zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn giải hệ Navier – Stokes

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn giải hệ Navier – Stokes nghiên cứu các dạng của hệ phương trình Navier – Stokes bằng cách dùng các phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân hữu hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn giải hệ Navier – Stokes

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI HỆ NAVIER – STOKES Nguyễn Thị Lý Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Để tiện lợi cho việc tính toán, không mất tính tổng quát, giả sử φ( x, y, t ) là véc tơ Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong những phương pháp xấp xỉ tối ưu để giải hệ không. Xét không gian Sobolev tiêu chuẩn phương trình vi phân và hệ phương trình đạo trên miền bị chặn Ω kí hiệu là riêng, ví dụ hệ phương trình đạo hàm riêng H m (Ω) (m ≥ 0) . Ta có L2 (Ω) = H 0 (Ω) là không dừng Navier – Stokes. Tuy nhiên, các không gian Sololev trang bị nửa chuẩn: mô hình tính toán sử dụng phương pháp phần 1/ 2 ⎪⎧ ⎪⎫ = ⎨ ∑ ∫ D α v dxdy ⎬ , 2 tử hữu hạn sẽ dẫn đến một hệ các phương v m ,Ω trình cỡ lớn. Để đơn giản tính toán trên người ⎪⎩ α = m Ω ⎭⎪ ta đi xây dựng các mô hình rút gọn dựa trên và chuẩn phương pháp POD. Phương pháp POD là một ⎧m m ⎫ 1/2 phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác v m ,Ω = ⎨ ∑ v i , Ω ⎬ , ∀v ∈ H m ( Ω ) . định một hệ sơ sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này ⎩ i =0 ⎭ sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn để Ở α = (α1 , α 2 ) với α1 và α 2 là hai số xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phép không âm, và α = α1 + α 2 . chiếu Galerkin [1]. Phép chiếu Galerkin trên Đặc biệt, không gian con H 01 (Ω) của hệ các véc tơ cơ sở POD đưa vào trong hệ H 1 (Ω) được định nghĩa bởi Navier-Stokes sẽ dẫn đến một hệ các phương trình vi phân bậc hai. H 01 (Ω) = {v ∈ H 1 (Ω); u ∂Ω = 0} . Dễ ràng thấy rằng i 1 tương đương với i 1 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU trong H 01 (Ω) . Cho Ω ⊂ R 2 là miền liên thông, bị chặn. Cụ thể ta định nghĩa không gian Xét hệ phương trình không dừng Navier – Stokes. ⎧ ⎫ L20 (Ω) = ⎨q ∈ L2 (Ω); ∫ qdxdy = 0 ⎬ . Bài toán I. ⎩ Ω ⎭ Tìm u = (u1 , u2 ) , p sao cho với T > 0 L20 (Ω) là một không gian con của L2 (Ω) . ⎧u t − υΔu + (u ⋅ ∇)u + ∇p = f trong Ω × (0, T ) ⎪ Ta thấy rằng cần thiết phải định nghĩa mở ⎪divu = 0 trong Ω × (0, T ) rộng không gian Sobolev phụ thuộc vào thời ⎨ ⎪u( x, y , t ) = φ( x, y, t ) trên ∂Ω × (0, T ) gian để tìm nghiệm tổng quát của Bài toán I. ⎪⎩u( x, y , 0) = φ( x, y, 0) trong Ω Xét Φ là một không gian Hilbert, với mọi Trong đó u biểu diễn véc tơ vận tốc, p là T > 0 và số tự nhiên n ≥ 0 , với t ∈ [ 0, T ] , Ta áp suất, υ là hằng số (nghịch đảo của số định nghĩa: Reynolds), f = ( f1 , f 2 ) là trọng lượng, ⎧⎪ T n di 2 ⎫⎪ H n (0, T ; Φ) = ⎨v(t ) ∈ Φ; ∫ ∑ i v(t ) dt < ∞ ⎬ φ( x, y, t ) là hàm véc tơ. dt ⎩⎪ 0 i =0 Φ ⎭⎪ 222
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 với chuẩn 2 a ( v, v ) ≥ υ v 1 ∀v ∈ H 01 (Ω) 2 1/2 ⎡ n T di 2 ⎤ a (u, v ) ≤ υ u 1 v 1 ∀u, v ∈ H 01 (Ω) 2 vH n (Φ ) = ⎢ ∑ ∫ ⎢⎣ i = 0 0 dt i v (t ) dt ⎥ ; v ∈ H n (Φ ) ⎥⎦ Φ và ở đó . Φ là chuẩn của không gian Φ . b( q, v ) sup ≥ β q 0 , ∀q ∈ L20 (Ω) Đặc biệt nếu n = 0 ta có: v∈H 01 ( Ω ) 2 v1 1 ở đó β là hằng số dương. Đặt ⎛T ⎞2 v L2 ( Φ ) = ⎜ ∫ v ( t ) Φ dt ⎟ . 2 a1 (u, v, w ) (f, v ) ⎝0 ⎠ N = sup , f −1 = sup . u,v,w∈ X u1 v1 w1 v∈X v1 Ta định nghĩa thêm không gian: { } Định lý 1. Nếu f ∈ L (0, T ; H −1 (Ω) 2 ) , thì 2 L∞ (0, T , Φ) = v(t ) ∈ Φ; ess sup v(t ) 0 là số tự nhiên và M h ⊂ M là Ω 1 2 ⎡ ∂v ∂w j v j ⎤ không gian véc tơ đa thức từng phần bậc a1 ( u, v, w ) = ∫ ∑ ⎢ui j w j − ui v j ⎥dxdy 2 Ω i , j =1 ⎣ ∂xi ∂xi ⎦ m − 1 . Đặt m X h ⊂ X h × M h . Ta thấy rằng với u, v, w ∈ X , và ( X h , M h ) có tính chất sau: b( q, v ) = ∫ qdiv vdxdy . ∀v ∈ H m+1 (Ω) 2 ∩ X và ∀q ∈ M ∩ H m (Ω) , Ω Ta sẽ chỉ ra có một hằng số C dương, có inf ∇ ( v - v h ) 0 ≤ Ch m v m +1 v h ∈X h thể khác nhau ở mỗi lần xuất hiện, độc lập với không gian, thời gian và lưới tính toán, inf ( q − qh ) 0 ≤ Ch m q m (1) qh ∈M h tuy nhiên hằng số C đó phụ thuộc vào Ω , số Hai bất đẳng thức trên được gọi là điều Reynolds, và một số tham biến khác sẽ được kiện LBB rời rạc, điều kiện này được viết lại giới thiệu trong bài báo. dưới dạng: Ta thấy rằng với u, v, w ∈ X thì dạng tam b(qh , v h ) tuyến tính a1 (.,.,.) có các tính chất sau đây: sup ≥ β qh 0 ∀q0 ∈ M h (2) vh ∈X h ∇v h 0 a1 (u, v, w ) = −a1 (u, w, v) và a1 (u, v, v) = 0 Dạng song tuyến tính a(.,.) và b(.,.) có trong đó β là một hằng số dương độc lập với các tính chất sau: h . Để tìm nghiệm phương pháp số cho bài 223
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 toán II, ta sẽ rời rạc hóa bài toán II. Chúng ta n sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho u n − u nh + k 1/2υ ∑ ∇(ui − uih ) 0 0 i =1 biến không gian và dùng sơ đồ sai phân hữu n hạn đối với đạo hàm theo thời gian. Cho L + k 1/2υ ∑ ( p i − phi ) ≤ C (h m + k ) là số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian i =1 0 bởi k = T / L ( T là toàn bộ thời gian): ở đó t ( n ) = nk ; 0 ≤ n ≤ L ; 2 (u, p ) ∈ ⎡⎣ H 01 (Ω) ∩ H m+1 (Ω) ⎤⎦ × ⎡⎣ H m ∩ M ⎤⎦ (u nh , phn ) ∈ X h × M h có xấp xỉ tương ứng là nghiệm chính xác của bài toán I. C là hằng theo phương pháp phần tử hữu hạn là số phụ thuộc vào u n , p n và (u (t ( n ) ), p (t ( n ) ) ≡ (u n , p n ) . Do đó dùng sơ đồ m+1 m+1 nửa ẩn Euler cho thời gian và phương pháp 1≤ n ≤ L . phần tử hữu hạn để đưa bài toán I trở thành Nếu ta biết được các giả thiết về số bài toán sau đây: Reynolds Re = υ −1 , tham số h của các tam Bài toán III giác, không gian véc tơ hữu hạn X h × M h , Tìm (u nh , phn ) ∈ X h × M h sao cho bước thời gian k và f , bằng cách giải bài toán III, ta thu được các một bộ nghiệm ⎧(u nh , v h ) + ka (u nh , v h ) ⎪ (u1nh , u2nh , phn ) nL=1 . Sau đó ta chọn bộ các n −1 ⎪+ ka1 (u h , u h , v h ) − kb( ph , v h ) n n nghiệm tại các thời điểm từ họ L nghiệm ⎪ n −1 (u1nh , u n2 h , phn )T (1 ≤ n ≤ L ) của bài toán III ⎨= k ( f , v h ) + (u h , v h ) ∀v h ∈ X h n ⎪ (chẳng hạn chọn =20 hoặc =30, nói chung ⎪b(qh , u h ) = 0 ∀qh ∈ M h n là =L ): ⎪u 0 = 0 trong Ω U i ( x, y ) = (u1nh , u2nh , phn )T ⎩ h ở đó 1 ≤ n ≤ L . với 1 ≤ n1 < n2 < ... < n ≤ L Xét A(.,.) trên X h × X h xác định bởi Các nghiệm được chọn tại các thời điểm A(u nh , v h ) = (u nh , v h ) + ka(u nh , v h ) + ka1 (u nh−1 , u nh , v h ) đó thường được gọi là các snapshots. Ta có 4. KẾT LUẬN A(u nh , u nh ) = (u nh , u nh ) + ka(u nh , u nh ) + ka1 (u nh−1 , u nh , u nh ) Trong bài báo này tác giả sẽ nghiên cứu = u n h 0 + kν ∇u n h 0 các dạng của hệ phương trình Navier – Stokes bằng cách dùng các phương pháp và kb(.,.) cũng thỏa mãn điều kiện LBB rời phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân rạc trên X h × M h do đó theo lý thuyết của hữu hạn. Nghiệm xấp xỉ của hệ Navier – phần tử hữu hạn ta thu được kết quả sau. Stokes dạng rời rạc và đánh giá sai số của nó Đinh lý 2. Với các giả thiết (1), (2), nếu được xem xét. n f ∈ H −1 (Ω)2 thỏa mãn N ∑ f i < υ 2 , thì 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO −1 i =1 bài toán III có một nghiệm duy nhất [1] P. Holmes, J.L. Lumley, and G. Berkooz. (u nh , phn ) ∈ X h × M h và thỏa mãn Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Systems and Symmetry. n n u nh + kυ ∑ ∇uih ≤ kυ −1 ∑ f i 2 2 2 Cambridge Monographs on Mechanics, 0 i =1 0 i =1 −1 Cambridge University Press, 1996. nếu k = O(h 2 ) , 224

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.