Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
222
NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
GIẢI HỆ NAVIER – STOKES
Nguyễn Thị Lý
Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong
những phương pháp xấp xỉ tối ưu để giải hệ
phương trình vi phân và hệ phương trình đạo
riêng, ví dụ hệ phương trình đạo hàm riêng
không dừng Navier – Stokes. Tuy nhiên, các
mô hình tính toán sử dụng phương pháp phần
tử hữu hạn sẽ dẫn đến một hệ các phương
trình cỡ lớn. Để đơn giản tính toán trên người
ta đi xây dựng các mô hình rút gọn dựa trên
phương pháp POD. Phương pháp POD là một
phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác
định một hệ sơ sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này
sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn để
xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phép
chiếu Galerkin [1]. Phép chiếu Galerkin trên
hệ các véc tơ cơ sở POD đưa vào trong hệ
Navier-Stokes sẽ dẫn đến một hệ các phương
trình vi phân bậc hai.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Cho 2
RΩ⊂ là miền liên thông, bị chặn.
Xét hệ phương trình không dừng Navier –
Stokes.
Bài toán I.
Tìm 12
(, )uu=u, p sao cho với 0>T
( ) trong (0, )
0 trong (0, )
( , , ) ( , , ) trên (0, )
( , , 0) ( , , 0) trong
tpT
div T
xyt xyt T
xy xy
υ
−Δ+ ⋅∇ +∇= Ω×
⎧
⎪=Ω×
⎪
⎨=∂Ω×
⎪
⎪=Ω
⎩
uuuu f
u
uφ
uφ
Trong đó u biểu diễn véc tơ vận tốc, p là
áp suất,
υ
là hằng số (nghịch đảo của số
Reynolds), 12
(, )
f
f=f là trọng lượng,
(, ,)
x
ytφ là hàm véc tơ.
Để tiện lợi cho việc tính toán, không mất
tính tổng quát, giả sử (, ,)
x
ytφ là véc tơ
không. Xét không gian Sobolev tiêu chuẩn
trên miền bị chặn
Ω
kí hiệu là
()( 0)
m
Hm
Ω
≥. Ta có 20
() ()Ω= ΩLH
là
không gian Sololev trang bị nửa chuẩn:
1/2
2
,m
m
vDvdxdy
α
Ω=Ω
⎧
⎫
⎪
⎪
=
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭
∑∫α,
và chuẩn
1/ 2
,,
0
ΩΩ
=
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩⎭
∑
mm
mi
i
vv
, ()∀∈ Ω
m
vH .
Ở 12
(, )
α
=
α với 1
α
và 2
α
là hai số
không âm, và 12
α
α
=
+α.
Đặc biệt, không gian con 1
0()ΩH của
1()
Ω
H được định nghĩa bởi
{
}
11
0() (); 0
∂Ω
Ω
=∈ Ω =HvHu.
Dễ ràng thấy rằng 1
i tương đương với 1
i
trong 1
0()
Ω
H.
Cụ thể ta định nghĩa không gian
22
0() (); 0
Ω
⎧
⎫
Ω
=∈Ω =
⎨
⎬
⎩⎭
∫
LqLqdxdy.
2
0()L
Ω
là một không gian con của 2()ΩL.
Ta thấy rằng cần thiết phải định nghĩa mở
rộng không gian Sobolev phụ thuộc vào thời
gian để tìm nghiệm tổng quát của Bài toán I.
Xét Φ là một không gian Hilbert, với mọi
0>T và số tự nhiên 0≥n, với
[
]
0,∈tT, Ta
định nghĩa:
2
0
0
(0, ; ) ( ) ; ( )
Ti
n
n
i
i
d
H T vt vt dt
dt
=
⎧
⎫
⎪
⎪
=
∈<∞
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩⎭
∑
∫Φ
ΦΦ
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
223
với chuẩn
1/2
2
()
00
()
n
Ti
n
i
H
i
d
vvtdt
dt
=
⎡⎤
=⎢ ⎥
⎢⎥
⎣⎦
∑∫
Φ
Φ
; ()
n
vH∈Φ
ở đó .Φlà chuẩn của không gian Φ.
Đặc biệt nếu 0=n ta có:
()
2
1
2
2
()
0
T
L
vvtdt
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
∫
ΦΦ.
Ta định nghĩa thêm không gian:
{
}
0
(0, , ) ( ) ;esssup ( )
tT
L T vt vt
∞
≤≤
=∈ <∞
Φ
ΦΦ
với chuẩn () 0
esssup ( )
∞
≤≤
=
LtT
vvt
ΦΦ
.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Ta viết lại bài toán I dưới dạng bài toán
khác như sau:
Bài toán II.
Tìm 12
(, ) (0, ; ) (0, ; )∈×pH TXLTMu sao
cho với mọi (0, )∈tT
,
1
( ,) (,) (,,) (,) (,)
( , ) 0
( , 0) 0 trong
taa bp
X
bq q M
ux
++ −=
⎧
⎪∀∈
⎪
⎨=∀∈
⎪
⎪=Ω
⎩
uv uv uuv v fv
v
u
trong đó 12
0()=ΩXH , 2
0()=ΩML ,
(, ) .adxdy
υ
Ω
=∇∇
∫
uv u v ,
()
2
1
,1
1
2
jjj
iji j
ij ii
vwv
auwuvdxdy
xx
=
Ω
∂∂
⎡⎤
=−
⎢⎥
∂∂
⎣⎦
∑
∫
u, v,w
với
X
∈u, v,w , và
(, )b q qdiv dxdy
Ω
=∫
vv
.
Ta sẽ chỉ ra có một hằng số C dương, có
thể khác nhau ở mỗi lần xuất hiện, độc lập
với không gian, thời gian và lưới tính toán,
tuy nhiên hằng số C đó phụ thuộc vào
Ω
, số
Reynolds, và một số tham biến khác sẽ được
giới thiệu trong bài báo.
Ta thấy rằng với ∈
X
u,v,w thì dạng tam
tuyến tính 1(.,.,.)a có các tính chất sau đây:
11
()()=−aau,v,w u,w, v và 1()0
=
au,v,v
Dạng song tuyến tính (.,.)a và (.,.)b có
các tính chất sau:
2
1
()a
υ
≥v, v v 12
0()
∀
∈ΩHv
11
()a
υ
≤u, v u v 12
0()
∀
∈ΩHu, v
và
12
0
0
() 1
(, )
sup
H
bq q
β
∈Ω
≥
v
v
v, 2
0()∀∈ ΩqL
ở đó
β
là hằng số dương. Đặt
1
1
()
sup
∈
=
X
a
N
u,v,w 11
u,v,w
uvw, 1
1
()
sup
−∈
=
Xv
f,v
fv.
Định lý 1. Nếu 212
(0, ; ( ) )
−
∈
ΩLTHf, thì
bài toán II có ít nhất một nghiệm, xác định
duy nhất bởi 21
2
()
1
LH
N
υ
−
−<f và được ước
lượng bởi:
22 2 1
1
() ( )LL LH
NR
υ
−
−
∇
≤=uf
.
21
1/2 1/ 2
0()LH
NR
υ
υ
−
−−
≤=uf .
Cho
{
}
ℑ
h là họ các tam giác của Ω , sắp
xếp theo tham số:
{
}
:diam()
h
KKK
hmax h h K
∈ℑ
=
=,
khi đó tồn tại một hằng số C độc lập với
h sao cho
≤
∀∈ℑ
Kh
hCh K .
Xét các không gian con hữu hạn h
X
và
h
M
của
X
và
M
tương ứng. ⊂
h
X
X là
không gian véc tơ đa thức từng phần bậc m,
trong đó 0>m là số tự nhiên và ⊂
h
M
M là
không gian véc tơ đa thức từng phần bậc
1
−
m. Đặt
m
hhh
X
XM⊂×. Ta thấy rằng
(
)
,
hh
X
M có tính chất sau:
12
()
+
∀
∈Ω∩
m
HXv và ()
∀
∈∩ Ω
m
qM H ,
10
inf ( ) +
∈∇≤
hh
m
hm
XCh
vv-v v
0
inf ( )
∈−≤
hh
m
hm
qM qq Chq
(1)
Hai bất đẳng thức trên được gọi là điều
kiện LBB rời rạc, điều kiện này được viết lại
dưới dạng:
0
0
(, )
sup
β
∈
≥
∇
h
hh
h
Xh
bq q
h
v
v
v 0
∀
∈h
qM
(2)
trong đó
β
là một hằng số dương độc lập với
h. Để tìm nghiệm phương pháp số cho bài
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
224
toán II, ta sẽ rời rạc hóa bài toán II. Chúng ta
sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho
biến không gian và dùng sơ đồ sai phân hữu
hạn đối với đạo hàm theo thời gian. Cho L
là số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian
bởi /=kTL (T là toàn bộ thời gian):
()=
n
tnk; 0≤≤nL;
(, )∈×
nn
hh h h
p
XMu có xấp xỉ tương ứng
theo phương pháp phần tử hữu hạn là
() ()
(( ), ( ) ( , )
nnnn
ut pt p≡u. Do đó dùng sơ đồ
nửa ẩn Euler cho thời gian và phương pháp
phần tử hữu hạn để đưa bài toán I trở thành
bài toán sau đây:
Bài toán III
Tìm (, )∈×
nn
hh h h
p
XMu sao cho
1
1
1
0
(,) (, )
(,,) (,)
(,)( ,)
(, )0
0 trong
nn
hh hh
nn n
hhh hh
nn
hhh hh
n
hh h h
h
ka
ka kb p
kf X
bq q M
−
−
⎧+
⎪+−
⎪
⎪=+ ∀∈
⎨
⎪=∀∈
⎪
⎪=Ω
⎩
uv uv
uuv v
vuv v
u
u
ở đó 1≤≤nL.
Xét (.,.)
A
trên ×
hh
X
X xác định bởi
1
1
(,)(, ) (,) ( ,, )
nn n nn
hh hh hh h hh
Akaka
−
=+ +uv uv uv u uv
Ta có
1
1
(,)(,) (,) ( ,,)
−
=+ +
nn nn nn n nn
hh hh hh h hh
Akakauu uu uu u uu
00
ν
=+∇
nn
hh
kuu
và (.,.)kb cũng thỏa mãn điều kiện LBB rời
rạc trên ×
hh
X
M do đó theo lý thuyết của
phần tử hữu hạn ta thu được kết quả sau.
Đinh lý 2. Với các giả thiết (1), (2), nếu
12
()
−
∈ΩHf thỏa mãn 2
1
1
n
i
i
N
υ
−
=
<
∑f, thì
bài toán III có một nghiệm duy nhất
(, )∈×
nn
hh h h
p
XMu và thỏa mãn
222
1
00 1
11
nn
ni i
hh
ii
kk
υυ
−
−
==
+∇≤
∑∑
uuf
nếu 2
()kOh=,
1/2
00
1
1/ 2
0
1
()
()()
n
nn ii
hh
i
n
ii m
h
i
k
kppChk
υ
υ
=
=
−+ ∇−
+
−≤+
∑
∑
uu uu
ở đó
2
11
0
(, ) ( ) ( )
+
⎡
⎤⎡ ⎤
∈Ω∩ Ω×∩
⎣
⎦⎣ ⎦
mm
pH H HMu
là nghiệm chính xác của bài toán I. C là hằng
số phụ thuộc vào 1
n
m+
u, 1
n
m
p+ và
1
≤
≤nL.
Nếu ta biết được các giả thiết về số
Reynolds 1
Re
υ
−
=
, tham số h của các tam
giác, không gian véc tơ hữu hạn ×
hh
X
M,
bước thời gian k và f, bằng cách giải bài
toán III, ta thu được các một bộ nghiệm
12 1
(, ,)
nn nL
hhhn
uu p
=
. Sau đó ta chọn bộ các
nghiệm tại các thời điểm từ họ L nghiệm
12
(, ,)
nn nT
hhh
p
uu (1
≤
≤nL) của bài toán III
(chẳng hạn chọn =20 hoặc =30, nói chung
là =L):
12
(, ) ( , , )
nn nT
ihhh
x
yuup=U
với 12
1...nn nL
≤
<<<≤
Các nghiệm được chọn tại các thời điểm
đó thường được gọi là các snapshots.
4. KẾT LUẬN
Trong bài báo này tác giả sẽ nghiên cứu
các dạng của hệ phương trình Navier –
Stokes bằng cách dùng các phương pháp
phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân
hữu hạn. Nghiệm xấp xỉ của hệ Navier –
Stokes dạng rời rạc và đánh giá sai số của nó
được xem xét.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz.
Turbulence, Coherent Structures,
Dynamical Systems and Symmetry.
Cambridge Monographs on Mechanics,
Cambridge University Press, 1996.