1
Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa
Phương Pháp Tọa Độ
Trong Mặt Phẳng
www. saosangsong.com.vn
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
2
§ 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
A. Tóm tắt giáo khoa .
1. Vectơ n
khác 0
vuông góc đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT)
của ∆ .
• Phương trình của đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) và có VTPT n
= (a ;
b) là : a(x – x0) + b(y – y0)
• Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng : ax
+ by + c = 0
trong đó n
= (a ; b) là một VTPT .
• ∆ vuông góc Ox Ù ∆ : ax + c = 0
∆ vuông góc Oy Ù ∆ : by + c = 0
∆ qua gốc O Ù ∆ : ax + by = 0
∆ qua A(a ; 0) và B(0 ; b) Ù ∆ : xy1
ab
+ = ( Phương
trình theo đọan chắn )
• Phương trình đường thẳng có hệ số góc là k : y = kx +
m với k = tanφ , φ là góc hợp bởi tia Mt của ∆ ở phía trên Ox và tia
Mx
2. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c 2 = 0
Tính D = a1 b 2 – a2 b1, Dx = b1 c 2 – b2 c1 , Dy = c 1 a 2 – c2 a1
• ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù D ≠ 0 . Khi đó tọa độ giao điểm là :
x
y
D
xD
D
yD
⎧=
⎪
⎪
⎨
⎪=
⎪
⎩
• ∆1 // ∆2 Ù x
y
D0
D0
D0
=
⎧
⎪≠
⎡
⎨⎢
⎪≠
⎣
⎩
• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù D = Dx = Dy = 0
Ghi chú : Nếu a2, b2 , c2 ≠ 0 thì :
• ∆1 , ∆2 cắt nhau Ù Ù
2
1
2
1
b
b
a
a≠.
n
a
∆
φ
M
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
3
• ∆1 // ∆2 Ù
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a≠=
• ∆1 , ∆2 trùng nhau Ù
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a==
B. Giải tóan .
Dạng tóan 1 : Lập phương trình tổng quát của đường thẳng : Cần nhớ :
• Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và vuông góc n
= (a;
b) là : a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0
• Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) và cùng phương
)a;a(a 21
= là :
2
o
1
o
a
yy
a
xx −
=
−
• Phương trình đường thẳng song song đường thẳng : ax + by + c = 0 có
dạng : ax + by + m = 0 với m ≠ c .
• Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0 ) :
a(x – x0 ) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 ≠ 0 )
• Phương trình đường thẳng qua A(a ; 0) và B(0 ; b) là : xy
1
ab
+=
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có A(3 ; 2) , B(1 ; 1) và C(- 1; 4) . Viết phương
trình tổng quát của :
a) đường cao AH và đường thẳng BC .
b) trung trực của AB
c) đường trung bình ứng với AC
d) đuờng phân giác trong của góc A .
Giải a) Đường cao AH qua A(3 ; 2) và vuông góc BC
 = (- 2 ; 3) có phương trình
là : - 2( x – 3) + 3(y – 2) = 0 Ù - 2x + 3y = 0
Đường thẳng BC là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho )1y;1x(BM −−=
cùng phương )3;2(BC −= nên có phương trình là : x1 y1
23
− −
=
− ( điều kiện cùng
phương của hai vectơ) Ù 3(x – 1) + 2(y – 1) = 0 Ù 3x + 2y – 5 = 0
b) Trung trực AB qua trung điểm I( 2 ; 3/2 ) của AB và vuông góc AB
 = (- 2 ; -
1) nên có phương trình tổng quát là : 2(x – 2) + 1.(y – 3/2) = 0 Ù 4x + 2y – 11 =
0
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
4
c) Đường trung bình ứng với AB qua trung điểm K( 0 ; 5/2) và cùng phương AB

= (- 2 ; - 1) . Đường này là tập hợp những điểm M(x ; y) sao cho
)
2
5
y;0x(KM −−= cùng phương )1;2(AB −−= nên có phương trình là :
x0 y5/2
21
− −
=( điều kiện cùng phương của hai vectơ)
Ù x – 2y + 5 = 0
d) Gọi D(x ; y) là tọa độ của chân đường phân giác trong . Theo tính chất của
phân giác : DB AB
AC
DC =−


Mà AB = 22 2 2
21 5,AC 42 25+= = + = , do đó :
DB 1 2DC DC
2
DC =− <=> =−
 

Ù 2(1 x) x 1 x 1/ 3
2(1 y) y 4 y 2
−=+ =
⎧⎧
<=>
⎨⎨
−=− =
⎩⎩
Vậy D = (1/3 ; 2) . Vì yA = yD = 2 nên phương trình AD là y = 2 .
Ví dụ 2 : Cho hình chữ nhật ABCD , phương trình của AB : 2x – y + 5 = 0 ,
đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 4 ; 5 ) . Viết
phương trình các cạnh còn lại
Giải Vì AD vuông góc với AB nên VTPT n
= (2 ; - 1) của AB là VTCP của AD
Phương trình AD qua O là : xy
21
=−Ù x + 2y = 0
Tọa độ A là nghiệm của hệ : 2x y 5 0
x2y0
−+=
⎧
⎨+=
⎩
Giải hệ này ta được : x = - 2 ; y = 1 => A(- 2 ; 1)
I là trung điểm của AC , suy ra :
AC I C
AC I C
xx2x8 x10
yy2y10 y9
+= = =
⎧⎧
<=>
⎨⎨
+= = =
⎩⎩
: C(10 ; 9)
Đường thẳng CD song song với AB nên n
= (2 ; - 1)
cũng là VTPT của CD . CD qua C(10 ; 9) , do đó phương trình CD là :
2(x – 10) - (y – 9) = 0 Ù 2x – y – 11 = 0
Đường thẳng BC qua C và song song AD , do đó phương trình BC là :
A B
D C
I
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
5
Ù(x – 10) + 2(y – 9) = 0 Ù x – 2y – 28 = 0
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d : 3x – 4y – 12 = 0 .
a) Tính diện tích của tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ .
b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng của d qua trục Ox .
c) Viết phương trình đường thẳng d” đối xứng của d qua điểm I(- 1 ; 1) .
Giải : a) Cho x = 0 : - 4y – 12 = 0 Ù y = - 3 => d cắt Oy tai A(0 ; - 3)
Cho y = 0 : 3x – 12 = 0 Ù x = 4 => d cắt Ox tai B(4 ; 0)
Diện tích tam giác vuông OAB là : ½ .OA.OB = ½ . 3. 4 = 6 đvdt
b) Gọi A’(0 ; 3) là đối xứng của A
qua Ox . Ta có d’ qua A’ và B ,
cùng phương )3;4(B'A −= có
phương trình là : 3
3y
4
0x
−
−
=
− Ù
3x + 4y – 12 = 0
c) Gọi B1là đối xứng của B qua I
=> B1 (- 6 ; 2) . Đường thẳng d”
qua B1và song song với d , có phương trình :
3(x + 6) – 4(y - 2) = 0 Ù 3x – 4y + 26 = 0
*Ví dụ 4 : Viết phương trình đường thẳng qua M(3 ; 2) , cắt tia Ox tại A, tia
Oy tại B sao cho :
a) OA + OB = 12
b) hợp với hai trục một tam giác có diện tích là 12
Giải : Gọi A(a ; 0) và B(0 ; b) với a > 0 , b > 0 ,
phương trình đường thẳng cần tìm có dạng :
xy
1
ab
+= . Vì đường thẳng qua M(3 ; 2) nên :
321
ab
+= (1)
A
B
x
y
A
B
A’
B1
I