158 Nguyễn Văn Thuận
NGHIỆM CỔ ĐIỂN CHÍNH XÁC CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG-MILLS
VỚI NGUỒN NGOÀI
EXACT CLASSICAL SOLUTION TO THE YANG-MILLS EQUATIONS
WITH AN EXTERNAL SOURCE
Nguyễn Văn Thuận
Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh; thuanvatli@yahoo.com
Tóm tắt - Trong bài báo này chúng tôi khảo sát trường gauge
không-Abel SU(2) với nguồn ngoài. Trong trường hợp nguồn ngoài
tĩnh và có dạng đối xứng trục, chúng tôi nhận được nghiệm cổ điển
chính xác của các phương trình Yang-Mills tương ứng. Nghiệm
này có kì dị tại
01/ .rb=
Một hạt bất kỳ mang tích gauge SU(2)
nếu đi vào miền
0
rr
thì sẽ bị giam cầm trong miền này. Như vậy,
nghiệm thu được biểu lộ tính chất về sự giam cầm tích gauge
SU(2). Từ nghiệm cổ điển này, chúng tôi cũng tìm được các đại
lượng vật lý đặc trưng của trường gauge không-Abel SU(2) liên kết
với nguồn ngoài, đó là các thế gauge, cường độ điện từ trường,
mật độ tích ngoài và mật độ năng lượng của trường gauge non-
Abel SU(2). Khi hàm trường
( ) 0kr =
và chỉ số topo
1,n=
thế
gauge SU(2) tương ứng với thế của một đơn cực từ điểm.
Abstract - In this paper, we are to investigate an SU(2) non-Abelian
gauge field with an external source. If the external source is static
and axisymmetric, we obtain the exact classical solution to the
corresponding Yang-Mills equations. This solution has singularity at
It can be seen that any particle, which carries an SU(2)
gauge charge, becomes confined if it crosses into the region
0
rr
.
Therefore the obtained solution exhibits the property of the SU(2)
gauge charge confinement. From this classical solution, we also find
the characteristic physical quantities of the SU(2) non-Abel gauge
field coupled with the external source, namely gauge potentials,
electromagnetic field intensities, external charge density and SU(2)
non-Abel gauge field energy density. With the field function
( ) 0kr =
and topological index
1,n=
the SU(2) gauge potential corresponds
to the potential of a point magnetic monopole.
Từ khóa - trường Yang-Mills, phương trình Yang-Mills, trường
gauge không-Abel, nguồn ngoài, nhóm SU(2), nghiệm cổ điển.
Key words - Yang-Mills field; Yang-Mills equation; non-Abel gauge
field; external source; SU(2) group; classical solution.
1. Đặt vấn đề
Lý thuyết trường gauge không-Abel (còn gọi là lý thuyết
trường Yang-Mills) đã được thừa nhận là một trong những lý
thuyết có nhiều triển vọng nhất để xây dựng lý thuyết thống
nhất các tương tác cơ bản trong tự nhiên [1-3]. Cùng với việc
khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên
các mô hình chuẩn, một hướng nghiên cứu khác thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà vật lý, đó là nghiên cứu các tính chất
cơ bản của lý thuyết trường gauge không-Abel như là các hệ
động lực phi tuyến. Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát
triển mạnh trong những năm gần đây. Như đã biết, các phương
trình phi tuyến là đối tượng nghiên cứu của vật lý toán phi
tuyến, lĩnh vực mà về công cụ và các đặc trưng khác xa vật lý
toán truyền thống. Các nghiệm của các phương trình trường
cổ điển, tức là các phương trình trong đó các hàm trường là
các hàm c - số (chứ không phải là các toán tử) đóng vai trò
quan trọng khi khảo sát cấu trúc của lý thuyết trường lượng tử
tương ứng [4-8]. Dựa trên các nghiệm này, dùng các phương
pháp phân tích bán cổ điển, có thể thu được nhiều thông tin
vật lý quan trọng về lý thuyết lượng tử mà trước đây không
thể có được bằng lý thuyết nhiễu loạn. Chẳng hạn như khi
phân tích các phương trình Yang-Mills cổ điển người ta phát
hiện ra rằng, cực trị của phiếm hàm tác dụng trong không gian
Euclide không tương ứng với các trường đồng nhất bằng
không, mà tương ứng với cấu hình trường không tầm thường,
định xứ theo không-thời gian được gọi là instanton. Trong lý
thuyết lượng tử, các instanton mô tả hiệu ứng đường hầm
trong các trạng thái chân không suy biến. Kết quả này dẫn đến
cách nhìn mới về cấu trúc chân không của lý thuyết Yang-
Mills, cho phép giải thích định tính về vấn đề tai biến hồng
ngoại và sự cầm tù quark.
Bài toán tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills cổ
điển tương tác với nguồn ngoài cũng được nhiều tác giả quan
tâm khảo sát [9-11]. Đối với bài toán loại này, một trong
những kết quả hấp dẫn nhất là tìm ra được một số nghiệm
riêng có thể xảy ra hiệu ứng màn chắn (screening) đối với tích
màu ngoài, tương tự như hiệu ứng màn chắn đối với điện tích
trong điện động lực học. Người ta cho rằng sự cầm tù quark
có thể liên hệ với hiệu ứng màn chắn tích màu vừa nêu.
Bài báo này đề cập đến lý thuyết Yang-Milss SU(2) với
nguồn ngoài. Trong trường hợp nguồn ngoài tĩnh và có dạng
đối xứng trục, chúng tôi đã tìm được một dạng nghiệm cổ
điển chính xác (còn gọi là nghiệm vortex) của các phương
trình trường Yang-Mills SU(2) tương ứng, và xét các đặc
trưng vật lý của nó. Nghiệm cổ điển này biểu lộ tính chất
giam cầm các tích gauge của lý thuyết gauge không-Abel.
2. Các phương trình trường Yang-Mills với nguồn ngoài
Các phương trình trường Yang-Mills SU(2) trong sự có
mặt của dòng ngoài
a
j
có dạng [10]:
,
aa
D F j

=
(1)
,
a a a abc b c
F W W g W W

= − +
(2)
Ở đây g là hằng số liên kết của trường chuẩn,
, 0,1,2,3

=
là các chỉ số không-thời gian,
, , , 1,2,3abc=
là các chỉ số của nhóm SU(2). Khi lấy tỉ lệ xích thích hợp
cho các thế gauge, trong phương trình (2) người ta có thể
đặt
1.g=
Chúng tôi sử dụng tenxơ metric, được xác định
bởi
00 1.
ii
gg= − =
Vì tenxơ cường độ trường
a
F

là phản
đối xứng nên đạo hàm hiệp biến
0.
aa
D D F D j

==
Điều này cho thấy dòng ngoài được coi như mật độ tích
ngoài tĩnh.
Ta xét nguồn ngoài tĩnh đối xứng trục trong hệ tọa độ
trụ và không phụ thuộc vào tọa độ z:
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(90).2015 159
( )
0,
aa
j e q r

=
(3)
( ) ( )
12
cos sin ,
a a a
e n n
=+
(4)
Ở đây
a
e
là vectơ đơn vị trong không gian đồng vị của
trường gauge, và n trong phương trình (4) là số cuộn, nghĩa
là số lần trường cuộn quanh vectơ
a
e
khi góc phương vị
quét một vòng từ 0 đến
2
người ta gọi n là chỉ số topo,
nó phân thành các lớp nghiệm. Từ phương trình (3) dễ dàng
thấy rằng:
( )
0.
aa
j e q r=
(5)
Như vậy ta có thể xem hàm
( )
qr
như là mật độ tích
ngoài không-Abel, chỉ phụ thuộc vào tọa độ r.
Để tìm nghiệm của các phương trình trường chuẩn
Yang-Mills, chúng tôi sử dụng ansatz đối xứng trục cho các
thế gauge không-Abel SU(2). Nó có dạng [11]:
( )
0,
aa
fr
We
gr
=
(6)
( )
3,
aak r n
We
gr

−+

=
(7)
Trong đó
a
e
cho bởi phương trình (4),
e
là vectơ đơn vị
trên trục tọa độ
,
số nguyên n là chỉ số topo của nghiệm,
( ) ( )
,f r k r
là các hàm trường chỉ phụ thuộc vào r.
Các cường độ trường gauge không-Abel được xác định
bởi các phương trình:
01
,.
2
a a a a
i i i ijk jk
E F B F
= = −
(8)
Từ đây ta có:
( ) ( )
2
12
2
sin cos ,
aar
aa
df
fr
dr
E e e
gr
fk
n n e
gr

−
=+

+−

(9)
3.
aaz
dk
dr
Be
gr



=−
(10)
Khi thế các phương trình (2), (3), (6), (7) vào (1), chúng
tôi nhận được hệ hai phương trình vi phân phi tuyến liên kết:
22
22
11 ,
d f df k f rq
r dr
dr r
−
− + = −
(11)
22
2
10.
d k dk f k
dr r dr r
− + =
(12)
Chú ý rằng, chỉ số n không xuất hiện tường minh trong
hai phương trình (11) và (12)
3. Nghiệm giải tích và các đại lượng vật lý đặc trưng
cho trường Yang-Mills SU(2) với nguồn ngoài
Cho đến nay người ta vẫn chưa tìm được phương pháp
tổng quát để giải các phương trình vi phân phi tuyến. Cách
thông thường là đưa ra một vài dự đoán về dạng của
nghiệm và thế nó vào các phương trình trường để xem nó
có thỏa mãn các phương trình trường hay không. Một dạng
nghiệm cổ điển chính xác mà chúng tôi tìm được là:
( )
,
1
ar
kr br
=−
(13)
( )
13 ,
1
br
fr br
−
= −
(14)
Ở đây
( )
,0a b b
là các tham số. Dễ dàng thấy rằng
nghiệm trên thỏa mãn phương trình (12). Khi thế (13), (14)
vào phương trình (11) ta sẽ nhận được hàm
( )
qr
là mật độ
tích ngoài không-Abel SU(2). Nó có dạng (trường hợp hàm
( )
fr
lấy dấu +):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
22
3/2 1/2 2
1/2 1/2
2
32
2
1/2
2
1/2 22
32
96
4 1 3 1 1 3 1
2 1 3 1 3
11
3
2 1 3 1
13 1.
11
bb
qr r br br r br br
b br b br
r br r br
b
r br br
br ar
r br br
=+
− − − −
−−
−+
−−
−−−

−
+−

−−

(15)
Với nghiệm (13), (14), các thế gauge không-Abel
SU(2) (6), (7) trở thành:
( )
013 ,
1
aa r
We
gr br
−
= −
(16)
( )
( )
3
1.
1
aaar n br
We
gr br

− + −

=−
(17)
Khi tham số
0a=
(nghĩa là hàm trường
()kr
bằng
không) và chỉ số topo
1n=
, biểu thức (17) trở thành:
3
1ˆ
Waae
gr
=
(18)
Đây là thế của một đơn cực từ điểm không-Abel SU(2),
có độ lớn bằng
1
g
.
Từ (13), (14), chúng tôi xác định được dạng tường minh
của cường độ điện trường và cường độ từ trường của trường
gauge không-Abel SU(2) (khi hàm
( )
fr
lấy dấu +):
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
22
1/2 2
2
1/2
122
2 7 9
2 1 3 1
13
sin cos ,
1
aar
aa
br b r
E e e
gr br br
a br
nn
gr br
−+
=−−
−

+−

−
(19)
( )
3.
1
aaz
a
Be
gr br
=− −
(20)
Mật độ năng lượng
( )
hr
của trường gauge không-Abel
SU(2) tương tác với nguồn ngoài là hàm của r được cho
bởi phương trình:
( )
( ) ( )
22
1.
2
aa
h r E B
=+


(21)
Từ (9), (10) suy ra:
160 Nguyễn Văn Thuận
( )
22
2 2 2
24 .
2
df dk
f r f k r
dr dr
hr gr

− + +



=
(22)
Khi thế (13), (14) (ứng với hàm
( )
fr
lấy dấu (+)) vào
(22), chúng tôi nhận được:
( ) ( ) ( )
( )
( )
22
2
24
2
3
23
2 3 2 2
4
22
19
14 1 3
21
32
21
3 2 3 .
21
br
hr br
g r br
b r b
g r br
b b r a a br
g r br

=+

−

−
−
+−
− + −
+−
(23)
Biết mật độ năng lượng, ta có thể tìm được năng lượng của
trường gauge không-Abel SU(2) tương tác với trường ngoài.
4. Thảo luận kết quả và kết luận
Nghiệm giải tích (13), (14) mà chúng tôi tìm được là ổn
định, bởi vì:
Khi
0r→
thì
( ) ( )
0, 1,k r f r→ →
(24)
Khi
r→
thì
( ) ( )
, 0.
a
k r f r
b
→− →
(25)
Nghiệm của chúng tôi có kì dị tại
01.rb
=
Nghiệm này
có dạng tựa nghiệm Schwarzschild trong lý thuyết tương
đối tổng quát. Các thế gauge không-Abel (16), (17) cũng
có kì dị tại
01.rb
=
Vì vậy, một hạt bất kỳ mang tích gauge
SU(2) đi vào miền
0
rr
thì không thể rời khỏi miền này.
Điều này thì tương tự như đã xảy ra với nghiệm
Schwarzschild trong lý thuyết tương đối tổng quát, ở đó
một hạt đi qua đường chân trời (horizon) thì sẽ bị giữ lại.
Ngoài ra, các thế gauge không-Abel còn có kì dị tại
0,r=
cũng giống như nghiệm Schwarzschild và thế Coulomb của
một điện tích điểm trong hình thức luận điện từ cổ điển.
Từ lý thuyết chuẩn không-Abel, chúng tôi đã tìm được
nghiệm chính xác tựa nghiệm Schwarzschild trong lý thuyết
tương đối tổng quát. Kết quả cho thấy rõ có sự liên thông
giữa lý thuyết trường chuẩn không-Abel và lý thuyết hấp
dẫn. Đây cũng là một minh chứng về vai trò quan trọng của
lý thuyết trường chuẩn không-Abel trong việc xây dựng lý
thuyết thống nhất các tương tác cơ bản trong tự nhiên.
Nói tóm lại, từ việc khảo sát các phương trình Yang-Mills
SU(2) với nguồn ngoài tĩnh đối xứng trục, chúng tôi đã tìm
được một dạng nghiệm cổ điển chính xác. Nghiệm của chúng
tôi có ý nghĩa trong việc giải thích cơ chế giam cầm các tích
gauge không-Abel. Từ nghiệm cổ điển này, chúng tôi cũng
xác định được các đại lượng vật lý đặc trưng cho trường chuẩn
không-Abel SU(2) tương tác với nguồn ngoài: các thế gauge,
cường độ điện từ trường, mật độ tích ngoài, mật độ năng lượng
của trường gauge không-Abel SU(2). Trong trường hợp hàm
( ) 0kr =
và chỉ số topo
1,n=
thế gauge không-Abel SU(2) có
dạng thế của một đơn cực từ điểm, có độ lớn bằng
1.
g
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] C. N. Yang, R. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic
gauge invariance, Phys. Rev. 96, (1954), 191-195.
[2] P. Ramon, Field theory: Amodern primer, Revised printing
(Addison-Wesley Publishing Company), (1995).
[3] R. K. Kaul, Gauge theory of gravity and supergravity, Phys. Rev. D
73, (2006), 065027-1-13.
[4] A. S. Cornell, G. C. Joshi, Non-Abelian monopole and dyon
solutions in a modified Einstein-Yang-Mills-Higgs system, Phys.
Rev. D 67, (2003), 105015-1-11.
[5] B. Kleihaus, J. Kunz, Y. Shnir, Monopoles, antimonopoles, and
vortex rings, Phys. Rev. D 68, (2003), 101701-1-4.
[6] M. Nielsen, N. K. Nielsen, Explicit construction of constrained
instanton, Phys. Rev. D, Vol. 61, (2000), 105020-1-15.
[7] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha, Dynamical of global vortex string,
Jour. Math. Phys. 52, (2011), 102302-1-9
[8] Nguyen Van Thuan, Non-Abel classical solution of the Yang-Mills-
Higgs theory, Journal of Science of HNUE, Vol. 57, No. 7, (2012), 3-11.
[9] C. H. Oh, R. R. Parwani, Bifurcation in the Yang-Mills field
equations with static sources, Phys. Rev. D 36, (1987), 2527-2531.
[10] P. Sikivi, N. Weiss, Classical Yang-Mills theory in the presence of
external sources, Phys. Rev. D, Vol. 18, No. 10, (1978), 3809-3821.
[11] M. P. Filho, A. K. Kerman, H. D. Trottire, Topologically
nontrivialsolutions to Yang-Mills equations with external sources,
Phys. Rev. D 40, (1989), 4142-4150.
(BBT nhận bài: 30/10/2014, phản biện xong: 09/03/2015)