M T S PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNHỘ Ố ƯƠ Ả ƯƠ
VÀ B T PH NG TRÌNH CH A CĂN TH CẤ ƯƠ Ứ Ứ
I. M t s d ng c b n c a ph ng trình, b t ph ng trình ch a căn th c.ộ ố ạ ơ ả ủ ươ ấ ươ ứ ứ
1. Ph ng trìnhươ
a)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0f x
f x g x f x g x
= =
b)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x
= =��
� �
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình sau: ả ươ
( )
2
3 2 1 1x x x− + = −
H ng d n: ướ ẫ
Nh n xét:ậ Ph ng trình có d ng ươ ạ
( ) ( )
f x g x=
nên ta gi i nh sau ả ư
Ta có
( ) ( )
2
2
1 0
13 2 1
11
1
x
x x x
xx
x
−
− + = −
=� �
=
V y ậ
{ }
1S=
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
2 2
5 4 2 3 12 2x x x x− + = − − +
H ng d nướ ẫ : Ta có
( )
2 2
2
2 2
2 5 4 2 3 12
5 4 0
5 4 2 3 12
x x x x
x x
x x x x
− + = − − +�
− +
− + = − − +
1
48
26
8
6
x
x
x
x
x
�
−
=� �
=
−
=
V y ậ
8
6
S� �
= −
� �
�
1 Nguyên Tăng Vu – Nguyên Ngoc Duy
2. B t ph ng trìnhấ ươ
a)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
0
0
g x
f x g x
f x g x
< <� � �
� �
b)
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
0
0
g x
f x
f x g x g x
f x g x
<
>
>��
� �
Ví d 3:ụ Gi i các b t ph ng trình sau: ả ấ ươ
a)
( )
2
1 2 1x x+ −
b)
2
2 5 4 3x x x− < − + −
,
14
1; 5
S� �
=
� �
H ng d nướ ẫ
a) Ta có :
( )
( )
( )
2
22
1 0
1 2 1 1 2 1 0
x
x x x x
+
+ − + −
2
2
1
2 3 0
1 0
x
x x
x
−
− −� �
−
11
1 3 1 3
1
1
xx
xx
x
x
−
= −
−� � � �
−
V y t p nghi m ậ ậ ệ
[ ]
{ }
1;3 1S= −�
b)Ta có
2
2 5 4 3x x x− < − + −
( )
( ) ( )
2
22
2 5 0 1
4 3 0
2 5 0
2
2 5 4 3
x
x x
x
x x x
− <
− + −
−
− < − + −
Gi i (1) ả
( )
55
1 1
22
1 3
xx
x
<
<�
Gi i (2) ả
2 Nguyên Tăng Vu – Nguyên Ngoc Duy
( )
2
5
55 14
2
2214 2 4
2
5 24 28 0 5
x
xx
x
x x
� �
<��
� �
� � < <
− + <
T đó suy ra t p nghi m c a b t ph ng trình là ừ ậ ệ ủ ấ ươ
14
1; 5
S� �
=
� �
II. CÁC PH NG PHÁPƯƠ
1. Ph ng pháp bình ph ng liên ti pươ ươ ế
S d ng ph ng pháp bình ph ng liên ti p nh m bi n đ i ph ng trình, b tử ụ ươ ươ ế ằ ế ổ ươ ấ
ph ng trình v d ng không còn ch a căn th c. Tuy nhiên khi bình ph ng hai vươ ề ạ ứ ứ ươ ế
c a ph ng trình, b t ph ng trình nh s đ t đi u ki n cho hai v cùng d u (đ iủ ươ ấ ươ ớ ử ặ ề ệ ế ấ ố
v i ph ng trình có th gi i b ng ph ng trình h qu sau đó th l i k t qu , cònớ ươ ể ả ằ ươ ệ ả ử ạ ế ả
đ i v i b t ph ng trình b t bu c ph i đ t đi u ki n cho hai v cùng d u)ố ớ ấ ươ ắ ộ ả ặ ề ệ ế ấ
Ví d 1.ụ Gi i ph ng trình ả ươ
3 1 2 1 6x x x+ − − = −
H ng d n:ướ ẫ
Đi u ki n ề ệ
3 1 0 1
2 1 0 6
2
6 0
x
x x
x
+
− � �
� �
−
V i đi u ki n trên ta có ớ ề ệ
3 1 2 1 6
3 1 6 2 1
3 1 6 2 1 2 6 2 1
2 4 2 6 2 1
x x x
x x x
x x x x x
x x x
+ − − = −
+ = − + −�
+ = − + − + − −�
− = − −�
2 6 2 1x x x− = − −�
( )
2x
( )
2 2
2
4 4 2 13 6
3 17 10 0
5
2
3
x x x x
x x
x
x l
− + = − + −�
− + =�
=
=
V y ậ
{ }
5S=
Ví d 2.ụ Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
( )
1 3
2 3 9 2 2
2 2
x x− − −
H ng d nướ ẫ
Đi u ki n ề ệ
3 0 9
3
9 2 0 2
xx
x
−
�
−
V i đi u ki n trên ta có ớ ề ệ
3 Nguyên Tăng Vu – Nguyên Ngoc Duy
( )
( ) ( )
1 3
2 2 3 9 2
2 2
1 9 3
4 3 9 2 9 2
4 4 2
16 48 18 2 6 9 2
x x
x x x
x x x
− − +� �
− − + + −� �
− − + −� �
( ) ( )
2
18 64 0
9 33 3 9 2 9 33 9 9 2
x
x x x x
−
− −� � � − −
2
32
32 9
4
289
81 576 1008 0 9
4
x
xx
x
x x
x
��۳
� �
� �
− +
K t h p v i đi u ki n ta có t p nghi m c a b t ph ng trình là ế ợ ớ ề ệ ậ ệ ủ ấ ươ
9
4; 2
S� �
=� �
� �
2. Ph ng pháp đ t n phươ ặ ẩ ụ
M c đích c a ph ng pháp đ t n ph là đ a ph ng trình b t ph ng trìnhụ ủ ươ ặ ẩ ụ ư ươ ấ ươ
v d ng c b n ho c là d ng đã bi t cách gi i. T nghi m c a ph ng trình, b tề ạ ơ ả ặ ạ ế ả ừ ệ ủ ươ ấ
ph ng trình m i ta suy ra nghi m c a ph ng trình, b t ph ng trình ban đ u.ươ ớ ệ ủ ươ ấ ươ ầ
Chú ý:
Ph ng trình, b t ph ng trình m i không t ng đ ng v i ph ng trình b tươ ấ ươ ớ ươ ươ ớ ươ ấ
ph ng trình cũ (vì khác t p h p nghi m) mà ch t ng đ ng theo nghĩa t ph ngươ ậ ợ ệ ỉ ươ ươ ừ ươ
trình ,b t ph ng trình này ta suy ra nghi m c a ph ng trình, b t ph ng trình kiaấ ươ ệ ủ ươ ấ ươ
và ng c l i.ượ ạ
D ng 1. Đ t n ph khi th y các bi u th c có d ng gi ng nhau. Đ t ạ ặ ẩ ụ ấ ể ứ ạ ố ặ
( )
t f x=
, đ aư
ph ng trình, b t ph ng trình theo bi n ươ ấ ươ ế
x
v ph ng trình b t ph ng trình theoề ươ ấ ươ
bi n ế
t
(Chú ý đ t đi u ki n cho bi n ặ ề ệ ế
t
(n u có)).ế
Ví d 1ụ Gi i ph ng trình ả ươ
2 2
3 2 9 3 2 2 7x x x x− + + − + =
Nh n xét:ậ
Ta th y bi u th c d i d u căn đ u có s h ng ấ ể ứ ướ ấ ề ố ạ
2
3 2x x−
, và đây là bi u th c chung, chú ýể ứ
r ng chúng ta quan tâm đ n nhũng bi u th c chung ch a bi n, còn n u có thêm h ng sằ ế ể ứ ứ ế ế ằ ố
cũng không quan tr ng, và ta có th đ t n ọ ể ặ ẩ
2
3 2t x x= −
, đ đ a ph ng trình v d ng cể ư ươ ề ạ ơ
b n, tuy nhiên đ bài toán đ c g n h n ta th ng đ t n ph cho nguyên bi u th c căn,ả ể ượ ọ ơ ườ ặ ẩ ụ ể ứ
t c là đ t ứ ặ
2
3 2 2t x x= − +
Ta gi i bài toán này nh sau: ả ư
Đ t ặ
2
3 2 2t x x= − +
đi u ki n ề ệ
0t
. Khi đó
2 2
3 2 9 7x x t− + = +
. Ph ng trình trươ ở
thành
4 Nguyên Tăng Vu – Nguyên Ngoc Duy
( ) ( )
2
2
2
2
2 2
7 7
7 7
7 7 dk 7
7 14 49
3
t t
t t
t t t
t t t
t
+ + =
+ = −�
+ = −� �
+ = − +�
=�
V i ớ
3t
=
ta có
2
2
2
3 2 2 3
3 2 2 9
3 2 7 0
1 22
3
1 22
3
x x
x x
x x
x
x
− + =
− + =�
− − =�
+
=
−
=
V y ậ
1 22 1 22
;
3 3
S� �
+ −
=� �
� �
Ví d 2ụ Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
( ) ( )
2
1 4 5 5 28x x x x+ + < + +
H ng d nướ ẫ :
Ta có:
( ) ( )
2
2 2
1 4 5 5 28
5 4 5 5 28
x x x x
x x x x
+ + < + +
+ + < + +�
Đ t ặ
2
5 28t x x= + +
đi u ki n ề ệ
0t
. Khi đó b t ph ng trình tr thành: ấ ươ ở
2
24 5t t− <
2
5 24 0
3 8
t t
t
− + <�
− < <�
K t h p v i đi u ki n ta có ế ợ ớ ề ệ
0 8t< <
(1)
V i ớ
8t<
ta có:
( )
2
2
2
2
5 28 8
5 28 0 9 4 2
5 36 0
5 28 64
x x
x
x x x
x x
x x
+ + <
+ +
− < <� � �
� � +−<
+ + <
ﾡ
V i ớ
2
0 5 28 0t x x x> + + >� �� ﾡ
(3)
T (1), (2) và (3) ta có nghi m c a b t ph ng trình là ừ ệ ủ ấ ươ
( )
9;4S= −
Ví d 3ụ Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
( )
2
2 1 1 1x x x x− + > − +
H ng d nướ ẫ :
Đ t ặ
2
1t x x= − +
, đi u ki n ề ệ
0t
, suy ra
( )
( )
2
2 1 2 1x x t− = −
5 Nguyên Tăng Vu – Nguyên Ngoc Duy