Phương trình - Bất phương trình cơ bản

Chia sẻ: Nguyen Bach Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

226
lượt xem 74
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học Phương trình - Bất phương trình cơ bản biên soạn bởi giáo viên Lê Thị Phương Hoa

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình - Bất phương trình cơ bản

Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 1.ph−¬ng tr×nh –bÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n 1.ph−¬ng a.ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n:  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x) ⇔  D¹ng ph−¬ng tr×nh: (nÕu g(x) cã TX§ l R)  f ( x) ≥ g ( x) 2 b.BÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n: D¹ng 1: D¹ng 2:  g (x ) > 0   f ( x) ≥ 0   f ( x) < g ( x) ⇔  f (x ) ≥ 0 g ( x) < 0 f ( x ) > g ( x) ⇔    ()  g ( x) ≥ 0  f x < g (x ) 2   f ( x) ≥ g ( x) 2 Chó ý: Khi hÖ chøa tõ hai biÓu thøc c¨n bËc hai trë lªn , ®Ó cã thÓ ®−a vÒ d¹ng c¬ b¶n , ta l m nh− sau: + §Æt mét hÖ ®iÒu kiÖn cho tÊt c¶ c¸c c¨n ®Òu cã nghÜa . + ChuyÓn vÕ hoÆc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó hai vÕ ®Òu kh«ng ©m . + B×nh ph−¬ng hai vÕ . + TiÕp tôc cho ®Õn khi hÕt c¨n . bµi tËp ¸p dông B i 1.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1. 3 x + 5 = 2 x − 3 (1) 2. 2 x + 3 = 6 − x ( 2) Gi¶i1: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:  x = 2 3 x≥   ⇔ x = 7  2  4 x − 15 x + 14 = 0  2  2 Gi¶i2: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: x≤6 x≤6   ⇔ ⇔ x=3 2  x − 14 x + 33 = 0 x = 3 ∨ x = 11   B i 1.2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau 1. x 2 − 6 x + 6 = 2 x − 1 (1) (§H X©y Dùng -2001). Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 1 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa   1 1 x≥  x ≥ ⇔ ⇔ x =1  2 2  x =1  x 2 − 6 x + 6 = (2 x − 1) 2   B i 1.3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh x −1 + x+2 =3 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: x ≥1  1≤ x ≤ 4  ⇔ ⇔ ⇔x=2  ( x − 1)( x + 2) = 4 − x (_ x − 1)( x − 2) = (4 − x) 2 B i 1.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh x −1 − x − 3 = x − 2 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: x≥3 x ≥ 3  3≤ x≤ 4 ⇔ ⇔ 2   x −1 = x − 3 + x − 2  4 − x = 2 x − 5x + 6 3x − 8 x + 8 = 0 2 3 ≤ x ≤ 4 6+2 3  -- ⇔ ⇔x= 6+2 3 6−2 3 x = ∨x= 3  3 3 B i 1.5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 1+ x − x 2 = x + 1 − x (§HQG H Néi 2000) 3 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:  0 ≤ x ≤1  0 ≤ x ≤1   1+ 2 x − 2 x2 + 4 x − x2 =1+ 2 x − x2 ⇔2 x − 2 x2 = 2 x − x2 3 3 3 3   3 3  0 ≤ x ≤1  0 ≤ x ≤1 x = 0 ⇔ ⇔ ⇔  x − x ( x − x − 1) = 0 x = 0 ∨ x = 1  x = 1 2 2 B i 1.6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( ) 3 + 4 6 − 16 3 − 8 2 x = 4 x − 3 Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:  3  x ≥ 3 x ≥  4 ⇔x= 2 ⇔  4 ( ) 2 2  3 + 4 6 − 16 3 − 8 2 x = 4 x − 3 x =    2 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 2 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa B i 1.7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 7 x − 13 − 3 x − 9 ≤ 5 x − 27 (§H DL Ph−¬ng §«ng -2001) 27 x≥ §iÒu kiÖn: 5 BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:  27 x ≥  5  7 x − 13 ≤ 5 x − 27 + 3 x − 9    27 27 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 5 5 7 x − 13 ≤ 8 x − 36 + 2 (3 x − 9 )(5 x − 27 ) 2 (3 x − 9 )(5 x − 27 ) ≥ 23 − x    27  ≤ x ≤ 23 229 + 2 6576 ⇔5 ⇔ ≤ x ≤ 23 59 59 x − 458 x + 443 ≥ 0 2  B i tËp l m thªm: B i 1: (PP B§ T§) 1. x 2 − 3 x + 2 = 2 x − 1; 2. 3 x 2 − 9 x + 1 = x − 2 3. x 2 − 4 x + 6 = x + 4; 4. x 2 + 2 x + 4 = 2 − x 5. 3 x 2 − 9 x + 1 = | x − 2 |; 6. x − 2 x + 3 = 0; 7. x 2 + x + 1 = 1; B i 2: (PP B§ T§) 1. 3 + x + 6 − x = 3; 2. 3 x − 2 + x − 1 = 3; 3. 3 + x − 2 − x = 1; 4. 9 + x = 5 − 2 x + 4; 5. 3 x + 4 − 2 x + 1 = x + 3; 5 x − 1 − 3 x − 2 − x − 1 = 0; 6. 7. 3x + 4 + x + 4 = 2 x ; 8. 5 x − 5 + 10 x − 5 = 15 x − 10; 9. x + 4 − 1 − x = 1 − 2 x ; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 3 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 10. − x 2 + 3 x − 2 + x + 1 = 2; x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2 11. x + 1 − 9 − x = 2 x − 12 12. x2 + x − 5 + x2 + 8x − 4 = 5 13. 14. 3x 2 + 5 x + 8 − 3x 2 + 5 x + 1 = 1 15. x 2 + 9 − x 2 − 7 = 2 5 x − 1 − 3 x − 2 − x − 1 16. 3 x 2 + 6 x + 16 + x 2 + 2 x = 2 x 2 + 2 x + 4 3+ x 114 2 = + + 17. 9 x 9 x2 3x 18. 1 − x = x 2 − 2 x − 5 19. x + x + 11 + x − x + 11 = 4 20. x + 1 − 1 = x − x + 8 -------------------------------------------------------------------------- 2.ph−¬ng ph¸p §Æt mét Èn phô D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: Af ( x ) + B f ( x ) + C = 0 f (x ) = t (t ≥ 0) ⇔ f (x ) = t 2 ; Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt (t ≥ 0) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : At + Bt + C = 0 2 L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng: Af ( x ) + B f ( x ) + C ≥ 0 D¹ng 2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )( ) f ( x ) + g ( x ) + B 2 f ( x )g ( x) + D + C = 0 A (Víi f ( x ) + g ( x) = D ) Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt f ( x ) + g ( x) = t (t ≥ 0) ⇔ t 2 = D + 2 f (x )g ( x ) (t ≥ 0 ) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : Bt + At + C = 0 2 L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng: ( )( ) f ( x ) + g ( x ) + 2 f ( x )g ( x) + D + C ≥ 0 A bµi tËp ¸p dông: B i 2.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh 3 x 2 − 5x + 5 = x 2 − 5x + 7 1, (1) Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 4 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 2.x 2 + x 2 + 12 = 30 2, (2) (§H DL Hång l¹c-2001) 3 x2 − 5x + 5 = x2 − 5x + 7 1, (1) Gi¶i1: x2 − 5x + 5 = t (t ≥ 0 ) §Æt Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  x = 1  2 t = 1 x − 5x + 5 = 1 t − 3t + 2 = 0 ⇔  ⇔ 2 ⇔ x = 4 2 t = 2 x − 5x + 5 = 4    x = 5 ± 21   2 2 x 2 + x 2 + 12 = 30 2, ( 2) Gi¶i2: §Æt t = x + 12 (t > 2 0) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: t = 6 (tm ) t 2 + t − 42 = 0 ⇔  t = − 7 (L) VËy x + 12 = 6 ⇔ x = ±2 6 2 -------------------------------------------------------------------------- B i 2.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh x 2 + 7x + 4 =4 x 1. (1) (§H §«ng ®«-2000). x+2 2.x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2 (2) (§H Má -2001) Gi¶i2: §Æt y = 4 − x ≥ 0) 2 (y Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: x 2 + y 2 = 4 ( x + y ) 2 − 2 xy = 4 ⇔  x + y = 2 + 3 xy  x + y − 3 xy = 2  Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 5 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa  x = 0  x = 0 ∧ y = 2 ⇔ x = 2  Gi¶i hÖ ®èi xøng n y ta ®−îc nghiÖm:  x = 2 ∧ y = 0   x = − 2 + 14   3 Gi¶i1:§iÒu kiÖn: x ≥ 0 §Æt x = t (t ≥ 0 ) Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: t 4 − 4t 3 + 7t 2 − 8t + 4 = 0 Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc 4 : XÐt t=0 kh«ng l nghiÖm 2 XÐt t ≠ 0 ,chia hai vÕ cho t2 v ®Æt u = t + (u ≥ 2 2 ) t u = 1( L) t = 1 x = 1 Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh u − 4u + 3 = 0 ⇔  ⇔ ⇔ 2 u = 3 t = 2 x = 4 B i 2.3: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 2x2 + 4x + 3 3 − 2x − x2 > 1 1. (§HDL Ph−¬ng §«ng -2000) x ( x − 4) − x 2 + 4 x + ( x − 2) 2 < 2 2. (§H QG HCM -1999) Gi¶i1: §iÒu kiÖn: − 3 ≤ x ≤1 §Æt: t = 3 − 2 x − x (t ≥ 0) 2 BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  5 − 2t 2 + 3t + 5 > 0 − 1 < t < 5 ⇔ 2 ⇔0≤t<  0 ≤ t 2 0 ≤ t  − 3 ≤ x ≤ 1  ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 Thay v o c¸ch ®Æt:  2 13 x + 2x + ≥ 0   4 Gi¶i2: x ( x − 4) − x 2 + 4 x + ( x − 2) 2 < 2 2. §iÒu kiÖn: 0 ≤ x≤4 §Æt: t = − x 2 + 4x ≥ 0 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 6 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa t >1 Thay v o BPT § cho v gi¶i ra ta ®−îc o c¸ch ®Æt ta ®−îc: 2 − 3 < x < 2 + 3 Thay v B i 2.4: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 3 1 3 x+ < 2x + −7 1. (§H Th¸i Nguyªn -2000) 2x 2x 2. 2 + x + 7 − x + (2 + x)(7 − x) ≤ 3 Gi¶i1: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: 2  1 1 ) < 2 x + 1 + −9 3( x + ()   2 2x   2x 2  1  1 ⇔ 2 x +  − 3 x + −9 > 0  2 x  2 x 1 §Æt: t = x+ ⇒t≥ 2 2x BPT ® cho trë th nh: t ≥ 2  ⇔ t>3 2  2 t − 3t − 9 > 0   3 0< x3⇔  x > 4 + 3 7 2x   2 Gi¶i 2: §iÒu kiÖn: − 2 ≤ x≤7 t = 2+ x + 7−x (t ≥ 0 ) §Æt t2 −9 VËy (2 + x )(7 − x ) = 2 BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: t 2 + 2t − 15 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3 − 2 ≤ x ≤ 7  x = −2  ⇔ ⇔ x = 7 9 + 2 (2 + x)(7 − x) ≤ 9  B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 7 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa B i 1: 1. 3 x 2 − 5 x + 5 = x 2 − 5 x + 7; 2. 2 x 2 + x 212 = 30; 3. x 2 − x − x 2 − x + 13 = 7; 4. ( x + 5)(2 − x) = 3 x 2 + 3 x ; 6. ( x + 4)( x + 1) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6; 11. 2( x 2 − 2 x) + x 2 − 2 x − 3 = 9; 12. ( x − 3)2 + 3x − 22 = x 2 − 3x + 7; ( x + 1) ( 2 − x ) = 1 + 2 x − 2 x 2 ; 15. 16. 2 ( x 2 − 2 x ) + x 2 − 2 x − 3 − 9 = 0; 17. 3 x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2; B i 2: x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3; 5. 7. x 2 + 5 x + 2 + 2 x 2 + 5 x − 9 = 1; x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x) = 5; 9. 10. x + 4 − x 2 = 2 + 3 x 4 − x 2 ; 13. 2 x 2 + 5 x + 2 − 2 x 2 + 5 x − 6 = 1; 14. x 2 + 3x + 2 − 2 x 2 + 6 x + 2 = − 2; 18. x 2 + x + 4 + x 2 + x + 1 = 2 x 2 + 2 x + 9; 8. x 2 + 4 x + 8 + x 2 + 4 x + 4 = 2 x 2 + 8 x + 12; 19. x − x 2 − 1 + 2 x + x 2 − 1 = 2; 20. x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9; 2 21. 1 + x − x2 = x + 1 − x ; 3 x+4 + x−4 = x + x 2 − 16 − 6; 22. 2 23. 3 x − 2 + x = 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 8 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 24. 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16; 25. x − 2 + 2 x − 5 + x + 2 + 3 2 x − 5 = 7 2; ( 7 x − 3) − 8 5 ( 7 x − 3) −3 3 = 7; 5 26. x2 + 2 x + 3 = 2 x; 27. 2x + 3 28. 4 x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2; 29. 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1; 30. 10 x 3 + 8 = 3 ( x 2 − x − 6 ) ; 31. x3 − 1 = x 2 + 3x − 1; 32. x − x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0; §Æt Èn phô ®Ó trë th nh ph−¬ng tr×nh cã 2 Èn: * L viÖc sö dông 1 Èn phô chuyÓn ®Ó chuyÓn PT ban ®Çu th nh 1 PT víi 1 Èn phô nh−ng c¸c hÖ sè vÉn cßn chøa x * PP n y th−êng ®−îc SD ®èi víi nh÷ng PT khi lùa chän 1 Èn phô cho1 BT th× c¸c BT cßn l¹i kh«ng BD ®−îc triÖt ®Ó qua Èn phô ®ã hoÆc nÕu BD ®−îc th× c«ng thøc BD qu¸ phøc tap. * Khi ®ã th−êng ta ®−îc 1 PT bËc 2 theo Èn phô (hoÆc vÉn theo Èn x) cã biÖt sè ∆ l 1 sè chÝnh ph−¬ng. B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau: B i 1: 1. x 2 − 1 = 2 x x 2 − 2 x ; 2. x 2 − 1 = 2 x x 2 + 2; 3. (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1; 4. 4 + x 2 − 4 x = (2 + x) x 2 − 2 x + 4; 5. x 2 + 3 x + 1 = (3 + x) x 2 + 1; 6. (4 x − 1) 4 x 2 + 1 = 8 x 2 + 2 x + 1; 7. 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 ; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 9 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 8. 2(1 − x) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1; 9. 1 + x − 2 x 2 = 4 x 2 − 1 − 2 x + 1; 10. x 2 + x + 12 1 + x = 36; x −1 1 1 11. 2 x + − 1 − − 3 x − = 0; x x x 3.Ph−¬ng ph¸p §Æt hai Èn phô D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) A n f ( x ) + n g ( x ) + B n f (x )g ( x) + C = 0 (Víi f ( x ) + g ( x) = D ) n f ( x ) = u  ⇒ un + vn = D Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: n  g (x ) = v   A(u + v ) + Buv + C = 0 Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  n u + v = D n D¹ng 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) A n f ( x ) − n g ( x ) + B n f (x )g ( x) + C = 0 (Víi f ( x ) − g ( x ) = D ) n f ( x ) = u  ⇒ un − vn = D Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: n  g (x ) = v   A(u − v ) + Buv + C = 0 Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:  u − v = D n n bµi tËp ¸p dông: B i 3.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x + 2 + 6 − x = ( x + 2)( 6 − x ) (§H Ngo¹i Ng÷-2001) Gi¶i :  x+2 =u  (u, v ≥ 0) §Æt   6−x =v  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: uv = u + v u2 + v 2 = 8 ⇔ ⇔u=v=2  uv = u + v (uv) 2 − 2uv − 8 = 0   VËy: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 10 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa x+2 = 6−x =2⇔ x=2 B i 3.2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x + 22 − 3 x + 3 = 1 (An Ninh-01) 3 Gi¶i : 3 x + 22 = u  §Æt: 3  x+3 =v  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: u − v = 1 v = 2; u = 3 x = 5 ⇔ ⇔  uv = 6 v = 3; u = −2  x = −30 B i 3.3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 56 − x + 4 x + 41 = 5 4 4 56 − x = u  (uv ≥ 0) §Æt: 4  x + 41 = v  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: u + v = 5 u = 2; v = 3  x = −25 ⇔ ⇔ 4  x = 40 u = 3; v = 2 u + v 4 = 97    B i tËp l m thªm: Gi¶i c¸c pt: 20 + x 20 − x − = 6; 1. x x 2. 6 − x + x − 2 = 2(1 − 4 (6 − x)( x − 2); 3. 3 2 − x = 1 − x − 1; 4. 3 9 − x = 2 − x − 1; 5. 3 9 − x + 1 + 7 + x + 1 = 4; 6. x 2 + 3 + 10 − x 2 = 5; 7. 3 x − 9 = ( x − 3)3 + 6; 8. 3 24 + x + 12 − x = 6; 9. 3 x + 7 − x = 1; 10. 4 5 − x = 4 x − 1 = 2; 11. x 2 − 3 x + 3 + x 2 − 3 x + 6 = 3; 12. x + 1 + 8 − x + ( x + 1)(8 − x) = 3; Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 11 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa (34 − x) 3 x + 1 − ( x + 1) 3 34 − x = 30; 13. 34 − x − 3 x + 1 3 14. x + 1 − x − 2 x(1 − x) = −1; 15. 1 + 1 − x 2  (1 − x)3 − 1 + x3  = 2 + 1 − x 2 ;   16. 3 2 + x + x 2 + 3 2 − x − x 2 = 3 4; 17. x + 4 x(1 − x) 2 + 4 (1 − x)3 = 1 − x + 4 x3 + 4 x 2 (1 − x); 7− x − 3 x −5 3 = 6 − x; 18. 7− x + 3 x −5 3 19. 3 7 + tgx + 3 2 − tgx = 3; 2 2 20. 81sin x + 81cos = 30; x 21. 3 sin 2 x + 3 cos 2 x = 3 4; 22. sin x + 2 − sin 2 x + sin x 2 − sin 2 x = 3; 23. 4 10 + 8sin 2 x − 4 8co s 2 x − 1 = 1; 1 1 − cos 2 x + 4 + cos 2 x = 2; 24. 4 2 2 25. 3 5 x + 7 − 3 5 x − 12 = 1; 26. 3 24 + x − 3 5 + x = 1; 27. 3 47 − 2 x + 3 35 + 2 x = 4; 28. 4 47 − x + 4 x + 10 = 5; 29. 3 12 − x + 3 14 − x = 2; 30. 3 x + 1 + 3 7 − x = 2; 31. 4 97 − x + 4 x − 15 = 4; -------------------------------------------------------------------------- 4.Ph−¬ng ph¸p Nh©n liªn hîp D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: A f ( x ) − B g ( x ) = C.h(x ) Víi A f ( x ) − B g ( x ) = D.h( x ) 2 2 Ph−¬ng ph¸p gi¶i : Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc: A f ( x ) + B g ( x ) ( ) Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh D.h( x ) = C.h( x ) A f ( x ) + B g (x ) Nhãm nh©n tö chung v gi¶i hai ph−¬ng tr×nh: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 12 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa  h( x ) = 0 ( )  C A f (x ) + B g (x ) = D  bµi tËp ¸p dông: B i 4.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x+3 4 x + 1 − 3x − 2 = 1. (1) 5 (§H B−u ChÝnh-2001) 3(2 + x − 2 ) = 2 x + x + 6 (2) (§H Qu©n Sù -2001) 2. x+3 4 x + 1 − 3x − 2 = Gi¶i1: 1. (1) 5 2 §iÒu kiÖn: x ≥ Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp: 3 4 x + 1 + 3 x − 2 , Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh: ( ) x+3 2 x+3= 4 x + 1 + 3x − 2 ∧x≥ 5 3 2 ⇔ 4 x + 1 + 3x − 2 = 5 ∧x≥ 3 2 ⇔ 2 4 x + 1 3 x − 2 = 26 − 7 x ∧x≥ 3 2 26  ≤x≤ x = 2 ⇔ 3 ⇔ ⇔x=2 7  x = 342( L)  x 2 − 344 x + 684 = 0  Gi¶i2: 3(2 + x − 2 ) = 2 x + x + 6 2. ( 2) §iÒu kiÖn: x ≥ 2 ; Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: 3 x − 2 − x + 6 = 2x − 6 3 x−2 + x+6 Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp  11 − 3 5  L m t−¬ng tù nh− phÇn 1) ta ®−îc tËp nghiÖm: T = 3;  2   B i 4.2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 1 + x − 1 − x ≥ x (§H Ngo¹i th−¬ng HCM-2001). Gi¶i1: −1 ≤ x ≤ 1 §iÒu kiÖn: 1+ x + 1 − x th× bÊt ph−¬ng Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 13 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa  − 1 ≤ x ≤ 0  − 1 ≤ x ≤ 1 − 1 ≤ x ≤ 1  2 < 1 + x + 1 − x  ⇔ ⇔  2x  1+ x + 1− x ≥ x 0 < x ≤ 1  x(2 − 1 + x − 1 − x ) ≥ 0   2 > 1 + x + 1 − x   − 1 ≤ x ≤ 0  x = 0 ⇔ ⇔ 0 ≤ x ≤1 0 < x ≤ 1  ∀x  B i l m thªm: (Nh©n liªn hîp) 1. x − x + 1 − x + 4 + x + 9 = 0; x+3 2. 4 x + 1 − 3 x − 2 = ; 5 3. 3(2 + x − 2) = 2 x + x + 6; 4. 3 x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3 x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3 x + 4; 5. 21 + x + 21 − x = 21; 6. 21 + x − 21 − x = x; 2+ x 2− x + = 2 2; 7. 2 + 2+ x 2 − 2+ x 8. 2 x − 1 − x + 2 = x − 2 -------------------------------------------------------------------------- 5.Ph−¬ng 5.Ph−¬ng ph¸p Ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: A f ( x )g ( x ) + B f (x )h( x ) = f ( x ) Ph−¬ng ph¸p gi¶i : XÐt ba tr−êng hîp : Tr−êng hîp 1: f ( x ) = 0 (tm)  g (x ) ≥ 0 Tr−êng hîp 2: f ( x ) > 0 Khi ®ã ph¶i cã h( x ) ≥ 0  Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh A g (x ) + B h( x ) = f ( x ) (Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n)  g (x ) ≤ 0 Tr−êng hîp 3: f ( x ) < 0 Khi ®ã ph¶i cã h( x ) ≤ 0  Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 14 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh A − g ( x ) + B − h(x ) = − f (x ) (Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n) bµi tËp ¸p dông: B i 5.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 1. (1) (§H B¸ch khoa H Néi -2001). Gi¶i1: 1. 2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2x + 2 (1) 2 x 2 + 8 x + 6 ≥ 0 x ≥ 1 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ §iÒu kiÖn :  x = −1 2 x + 2 ≥ 0  NhËn thÊy x=-1 l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ® cho Víi x ≥ 1 : Ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi: x ≥ 1 x ≥ 1   ⇔ ⇔  2( x + 1)( x + 3) + ( x − 1)( x + 1) = 2( x + 1)  2( x + 3) + x − 1 = 2 x + 1   x ≥ 1  ⇔ ⇔ x =1 2 2 x 2 + 4 x − 6 = x − 1  VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã hai nghiÖm l x=1 v x=-1 B i 5.2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 1. (§H KÕ to¸n H Néi -2001) x 2 − 3 x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 (§H Y HCM -2001) 2. x 2 − 4 x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 1. Gi¶i1:  x = 1  ( x − 1)( x − 3 ) ≥ 0  ⇔ x ≥ 3  §iÒu kiÖn: ( x − 1)( 2 x − 1) ≥ 0   1 x ≤  2 NhËn thÊy x=1 l mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh Víi x ≥ 3 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc x ≥ 3  x − 3 < x −1 HÖ n y v« nghiÖm v×  x − 3 − 2x − 1 ≥ x − 1 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 15 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa 1 x≤ Víi 2 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc   1 1 x ≤ x ≤ 1 ⇔ ⇔x≤  2 2 2  3 − x − 1 − 2x ≥ − 1 − x 2 (3 − x)(1 − x) ≥ −3   {1} ∪  − ∞; 1    KÕt luËn: TËp nghiÖm  2 x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4 2. Gi¶i2: x ≥ 1 §iÒu kiÖn:  x ≤ 4  NhËn thÊy x=1 l mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh Víi x ≥ 4 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc bpt x−2 + x−3 ≥ 2 x−4 BPT tho¶ m n víi x ≥ 4 v×: x−2 > x−3 > x−4 Víi x ≤ 1 Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v ®−îc bpt 2− x + 3− x ≥ 2 4− x 2− x < 3− x < 4− x BPT v« nghiÖm v× KÕt luËn: TËp nghiÖm { } ∪ [4;+∞ ) 1 B i tËp l m thªm: B i 3: (PP ph©n chia MX§) 1. x 2 − 1 − x + 1 = x + 1; 6. x 2 − 1 = x + 1; 2. x + x( x − 3) = x(2 x − 1); 2 7. 2 x 2 + 8 x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2; 3. ( x − 1)(2 x + 7) + 3( x − 1)( x − 6) = ( x − 1)(7 x + 1); 8. 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 4. x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2 9.( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12 5. 2 x + 5 x + 2 − x + x − 2) = 3 x + 6; 2 2 6.Ph−¬ng ph¸p Khai c¨n D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 16 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa ( ) ( ) f (x ) + A + f ( x ) − A = B.g (x ) 2 2 Ph−¬ng ph¸p gi¶i : Khai c¨n v lÊy ®Êu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta ®−îc ph−¬ng tr×nh f (x ) + A + g (x ) − A = B.g (x ) Ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh ta ®−îc mét tuyÓn hai hÖ  f ( x ) ≥ A   2 f ( x ) = B.g (x )   Gi¶i hai hÖ n y ta sÏ t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh  f ( x ) ≤ A   2 A = B.g ( x )  ® cho. bµi tËp ¸p dông: B i 6.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau 1. x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x 2 − 9 x + 2 x+5 2 x + 2 x +1 + 2 + x − 2 x +1 + 2 = 2 Gi¶i 1: 1. x + 4 x − 4 + x − 4 x − 4 = x 2 − 9 x + 2 ⇔ x−4 +2 + x − 4 − 2 = x 2 − 9 x + 24 NÕu x ≥ 8 pt trë th nh: 2 x − 4 = x 2 − 9 x + 24 ⇔ 2 x − 4 = x 2 − 9 x + 20 + 4 ⇔ 2 x − 4 = (x − 4 )(x − 5) + 4 x − 4 (x − 5) 4 ⇔1= + 2 x−4 2 V× x ≥ 8 Nªn x − 4 ( x − 5) 4 + ≥ 3 vËy ph−¬ng tr×nh n y v« nghiÖm 2 x−4 2 NÕu 4 ≤ x < 8 pt trë th nh: 4 = x 2 − 9 x + 24 ⇔ x = 4 ∨ x = 5 VËy pt ® cho cã nghiÖm l x=4 v x=5. Gi¶i 2: x+5 2 x + 2 x +1 + 2 + x − 2 x +1 + 2 = 2 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 17 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa x+5 ⇔ x +1 +1 + x +1 −1 = 2 Gi¶i t−¬ng tù ta ®−îc nghiÖm l x=-1 v x=3. B i 6.2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau x + 2 x −1 − x − 2 x −1 = 2 Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:  x ≥ 2  ( )  x − 1 + 1 − x − 1 − 1 = 2 ⇔ ⇔x≥2 ⇔ x −1 +1 − x −1 −1 = 2 1 ≤ x < 2  =2  x − 1 + 1 x − 1 − 1  [ TËp nghiÖm: 2;+∞) 7.Ph−¬ng ph¸p §¹o hµm D¹ng : B i to¸n t×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh f(x)=m cã nghiÖm, B i to¸n chøng minh ph−¬ng tr×nh f(x)=A cã nghiÖm duy nhÊt, B i to¸n biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x)=m theo tham sè m. Ph−¬ng ph¸p gi¶i : * T×m tËp x¸c ®Þnh D cña h m sè y=f(x) * TÝnh ®¹o h m f’(x) ,lËp b¶ng biÕn thiªn . * Dùa v o b¶ng biÕn thiªn ®Ó biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh . bµi tËp ¸p dông: B i 7.1:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x ) Gi¶i: 5 − x − 4 − x ta ®−îc: Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp: ( x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m XÐt VT = f ( x ) TX§ D = [0;4] 3x 1 g ′( x) = + >0 g ( x ) = x x + x + 12 ; 2 x + 12 2 ⇒ g ( x) ®ång biÕn v lu«n d−¬ng trªn D. 5− x − 4− x h( x) = 5 − x − 4 − x ; h ′( x) = >0 2 5− x 4− x ⇒ h( x ) ®ång biÕn v lu«n d−¬ng trªn D. Suy ra h m sè f ( x ) = g ( x ) h ( x ) còng sÏ l h m sè ®ång biÕn trªn D. ( ) Tõ ®ã f (0) ≤ VT ≤ f (4) ⇔ 12 5 − 4 ≤ VT ≤ 4 Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 18 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm th×: ( ) 12 5 − 4 ≤ m ≤ 4 8.Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ hai vÕ Ph−¬ng ph¸p: Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó chøng minh VT ≥ VP ∨ VT ≤ VP v t×m ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu b»ng x¶y ra bµi tËp ¸p dông: B i 8.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1. x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 2. 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 (§HQG H Néi-2001) 1. x 2 − 2 x + 5 + x − 1 = 2 (1) Gi¶i1: x 2 − 2x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥1 §iÒu kiÖn:  x −1 ≥ 0  x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1) + 4 ≥ 4 2 ∀x Ta cã: ⇒ VT = x 2 − 2 x + 5 + x − 1 ≥ 2 = VP DÊu b»ng x¶y ra khi x=1. VËy pt ® cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1 2. 4 x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 Gi¶i 2: §iÒu kiÖn:  1 x ≥ 4  1 ⇔ x≥  x ≥ 1 2   2 VT = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 ≥ 1 = VP VËy 4 x − 1 = 1 1 ⇔ x= 2 DÊu b»ng x¶y ra khi 4 x − 1 = 0 2 VËy pt ® cho cã nghiÖm: x = 1 2 B i 8.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x + x+2 x = x+ x + x+3 x Gi¶i: §iÒu kiÖn: x ≥ 0 NhËn thÊy x=0 l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 19 -- http://ebook.here.vn
Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa Víi x>0  x< x+ x  ⇒ x + x+2 x < x+ x + x+3 x x+2 x < x+3 x  DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>0 KÕt luËn:nghiÖm x=0 B i 8.3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 3 Gi¶i: NhËn thÊy x=-2 l mét nghiÖm Víi x>-2 th× x+1>-1 3 x + 1 > −1   ⇒ 3 x + 2 > 0 ⇒ VT > 0 3  x +3 >1  DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>-2 T−¬ng tù víi x