•Khi t fi¥ nghieäm (3.34) trôûthaønh nghieäm

29

trong baøi toaùn oån ñònh.

Taûi naïp tuyeán tính (linear loading)

•Haøm taûi troïng ñöôïc moâ taûbaèng haøm soá:

-

t l

Ct

1

l

W(t) = ±βlt (3.35)

•βl: heäsoágoùc [MT -1] •Nghieäm rieâng seõ laø:

)

b l e =–- + 2 V l

t

=

( noàng ñoäseõ laø:

C

=

95%

b l V l

ÖÙng vôùi

(cid:230) t -(cid:231) Ł

(3.36) 1 (cid:246) (cid:247) l ł

0

3 l te l- fi

(luùc ñoù

30

) Víduïñôn giaûn nhaát cuûa taûi naïp tuyeán tính laø duøng trong moâ taûtaêng tröôûng daân soá.

31

Ñoàthò haøm taûi naïp W(t) vaønoàng ñoäC(t)

lt b–

WtW e ( ) =

e

–

t l

-

lt b

(

)

Ce =

-

(3.37)

Taûi naïp muõ (Exponential loading)

v

)

W e e ( – l b l

32

•Daïng taûi naïp naøy ñöôïc söûduïng nhieàu trong moâ hình chaát löôïng nöôùc •Haøm taûi naïp coùdaïng: •We: tham soákhi t =0 [MT -1] •βl: toác ñoätaêng tröôûng (döông) hay phaân huyû aâm cuûa söïtaûi naïp [T -1] •Nghieäm rieâng seõ laø:

(3.38)

0

C

dC dt

(cid:230) (cid:231) Ł

(cid:246) t =(cid:222) = (cid:247) ł

l

Tìm giaùtrò cöïc ñaïi cuûa C vaøthôøi gian töông öùng: ln(/

0

=

dC dt

( )W t

) b l l b l - •Trong phöông trình (3.1)cho ta seõ tìm ñöôïc

-

b

l ct

(3.39)

e

=

C C

W e v l

hay

b l - l b l

(3.40)

=

C C

W b (cid:230) l e (cid:231) v l l Ł

(cid:246) (cid:247) ł

33

vaøthay haø m

34

Ñoàthò haøm taûi naïp W(t) vaønoàng ñoäC(t)

wtww

()sin( =+

(3.41)

w =

2 p pT

-

t l (1)sin[(

Ce

)

wqq w

Nghieäm rieâng seõ laø: W =-+- - v l

v

W a t 2 2 l w +

-

t l

sin[()]

e

qq w

(3.42)

35

-- - v

W a 2 2 l w +

Taûi naïp hình sin (Sinnsoidal loading) t w q )a - w •: giaùtrò trung bình [MT-1] aw •:bieân ñoä[MT-1] •: pha [radian] q •: taàn soágoùc w •: chu kyø Tp

(

)q w : ñoächuyeån pha theâm vaølaø1 haøm theo taàn soá

qw =

- w 1 ()tan() (3.43) l ÖÙng vôùi thôøi gian thu hoài noàng ñoäcô baûn

95%

=

=

( f

)

tf

0

3 l te l- fi

l

Ce

(1)sin[()]t -

wqq w

W =-+- - v l

(3.44)

v

W a t 2 2 l w +

36

khi ñoù Ta coù

C

=

(3.45)

a

W a 2 2 v l w +

37

Noàng ñoäcuõng coùdaïng hình sin vôùi bieân ñoäcuûa noùseõ laø

(3.46)

()sin( wtQC =

t w

)ain

(3.47)

Trong tröôønghôïp q = 0, doøng vaøo baèng doøng ra vaøtaûi löôïng ñöôïc cho baèng haøm soá.

()sin(()) twwf w

-

ain -

•Ca in: bieân ñoäcuûa noàng ñoävaøo •Noàng ñoäseõ laø: CCA =

( )A w

=

(3.48)

l 2

2 + l w

38

A(ω): heäsoánhaïyñöôïc tính theo coâng thöùc

Nghieäm toång coäng

n

CCa C =

giPi

(3.49)

+ (cid:229)

i

1 =

•Nghieäm toång quaùt cuûa pt vi phaân coùtheåvieát:

Ñieàu naøy chæxaûy ra khi vaøchækhi moâ hình laø

39

tuyeán tính. ai laømoät haèng soánaøo ñoù.

w

w +

(3.50)

k

0

)k

]

[

¥ (cid:229) ()cos()sin( Wtaaktbk t =+ i

w =

1 = taàn soácô baûn

T

( )

0

(cid:242)

2 p T 1 aWtd t = T

0

vôùi k =1,2,..

T

()cos(

) w

k

(cid:242)

2 aWtktd t = T

0

T

()sin(

) w

k

(cid:242)

2 bWtktd t = T

0

40

Chuoãi Fourier ñöôïc giôùi thieäu nhötoång dao ñoäng hình sin. Vaøcoùtheåxaây döïng nhödaïng (3.42)

Chuoãi Fourier: Haøm taûi daïng chuoãi Fourier laø: