Phương trình hàm nâng cao P1

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

1.110
lượt xem 409
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình hàm nâng cao P1 Bài toán về phương trình hàm thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi như IMO, VMO... Nhưng những người viết sách về nó cũng không nhiều, ở Việt Nam thì thấy có cuốn Phương trình hàm của Nguyễn Văn Mậu, gần đây có Nguyễn Giang Giai (không biết còn ai nữa không). Bài viết này tập hợp rất nhiều sách về phương trình hàm. Bên cạnh các tài liệu tiếng Anh một số tài liệu tiếng Việt cũng khá thú vị. ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình hàm nâng cao P1

CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNG Phương pháp 1: H s b t ñ nh. Nguyên t c chung: +) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2+ bx + c. +) ð ng nh t h s ñ tìm f(x). +) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán. Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y ) + x ) = xy + f ( x ) ∀x, y ∈ R (1) . L i gi i: x = 1 Thay  vào (18) ta ñư c: f ( f ( y ) + 1) = y + f (1) ( a ) . y∈R ( ) Thay y = − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f f ( − f (1) − 1) + 1 = −1 . ð t a = f ( − f (1) − 1) + 1 ta ñư c: f ( a ) = −1 . y = a Ch n  ta ñư c: f ( x f ( a ) + x ) = xa + f ( x ) ⇒ xa + f ( x ) = f ( 0 ) . x ∈ R ð t f ( 0 ) = b ⇒ f ( x ) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c: a = 1 a 2 = 1   f ( x) = x  ⇒   a = −1 ⇒   . − a b − a = −a   f ( x) = −x  b = 0 V y có hai hàm s c n tìm là f ( x ) = x và f ( x ) = − x . Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x ) + y ) = y f ( x − f ( y ) ) ∀x, y ∈ R ( 2 ) . L i gi i: Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x ) ) = 0 ∀x ∈ R ( a ) . ( ) Cho x = f ( y ) : (2) ⇒ f f ( f ( y ) ) + y = y f ( 0 ) ( a ' ) . ( a ) + ( a' ) ⇒ f ( y ) = y f ( 0) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( y ) = ay ∀y ∈ R . Th l i (2) ta ñư c: a 2 ( x 2 + y 2 ) + a ( y − x y ) = 0 ∀x, y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x ) = 0 ∀x ∈ R . V y có duy nh t hàm s f ( x ) = 0 th a mãn bài toán. Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn: 2 f ( x ) − g ( x ) = f ( y ) − y ∀x, y ∈ R  (a)  .  f ( x) g ( x) ≥ x +1  ∀x ∈ R (b ) L i gi i: Cho x = y ∈ R khi ñó ( a ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) − x .Thay l i (a) ta ñư c: 1
g ( x ) = 2 x − 2 y + g ( y ) ∀x, y ∈ R (c). Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x ) = 2 x + g ( 0 ) . ð t g ( 0 ) = a ta ñư c: g ( x ) = 2 x + a , f ( x ) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c: 2 x + a = 2 x + a  (a), (b) ⇔  ( ∀x ∈ R ) ⇔ 2 x 2 + ( 3a − 1) x + a 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R (  x + a )( 2 x + a ) ≥ x + 1 2 ⇔ ( a − 3) ≤ 0 ⇔ a = 3 . V y f ( x ) = x + 3 ; g ( x ) = 2 x + 3 . Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ (1). Tìm f(x). L i gi i: Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2. V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c. Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ℝ do ñó: 3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ℝ  1 a = 3 3a = 1    2 ð ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b = a + b + 3c = 0  3   1 c = − 3  1 V y: f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán. Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán: Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán. Do f(x) không trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ ℝ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) . Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ℝ Thay x b i x0 ta ñư c: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2 Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2 1 T hai h th c này ta ñư c: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 ) 3 ði u này mâu thu n v i g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) 1 V y phương trình có nghi m duy nh t là f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 3 2
Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các hàm s tìm ñư c. Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝ Hãy tìm hai hàm s như th . L i gi i: Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1). V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm có d ng: f(x) = ax + b. Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ ℝ   a 2 − a = 1 a = 1 + 5 a = 1 − 5 1± 5 ñ ng nh t h s ta ñư c:  ⇔ 2 ∨ 2 ⇒ f ( x) = x. ab = 0 b = 0 b = 0 2   Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dành cho ngư i ñ c). Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau: a ) f ( f ( n)) = n, ∀n ∈ ℤ (1) b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ ℤ (2) c) f (0) = 1 (3) Tìm giá tr f(1995), f(-2007). L i gi i: Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b. Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ ℤ a 2 = 1 a = 1 a = −1 ð ng nh t các h s , ta ñư c:  ⇔ ∨ ab + b = 0 b = 0 b = 0 a = 1 V i  ta ñư c f(n) = n. Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2). b = 0 a = −1 V i  ta ñư c f(n) = -n + b. T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1. b = 0 V y f(n) = -n + 1. Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán. Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán: Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán. T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0. S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ℤ . 3
do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ℤ . Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f (n0 ) ≠ g (n0 ) Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có: g (n0 − 2) = g (n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2) ⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2) Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5). V y f(n) = g(n), ∀n ∈ ℕ Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm. V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t. T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007). BÀI T P Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ℝ → ℝ th a mãn ñi u ki n: f ( x + y ) + f ( x − y ) − 2 f ( x) f (1 + y ) = 2 xy (3 y − x 2 ), ∀x, y ∈ ℝ . ðáp s : f(x) = x3. Bài 2: Hàm s f : ℕ → ℕ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ℕ. Tìm f(2005). ðáp s : 2006. Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ℕ → ℕ sao cho: f ( f (n)) + ( f (n))2 = n 2 + 3n + 3, ∀n ∈ ℕ. ðáp s : f(n) = n + 1.  x −1   1− x  8  2  Bài 4: Tìm các hàm f : ℝ → ℝ n u: 3 f  −5f  = , ∀x ∉ 0, − ,1, 2   3x + 2   x − 2  x −1  3  28 x + 4 ðáp s : f ( x) = 5x Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ ℝ [ x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x , y ∈ ℝ ðáp s : P(x) = x3 + cx. Phương pháp 2: phương pháp th . 2.1. Th n t o PTH m i:  2x +1  Ví d 1: Tìm f: R\{2} → R th a mãn: f   = x + 2 x ∀x ≠ 1 (1) . 2  x −1   2x +1  L i gi i: ð t t =   ⇒ MGT t = R \ {2} (t p xác ñ nh c a f). Ta ñư c:  x −1  x ≠1 t +1 3t 2 − 3 x= th vào (1): f (t ) = 2 ∀t ≠ 2 . Th l i th y ñúng. t−2 (t − 2) 4
3x 2 − 3 V y hàm s c n tìm có d ng f ( x) = 2 . ( x − 2) Nh n xét: + Khi ñ t t, c n ki m tra gi thi t MGT t ⊃ D . V i gi thi t ñó m i ñ m b o tính ch t: “Khi x∈Dx t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t cũng ch y kh p t p xác ñ nh c a f”.  3x 2 − 3  2 ( x ≠ 2) + Trong ví d 1, n u f: R → R thì có vô s hàm f d ng: f ( x) =  ( x − 2 ) (v i a∈R  a ( x = 2) tùy ý). Ví d 2: Tìm hàm f : ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] → R th a mãn: f ( x − x 2 − 1) = x + x 2 − 1 ∀ x ≥ 1 ( 2 ) . x − t ≥ 0  L i gi i: ð t t = x − x 2 − 1 ⇔ x 2 − 1 = x − t ⇔  2 2 x −1 = ( x − t )  x ≥ t x ≥ t  t2 +1 t ≤ −1 ⇔ 2 2 2 ⇔ 2 t +1 . H có nghi m x ⇔ ≥t ⇔   x − 1 = x − 2 xt + t x = 2t 0 < t ≤ 1  2t ⇒ t ∈ ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] . V y MGT t = D = ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] . x ≥1 1 1 V i t = x − x 2 − 1 thì x + x 2 − 1 = ⇒ f (t ) = th a mãn (2). t t 1 V y f ( x) = là hàm s c n tìm. x 2   3x − 1  x + 1 Ví d 3: Tìm f : R\  ;3 → R th a mãn: f  = ∀x ≠ 1, x ≠ −2 ( 3) . 3   x + 2  x −1 3x − 1 2  2t + 1 t+4 L i gi i: ð t t = ⇒ MGT t = R \  ;3 ⇒ x = th vào (4) ta ñư c: f (t ) = x+2 ( x ≠2) x ≠1 3  3−t 3t − 2 x+4 th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f ( x) = . 3x − 2 Ví d 4: Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn: x f ( x f ( y )) = f ( f ( y )) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (4) . L i gi i: Cho y = 1, x ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: x f ( x f (1)) = f ( f (1)) . 1 1 Cho x = ta ñư c: f ( f (1) = 1⇒ x f ( x f (1)) = 1 ⇒ f ( x f (1)) = . ð t: f (1) x 5
f (1) a t = x. f (1) ⇒ f (t ) = ⇒ f (t ) = (v i a = f (1) ). Vì f (1) ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ MGT t = ( 0; + ∞ ) . t t x∈( 0; +∞ ) a a V y f ( x) = . Th l i th y ñúng ( a > 0 ) . Hàm s c n tìm là: f ( x) = v i ( a > 0 ) . x x Ví d 5: Tìm hàm f: ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn: 1 3 3 f (1) = ; f ( xy ) = f ( x). f   + f ( y ). f   ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) ( 5 ) . 2  y x L i gi i: 1 Cho x = 1; y = 3 ta ñư c: f ( 3) = . 2 3 Cho x = 1; y ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: f ( y ) = f   . Th l i (5) ta ñư c:  y 3 f ( xy ) = 2 f ( x) f ( y ) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (5') . Thay y b i ta ñư c: x 2 3 1 2 f ( 3) = 2 f ( x )) f   ⇒   = ( f ( x ) ) . Th l i th y ñúng. x 2 1 V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = ∀x > 0 . 2 Ví d 6: Tìm hàm f: R → R th a mãn: ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy ( x 2 + y 2 ) ∀x, y ∈ R ( 6) . L i gi i: Ta có: ( 6) ⇔ ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 1 2 1 2 = ( x + y ) − ( x − y )  + ( x + y ) + ( x − y )   ( x + y ) + ( x − y )  −  ( x + y ) − ( x − y )       4  4    u = x − y 1 ð t  v = x + y 2 ( ta ñư c: v f ( u ) − u f ( v ) = ( u + v )( u − v ) ( u + v ) − ( u − v ) 4 2 ) ⇒ v f ( u ) − u f ( v ) = u 3v − v 3u ⇔ v ( f ( u ) − u 3 ) = u ( f ( v ) − v3 ) + V i uv ≠ 0 ta có: f ( u ) − u 3 f ( v ) − v3 f (u ) − u3 = ∀u , v ∈ R* ⇒ = a ⇒ f ( u ) = au + u 3 ∀u ≠ 0 . u v u + V i u = 0; v ≠ 0 suy ra: f ( u ) − u 3 = 0 ⇔ f ( u ) = u 3 ⇒ f ( 0 ) = 0 . Hàm f ( u ) = au + u 3 th a mãn f ( 0 ) = 0 . V y f ( u ) = au + u 3 ∀u ∈ R Hàm s c n tìm là: f ( x ) = ax + x3 ( a ∈ R ) . Th l i th y ñúng. 2.2. Th n t o ra h PTH m i: 6
Ví d 1: Tìm hàm f: R → R th a mãn: f ( x ) + x f ( − x ) = x + 1 ∀x ∈ R (1) . L i gi i: ð t t = − x ta ñư c: f ( −t ) − t f ( t ) = −t + 1 ∀t ∈ R (1) . Ta có h :  f ( x) + x f (−x) = x +1   ⇒ f ( x ) = 1 . Th l i hàm s c n tìm là: f ( x ) = 1 . − x f ( x ) + f ( − x ) = − x + 1   x −1  Ví d 2: Tìm hàm s f : R \ { 0,1 } → R Th a mãn: f ( x ) + f   = 1 + x ∀x ∈ R * ( 2) .  x  x −1 L i gi i: ð t x1 = , ( 2 ) ⇔ f ( x ) + f ( x1 ) = 1 + x . x x1 − 1 1 ð t x2 = = , ( 2 ) ⇔ f ( x1 ) + f ( x2 ) = 1 + x1 . x1 x −1 x2 − 1 ð t x3 = = x, ( 2 ) ⇔ f ( x2 ) + f ( x ) = 1 + x2 . x2  f ( x1 ) + f ( x ) = 1 + x  1 + x − x1 + x2 1  1 1  Ta có h  f ( x2 ) + f ( x1 ) = 1 + x1 ⇒ f ( x ) = = x+ +  . Th l i th y  2 2 x 1− x   f ( x ) + f ( x2 ) = 1 + x2 1 1 1  ñúng. V y hàm s c n tìm có d ng: f ( x ) =  x + + . 2 x 1− x   x −1  Ví d 3: Tìm hàm s f : R \ { − 1;0;1 } → R th a mãn: x f ( x ) + 2 f   = 1 ∀x ≠ −1 ( 3) .  x +1  L i gi i: x −1 ð t x1 = , ( 3) ⇒ x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1 . x +1 x1 − 1 1 ð t x2 = = − , ( 3) ⇒ x 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 . x1 + 1 x x2 − 1 x + 1 ð t x3 = = , ( 3) ⇒ x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 . x2 + 1 x − 1 x3 − 1 ð t x4 = = x , ( 3) ⇒ x3 f ( x3 ) + 2 f ( x ) = 1 . x3 + 1  x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1   x1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 4 x2 − x + 1 Ta có h  ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.  x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 5 x ( x − 1) x f x + 2 f x = 1  3 ( 3) ( ) 7
4 x2 − x + 1 V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = . 5 x ( x − 1) BÀI T P  1 1) Tìm f : R \ { 1 } → R th a mãn: f  1 +  = x 2 + 1 ∀x ∈ R .  x  a  b − ax  x2 a 2) Tìm f : R \  −  → R th a mãn: f  = 4 ∀x ≠ − (a, b là h ng s cho  b  bx + a  x + 1 b trư c và ab ≠ 0 ). 3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 2002 x − f ( 0 ) ) = 2002 x 2 ∀x ∈ R . 1  1  4) Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( x ) + f  = 1 ∀x ∈ R \ { 0;1} . 2x  1 − x  1− x  5) Tìm f : R \ { ± 1; 0} → R th a mãn: ( f ( x ) ) f   = 64 x ∀x ∈ R \ {−1} .  1+ x  2  2x  2 6) Tìm f : R \   → R th a mãn: 2 f ( x ) + f  = 996 x ∀x ≠ . 3  3x − 2  3  x −3  x+3 7) Tìm f : R \ { ± 1 } → R th a mãn: f  + f  = x ∀x ≠ ±1 .  x +1   1− x  8) Tìm f : R → R th a mãn: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 ∀x ∈ R . 1 9) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f   = x 2008 ∀x ∈ R* . x  1  x −1  1 10) Tìm f : R \ ±  → R th a mãn: f ( x ) + f   = x ∀x ≠ .  3  1 − 3x  3  a2  11) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f   = x ∀x ≠ a ( a > 0) . a−x f ( 2 x + 1) + 2 g ( 2 x + 1) = 2 x  12) Tìm f , g : R \ { 1 } → R th a mãn:   x   x  ∀x ≠ 1 . f  + g =x   x −1   x −1  Phương pháp 3: Phương pháp chuy n qua gi i h n.  2 x  3x Ví d 1: Tìm hàm s f : R → R liên t c, th a mãn: f ( x ) + f   = ∀x ∈ R (1) .  3  5 L i gi i: 2x 3 ð t x1 = ; (1) ⇒ f ( x ) + f ( x1 ) = x . 3 5 2 x1 3 ð t x2 = ; (1) ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) = x1 . 3 5 8
2 xn 3 ð t xn +1 = , n ∈ N * ; (1) ⇒ f ( xn ) + f ( xn +1 ) = xn . 3 5  3  f ( x ) + f ( x1 ) = 5 x (1)   f (x )+ f (x ) = 3 x  ( 2) 1 2 1 Ta có h  5 ……  f x + f x 3  ( n ) ( n+1 ) = xn ( n + 1)  5 Nhân dòng phương trình th (i) v i (-1)i+1 r i c ng l i ta ñư c: 3  2  2  2  2 n n+2 f ( x ) + ( −1) f ( xn +1 ) = x 1 − +   − ⋯ +  −   ( *) . 5  3  3   3   ( f l.tôc ) Xét lim ( −1) f ( xn +1 )  = lim  f ( xn +1 )  = n+ 2   f ( lim xn +1 ) = f ( 0 ) .   n+ 2 M t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim ( −1) f ( xn +1 ) = 0 . 3 1 9x L y gi i h n hai v c a (*) ta ñư c: f ( x ) = x = . Th l i th y ñúng. 5 1 + 2 25 3 9x V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = . 25 Ví d 2: Tìm hàm s f liên t c t i xo= 0 th a mãn: f : R → R và 2 f ( 2 x ) = f ( x ) + x ∀x ∈ R ( 2) . L i gi i: t t ð t t = 2 x ta ñư c: 2 f ( t ) = f   + ∀t ∈ R ( 2' ) . 2 2  1 * tn +1 = 2 tn , ∀n ∈ N  Xét dãy:  . Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñư c: t = 1 t 1 2   1 1  f ( t ) = 2 f ( t1 ) + 4 t (1)   f (t ) = 1 f (t ) + 1 t  1 ( 2 ) . Th  2 2 4 1 (n) vào ( n − 1) → ( n − 2 ) → ⋯ ta ñư c: ⋯⋯  f t 1 1  ( n −1 ) 2 ( n ) 4 n −1 (n) = f t + t  1 1 1 1 f (t ) = 2 n f ( tn ) + n +1 f ( tn −1 ) + n f ( tn − 2 ) + ⋯ + 2 t 2 2 2 (* ) . ' 9
n 1 1  1 1 1  Thay tn =   t vào (*’) ta ñư c: f ( t ) = n f ( tn ) + t  2 + 4 + ⋯ + 2 n  2 2 2 2 2  (* ) . "  1  t Vì f liên t c t i xo = 0 nên lim  n f ( tn )  = 0 . L y gi i h n 2 v (*”) suy ra: f ( t ) = . Th 2  3 l i th y ñúng. Nh n xét: +) N u dãy {xn} tu n hoàn thì ta gi i theo phương pháp th r i quy v h pt hàm. +) N u dãy {xn} không tu n hoàn nhưng f liên t c t i xo = 0 và {xn} → 0 thì s d ng gi i h n như VD1. + N u {xn} không tu n hoàn, không có gi i h n thì ph i ñ i bi n ñ có dãy {tn} có gi i h n 0 và làm như ví d 1. BÀI T P 1) Tìm f : R → R th a mãn: a) f liên t c t i xo = 0, b) n f ( nx ) = f ( x ) + nx ∀n ∈ N , n ≥ 2; ∀x ∈ R .  x  10 2) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: f ( 3 x ) + f   = x . 3 3 3) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: m f ( mx ) − n f ( nx ) = ( m + n ) x ∀m, n ∈ N * , m ≠ n , ∀x ∈ R . Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr . +) ðây là phương pháp cơ s c a m i phương pháp khác. +) Khi v n d ng phương pháp c n chú ý s d ng k t qu v a có ñư c. ( a ) f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R  Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn:  . ( b ) f ( x + y ) ≥ f ( x ) + f ( y ) ∀x, y ∈ R  L i gi i: x = 0  f ( 0) ≥ 0  Cho  suy ra  ⇒ f (0) = 0 . y = 0  f ( 0) ≥ 2 f ( 0)   f ( 0) ≥ f ( x ) + f ( − x )  f ( x) + f ( − x ) ≤ 0   Cho y = − x ⇒  ⇒  f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0   f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0  ⇒ f ( x ) = f ( − x ) = 0 ∀x ∈ R . V y f ( x ) = 0 . Th l i th y ñúng. Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: 1 1 1 f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ ∀x, y, z ∈ R ( 2) . 2 2 4 L i gi i: 10
2 2 1  1 1 Cho x = z , y = 1 ta ñư c: f ( x ) − ( f ( x ) ) ≥ ⇔  f ( x ) −  ≤ 0 ⇔ f ( x ) = . Th l i th y 4  2 2 ñúng. Ví d 3: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ∀x ∈ R ( 3) . y∈R L i gi i: ( 3) ⇒ f ( x ) ≥ xy − f ( y ) ∀x, y ∈ R . t2 Cho x = y = t ∈ R ⇒ f ( t ) = ∀t ∈ R (a) . 2 T (a) suy ra: y2 x2 1 2 x2 x2 xy − f ( y ) ≤ xy − = − ( x − y) ≤ ⇒ f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ≤ ∀x ∈ R (b ) 2 2 2 2 y∈R 2 x2 ( a ) + (b) ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng. 2 Ví d 4: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) ≥ 2008x + y ∀x, y ∈ R ( 4) . L i gi i: 2 Cho x = y = 0 ⇒ f ( 0 ) ≥ ( f ( 0 ) ) ≥ 1 ⇒ f ( 0 ) = 1 . Cho 1 x = − y ∈ R ⇒ 1 = f ( 0 ) ≥ f ( x ) f ( − x ) ≥ 1⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1⇒ f ( x ) = ∀x ∈ R (a) . f ( −x)  f ( x ) ≥ 2008 x > 0  Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) ≥ 2008 ⇒  x (b) .  f ( − x ) ≥ 2008 > 0 −x  1 1 Theo ( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = ≤ = 2008x ( c ) . ( b ) + ( c ) ⇒ f ( x ) = 2008x . Th l i f ( − x ) 2008− x th y ñúng. Ví d 5: Tìm f : [ a; b ] → [ a ; b ] th a mãn: f ( x ) − f ( y ) ≥ x − y ∀x, y ∈ [ a ; b ] (a < b cho trư c) (5). L i gi i: Cho x = a ; y = b ⇒ f ( a ) − f ( b ) ≥ a − b = b − a ( a ) . vì f ( a ) , f ( b )∈ [ a ; b ] nên f ( a ) − f ( b ) ≤ a − b = b − a ( b ) . 11
 f  (a) = a   f (b) = b ( a ) + ( b ) ⇒ f ( a ) − f ( b ) = b − a ⇔  .   f (a) = b  f   (b) = a  f (a) = a  +) N u  thì:  f (b) = b  Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≤ x ( c ) . Ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≥ x ( d ) . (c) + (d ) ⇒ f ( x) = x .  f (a) = b  +) N u  thì:  f (b) = a  Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] r i ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] như trên ta ñư c: f ( x ) = a + b − x . Th l i th y ñúng. Nh n xét: +) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nói chung là tìm các giá tr ñ c bi t – có th tính ñư c trư c. Sau ñó t o ra các BðT “ngư c nhau” v hàm s c n tìm ñ ñưa ra k t lu n v hàm s . +) Vi c ch n các trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”. T c là cái ch n sau ph i d a vào cái ch n trư c nó và th các kh năng có th s d ng k t qu v a có ñư c. Ví d 6: Tìm f : R → R th a mãn:  π   f ( 0 ) = a ; f   = b ( a, b cho tr−íc )  2 (6) .  f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) cos y ∀x, y ∈ R  L i gi i: π  π  π Cho y = ; x ∈ R ta ñư c: f  x +  + f  x −  = 0 (a) . 2  2  2 Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y ) + f ( − y ) = 2a cos y (b) . π π  π  Cho x = ; y ∈ R ta ñư c: f  + y  + f  − y  = 2b cos y (c) . 2 2  2  12
  π  π f x+ + f x− =0   2  2   π π   π ( a ) + (b) + ( c ) ⇒  f x− + f  − x  = 2a cos  x −  .   2 2   2   π π  f  x +  + f  − x  = 2b cos x   2 2  Gi i h ta ñư c: f ( x ) = a cos x + b sin x . Th l i th y ñúng. Ví d 7: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + sin x sin y ∀x, y ∈ R (7) . L i gi i: Ta th y f ( x ) = cos x là m t hàm s th a mãn. 2  f (0) = 0 Cho x = y = 0 ⇔ ( f ( 0 ) ) = f ( 0 ) ⇔  .  f (0) = 1  N u f ( 0 ) = 0 thì: Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) = − f ( 0 ) = 0 ∀x ∈ R . Th l i ta ñư c: sin x sin y = 0 ∀x, y ∈ R ⇒ vô lý. V y f ( x ) = 0 không là nghi m (7). N u f ( 0 ) = 1 thì cho x = − y ⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1 + ( − sin 2 x ) = cos 2 x ⇒ f ( x ) f ( − x ) = cos 2 x ( a ) .  π  f  =0 π 2 Cho x = ⇒  . 2   π f −  = 0   2 π  π N u f   = 0 thì: Cho x = ; y ∈ R th vào (7) suy ra: 2 2  π f  y +  + sin y = 0 ⇒ f ( y ) = cos y ∀y ∈ R . Th l i th y ñúng.  2  π N u f  −  = 0 tương t như trên ta ñư c: f ( y ) = cos y ∀y ∈ R .  2 V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = cos x . Ví d 8: Tìm f , g : R → R th a mãn: f ( x ) − f ( y ) = cos ( x + y ) g ( x − y ) ∀x, y ∈ R ( 8) . L i gi i: π π  π  Ch n x = − y; y∈ R (8) ⇒ f  − y  − f ( y) = 0 ⇔ f  − y  = f ( y) (a) . 2  2   2  π π  π  Ch n x = + y ; y ∈ R ( 8 ) ⇒ f  + y  − f ( y ) = − sin 2 y.g   ( b ) . 2 2  2 13
π  π  π  ( a ) + (b) ⇒ f  + y− f  − y  = − sin 2 y. g   ( c ) . 2  2  2 π  π  Theo (8): f  + y  − f  − y  = − g (2y) (d ) . 2  2   π ( c ) + ( d ) ⇒ g ( 2 y ) = sin 2 y. g   ∀y ∈ R ⇒ g ( 2 x ) = a sin 2 x ⇒ g ( x ) = a sin x ∀x ∈ R . 2 π  (v i a = g   cho trư c.) 2 a Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) − f ( 0 ) = cos x. g ( x ) ⇒ f ( x ) = sin 2 x + b (b = f ( 0 )) , ∀x ∈ R . 2  a  f ( x ) = sin 2 x + b Th l i 2 hàm s :  2 (V i a, b là h ng s cho trư c). Th a mãn (8).  g ( x ) = a sin x   f ( − x ) = − f ( x ) ∀x ∈ R ( a )   Ví d 9: Tìm f : R → R th a mãn:  f ( x + 1) = f ( x ) + 1 ∀x ∈ R ( b ) .  f  1  f ( x)    = 2 ∀x ≠ 0 ( c )   x x L i gi i:  x +1  Ta tính f   ñ n f ( x ) theo hai cách:  x   x +1   1 1 f ( x) f  = f 1 +  = 1 + f   = 1 + 2 ∀x ≠ 0 ( a ) .  x   x x x  x   1  f  f 1 −  2  x +1  x +1   x +1    1  =  x +1 f  2 =  2 =  1 + f −  =  x   x   x   x    x +1       x +1  x +1   x +1 2    1     x +1  2  f ( x + 1)  =  1 +  − f   =   1 − =  x     x +1    x   ( x + 1)  2    x +1  2  1+ f ( x)    1 −  ∀x ≠ 0, x ≠ 1 ( b ) .  x   ( x + 1)  2   ( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = x ∀x ≠ 0; x ≠ 1 . V i x = 0; ( a ) ⇒ f ( 0 ) = 0 th a mãn f ( x ) = x . V i x = 1; ( a ) ⇒ f ( −1) = − f (1) : Cho x = 0; ( b ) ⇒ f (1) = 1 ⇒ f ( −1) = −1 th a mãn f ( x ) = x . 14
V y f ( x ) = x ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng . Ví d 10: Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn:  f (1) = 1 ( a )    1  1 1 f   = f   . f   ∀x, y ≠ 0 ( b ) .   x+ y x  y ( x + y ) f ( x + y ) = xy f ( x ) f ( y ) ∀x, y tháa m n xy ( x + y ) ≠ 0 ( c )  L i gi i:  1  1 Cho x = y ∈ R* , ( b ) ta ñư c: f   = 2 f   ⇒ f ( x ) = 2 f ( 2 x ) ∀x ≠ 0 (*)  2x   x 2 2 Cho x = y ∈ R* , ( c ) ta ñư c: 2 x f ( 2 x ) = x 2 ( f ( x ) ) ⇔ 2 f ( 2 x ) = x ( f ( x ) ) ∀x ≠ 0 (*' ) . 2 Th (*) vào (*’) suy ra: f ( x ) = x ( f ( x ) ) (* ) . " Gi s : ∃ xo ≠ 1, xo ∈ R* sao cho: f(xo) = 0. Thay x = 1 − xo ; y = xo vào (*”) ta ñư c: f(1) = 0 trái v i gi thi t f(1) = 1. V y f ( x ) ≠ 0 ∀x ≠ 1; x ≠ 0 . 1 Vì f (1) = 1 ≠ 0 nên t (*”) suy ra f ( x ) = ∀x ≠ 0 . Th l i th y ñúng. x Ví d 11: Tìm f : R → R th a mãn:  f (1) = 1 ( a )   f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy ∀x, y ∈ R ( b ) .  f  1  f ( x)    = 4 ∀x ≠ 0 ( c )  x x L i gi i: Cho x = y = 0, ( b ) ⇔ f ( 0 ) = 0 Cho x = y = t ≠ 0, ( b ) ⇔ f ( 2t ) − 2 f ( t ) = 2t 2 (1) . 1 1 1 1 Cho x = y = , (b) ⇔ f   − 2 f   = 2 ( *) 2t t  2t  2t 1  f (t )  1  f ( 2t ) f (t ) f ( 2t ) (c) ⇒ f  1 T  = 4 ; f  = 4 . Th vào (*) ta ñư c: 4 − 2 4 = 2 ( 2) . t  t  2t  ( 2t ) t ( 2t ) 2t (1) + ( 2 ) ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ≠ 0 . T f ( 0 ) = 0 ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ∈ R . Th l i th y ñúng. Ví d 12: Cho hàm s f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:  f ( x)  f  = y f ( y ) f ( f ( x ) ) ∀x, y ∈( 0; + ∞ ) (12 ) .  y  15