Phương trình - Bất phương trình cơ bản

Chia sẻ: Nguyen Bach Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

188
lượt xem 73
download

Phương trình - Bất phương trình cơ bản

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học Phương trình - Bất phương trình cơ bản biên soạn bởi giáo viên Lê Thị Phương Hoa

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình - Bất phương trình cơ bản

Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 1.ph−¬ng tr×nh –bÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n 1.ph−¬ng a.ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n:  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x) ⇔  D¹ng ph−¬ng tr×nh: (nÕu g(x) cã TX§ l R)  f ( x) ≥ g ( x) 2 b.BÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n: D¹ng 1: D¹ng 2:  g (x ) > 0   f ( x) ≥ 0   f ( x) < g ( x) ⇔  f (x ) ≥ 0 g ( x) < 0 f ( x ) > g ( x) ⇔    ()  g ( x) ≥ 0  f x < g (x ) 2   f ( x) ≥ g ( x) 2 Chó ý: Khi hÖ chøa tõ hai biÓu thøc c¨n bËc hai trë lªn , ®Ó cã thÓ ®−a vÒ d¹ng c¬ b¶n , ta l m nh− sau: + §Æt mét hÖ ®iÒu kiÖn cho tÊt c¶ c¸c c¨n ®Òu cã nghÜa . + ChuyÓn vÕ hoÆc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó hai vÕ ®Òu kh«ng ©m . + B×nh ph−¬ng hai vÕ . + TiÕp tôc cho ®Õn khi hÕt c¨n . bµi tËp ¸p dông B i 1.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1. 3 x + 5 = 2 x − 3 (1) 2. 2 x + 3 = 6 − x ( 2) Gi¶i1: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:  x = 2 3 x≥   ⇔ x = 7  2  4 x − 15 x + 14 = 0  2  2 Gi¶i2: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: x≤6 x≤6   ⇔ ⇔ x=3 2  x − 14 x + 33 = 0 x = 3 ∨ x = 11   B i 1.2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau 1. x 2 − 6 x + 6 = 2 x − 1 (1) (§H X©y Dùng -2001). Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 1 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa   1 1 x≥  x ≥ ⇔ ⇔ x =1  2 2  x =1  x 2 − 6 x + 6 = (2 x − 1) 2   B i 1.3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh x −1 + x+2 =3 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: x ≥1  1≤ x ≤ 4  ⇔ ⇔ ⇔x=2  ( x − 1)( x + 2) = 4 − x (_ x − 1)( x − 2) = (4 − x) 2 B i 1.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh x −1 − x − 3 = x − 2 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: x≥3 x ≥ 3  3≤ x≤ 4 ⇔ ⇔ 2   x −1 = x − 3 + x − 2  4 − x = 2 x − 5x + 6 3x − 8 x + 8 = 0 2 3 ≤ x ≤ 4 6+2 3  -- ⇔ ⇔x= 6+2 3 6−2 3 x = ∨x= 3  3 3 B i 1.5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 1+ x − x 2 = x + 1 − x (§HQG H Néi 2000) 3 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:  0 ≤ x ≤1  0 ≤ x ≤1   1+ 2 x − 2 x2 + 4 x − x2 =1+ 2 x − x2 ⇔2 x − 2 x2 = 2 x − x2 3 3 3 3   3 3  0 ≤ x ≤1  0 ≤ x ≤1 x = 0 ⇔ ⇔ ⇔  x − x ( x − x − 1) = 0 x = 0 ∨ x = 1  x = 1 2 2 B i 1.6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( ) 3 + 4 6 − 16 3 − 8 2 x = 4 x − 3 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:  3  x ≥ 3 x ≥  4 ⇔x= 2 ⇔  4 ( ) 2 2  3 + 4 6 − 16 3 − 8 2 x = 4 x − 3 x =    2 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 2 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa B i 1.7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 7 x − 13 − 3 x − 9 ≤ 5 x − 27 (§H DL Ph−¬ng §«ng -2001) 27 x≥ §iÒu kiÖn: 5 BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:  27 x ≥  5  7 x − 13 ≤ 5 x − 27 + 3 x − 9    27 27 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 5 5 7 x − 13 ≤ 8 x − 36 + 2 (3 x − 9 )(5 x − 27 ) 2 (3 x − 9 )(5 x − 27 ) ≥ 23 − x    27  ≤ x ≤ 23 229 + 2 6576 ⇔5 ⇔ ≤ x ≤ 23 59 59 x − 458 x + 443 ≥ 0 2  B i tËp l m thªm: B i 1: (PP B§ T§) 1. x 2 − 3 x + 2 = 2 x − 1; 2. 3 x 2 − 9 x + 1 = x − 2 3. x 2 − 4 x + 6 = x + 4; 4. x 2 + 2 x + 4 = 2 − x 5. 3 x 2 − 9 x + 1 = | x − 2 |; 6. x − 2 x + 3 = 0; 7. x 2 + x + 1 = 1; B i 2: (PP B§ T§) 1. 3 + x + 6 − x = 3; 2. 3 x − 2 + x − 1 = 3; 3. 3 + x − 2 − x = 1; 4. 9 + x = 5 − 2 x + 4; 5. 3 x + 4 − 2 x + 1 = x + 3; 5 x − 1 − 3 x − 2 − x − 1 = 0; 6. 7. 3x + 4 + x + 4 = 2 x ; 8. 5 x − 5 + 10 x − 5 = 15 x − 10; 9. x + 4 − 1 − x = 1 − 2 x ; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 3 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 10. − x 2 + 3 x − 2 + x + 1 = 2; x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2 11. x + 1 − 9 − x = 2 x − 12 12. x2 + x − 5 + x2 + 8x − 4 = 5 13. 14. 3x 2 + 5 x + 8 − 3x 2 + 5 x + 1 = 1 15. x 2 + 9 − x 2 − 7 = 2 5 x − 1 − 3 x − 2 − x − 1 16. 3 x 2 + 6 x + 16 + x 2 + 2 x = 2 x 2 + 2 x + 4 3+ x 114 2 = + + 17. 9 x 9 x2 3x 18. 1 − x = x 2 − 2 x − 5 19. x + x + 11 + x − x + 11 = 4 20. x + 1 − 1 = x − x + 8 -------------------------------------------------------------------------- 2.ph−¬ng ph¸p §Æt mét Èn phô D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: Af ( x ) + B f ( x ) + C = 0 f (x ) = t (t ≥ 0) ⇔ f (x ) = t 2 ; Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt (t ≥ 0) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : At + Bt + C = 0 2 L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng: Af ( x ) + B f ( x ) + C ≥ 0 D¹ng 2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )( ) f ( x ) + g ( x ) + B 2 f ( x )g ( x) + D + C = 0 A (Víi f ( x ) + g ( x) = D ) Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt f ( x ) + g ( x) = t (t ≥ 0) ⇔ t 2 = D + 2 f (x )g ( x ) (t ≥ 0 ) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : Bt + At + C = 0 2 L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng: ( )( ) f ( x ) + g ( x ) + 2 f ( x )g ( x) + D + C ≥ 0 A bµi tËp ¸p dông: B i 2.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh 3 x 2 − 5x + 5 = x 2 − 5x + 7 1, (1) Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 4 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 2.x 2 + x 2 + 12 = 30 2, (2) (§H DL Hång l¹c-2001) 3 x2 − 5x + 5 = x2 − 5x + 7 1, (1) Gi¶i1: x2 − 5x + 5 = t (t ≥ 0 ) §Æt Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  x = 1  2 t = 1 x − 5x + 5 = 1 t − 3t + 2 = 0 ⇔  ⇔ 2 ⇔ x = 4 2 t = 2 x − 5x + 5 = 4    x = 5 ± 21   2 2 x 2 + x 2 + 12 = 30 2, ( 2) Gi¶i2: §Æt t = x + 12 (t > 2 0) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: t = 6 (tm ) t 2 + t − 42 = 0 ⇔  t = − 7 (L) VËy x + 12 = 6 ⇔ x = ±2 6 2 -------------------------------------------------------------------------- B i 2.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh x 2 + 7x + 4 =4 x 1. (1) (§H §«ng ®«-2000). x+2 2.x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2 (2) (§H Má -2001) Gi¶i2: §Æt y = 4 − x ≥ 0) 2 (y Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: x 2 + y 2 = 4 ( x + y ) 2 − 2 xy = 4 ⇔  x + y = 2 + 3 xy  x + y − 3 xy = 2  Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 5 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa  x = 0  x = 0 ∧ y = 2 ⇔ x = 2  Gi¶i hÖ ®èi xøng n y ta ®−îc nghiÖm:  x = 2 ∧ y = 0   x = − 2 + 14   3 Gi¶i1:§iÒu kiÖn: x ≥ 0 §Æt x = t (t ≥ 0 ) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: t 4 − 4t 3 + 7t 2 − 8t + 4 = 0 Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc 4 : XÐt t=0 kh«ng l nghiÖm 2 XÐt t ≠ 0 ,chia hai vÕ cho t2 v ®Æt u = t + (u ≥ 2 2 ) t u = 1( L) t = 1 x = 1 Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh u − 4u + 3 = 0 ⇔  ⇔ ⇔ 2 u = 3 t = 2 x = 4 B i 2.3: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 2x2 + 4x + 3 3 − 2x − x2 > 1 1. (§HDL Ph−¬ng §«ng -2000) x ( x − 4) − x 2 + 4 x + ( x − 2) 2 < 2 2. (§H QG HCM -1999) Gi¶i1: §iÒu kiÖn: − 3 ≤ x ≤1 §Æt: t = 3 − 2 x − x (t ≥ 0) 2 BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  5 − 2t 2 + 3t + 5 > 0 − 1 < t < 5 ⇔ 2 ⇔0≤t<  0 ≤ t 2 0 ≤ t  − 3 ≤ x ≤ 1  ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 Thay v o c¸ch ®Æt:  2 13 x + 2x + ≥ 0   4 Gi¶i2: x ( x − 4) − x 2 + 4 x + ( x − 2) 2 < 2 2. §iÒu kiÖn: 0 ≤ x≤4 §Æt: t = − x 2 + 4x ≥ 0 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 6 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa t >1 Thay v o BPT § cho v gi¶i ra ta ®−îc o c¸ch ®Æt ta ®−îc: 2 − 3 < x < 2 + 3 Thay v B i 2.4: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 3 1 3 x+ < 2x + −7 1. (§H Th¸i Nguyªn -2000) 2x 2x 2. 2 + x + 7 − x + (2 + x)(7 − x) ≤ 3 Gi¶i1: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: 2  1 1 ) < 2 x + 1 + −9 3( x + ()   2 2x   2x 2  1  1 ⇔ 2 x +  − 3 x + −9 > 0  2 x  2 x 1 §Æt: t = x+ ⇒t≥ 2 2x BPT ® cho trë th nh: t ≥ 2  ⇔ t>3 2  2 t − 3t − 9 > 0   3 0< x3⇔  x > 4 + 3 7 2x   2 Gi¶i 2: §iÒu kiÖn: − 2 ≤ x≤7 t = 2+ x + 7−x (t ≥ 0 ) §Æt t2 −9 VËy (2 + x )(7 − x ) = 2 BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: t 2 + 2t − 15 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3 − 2 ≤ x ≤ 7  x = −2  ⇔ ⇔ x = 7 9 + 2 (2 + x)(7 − x) ≤ 9  B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 7 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa B i 1: 1. 3 x 2 − 5 x + 5 = x 2 − 5 x + 7; 2. 2 x 2 + x 212 = 30; 3. x 2 − x − x 2 − x + 13 = 7; 4. ( x + 5)(2 − x) = 3 x 2 + 3 x ; 6. ( x + 4)( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6; 11. 2( x 2 − 2 x) + x 2 − 2 x − 3 = 9; 12. ( x − 3)2 + 3x − 22 = x 2 − 3x + 7; ( x + 1) ( 2 − x ) = 1 + 2 x − 2 x 2 ; 15. 16. 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − 9 = 0; 17. 3 x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2; B i 2: x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3; 5. 7. x 2 + 5 x + 2 + 2 x 2 + 5 x − 9 = 1; x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x) = 5; 9. 10. x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2 ; 13. 2 x 2 + 5 x + 2 − 2 x 2 + 5 x − 6 = 1; 14. x 2 + 3x + 2 − 2 x 2 + 6 x + 2 = − 2; 18. x 2 + x + 4 + x 2 + x + 1 = 2 x 2 + 2 x + 9; 8. x 2 + 4 x + 8 + x 2 + 4 x + 4 = 2 x 2 + 8 x + 12; 19. x − x 2 − 1 + 2 x + x 2 − 1 = 2; 20. x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9; 2 21. 1 + x − x2 = x + 1 − x ; 3 x+4 + x−4 = x + x 2 − 16 − 6; 22. 2 23. 3 x − 2 + x = 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 8 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 24. 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16; 25. x − 2 + 2 x − 5 + x + 2 + 3 2 x − 5 = 7 2; ( 7 x − 3) − 8 5 ( 7 x − 3) −3 3 = 7; 5 26. x2 + 2 x + 3 = 2 x; 27. 2x + 3 28. 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2; 29. 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1; 30. 10 x 3 + 8 = 3 ( x 2 − x − 6 ) ; 31. x3 − 1 = x 2 + 3x − 1; 32. x − x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0; §Æt Èn phô ®Ó trë th nh ph−¬ng tr×nh cã 2 Èn: * L viÖc sö dông 1 Èn phô chuyÓn ®Ó chuyÓn PT ban ®Çu th nh 1 PT víi 1 Èn phô nh−ng c¸c hÖ sè vÉn cßn chøa x * PP n y th−êng ®−îc SD ®èi víi nh÷ng PT khi lùa chän 1 Èn phô cho1 BT th× c¸c BT cßn l¹i kh«ng BD ®−îc triÖt ®Ó qua Èn phô ®ã hoÆc nÕu BD ®−îc th× c«ng thøc BD qu¸ phøc tap. * Khi ®ã th−êng ta ®−îc 1 PT bËc 2 theo Èn phô (hoÆc vÉn theo Èn x) cã biÖt sè ∆ l 1 sè chÝnh ph−¬ng. B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau: B i 1: 1. x 2 − 1 = 2 x x 2 − 2 x ; 2. x 2 − 1 = 2 x x 2 + 2; 3. (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1; 4. 4 + x 2 − 4 x = (2 + x) x 2 − 2 x + 4; 5. x 2 + 3 x + 1 = (3 + x) x 2 + 1; 6. (4 x − 1) 4 x 2 + 1 = 8 x 2 + 2 x + 1; 7. 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 ; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 9 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 8. 2(1 − x) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1; 9. 1 + x − 2 x 2 = 4 x 2 − 1 − 2 x + 1; 10. x 2 + x + 12 1 + x = 36; x −1 1 1 11. 2 x + − 1 − − 3 x − = 0; x x x 3.Ph−¬ng ph¸p §Æt hai Èn phô D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) A n f ( x ) + n g ( x ) + B n f (x )g ( x) + C = 0 (Víi f ( x ) + g ( x) = D ) n f ( x ) = u  ⇒ un + vn = D Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: n  g (x ) = v   A(u + v ) + Buv + C = 0 Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  n u + v = D n D¹ng 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) A n f ( x ) − n g ( x ) + B n f (x )g ( x) + C = 0 (Víi f ( x ) − g ( x ) = D ) n f ( x ) = u  ⇒ un − vn = D Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: n  g (x ) = v   A(u − v ) + Buv + C = 0 Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  u − v = D n n bµi tËp ¸p dông: B i 3.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x + 2 + 6 − x = ( x + 2)( 6 − x ) (§H Ngo¹i Ng÷-2001) Gi¶i :  x+2 =u  (u, v ≥ 0) §Æt   6−x =v  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: uv = u + v u2 + v 2 = 8 ⇔ ⇔u=v=2  uv = u + v (uv) 2 − 2uv − 8 = 0   VËy: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 10 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa x+2 = 6−x =2⇔ x=2 B i 3.2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x + 22 − 3 x + 3 = 1 (An Ninh-01) 3 Gi¶i : 3 x + 22 = u  §Æt: 3  x+3 =v  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: u − v = 1 v = 2; u = 3 x = 5 ⇔ ⇔  uv = 6 v = 3; u = −2  x = −30 B i 3.3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 56 − x + 4 x + 41 = 5 4 4 56 − x = u  (uv ≥ 0) §Æt: 4  x + 41 = v  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: u + v = 5 u = 2; v = 3  x = −25 ⇔ ⇔ 4  x = 40 u = 3; v = 2 u + v 4 = 97    B i tËp l m thªm: Gi¶i c¸c pt: 20 + x 20 − x − = 6; 1. x x 2. 6 − x + x − 2 = 2(1 − 4 (6 − x)( x − 2); 3. 3 2 − x = 1 − x − 1; 4. 3 9 − x = 2 − x − 1; 5. 3 9 − x + 1 + 7 + x + 1 = 4; 6. x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5; 7. 3 x − 9 = ( x − 3)3 + 6; 8. 3 24 + x + 12 − x = 6; 9. 3 x + 7 − x = 1; 10. 4 5 − x = 4 x − 1 = 2; 11. x 2 − 3 x + 3 + x 2 − 3 x + 6 = 3; 12. x + 1 + 8 − x + ( x + 1)(8 − x) = 3; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 11 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa (34 − x) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x = 30; 13. 34 − x − 3 x + 1 3 14. x + 1 − x − 2 x(1 − x) = −1; 15. 1 + 1 − x 2  (1 − x)3 − 1 + x3  = 2 + 1 − x 2 ;   16. 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4; 17. x + 4 x(1 − x) 2 + 4 (1 − x)3 = 1 − x + 4 x3 + 4 x 2 (1 − x); 7− x − 3 x −5 3 = 6 − x; 18. 7− x + 3 x −5 3 19. 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3; 2 2 20. 81sin x + 81cos = 30; x 21. 3 sin 2 x + 3 cos 2 x = 3 4; 22. sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3; 23. 4 10 + 8sin 2 x − 4 8co s 2 x − 1 = 1; 1 1 − cos 2 x + 4 + cos 2 x = 2; 24. 4 2 2 25. 3 5 x + 7 − 3 5 x − 12 = 1; 26. 3 24 + x − 3 5 + x = 1; 27. 3 47 − 2 x + 3 35 + 2 x = 4; 28. 4 47 − x + 4 x + 10 = 5; 29. 3 12 − x + 3 14 − x = 2; 30. 3 x + 1 + 3 7 − x = 2; 31. 4 97 − x + 4 x − 15 = 4; -------------------------------------------------------------------------- 4.Ph−¬ng ph¸p Nh©n liªn hîp D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: A f ( x ) − B g ( x ) = C.h(x ) Víi A f ( x ) − B g ( x ) = D.h( x ) 2 2 Ph−¬ng ph¸p gi¶i : Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc: A f ( x ) + B g ( x ) ( ) Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh D.h( x ) = C.h( x ) A f ( x ) + B g (x ) Nhãm nh©n tö chung v gi¶i hai ph−¬ng tr×nh: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 12 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa  h( x ) = 0 ( )  C A f (x ) + B g (x ) = D  bµi tËp ¸p dông: B i 4.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x+3 4 x + 1 − 3x − 2 = 1. (1) 5 (§H B−u ChÝnh-2001) 3(2 + x − 2 ) = 2 x + x + 6 (2) (§H Qu©n Sù -2001) 2. x+3 4 x + 1 − 3x − 2 = Gi¶i1: 1. (1) 5 2 §iÒu kiÖn: x ≥ Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp: 3 4 x + 1 + 3 x − 2 , Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: ( ) x+3 2 x+3= 4 x + 1 + 3x − 2 ∧x≥ 5 3 2 ⇔ 4 x + 1 + 3x − 2 = 5 ∧x≥ 3 2 ⇔ 2 4 x + 1 3 x − 2 = 26 − 7 x ∧x≥ 3 2 26  ≤x≤ x = 2 ⇔ 3 ⇔ ⇔x=2 7  x = 342( L)  x 2 − 344 x + 684 = 0  Gi¶i2: 3(2 + x − 2 ) = 2 x + x + 6 2. ( 2) §iÒu kiÖn: x ≥ 2 ; Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: 3 x − 2 − x + 6 = 2x − 6 3 x−2 + x+6 Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp  11 − 3 5  L m t−¬ng tù nh− phÇn 1) ta ®−îc tËp nghiÖm: T = 3;  2   B i 4.2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 1 + x − 1 − x ≥ x (§H Ngo¹i th−¬ng HCM-2001). Gi¶i1: −1 ≤ x ≤ 1 §iÒu kiÖn: 1+ x + 1 − x th× bÊt ph−¬ng Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 13 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa  − 1 ≤ x ≤ 0  − 1 ≤ x ≤ 1 − 1 ≤ x ≤ 1  2 < 1 + x + 1 − x  ⇔ ⇔  2x  1+ x + 1− x ≥ x 0 < x ≤ 1  x(2 − 1 + x − 1 − x ) ≥ 0   2 > 1 + x + 1 − x   − 1 ≤ x ≤ 0  x = 0 ⇔ ⇔ 0 ≤ x ≤1 0 < x ≤ 1  ∀x  B i l m thªm: (Nh©n liªn hîp) 1. x − x + 1 − x + 4 + x + 9 = 0; x+3 2. 4 x + 1 − 3 x − 2 = ; 5 3. 3(2 + x − 2) = 2 x + x + 6; 4. 3 x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3 x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3 x + 4; 5. 21 + x + 21 − x = 21; 6. 21 + x − 21 − x = x; 2+ x 2− x + = 2 2; 7. 2 + 2+ x 2 − 2+ x 8. 2 x − 1 − x + 2 = x − 2 -------------------------------------------------------------------------- 5.Ph−¬ng 5.Ph−¬ng ph¸p Ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: A f ( x )g ( x ) + B f (x )h( x ) = f ( x ) Ph−¬ng ph¸p gi¶i : XÐt ba tr−êng hîp : Tr−êng hîp 1: f ( x ) = 0 (tm)  g (x ) ≥ 0 Tr−êng hîp 2: f ( x ) > 0 Khi ®ã ph¶i cã h( x ) ≥ 0  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh A g (x ) + B h( x ) = f ( x ) (Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n)  g (x ) ≤ 0 Tr−êng hîp 3: f ( x ) < 0 Khi ®ã ph¶i cã h( x ) ≤ 0  Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 14 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh A − g ( x ) + B − h(x ) = − f (x ) (Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n) bµi tËp ¸p dông: B i 5.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 1. (1) (§H B¸ch khoa H Néi -2001). Gi¶i1: 1. 2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2x + 2 (1) 2 x 2 + 8 x + 6 ≥ 0 x ≥ 1 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ §iÒu kiÖn :  x = −1 2 x + 2 ≥ 0  NhËn thÊy x=-1 l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ® cho Víi x ≥ 1 : Ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi: x ≥ 1 x ≥ 1   ⇔ ⇔  2( x + 1)( x + 3) + ( x − 1)( x + 1) = 2( x + 1)  2( x + 3) + x − 1 = 2 x + 1   x ≥ 1  ⇔ ⇔ x =1 2 2 x 2 + 4 x − 6 = x − 1  VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã hai nghiÖm l x=1 v x=-1 B i 5.2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 1. (§H KÕ to¸n H Néi -2001) x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 (§H Y HCM -2001) 2. x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 1. Gi¶i1:  x = 1  ( x − 1)( x − 3 ) ≥ 0  ⇔ x ≥ 3  §iÒu kiÖn: ( x − 1)( 2 x − 1) ≥ 0   1 x ≤  2 NhËn thÊy x=1 l mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh Víi x ≥ 3 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc x ≥ 3  x − 3 < x −1 HÖ n y v« nghiÖm v×  x − 3 − 2x − 1 ≥ x − 1 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 15 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 1 x≤ Víi 2 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc   1 1 x ≤ x ≤ 1 ⇔ ⇔x≤  2 2 2  3 − x − 1 − 2x ≥ − 1 − x 2 (3 − x)(1 − x) ≥ −3   {1} ∪  − ∞; 1    KÕt luËn: TËp nghiÖm  2 x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 2. Gi¶i2: x ≥ 1 §iÒu kiÖn:  x ≤ 4  NhËn thÊy x=1 l mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh Víi x ≥ 4 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc bpt x−2 + x−3 ≥ 2 x−4 BPT tho¶ m n víi x ≥ 4 v×: x−2 > x−3 > x−4 Víi x ≤ 1 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc bpt 2− x + 3− x ≥ 2 4− x 2− x < 3− x < 4− x BPT v« nghiÖm v× KÕt luËn: TËp nghiÖm { } ∪ [4;+∞ ) 1 B i tËp l m thªm: B i 3: (PP ph©n chia MX§) 1. x 2 − 1 − x + 1 = x + 1; 6. x 2 − 1 = x + 1; 2. x + x( x − 3) = x(2 x − 1); 2 7. 2 x 2 + 8 x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2; 3. ( x − 1)(2 x + 7) + 3( x − 1)( x − 6) = ( x − 1)(7 x + 1); 8. 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 4. x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2 9.( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12 5. 2 x + 5 x + 2 − x + x − 2) = 3 x + 6; 2 2 6.Ph−¬ng ph¸p Khai c¨n D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 16 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa ( ) ( ) f (x ) + A + f ( x ) − A = B.g (x ) 2 2 Ph−¬ng ph¸p gi¶i : Khai c¨n v lÊy ®Êu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta ®−îc ph−¬ng tr×nh f (x ) + A + g (x ) − A = B.g (x ) Ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh ta ®−îc mét tuyÓn hai hÖ  f ( x ) ≥ A   2 f ( x ) = B.g (x )   Gi¶i hai hÖ n y ta sÏ t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh  f ( x ) ≤ A   2 A = B.g ( x )  ® cho. bµi tËp ¸p dông: B i 6.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau 1. x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x 2 − 9 x + 2 x+5 2 x + 2 x +1 + 2 + x − 2 x +1 + 2 = 2 Gi¶i 1: 1. x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x 2 − 9 x + 2 ⇔ x−4 +2 + x − 4 − 2 = x 2 − 9 x + 24 NÕu x ≥ 8 pt trë th nh: 2 x − 4 = x 2 − 9 x + 24 ⇔ 2 x − 4 = x 2 − 9 x + 20 + 4 ⇔ 2 x − 4 = (x − 4 )(x − 5) + 4 x − 4 (x − 5) 4 ⇔1= + 2 x−4 2 V× x ≥ 8 Nªn x − 4 ( x − 5) 4 + ≥ 3 vËy ph−¬ng tr×nh n y v« nghiÖm 2 x−4 2 NÕu 4 ≤ x < 8 pt trë th nh: 4 = x 2 − 9 x + 24 ⇔ x = 4 ∨ x = 5 VËy pt ® cho cã nghiÖm l x=4 v x=5. Gi¶i 2: x+5 2 x + 2 x +1 + 2 + x − 2 x +1 + 2 = 2 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 17 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa x+5 ⇔ x +1 +1 + x +1 −1 = 2 Gi¶i t−¬ng tù ta ®−îc nghiÖm l x=-1 v x=3. B i 6.2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau x + 2 x −1 − x − 2 x −1 = 2 Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:  x ≥ 2  ( )  x − 1 + 1 − x − 1 − 1 = 2 ⇔ ⇔x≥2 ⇔ x −1 +1 − x −1 −1 = 2 1 ≤ x < 2  =2  x − 1 + 1 x − 1 − 1  [ TËp nghiÖm: 2;+∞) 7.Ph−¬ng ph¸p §¹o hµm D¹ng : B i to¸n t×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh f(x)=m cã nghiÖm, B i to¸n chøng minh ph−¬ng tr×nh f(x)=A cã nghiÖm duy nhÊt, B i to¸n biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x)=m theo tham sè m. Ph−¬ng ph¸p gi¶i : * T×m tËp x¸c ®Þnh D cña h m sè y=f(x) * TÝnh ®¹o h m f’(x) ,lËp b¶ng biÕn thiªn . * Dùa v o b¶ng biÕn thiªn ®Ó biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh . bµi tËp ¸p dông: B i 7.1:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x ) Gi¶i: 5 − x − 4 − x ta ®−îc: Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp: ( x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m XÐt VT = f ( x ) TX§ D = [0;4] 3x 1 g ′( x) = + >0 g ( x ) = x x + x + 12 ; 2 x + 12 2 ⇒ g ( x) ®ång biÕn v lu«n d−¬ng trªn D. 5− x − 4− x h( x) = 5 − x − 4 − x ; h ′( x) = >0 2 5− x 4− x ⇒ h( x ) ®ång biÕn v lu«n d−¬ng trªn D. Suy ra h m sè f ( x ) = g ( x ) h ( x ) còng sÏ l h m sè ®ång biÕn trªn D. ( ) Tõ ®ã f (0) ≤ VT ≤ f (4) ⇔ 12 5 − 4 ≤ VT ≤ 4 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 18 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm th×: ( ) 12 5 − 4 ≤ m ≤ 4 8.Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ hai vÕ Ph−¬ng ph¸p: Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó chøng minh VT ≥ VP ∨ VT ≤ VP v t×m ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu b»ng x¶y ra bµi tËp ¸p dông: B i 8.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1. x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 2. 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 (§HQG H Néi-2001) 1. x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 (1) Gi¶i1: x 2 − 2x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥1 §iÒu kiÖn:  x −1 ≥ 0  x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1) + 4 ≥ 4 2 ∀x Ta cã: ⇒ VT = x 2 − 2 x + 5 + x − 1 ≥ 2 = VP DÊu b»ng x¶y ra khi x=1. VËy pt ® cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1 2. 4 x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 Gi¶i 2: §iÒu kiÖn:  1 x ≥ 4  1 ⇔ x≥  x ≥ 1 2   2 VT = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 ≥ 1 = VP VËy 4 x − 1 = 1 1 ⇔ x= 2 DÊu b»ng x¶y ra khi 4 x − 1 = 0 2 VËy pt ® cho cã nghiÖm: x = 1 2 B i 8.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x + x+2 x = x+ x + x+3 x Gi¶i: §iÒu kiÖn: x ≥ 0 NhËn thÊy x=0 l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 19 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa Víi x>0  x< x+ x  ⇒ x + x+2 x < x+ x + x+3 x x+2 x < x+3 x  DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>0 KÕt luËn:nghiÖm x=0 B i 8.3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 3 Gi¶i: NhËn thÊy x=-2 l mét nghiÖm Víi x>-2 th× x+1>-1 3 x + 1 > −1   ⇒ 3 x + 2 > 0 ⇒ VT > 0 3  x +3 >1  DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>-2 T−¬ng tù víi x

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD