Ngân hàng đề thi toán A2 có bài giải

Chia sẻ: Bui Van Vuong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

1.692
lượt xem 555
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Ngân hàng đề thi toán A2 có bài giải" mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong học tập và kiểm tra.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ngân hàng đề thi toán A2 có bài giải

BÀI GIẢI NGÂN HÀNG ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP A2 HỆ 5 NĂM KHÓA 1 PHẦN I: DÙNG CHO NGÀNH ĐTVT và CNTT (4 tín chỉ) A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu 2: Hệ vectơ sau của không gian 3 4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính v1 = (4, −5, 2,6); v2 = (2, −2,1,3); v3 = (6, −3,3,9) ; v4 = (4, −1,5,6) . Bài giải: Ta có: 2 −2 1 3   2 −2 1 3       2 −2 1 3  4 −5 2 6   0 −1 0 0    ⇒ ⇒  0 −1 0 0  A = 4 −1 5 6 0 3 3 0      0 3 3 0 6 −3 3 9 0 3 0 0   ⇔ r (A) = 3 < n = 4 Vậy không gian 3 4 phụ thuộc tuyến tính. Câu 3: Hệ vectơ sau của không gian 3 4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính v1 = (1,3,5, −1) ; v2 = (2, −1, −3, 4) ; v3 = (5,1, −1,7) ; v4 = (7,7,9,1) . Bài giải: Ta có:  1 3 5 −1  1 3 5 −1      1 3 5 −1  2 −1 −3 4   0 −7 −13 6    A=  ⇒ ⇒  0 −7 −13 6   5 1 −1 7   0 −14 −26 12        0 −14 −26 8    7 7 9 1   0 −14 −26 8  ⇔ r (A) = 3 < n = 4 Vậy không gian 3 4 phụ thuộc tuyến tính. Câu 4: Tìm hạng của hệ vectơ sau của không gian 4 4: v1 = (3,1, − 2,4) ; v2 = (2,4,5, − 3) ; v3 = (13,7,6, − 3) ; v4 = (− 1,7,5,2) . Bài giải: Ta có:  −1 7 5 2   −1 7 5 2   −1 7 5 2   0 18 15    1   −1 7 2       5 2 4 5 −3   0 18 15 1   79  ⇒  0 18 15  A=  ⇒ ⇒ 0 0 − 16   1  3 1 −2 4   0 22 13 10   3 9        16 79   13 7 6 −3   0 98 71 23   32 158   0 0 −  0 0 −   3 9   3 9  ⇒ r (A) = 3 < n = 4
Vậy không gian 3 4 phụ thuộc tuyến tính. 8 4 6 2 3 1 4 2 Câu 13: Tìm hạng của ma trận: A= . 6 2 8 3   4 2 3 1 Bài giải: 3 1 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2       1 3 4 2  4 2 3 1 2 4 3 1   0 −2 −5 −3    Ta có: A =  ⇒ ⇒ ⇒  0 −2 −5 −3  6 2 8 3  2 6 8 3 0 0 0 −1          0 0 0 −1   8 4 6 2  4 8 6 2   0 −4 −10 −6  Vậy: r (A) = 3 5 2 3 1 4 1 2 3 Câu 14: Tìm hạng của ma trận: A= . 1 1 1 −2    3 4 1 2 1 1 1 −2   1 1 1 −2       1 1 1 −2  3 4 1 2   0 1 −2 8    Ta có: A =  ⇒ ⇒  0 1 −2 8  4 1 2 3   0 −3 −2 11        0 −3 −2 11   5 2 3 1   0 −3 −2 11  Vậy: r (A) = 3 B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM Câu 3: Giả sử 3 véc tơ u , v và w độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng: a) u + v − 2 w , u − v − w và u + w là độc lập tuyến tính. b) u + v − 3w , u + 3v − w và v + w là phụ thuộc tuyến tính. Bài giải: a) Từ đề bài ta có: 1 1 −2   1 1 −2   1 1 −2        A = 1 −1 −1  ⇒  0 2 1  ⇒  0 2 1  1 0 1   0 −1 3   0 0 1        ⇒ r (A) = 3 = n là điều cần chứng minh. b) Từ đề bài ta có:  1 1 −3   1 1 −3       1 1 −3  A =  1 3 −1  ⇒  0 2 2  ⇒   0 1 1  0 1 1  0 2 2      ⇒ r (A) = 2 < n = 3 là điều cần chứng minh.
3 −1 Câu 6: Viết E=  thành tổ hợp tuyến tính của: 1 2  1 1   1 1 1 −1 A=  , B =  −1 0  và C= .  0 −1   0 0  Bài giải: E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C: Ta có: E = aA + bB + cC a + b + c = 3  a + b − c = −1 a = −2   ⇔ ⇔ b = −1  −b = 1  −a = 2 c = 3 − ( −2) − (−1) = 6  Thay nghiệm vào phương trình còn lại: a + b – c = -1 ⇔ - 2 – 1 – 6 ≠ - 1 ⇒ Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C. 2 1 Câu 7: Viết E=  thành tổ hợp tuyến tính của:  −1 −2  1 1   1 1 1 −1 A=  , B =  −1 0  C= 0 0 và .  0 −1     Bài giải: E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C: Ta có: E = aA + bB + cC a + b + c = 2 a + b − c = 1 b = 1   ⇔ ⇔ a = 2  −b = −1  c = 2 − 2 − 1 = −1  − a = −2   Thay nghiệm vào phương trình còn lại: a + b – c = 1 ⇔ 2 + 1 – (-1) ≠ 1 ⇒ Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C. Câu 8: Biểu diễn véc tơ u = (3, 6, −6, 0) thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau: v1 = (3, 2, −4,1) , v2 = (1,5, 0,3) , v3 = (4,3, −2,5) . Bài giải: Vectơ u biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua v ,v ,v 1 2 3 : Giả sử: u = a v 1 + bv 2 − c v 3
3a + b + 4c = 3 2a + 5b + 3c = 6 a = 2   ⇔ ⇒ b = 1 ⇒ Nghiệm a, b, c thỏa hệ phương trình −4a − 2c = −6 c = −1 a + 3b + 5c = 0   Vậy: u = 2v1 + v 2 − v 3 Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1 = (1, −1,1); v2 = (2,1, −3); v3 = (3, 2, −5) là một cơ sở của không gian 3 3 . Tìm toạ độ của vectơ u = (5,3, −4) trong cơ sở này. Bài giải: Từ đề bài ta có:  1 −1 1   1 −1 1      A =  2 1 −3  ⇒  0 3 −5   3 2 −5   0 5 −8      ⇒ r (A) = 3 = n Vậy: E = {v1,v 2, v 3} là một cơ sở của không gian 3 3 . Giả sử tọa độ của vectơ u = (5,3, −4) trong cơ sở E = {v1,v 2, v 3} là: u E = ( x, y , z ) Ta có: u = xv 1 + y v 2 + z v 3  x + 2 y + 3z = 5 x = 4   ⇒ − x + y + 2 z = 3 ⇒  y = −19  x − 3 y − 5 z = −4  z = 13   Vậy: tọa độ của vectơ u = (5,3, −4) trong cơ sở này là u E = (4, −19,13) Câu 10: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1 = (5,3, −8); v2 = (3, 2, −5); v3 = (4,1, −4) là một cơ sở của không gian 3 3 . Tìm toạ độ của vectơ u = (6,2,−7) trong cơ sở này. Bài giải: Từ đề bài ta có:  5 3 −8   4 1 −4   1 4 −4   1 4 −4          A =  3 2 −5  ⇒  5 3 −8  ⇒  3 5 −8  ⇒  0 −7 4   4 1 −4   3 2 −5   2 3 −5   0 −5 3          ⇒ r (A) = 3 = n Vậy: E = {v1,v 2, v 3} là một cơ sở của không gian 3 3 . Giả sử tọa độ của vectơ u = (6,2,−7) trong cơ sở E = {v1,v 2, v 3} là: u E = ( x, y , z ) Ta có: u = xv 1 + y v 2 + z v 3
5 x + 3 y + 4 z = 6 x = 1   ⇒ 3 x + 2 y + z = 2 ⇒  y = −1  −8 x − 5 y − 4 z = −7  z = 1   Vậy: tọa độ của vectơ u = (6, 2, −7) trong cơ sở này là u E = (1, −1,1) Câu 12: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 8 x1 + 12 x2 + mx3 + 8 x4 = 3 4 x + 6 x + 3 x − 2 x = 3  1 2 3 4  2 x1 + 3x2 + 9 x3 − 7 x4 = 3 2 x1 + 3x2 − x3 + x4 = 1  Bài giải: Từ đề bài ta có:  2 3 −1 1 1   1 3 2 −1 1  1 3 2 −1 1       ⇒  2 3 9 −7 3  ⇒  −7 3 2 9 3   0 24 16 ⇒ 2 10   4 6 3 −2 3   −2 6 4 3 3   0 12 8 1 5        8 12 m 8 3   8 12 8 m 3   0 −12 −8 m + 8 −5  1 3 2 −1 1  1 3 2 −1 1      ⇒  0 12 8 1 5  ⇒  0 12 8 1 5  0 −12 −8 m + 8 −5   0 0 0 m + 9 0      Vậy với ∀ m hệ phương trình có vô số nghiệm Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 5 x1 − 3x 2 + 2 x3 + 4 x 4 = 3 7 x − 3 x + 7 x + 17 x = m  1 2 3 4  4 x1 − 2 x 2 + 3x 3 + 7 x 4 = 1 8 x1 − 6 x 2 − x3 − 5 x 4 = 9  Bài giải: Từ đề bài ta có:
 5 3 2 4 3   8 −6 −1 −5 9   −1 −6 8 −5 9        ⇒  7 −3 7 17 m  ⇒  5 3 2 4 3  ⇒  2 3 5 4 3  4 −2 3 7 1   4 −2 3 7 1   3 −2 4 7 1        8 −6 −1 −5 9   7 −3 7 17 m   7 −3 7 17 m   −1 −6 8 −5 9   −1 −6 8 −5 9   −1 −6 8 −5 9         0 −9 21 −6 21   0 −9 21 −6 21  0 −9 21 −6 21  ⇒ ⇒ 56 16 56  ⇒  56 16 56   0 −20 28 −8 28   0 0 − −  0 0 − −     3 3 3   3 3 3   0 −45 63 −18 m + 63   0 0 −42 12 m − 42   0 0 0 0 m      - Với m = 0⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm. - Với m ≠ 0 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm. Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 2 x1 + 7 x 2 + 3 x3 + x 4 = 5 5 x + mx + 4 x + 5 x = 13  1 2 3 4   x1 + 3 x 2 + 5 x3 − 2 x 4 = 3  x1 + 5 x 2 − 9 x3 + 8 x 4 = 1  Bài giải: Từ đề bài ta có:  1 3 5 −2 3   1 −2 5 3 3   1 −2 5 3 3       ⇒  1 5 −9 8 1  ⇒  1 8 −9 5 1  ⇒  0 10 −14 2 −2  2 7 3 1 5  2 1 3 7 5   0 5 −7 1 −1         5 m 4 5 13   5 5 4 m 13   0 15 −21 m − 15 −2   1 −2 5 3 3   1 −2 5 3 3     ⇒  0 5 −7 1 −1  ⇒  0 5 −7 1 −1   0 15 −21 m − 15 −2   0 0 0 m − 18 1      - Với m - 18 = 0⇒ m = 18 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm. - Với m - 18 ≠ 0 ⇒ m ≠ 18 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm. Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 2x1 + 5x 2 + x 3 + 3x 4 = 2  2x1 − 3x 2 + 3x 3 + mx 4 = 7  4x1 + 6x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 4 4x1 + 14x 2 + x 3 + 7x 4 = 4 
Bài giải: Từ đề bài ta có: 2 5 1 3 2  2 5 1 3 2 1 5 2 3 2       2 −3 3 m 7 4 6 3 5 4 3 6 4 5 4 ⇒ ⇒ ⇒ 4 6 3 5 4   4 14 1 7 4   1 14 4 7 4        4 14 1 7 4   2 −3 3 m 7   3 −3 2 m 7 1 5 2 3 2   1 5 2 3 2  1 5 2 3 2 0 −9 −2 −4 −2      ⇒ ⇒ 0 −9 −2 −4 −2  ⇒  0 −9 −2 −4 −2  0 9 2 4 2      0 −18 −4 m − 9 1   0 0 0 m − 1 5   0 −18 −4 m − 9 1      - Với m - 1 = 0 ⇒ m = 1 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm. - Với m - 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM Câu 1: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của 4 4 gồm các véctơ v = ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): 2 x1 − 3x 2 − 3 x3 − 2 x 4 = 0 2 x1 + x 2 − 10 x3 + 9 x 4 = 0   ( I ) 3x1 − 5 x 2 − 4 x3 − 4 x 4 = 0 , ( II )  x1 + 2 x 2 + 4 x 3 − 3x 4 = 0  x − 2x − x − 2x = 0 3x + 5 x + 6 x − 4 x = 0  1 2 3 4  1 2 3 4 Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . Bài giải:  1 −2 −1 −2 0   1 −2 −1 −2 0       1 −2 −1 −2 0  ( I ) ⇒  2 −3 −3 −2 0  ⇒  0 1 −1 2 0  ⇒   (1)  3 −5 −4 −4 0   0 1 −1 2 0   0 1 −1 2 0      x − x + 2x = 0 ⇒ x = x − 2x 2 3 4 2 3 4 x − 2( x − 2 x ) − x − 2 x = 0 ⇒ x − 3x 1 3 4 3 4 1 3 + 2 x 4 = 0 ⇒ x1 = 3 x 3 − 2 x 4 V = (x x x , x ) 1 1, 2, 3 4 = (3 x − 2 x , x − 2 x , x , x ) 3 4 3 4 3 4 = (3 x , x , x , 0) + (−2 x − 2 x 0, x ) 3 3 3 4 4 4 = x (3,1,1, 0) + x (−2, −2, 0,1) 3 4 ⇒ V 1 = {(3,1,1, 0), (−2, −2, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh. ⇒ dimV 1 = 2
 1 2 4 −3 0   1 2 4 −3 0       1 2 4 −3 0  ( II ) ⇒  2 1 −10 9 0  ⇒  0 −3 −18 15 0  ⇒   (2)  3 5 6 −4 0   0 −1 −6 5 0   0 −1 −6 5 0      − x 2 − 6 x 3 + 5 x 4 = 0 ⇒ x 2 = −6 x 3 + 5 x 4 x + 2(−6 x + 5 x ) + 4 x − 3x = 0 ⇒ x = 8 x − 7 x 1 3 4 3 4 1 3 4 V = (x x x , x ) 2 1, 2, 3 4 = (8 x − 7 x , −6 x + 5 x , x , x ) 3 4 3 4 3 4 = (8 x , −6 x , x , 0) + (−7 x ,5 x , 0, x ) 3 3 3 4 4 4 = x (8, −6,1, 0) + x (−7,5, 0,1) 3 4 ⇒ V = {(8, −6,1, 0), ( −7,5, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh. 2 ⇒ dimV = 2 2 Do: x ∈V ; x ∈V ⇒ x ∈V IV 1 2 1 2 Từ (1) và (2) ta có:  1 −2 −1 −2 0   1 −2 −1 2 0   1 −2 −1 −2 0         1 −2 −1 −2 0   0 1 −1 2 0   0 1 −1 2 ⇒ 0   0 1 −1 2 0   ⇒  ⇒  0 1 −1 2 0   1 2 4 −3 0   0 4 5 −1 0   0 0 9 −9 0         0 0 9 −9 0   0 −1 −6 5 0   0 −1 −6 5 0   0 0 −7 −7 0    ⇒ 9x3 − 9x4 = 0 ⇒ x3 = x4 x − x + 2x = 0 ⇒ x − x + 2x = 0 ⇒ x = −x 2 3 4 2 4 4 2 4 x − 2x − x − 2x = 0 ⇒ x + 2x − x − 2x ⇒ x = x 1 2 3 4 1 4 4 4 1 4 V IV = ( x , − x , x , x ) = x (1, −1,1,1) 1 2 4 4 4 4 4 V IV = {(1, −1,1,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh. 1 2 dimV IV = 1 1 2 Tacó: dimV + V = dimV + dimV − dimV IV 1 2 1 2 1 2 = 2 + 2 −1 = 3 Câu 2: Trong không gian 4 4 xét các vectơ: v1 = (2,4,1,− 3) ; v2 = (1,2,1,− 2) ; v3 = (1,2,2,− 3) ; u1 = (2,8,3,− 7) ; u2 = (1,0,1,− 1) ; u 3 = (3,8,4,−8) . Đặt V1 , V2 là hai không gian vectơ con của 4 4 lần lượt sinh bởi hệ vectơ { v1 , v 2 , v3 } và { u1 , u 2 , u 3 } . Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . Bài giải: Ta có:
 2 4 1 −3   1 2 1 −2   1 2 1 −2   1 2 1 −2          V 1 =  1 2 1 −2  ⇒  1 2 2 −3  ⇒  0 0 1 −1  ⇒  0 0 1 −1  (1)  1 2 2 −3   2 4 1 −3   0 0 −1 3   0 0 0 2          ⇒ dim V1 = 3  1 0 1 −1   1 0 1 −1       1 0 1 −1  V 2 =  2 8 3 −7  ⇒  0 8 1 −5  ⇒  0 8 1 −5  (2)  3 8 4 −8   0 8 1 −5        ⇒ dim V2 = 2 Từ (1) và (2) ta có: 1 2 −2   1 1 2 1 −2   1 2 1 −2   1 2 1 −2          1 2 1 −2  0 0 −1   1 1 0 1 −1   0 −2 0 1   0 −2 0 1   0 −2 0 1 0 0 2  ⇒ 0 0 8 1 −1  ⇒  0 8 1 −5  ⇒  0 0 1 −1  ⇒          0 0 1 −1  1 0 −1   0 1 0 1 −1   0 0 1 −1   0 0 1 −1    0 0 0 0 2  8 −5   0 1   0 0 2  0 0   0 2  0 0   0 2  ⇒ dimV 1 + V 2 = 4 Tacó: dimV 1 + V 2 = dimV 1 + dimV 2 − dimV 1 IV 2 ⇒ dimV 1 IV 2 = dimV 1 + dimV 2 − dimV 1 + V 2 = 3 + 2 − 4 = 1 Câu 3: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian vectơ con của 4 4 gồm các véctơ v = ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): 4 x1 + 5 x 2 − 2 x3 + 3 x 4 = 0 2 x1 − 3x 2 − 3 x3 − 2 x 4 = 0   ( I ) 3x1 + 5 x 2 + 6 x 3 − 4 x 4 = 0 , ( II ) 4 x1 − 7 x 2 − 5 x3 − 6 x 4 = 0  x + 2 x + 4 x − 3x = 0  x − 2x − x − 2x = 0  1 2 3 4  1 2 3 4 Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . Bài giải:  1 2 4 −3 0   1 2 4 −3 0       1 2 4 −3 0  ( I ) ⇒  3 5 6 −4 0  ⇒  0 −1 −6 5 0  ⇒   (1)  4 5 −2 3 0   0 −3 −18 15 0   0 −1 −6 5 0      (1) ⇒ − x2 − 6 x3 + 5 x4 = 0 ⇒ x2 = −6 x3 + 5 x4 ⇒ x1 + 2(−6 x3 + 5 x4 ) + 4 x3 − 3x4 = 0 ⇒ x1 = 8 x3 − 7 x4 Ta có: V1 = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) V1 = (8 x3 − 7 x4 , −6 x3 + 5 x4 , x3 , x4 ) V1 = (8 x3 , −6 x3 , x3 , 0) + (−7 x4 ,5 x4 , 0, x4 ) = x3 (8, −6,1, 0) + x4 (−7,5, 0,1) Vậy: E = {(8, −6,1, 0), (−7,5, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh. ⇒ dim V1 = 2
 1 −2 −1 −2 0   1 −2 −1 −2 0       1 −2 −1 −2 0  ( II ) ⇒  2 −3 −3 2 0  ⇒  0 1 −1 2 0  ⇒   (2)  4 −7 −5 −6 0   0 1 −1 2 0   0 1 −1 2 0      (2) ⇒ x2 − x3 + 2 x4 = 0 ⇒ x2 = x3 − 2 x4 ⇒ x1 − 2( x3 − 2 x4 ) − x3 − 2 x4 = 0 ⇒ x1 = 3 x3 − 2 x4 Ta có: V2 = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) V2 = (3 x3 − 2 x4 , x3 − 2 x4 , x3 , x4 ) V3 = (3 x3 , x3 , x3 , 0) + (−2 x4 , −2 x4 , 0, x4 ) = x3 (3,1,1, 0) + x4 (−2, −2, 0,1) Vậy: F = {(3,1,1, 0), (−2, −2, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh. ⇒ dim V2 = 2 Ta có: R = {(3,1,1, 0), (−2, −2, 0,1), (8, −6,1, 0), (−7,5, 0,1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh của V1 + V2  3 1 1 0   −2 −2 0 1   1 −2 0 −2   1 −2 0 −2           1 −2 0 −2  −2 −2 0 1  3 1 1 0 0 1 1 3  0 1 1 3    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 0 1 1 3   8 −6 1 0   −7 5 0 1 1 5 0 −7   0 0 −7 −26            0 0 −7 −26   −7 5 0 1   8 −6 1 0   0 −6 1 8  0 0 7 26    ⇒ dim V1 + V2 = 3 Ta có : dim V1 IV2 = dim V1 + dim V2 − dim V1 + V2 = 2 + 2 − 3 = 1 Câu 4: Trong không gian 4 4 xét các vectơ: v1 = (2,1,2,1) ; v 2 = (3,4,2,3) ; v3 = (2,3,1,2) ; u1 = (− 1,− 1,1,3) ; u 2 = (1,1,0,− 1) ; u 3 = (1,1,1,1) . Đặt V1 là không gian vectơ con của 4 4 sinh bởi hệ vectơ { v1 , v 2 , v 3 } và V2 là không gian vectơ con của 4 4 sinh bởi hệ vectơ { u1 , u 2 , u 3 } . Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 + V2 , V1 ∩ V2 . Bài giải: Từ đề bài ta có:  2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1         3 4 2 3  ⇒  4 3 2 3  ⇒  0 −5 −6 −1 ⇒ dim V1 = 3  2 3 1 2   3 2 1 2   0 −4 −1 0        Tương tự:  1 1 1 1  1 1 1 1      1 1 1 1   1 1 0 −1 ⇒  0 0 −1 −2  ⇒   ⇒ dim V2 = 2  −1 −1 1 3   0 0 2 4   0 0 −1 −2      Ta có:
1 2 2 1  1 2 2 1  1 2 2 1  1 2 2 1          0 −5 −6 −1   0 −5 −6 −1   0 1 1 0   0 1 1 0  0 −4 −1 0  ⇒  0 −4 −1 0  ⇒  0 −4 −1 0  ⇒  0 0 3 0          1 1 1 1   0 1 1 0   0 −5 −6 −1   0 0 −1 −1   0 0 −1 −2   0 0 −1 −2   0 0 −1 −2   0 0 −1 −2          ⇒ E = {(1, 2, 2,1), (0,1,1, 0), (0, 0,3, 0), (0, 0, −1, −1)} là một cơ sở , cũng là tập sinh của V1 + V2 Vậy : ⇒ dim V1 + V2 = 4 Ta có : dim V1 IV2 = dim V1 + dim V2 − dim V1 + V2 = 3 + 2 − 4 = 1