CHUYÊN Đ B I D NG TOÁN THCSỀ Ồ ƯỠ
Chuyên đ 1ề : PHÂN TÍCH ĐA TH C THÀNH NHÂN TỨ Ử
Các ví d và ph ng pháp gi iụ ươ ả
Ví d 1ụ: Phân tích đa th c thành nhân t ứ ử
a.
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
b.
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
Gi i: ả
a. Dùng ph ng pháp đ t nhân t chung ươ ặ ử
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
=
xxaaax
−−+
22
( ) ( ) ( )( )
1
−−=−−−=
axaxaxaxax
b. Dùng ph ng pháp đ t nhân t chung r i s d ng h ng đ ng th cươ ặ ử ồ ử ụ ằ ẳ ứ
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
( )
( )
11
3
−+−=
xxx
n
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n n n n n
x x x x x x x x x x x x x
+ +
= − + + + − = − + + + = − + + +
Ví d 2ụ: Phân tích đa th c thành nhân t :a. xứ ử 8 + 3x4 + 4. b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .
Gi i: ả
a.Dùng ph ng pháp tách h ng t r i s d ng h ng đ ng th cươ ạ ử ồ ử ụ ằ ẳ ứ
x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4= (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2)
b.Dùng ph ng pháp đ t nhân t chung ,tách h ng t ,nhóm thích h p đ s d ng h ngươ ặ ử ạ ử ợ ể ử ụ ằ
đ ng th c: xẳ ứ 6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22
2 4 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1 1 1
1 1 1 1 2 2
x x x x x x x x
x x x x x x x
= − + + − + = − + −
= − + + = − + +
Ví d 3: ụPhân tích đa th c thành nhân t :ứ ử
a.
b.
200720062007
24
+++
xxx
Gi i: ả
a.Dùng ph ng pháp tách h ng t r i nhóm thích h p:ươ ạ ử ồ ợ
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2 4 4 2 4
2 4 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
a b ab a c ac b c bc abc
a b ab a c abc ac b c bc abc
ab a b ac a b c a b bc a b
a b ab ac c bc a b a b c c b c a b b c a c
+ − + − + −
= + − − + − + − =
= + − + + + − +
= + − + − = + − − − = + − −
b.Dùng ph ng pháp đ t nhân t chung r i s d ng h ng đ ng th cươ ặ ử ồ ử ụ ằ ẳ ứ
20072062007 24 +++ xxx
( )
4 2
2007 2007 2007x x x x
= − + + +
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2007x x x x x x x x x x= − + + + + + = + + − +
Ví d 4:ụ Phân tích đa th c thành nhân t : a.ứ ử
abccba 3
333
−++
b.
( )
333
3
cbacba
−−−++
.
Gi i: S d ng các h ng đ ng th c ả ử ụ ằ ẳ ứ
( )
( )
abbababa
−++=+
2233
( ) ( )
[ ]
abbaba 3
2
−++=
( ) ( )
baabba
+−+=
3
3
.Do đó:
=−++
abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
22 2 2 2
3a b c a b a b c c ab a b c a b c a b c ab bc ca
= + + + − + + − + + = + + + + − − −
b.
( ) ( )
[ ]
( )
3
3
3
333
3
cbacbacbacba
+−−++=−−−++
1
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
bacacbcabcabacb
cbcbcbacbaacbacb
+++=++++=
+−+−+++++++=
33333
2
222
2
Ví d 5ụ: Cho a + b + c = 0. CMR :a3 + b3 + c3 = 3abc.
Gi i: Vì a + b + c = 0ả
( ) ( )
33 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 0 3a b c a b ab a b c a b c abc a b c abc
⇒ + = − ⇒ + + + = − ⇒ + + − = ⇒ + + =
Ví d 6ụ: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22
4ba
ab
P
−
=
Gi i: Bi n đ i 4aả ế ổ 2 + b2 = 5ab
⇔
4a2 + b2 - 5ab = 0
⇔
( 4a - b)(a - b) = 0
⇔
a = b.
Do đó
3
1
34
2
2
22
==
−
=a
a
ba
ab
P
Ví d 7ụ:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. CMR n u: ế
1;0 =++=++ c
z
b
y
a
x
z
c
y
b
x
a
thì
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
Gi i: ả
000 =++⇒=
++
⇒=++ cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c
y
b
x
a
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2. 1 1
x y z x y z x y z ayz bxz cxy x y z
a b c a b c a b c abc a b c
+ +
+ + = ⇒ + + = + + + = ⇒ + + =
÷
Bài t p v n d ng - T luy nậ ậ ụ ự ệ
1. Phân tích đa th c thành nhân t :ứ ử
a.
12
2
−−
xx
b.
158
2
++
xx
c.
166
2
−−
xx
d.
3
23
++−
xxx
2. Phân tích đa th c thành nhân t : ứ ử
( ) ( )
152
2
2
2
−−−−
xxxx
.
3. Phân tích đa th c thành nhân t ứ ử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz.
4. Tìm x,y th a mãn: xỏ2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0. CMR a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
6. CMR n u x + y + z = 0 thì : 2(xế5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7. CMR v i x,y nguyên thì : A = yớ4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là s chínhố
ph ng.ươ
8. Bi t a - b = 7. Tính giá tr c a bi u th c sau: ế ị ủ ể ứ
( ) ( ) ( )
1311
22
+−−+−−+
baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 s th a mãn đ ng th i:ố ỏ ồ ờ
=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá tr bi u th c ị ế ứ
P =
( ) ( ) ( )
1997917
111
−+−+−
zyx
.
10.
a.Tính
2222222
10110099...4321
+−++−+−
.
b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53. Tính ab + bc + ca.
11.Cho 3 s x,y,z th a mãn đi u ki n x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.ố ỏ ề ệ
2
Hãy tính giá tr c a Bi u th c : S = (x-1)ị ủ ế ứ 2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007
12. Cho 3 s a,b,c th a đi u ki n : ố ỏ ề ệ
cbacba ++
=++ 1111
.
Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008).
H NG D N:ƯỚ Ẫ
1. Phân tích đa th c thành nhân t :ứ ử
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.
( )( )
53158
2
++=++
xxxx
c.
( )( )
82166
2
−+=−−
xxxx
d.
( )
( )
3213
223
+−+=++−
xxxxxx
2. Phân tích đa th c thành nhân t :ứ ử
( ) ( ) ( )( )
35152
222
2
2
+−−−=−−−−
xxxxxxxx
.
3. Phân tích đa th c thành nhân t ứ ử
1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3
( )( )( )( )
ayxayaxyx
++−−−=
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
( )( )( )
accbba
+++=
3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz =
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
( ) ( ) ( )
222
2|321
−+−+−⇔
zyx
5. T a + b + c + d = 0 ừ
( ) ( )
33
dcba
+−=+⇒
Bi n đ i ti p ta đ c :aế ổ ế ượ 3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
6. N u x + y + z = 0 thì :ế
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
5 5 5 2 2 2
5 5 5 2 2 2
2 2 2
3 3
3
2 2 6 ; *
2
x y z xyz x y z x y z xyz x y z
x y z xyz xy yz zx xyz x y z
x y z xyz xy yz zx xyz x y z
xyz xy yz zx xyz x y z
+ + = ⇒ + + + + = + +
⇔ + + − + + = + +
⇔ + + − + + = + +
− + + = + +
Nh ng: ư
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzxyxyzzyx ++=++−⇒=++
(**)
Thay (**) vào (*) ta đ c: 2(xượ 5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7. V i x,y nguyên thì : A = yớ4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
( )
2
22
55 yxyx
++=
8. Bi n đ i ế ổ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11311
2
22
+−−=+−−+−−+
bababaababbbaa
9. T ừ
=++
=++
1
1
333
zyx
zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx
+++=−−−++⇒
3
333
3
=>
=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx
2
−=⇒
P
10. a. S d ng h ng đ ng th c aử ụ ằ ẳ ứ 2 - b2 ; S -=5151
b. S d ng h ng đ ng th c (a + b + c)ử ụ ằ ẳ ứ 2; P = 14
11. T gi thi t suy ra: xừ ả ế 2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0
12. T : ừ
cbacba ++
=++ 1111
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
Tính đ c Q = 0ượ
Chuyªn ® ề 2 : TÍNH CH T CHIA H T TRONG NẤ Ế
M t s d u hi u chia h t – Ví dộ ố ấ ệ ế ụ
I.M t s d u hi u chia h t ộ ố ấ ệ ế
3
1. Chia h t cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125ế.
1 1 0 0 0
... 2 2 0;2;4;6;8.
n n
a a a a a a
−
⇔ ⇔ =M M
1 1 0 0
... 5 0;5
n n
a a a a a
−
⇔ =M
1 1 0
... 4
n n
a a a a
−
M
( ho c 25) ặ
1 0
4a a⇔M
( ho c 25)ặ
1 1 0
... 8
n n
a a a a
−
M
( ho c 125) ặ
210
8a a a⇔M
( ho c 125)ặ
2. Chia h t cho 3; 9ế.
1 1 0
... 3
n n
a a a a
−
M
(ho c 9) ặ
0 1
... 3
n
a a a⇔ + + + M
( ho c 9)ặ
Nh n xétậ: D trong phép chia N cho 3 ( ho c 9) cũng chính là d trong phép chia t ng cácư ặ ư ổ
ch s c a N cho 3 ( ho c 9).ữ ố ủ ặ
3. D u hi u chia h t cho 11ấ ệ ế :
Cho
5 4 3 2 1 0
...A a a a a a a=
( ) ( )
0 2 4 1 3 5
11 ... ... 11A a a a a a a⇔ + + + − + + +
M M
4.D u hi u chia h t cho 101ấ ệ ế
5 4 3 2 1 0
...A a a a a a a=
( ) ( )
1 0 5 4 3 2 7 6
101 ... ... 101A a a a a a a a a⇔ + + − + +
M M
II.Ví dụ
Ví d 1ụ: Tìm các ch s x, y đ : a) ữ ố ể
134 4 45x yM
b)
1234 72xyM
a) Đ ể
134 4 45x yM
ta ph i có ả
134 4x y
chia h t cho 9 và 5 ế
⇒
y = 0 ho c y = 5ặ
V i y = 0 thì t ớ ừ
134 40 9xM
ta ph i có 1+3+5+x+4 ả
9M
4 9 5x x⇒ + ⇒ =M
khi đó ta có s 13554ố
v i x = 5 thì t : ớ ừ
134 4 9x yM
ta ph i có 1+3+5+x+4 +5ả
9M
9 0; 9x x x⇒ ⇒ = =M
lúc đóta có 2 s : 135045; 135945.ố
b) Ta có
1234 123400 72.1713 64 72 64 72xy xy xy xy= + = + + ⇒ +M M
Vì
64 64 163xy≤ + ≤
nên
64 xy+
b ng 72 ho c 144.ằ ặ
+ V i ớ
64 xy+
=72 thì
xy
=08, ta có s : 123408.ố
+ V i ớ
64 xy+
=14 thì
xy
=80, ta có s 123480ố
Ví d 2ụ Tìm các ch s x, y đ ữ ố ể
7 36 5 1375N x y=M
Ta có: 1375 = 11.125.
( ) ( )
125 6 5 125 2
7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1
N y y
N x x x x
⇔ ⇔ =
= ⇔ + + − + + = − ⇔ =
M M
M M
V y s c n tìm là 713625ậ ố ầ
Ví d ụ 3 a) H i sỏ ố
1991
1991 1991
1991...1991
so
A=1 42 4 3
có chia h t cho 101 không?ế
a) Ghép 2 ch s liên ti p nhau thì Aữ ố ế 1991 có 2 c p s là 91;19ặ ố
Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72
M
101 nên
1991
101AM
b) Tìm n đ ể
101
n
AM
Ta có:
101 .91 .19 72 101 101
n
A n n n n⇔ − = ⇔M M M
II. M T S Đ NH LÍ V PHÉP CHIA H TỘ Ố Ị Ề Ế
A.Tóm t t lý thuy tắ ế
1. Đ nh lý v phép chia h tị ề ế :
a) Đ nh lý:ị
Cho a, b là các s nguyên tuỳ ý, ố
0b
≠
, khi đó có 2 s nguyên q, r duy nh t sao cho :ố ấ
a bq r= +
v i ớ
0r b≤ ≤
, a là só b chia, b là s chia, q là th ng s và r là s d .ị ố ươ ố ố ư
Đ c bi t v i r = 0 thì ặ ệ ớ a = b.q Khi đó ta nói a chia h t cho b hay b là c c a ế ướ ủ a, ký
hi u ệ
a bM
.
V y ậ
a b ⇔M
có s nguyên q sao cho a=b.qố
b) Tính ch tấ
4
a) N u ế
a bM
và
b cM
thì
a cM
M
b) N u ế
a bM
và
b aM
thì a = b
c) N u ế
a bM
,
a cM
và (b,c) = 1 thì
a bcM
d) N u ế
ab cM
và (c,b) = 1 thì
a cM
2. Tính ch t chia h t c a m t t ng, m t hi u, m t tích.ấ ế ủ ộ ổ ộ ệ ộ
- N u ế
mb
ma
M
M
mba M+→
- N u ế
mb
ma
M
M
mba M
−→
- N u ế
mb
ma
M
M
a→
.b
mM
- N u ế
→
maM
a
M
n
m (n là s t nhiên)ố ự
3.M t s tính ch t khác:ộ ố ấ
•Trong n s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho nố ự ế ộ ố ế
•Tích n s t nhiên liên ti p chia h t cho n!ố ự ế ế
•A
aM
A
bM
và (a;b) = 1
a.bA⇒M
B.Ví dụ:
1. CMR v i m i s nguyên d ng n ta có:ớ ọ ố ươ
( )
2411
2
2
M−−+ nn
Gi i:ả
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n
= + − − = + − + =
M
Bài t p t luy nậ ự ệ :
2. CMR
a.
4886
23
Mnnn
++
v i n ch nớ ẳ b.
384910
24
M
+−
nn
v i n lớ ẻ
3. CMR :
722
246
Mnnn
−+
v i n nguyênớ
4. CMR v i m i s nguyên a bi u th c sau:ớ ọ ố ể ứ
a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia h t cho 6.ế
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia h t cho 7.ế
c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia h t cho 24ế
d) n3 + 6n2 + 8n chia h t cho 48 (m i n ch n)ế ọ ẵ
5. CMR v i m i s t nhiên n thì bi u th c:ớ ọ ố ự ể ứ
a) n(n + 1)(n +2) chia h t cho 6ế
b) 2n ( 2n + 2) chia h t cho 8.ế
3. Đ ng d th cồ ư ứ
I.Lí thuy t đ ng d :ế ồ ư
a) Đ nh nghĩaị : Cho s nguyên m > 0. N u 2 s nguyên a, b cho cùng s d khi chiaố ế ố ố ư
cho m thì ta nói a đ ng d v i b theo môđun m . ồ ư ớ
Kí hi u : ệ
(mod )a b m≡
b) Tính ch tấ
a)
(mod ) (mod )a b m a c b c m≡ ⇒ ± ≡ ±
b)
(mod ) (mod )a b m na nb m⇒M M
c)
(mod ) (mod )
n n
a b m a b m≡ ⇒ ≡
d)
(mod ) (mod )a b m ac bc m≡ ⇒ ≡
c) M t s h ng đ ng th c:ộ ố ằ ẳ ứ
•
m m
a b a b− −M
•
n n
a b a b+ +M
(n l )ẻ
5